文档内容
专题 5.1 平面向量的概念及线性运算【五大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)............................................................................................................................2
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:28)....................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:28)....................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:54)(cid:13)(cid:28)....................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................9
1(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:57)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)
(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:53) (cid:62)(cid:21)(cid:63)(cid:64) (cid:25)(cid:65)(cid:66)(cid:67)
(1)(cid:15)(cid:68)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:40)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:89)(cid:60)(cid:90)(cid:91).(cid:92)(cid:93)
(cid:43)(cid:44)(cid:69)(cid:70)(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:73)
(cid:43)(cid:80)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:76)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)
(cid:46) 2022(cid:80)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:82)I(cid:83)(cid:10)(cid:84)3
(cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:98)(cid:61)(cid:99)(cid:20)(cid:100)(cid:21)(cid:40)
(2)(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:42)(cid:40)(cid:41)(cid:42) (cid:21)(cid:76)5(cid:66)
(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:34)(cid:103)(cid:104)(cid:25)(cid:105)(cid:76)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:76)(cid:25)(cid:105)(cid:103)
(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:15)(cid:68)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46) 2023 (cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:83)(cid:86)(cid:15)(cid:13)(cid:87)(cid:10)
(cid:104)(cid:110)(cid:108)(cid:111)(cid:56).(cid:11)(cid:112)(cid:113)(cid:24)(cid:25)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:59)(cid:4)(cid:45)
(cid:57)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:73)(cid:46) (cid:84)4(cid:21)(cid:76)5(cid:66)
(cid:39)(cid:117)(cid:118)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:40)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)
(3)(cid:78)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:34)
(cid:56)(cid:15)(cid:34)(cid:15)(cid:68).
(cid:48)(cid:79)(cid:57)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)
(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:60)1 (cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:123)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:28)
1(cid:126)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:123)(cid:3)(cid:37)(cid:38)(cid:34)(cid:127)(cid:128)(cid:3)(cid:4)(cid:60)
(1)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:129)(cid:123)(cid:130)(cid:131)(cid:48)(cid:76)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:122)(cid:134)(cid:129)(cid:123)(cid:130)(cid:131)(cid:48).
(2)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:135)(cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:60)(cid:142)(cid:3).
(3)(cid:32)(cid:33)(cid:143)(cid:99)(cid:30)(cid:144)(cid:76)(cid:30)(cid:144)(cid:145)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:140)(cid:146)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:68)(cid:21)(cid:147)(cid:76)(cid:148)(cid:61)(cid:149)(cid:137)(cid:140)(cid:150)(cid:13)(cid:151)(cid:152)(cid:34)(cid:30)(cid:144)(cid:153)(cid:154).
(4)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) (cid:140) (cid:34)(cid:3)(cid:155)(cid:10) (cid:88)(cid:140) (cid:156)(cid:157)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33).
(cid:22)(cid:120)(cid:121)(cid:60)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:68)(cid:21)(cid:161)(cid:162)(cid:28)
1(cid:126)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:68)(cid:163)(cid:164)(cid:10)
(1)(cid:68)(cid:165)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:3)(cid:166)(cid:113)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:151)(cid:103)(cid:116)(cid:34)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:77)(cid:173)(cid:168)(cid:169)(cid:49)(cid:27)(cid:71)(cid:174)(cid:32)(cid:33)(cid:175)(cid:39)
(cid:41)(cid:42)(cid:71)(cid:176)(cid:177)(cid:16)(cid:178)(2)(cid:113)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:147)(cid:61)(cid:179)(cid:143)(cid:173)(cid:177)(cid:16)(cid:180)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:116)(cid:76)(cid:49)(cid:27)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:40)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:57)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:116)
(cid:159)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:40)(cid:71)(cid:185)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:118)(cid:59)(cid:181)(cid:186)(cid:110)(cid:187)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:76)(cid:149)(cid:188)(cid:120)(cid:32)(cid:33)(cid:177)(cid:16)(cid:136)(cid:27)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:69)(cid:70).
2(cid:126)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:73)(cid:54)(cid:160)(cid:21)(cid:34)(cid:68)(cid:21)(cid:161)(cid:162)(cid:10)
(cid:140)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:123)(cid:3)(cid:34)(cid:54)(cid:13)(cid:160)(cid:21)(cid:76)(cid:190)(cid:191)(cid:88)(cid:192)(cid:193)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:76)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:195)(cid:122)(cid:39)(cid:42)(cid:182)(cid:41)(cid:42)
(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:196)(cid:145)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:157)(cid:201)(cid:202)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:203)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:13)(cid:34)(cid:204).
3(cid:126)(cid:194)(cid:27)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:15)(cid:68)(cid:21)(cid:34)(cid:161)(cid:162)(cid:10)
(1) (cid:88)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:128)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:98)(cid:61)(cid:208)(cid:52).(cid:4)(cid:45)(cid:209)(cid:56)(cid:155)(cid:13)(cid:42)(cid:97)(cid:157)(cid:201)(cid:163)(cid:210)(cid:34)(cid:49)(cid:27).
(2)(cid:211)(cid:207)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:212)(cid:123)(cid:7)(cid:55)(cid:60)(cid:147)(cid:76)(cid:213)(cid:173)(cid:203)(cid:172)(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:135)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) (cid:55)(cid:47).
(3)(cid:214) (cid:140) (cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:212) (cid:76)(cid:119) .
(4) (λ,μ(cid:136)(cid:215)(cid:13))(cid:76)(cid:214)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:119)λ+μ=1.
(cid:22)(cid:157)(cid:42)(cid:216)(cid:217)(cid:140)(cid:218)(cid:219)(cid:28)
1(cid:126)(cid:116)(cid:60)(cid:7)(cid:104)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:10)(cid:214)P(cid:136)(cid:47)(cid:220)AB(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)O(cid:136)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:221)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:119) .
2(cid:126) (λ,μ(cid:136)(cid:215)(cid:13))(cid:76)(cid:214)A,B,C(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:119)λ+μ=1.
3(cid:126)(cid:68)(cid:165)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:160)(cid:21)(cid:61)(cid:4)(cid:45)(cid:207)(cid:60)(cid:10)(cid:190)(cid:88)(cid:148)(cid:222)(cid:61)(cid:25)(cid:223)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:224)(cid:225)(cid:76)(cid:226)(cid:227)(cid:61)(cid:34)(cid:88)(cid:25)(cid:223)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:157)(cid:32)(cid:178)(cid:228)(cid:88)
(cid:61)(cid:229)(cid:230)(cid:4)(cid:45)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:229)(cid:231)(cid:48)(cid:76)(cid:25)(cid:223)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:232)(cid:134)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:187)1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)“(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)180°”(cid:88)“ // ”(cid:34)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎 B𝑏(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
C(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:205)(cid:206)(cid:245)(cid:21)“(cid:214)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)180°(cid:76)(cid:119) // ”(cid:97)(cid:245)(cid:21)“(cid:214) // (cid:76)(cid:119)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)180°”(cid:34)
(cid:62)(cid:246)(cid:135)(cid:143)(cid:203)(cid:68). 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)(cid:211)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)180°(cid:147)(cid:76) (cid:140) (cid:157)(cid:32)(cid:71)(cid:174)(cid:76)(cid:135) // (cid:186)(cid:200)(cid:76)
(cid:211) // (cid:147)(cid:76) (cid:140) (cid:157)(cid:32)𝑎(cid:71)(cid:156)𝑏(cid:182)(cid:249)(cid:157)(cid:32)(cid:71)(cid:174)(cid:76)(cid:135)(cid:32)(cid:33)𝑎(cid:76)𝑏(cid:34)(cid:241)(cid:184)(cid:136)0°(cid:182)(cid:249)18𝑎0°(cid:76)𝑏(cid:143)(cid:99)(cid:148)(cid:136)180°𝑎(cid:76)𝑏
(cid:250)(cid:99)𝑎 “(cid:32)𝑏 (cid:33) (cid:76)𝑎 (cid:34)𝑏 (cid:241)(cid:184)(cid:136)180°”(cid:88)“ // ”(cid:34)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)𝑎 (cid:61)𝑏(cid:235)(cid:236).
(cid:251)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:252)(cid:104)1-1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:253)(cid:254)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:214) , (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)“ = ”(cid:88)“ , (cid:55)(cid:47)”(cid:34)(cid:86) (cid:87)
| | | |
𝑎 𝑏
A(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎𝑏 B(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148) 𝑎 (cid:243)(cid:61)𝑏(cid:235)(cid:236) 𝑎𝑏
C(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28) = (cid:69)(cid:70)(cid:140) , (cid:156)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76) , (cid:55)(cid:47)(cid:143)(cid:173)(cid:156)(cid:32)(cid:55)(cid:47)(cid:40)(cid:134)(cid:143)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:255)(cid:256)(cid:242)(cid:66)(cid:48)(cid:40)(cid:243)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏(cid:61)(cid:48)(cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:143)(cid:53)(cid:172)(cid:247)(cid:257).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:208)(cid:21)(cid:45) , (cid:136)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76) (cid:69)(cid:70)(cid:140) (cid:156)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76) (cid:69)(cid:70)(cid:140) (cid:156)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
(cid:119) = (cid:69)(cid:70)(cid:140) , (cid:156)(cid:32)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:173)(cid:258)(cid:172) , (cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:242)(cid:66)(cid:48)(cid:186)(cid:200)(cid:178)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏
, (cid:55)(cid:47)(cid:143)(cid:173)(cid:156)(cid:32)(cid:55)(cid:47)(cid:40)(cid:134)(cid:143)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:250)(cid:99) , (cid:55)(cid:47)(cid:203)(cid:148)(cid:172) = (cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:243)(cid:61)(cid:48)(cid:148)(cid:186)(cid:200).
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 (cid:251) 𝑏 (cid:20)(cid:10)B. 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:252)(cid:104)1-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120) (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:76)(cid:263) (cid:10) =2 (cid:76) (cid:10) (cid:88)(cid:264)(cid:103)(cid:76)(cid:119) (cid:88)
(cid:34)(cid:235)(cid:236)(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝑞 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑝 𝑞
A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61) B(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66) C(cid:126)(cid:242)(cid:61) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:76)(cid:194)(cid:27)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:97)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:195)(cid:122)(cid:205)(cid:206)(cid:135)(cid:143).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:113)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76)
(cid:214) =2 (cid:76) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:119)𝐴𝐵 𝐷(cid:76)𝐶(cid:212) = (cid:76)
(cid:135)𝐴(cid:127)𝐵(cid:181)∥(cid:103)𝐷𝐶 𝐴(cid:136)𝐵(cid:264)(cid:103)2𝐷(cid:76)𝐶(cid:242)(cid:66)(cid:48)(cid:186)(cid:200)(cid:178)
(cid:214)(cid:211) (cid:76)𝐴𝐵𝐶(cid:136)𝐷(cid:265)(cid:266)(cid:97)(cid:267)(cid:266)(cid:147)(cid:76)
(cid:233)(cid:234)(cid:127)𝐴𝐷(cid:181)(cid:103)𝐵𝐶 (cid:136)(cid:264)(cid:103)(cid:76)
(cid:268) =2 𝐴(cid:148)𝐵𝐶(cid:190)𝐷(cid:56)(cid:186)(cid:200)(cid:76)(cid:135)(cid:243)(cid:61)(cid:48)(cid:148)(cid:186)(cid:200)(cid:178)
(cid:251)𝐴(cid:88)𝐵 (cid:34)𝐷(cid:242)𝐶(cid:66)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236).
(cid:251)𝑝(cid:20)(cid:10)𝑞A.
(cid:22)(cid:252)(cid:104)1-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:267)(cid:273)(cid:123)(cid:3)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:34)(cid:103)(cid:274)(cid:205)(cid:206)(cid:275)(cid:276)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐴𝐷 1𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
B(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:264)(cid:103)
3
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
C(cid:126)(cid:214) = (cid:76)(cid:212)| |=| |(cid:76)(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:277)(cid:103)
D(cid:126)(cid:214)𝐴𝐵=𝐷𝐶(cid:76)(cid:212)𝐴𝐵 𝐴(cid:76)𝐷(cid:119)(cid:127)(cid:181)(cid:103) 𝐴𝐵(cid:136)𝐶𝐷(cid:278)(cid:157)(cid:103)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)𝐴(cid:28)𝐵(cid:51)(cid:52)𝐷𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:55)𝐴𝐶(cid:47)⊥(cid:40)𝐵(cid:71)𝐷(cid:72)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:279)𝐴(cid:56)𝐵(cid:278)𝐶𝐷(cid:279)(cid:247)(cid:257).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)A(cid:20)(cid:280)(cid:76) = (cid:76)(cid:119) // = (cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:76)A(cid:278)(cid:279).
1 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷1 𝐵𝐶,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
B(cid:20)(cid:280)(cid:76) = (cid:76)(cid:119) // = (cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:264)(cid:103)(cid:76)B(cid:278)(cid:279).
3 3
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
C(cid:20)(cid:280)(cid:76) = (cid:76)(cid:119) // = (cid:76)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:88)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:178)(cid:256)(cid:167)| |=| |(cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:127)(cid:181)(cid:103)
𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐶,𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:88)(cid:277)(cid:103)(cid:76)C(cid:278)(cid:279).
D(cid:20)(cid:280)(cid:76) = (cid:76)(cid:119) // = (cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:178)(cid:256)(cid:167) (cid:76)(cid:250)(cid:99)(cid:127)(cid:181)(cid:103)
(cid:136)(cid:277)(cid:103)(cid:76)𝐴D𝐵(cid:20)(cid:280)𝐷(cid:275)𝐶(cid:276). 𝐴𝐵 𝐷𝐶,𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:28)
(cid:22)(cid:187)2(cid:28)(cid:86)2024·(cid:281)(cid:270)(cid:282)(cid:283)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:181)(cid:103)ABCD(cid:116)(cid:76)E(cid:76)F(cid:66)(cid:230)(cid:136)AD(cid:76)BC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119)(cid:267)(cid:273)(cid:32)(cid:33)(cid:140) +
(cid:148)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵
𝐷𝐶 A(cid:126)2 B(cid:126) + C(cid:126) + D(cid:126) +
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)𝐸𝐹(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)𝐴(cid:41)𝐶(cid:42)𝐷(cid:42)𝐵(cid:119)(cid:219)(cid:284)(cid:189)(cid:120)(cid:235)(cid:236)𝐸(cid:285)𝐵(cid:128)𝐸(cid:66)𝐶(cid:67)(cid:205)(cid:206)(cid:135)(cid:143) 𝐹𝐴 𝐹𝐷
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:181)(cid:103)ABCD(cid:116)(cid:76)E(cid:76)F(cid:66)(cid:230)(cid:136)AD(cid:76)BC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)
1 1
(cid:250)(cid:99) = = , = = (cid:76)
2 2
𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐷𝐵𝐹 𝐹𝐶 𝐵𝐶
(cid:248)(cid:136) = + + (cid:76) = + +
(cid:250)(cid:99)𝐸2𝐹 =𝐸𝐴 +𝐴𝐵 +𝐵𝐹 +𝐸𝐹 +𝐸𝐷 +𝐷𝐶 =𝐶𝐹 + ,
(cid:250)(cid:99)A𝐸𝐹(cid:278)(cid:279)𝐸(cid:76)𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐹 𝐸𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐶
(cid:248)(cid:136) = + , = + (cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝐷𝐶+𝐷𝐴=𝐴𝐶𝐴+𝐵 𝐴+𝐷 𝐷+𝐵 = + (cid:76)(cid:250)(cid:99)B(cid:278)(cid:279)(cid:76)
(cid:248)(cid:136)𝐷𝐶=𝐴𝐵+𝐷𝐴, 𝐴=𝐶 𝐴+𝐷 𝐷(cid:76)𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐵
(cid:250)(cid:99)𝐷𝐶+𝐷𝐸=𝐸𝐶𝐴+𝐵 𝐴+𝐸 𝐸+𝐵 = + (cid:76)(cid:250)(cid:99)C(cid:278)(cid:279)(cid:76)
(cid:248)(cid:136)𝐷𝐶+𝐴𝐵=𝐷𝐸+ 𝐸𝐶+𝐴𝐸+𝐸𝐵=𝐸𝐶+𝐸𝐵= + )(cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝐹D𝐴(cid:275)(cid:276)𝐹𝐷(cid:76) 𝐹𝐵 𝐵𝐴 𝐹𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐴 𝐶𝐷 −(𝐴𝐵 𝐷𝐶
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:252)(cid:104)2-1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184)(cid:103) (cid:34)(cid:286)(cid:287)(cid:136) (cid:76)(cid:60) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:288)(cid:93) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76)(cid:119)
=(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐷 𝐵𝐶 𝐵
𝐴𝐷2 1 2
A(cid:126) + B(cid:126) +
3 2 3
𝑂𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐴𝐶
3 1 3
C(cid:126) + D(cid:126) +
4 2 2
𝑂𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:289)(cid:290)(cid:291)(cid:292) (cid:293) (cid:167)(cid:60) (cid:76)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:203)(cid:180) (cid:136) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:255)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:64)(cid:50) (cid:135)(cid:143).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:10)𝐵𝑂 𝐴𝐶 𝐸 𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷
(cid:291)(cid:292) (cid:293) (cid:167)(cid:60) (cid:76)
(cid:248)(cid:136)𝐵𝑂(cid:136)(cid:72)𝐴(cid:181)𝐶(cid:183)(cid:184)𝐸(cid:103) (cid:34)(cid:286)(cid:287)(cid:76)(cid:250)(cid:99) (cid:136) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)
𝑂 𝐴𝐵𝐶 2 𝐸2 𝐴𝐶
(cid:250)(cid:99) = + = + = +
3 3
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐸𝐵−𝐸𝐶
= + 2 3 1 = + 2 .
3 2 2 3
(cid:251)(cid:20) 𝐴𝐶 (cid:10)A. 𝑂𝐵− 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:252)(cid:104)2-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:270)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) = =6(cid:76)(cid:60)D(cid:76)E(cid:66)(cid:230)(cid:113)(cid:47)(cid:220) (cid:76) (cid:265)(cid:76)(cid:212)D
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 4,𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:136) (cid:116)(cid:60)(cid:76) = (cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119)(cid:298)(cid:47) (cid:299)(cid:198) (cid:34)(cid:86) (cid:87)
2
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝑃 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝑃 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:126)(cid:90)(cid:287) B(cid:126)(cid:300)(cid:287) C(cid:126)(cid:227)(cid:287) D(cid:126)(cid:286)(cid:287)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:76)(cid:143)(cid:203)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:277)(cid:103)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:203)(cid:180) (cid:30)(cid:66) (cid:76)(cid:92)(cid:301)(cid:203)(cid:180)(cid:219)(cid:302).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) 𝐴𝐷𝑃𝐸 𝐴𝑃 ∠𝐵𝐴𝐶
1
(cid:248)(cid:136) = =6(cid:76)(cid:212)D(cid:136) (cid:116)(cid:60)(cid:76) = (cid:76)
2
(cid:119)| 𝐴𝐵|=|4,𝐴|𝐶 =2(cid:76) 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐸𝐶
(cid:303)(cid:248)𝐴𝐷(cid:136) 𝐴=𝐸 + (cid:76)(cid:119)(cid:143)(cid:203)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:136)(cid:277)(cid:103)(cid:76)
(cid:135) (cid:136)𝐴(cid:277)𝑃(cid:103)𝐴𝐷 (cid:34)𝐴𝐸(cid:118)(cid:184)(cid:47)(cid:76) 𝐴𝐷𝑃𝐸
𝐴𝑃 𝐴𝐷𝑃𝐸(cid:250)(cid:99) (cid:30)(cid:66) (cid:76)(cid:135)(cid:298)(cid:47) (cid:299)(cid:198) (cid:34)(cid:90)(cid:287)
(cid:251)(cid:20)𝐴:A𝑃. ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝑃 △𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:252)(cid:104)2-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:304)(cid:305)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:72)(cid:306) (cid:116)(cid:76) = = =1(cid:76)D(cid:136)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:34)(cid:307)(cid:60)(cid:76)(cid:198)D
(cid:308) (cid:293) (cid:167)E(cid:126)(cid:198)D(cid:308) (cid:293) △(cid:167)𝐴F𝐵(cid:76)𝐶(cid:119)|2∠𝐵+∠𝐶|=3(cid:86)0° , 𝐴 𝐵(cid:87) 𝐴𝐵
𝐷𝐸A(cid:126)∥𝐵𝐶3 𝐴𝐶 B(cid:126)2 3𝐷𝐹⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 C(cid:126)3 3𝐵𝐹 𝐷𝐸 D(cid:126)5 3
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:143)(cid:203) (cid:76)(cid:203)(cid:180) = (cid:76)(cid:219)(cid:284)|2 + |=| + + |(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:53)
(cid:68). △𝐵𝐷𝐹≌△𝐶𝐸𝐺 𝐵𝐹 𝐺𝐶 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐶
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:76)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:143)(cid:203) (cid:76)(cid:250)(cid:99) = (cid:76)
(cid:250)(cid:99)2 = + (cid:76)(cid:250)(cid:99)|2 + |=△|𝐵𝐷𝐹+≌△+𝐶𝐸𝐺|=| 𝐵|𝐹= 3𝐺.𝐶
(cid:251)(cid:20)(cid:10)𝐵A𝐹. 𝐵𝐹 𝐺𝐶 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐹𝐺 𝐺𝐶 𝐵𝐶
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:28)
(cid:22)(cid:187)3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:309)(cid:270)(cid:310)(cid:311)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:267)(cid:273)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:155)(cid:104)(cid:116)(cid:76)(cid:278)(cid:279)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126) = B(cid:126) + =
C(cid:126)𝑀𝑁+ 𝑁𝑀= D(cid:126)𝐴𝐵 +𝐴𝐶 +𝐵𝐶 =
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)𝐴(cid:164)𝐵(cid:28)𝐶(cid:256)𝐴(cid:32)(cid:33)𝐵(cid:39)𝐶 (cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:312)(cid:119)(cid:76)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:20)𝑀(cid:280)𝑁(cid:34)(cid:219)𝑁(cid:302)𝑃 . 𝑃𝑄 𝑀𝑄
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) = (cid:76)A(cid:20)(cid:280)(cid:275)(cid:276)(cid:178)
= (cid:76)𝑀B𝑁(cid:20)(cid:280)−𝑁(cid:275)𝑀(cid:276)(cid:178)
𝐵𝐶+𝐴𝐶−=𝐴𝐵 + = (cid:76)C(cid:20)(cid:280)(cid:275)(cid:276)(cid:178)
(cid:256)𝐴𝐵(cid:32)(cid:33)𝐶(cid:39)𝐴 (cid:42)𝐶(cid:34)𝐴(cid:49)(cid:50)𝐴𝐵(cid:42)(cid:119)𝐶(cid:76)𝐵(cid:123) + + = (cid:76)D(cid:20)(cid:280)(cid:278)(cid:279).
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D. 𝑀𝑁 𝑁𝑃 𝑃𝑄 𝑀𝑄
(cid:22)(cid:252)(cid:104)3-1(cid:28)(cid:86)2023·(cid:309)(cid:270)(cid:310)(cid:311)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33) , (cid:76)(cid:119)2 + =(cid:86) (cid:87)
A(cid:126) + B(cid:126) 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 − 𝑎−𝑏
C(cid:126)3𝑎 +𝑏 D(cid:126)𝑎−+𝑏3
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)𝑎 (cid:28)𝑏 𝑎 𝑏
(cid:298)(cid:316)(cid:256)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:68).(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:256)(cid:21)(cid:45)2 + =2 +2 + = +3 .
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D. 𝑎 𝑏 − 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏−𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:252)(cid:104)3-2(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) + =0, =2 (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87)
1 1 △𝐴𝐵𝐶 𝑁𝐴 1 𝑁𝐶 1 𝐵𝑀 𝑀𝐶
A(cid:126) = B(cid:126) =
3 6 3 6
𝑁𝑀 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 𝑁𝑀 𝐴𝐵− 𝐴𝐶
1 1 1 1
C(cid:126) = + D(cid:126) = +
3 6 3 6
𝑁𝑀 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:76)(cid:219)(cid:284)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:76)(cid:317)(cid:279)(cid:16)(cid:318)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:68).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:113) (cid:116)(cid:76)(cid:248)(cid:136) + =0(cid:76)(cid:250)(cid:99) (cid:136) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)
(cid:303)(cid:248)(cid:136) =2 △(cid:76)𝐴(cid:250)𝐵𝐶(cid:99) (cid:136)(cid:47)(cid:220)𝑁𝐴(cid:34)𝑁(cid:288)𝐶(cid:93) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)𝑁(cid:60)(cid:76)𝐴𝐶
𝐵𝑀 𝑀𝐶 1 𝑀 1 𝐵1𝐶 𝐶 1 1 1
(cid:250)(cid:99) = = = + = + (cid:126)
3 2 3 2 3 6
(cid:251)(cid:20)(cid:10) 𝑁𝑀 D(cid:126) 𝐶𝑀−𝐶𝑁 𝐶𝐵− 𝐶𝐴 𝐴𝐵−𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:252)(cid:104)3-3(cid:28)(cid:86)2024·(cid:127)(cid:319)(cid:320)(cid:321)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:34) (cid:116)(cid:76)(cid:60) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:288)(cid:93) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76)(cid:60) (cid:88)(cid:47)(cid:220)
(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵 𝐸
𝐴𝐵 𝐷𝐸
1 1 1 1
A(cid:126) B(cid:126)
3 6 6 3
− 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶
5 1 5 1
C(cid:126) D(cid:126) +
6 3 6 3
− 𝐴𝐵− 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:203)(cid:278)(cid:279)(cid:247)(cid:257).
1 1
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) = + =
3 2
𝐷𝐸 𝐷𝐵 𝐵𝐸 𝐶𝐵− 𝐴𝐵
1 1 1 1
= = .
3 2 6 3
(cid:251)(cid:20)(cid:10)𝐴𝐵
B
−
.
𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐶
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:54)(cid:13)(cid:28)
1
(cid:22)(cid:187)4(cid:28)(cid:86)2023·(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:326)·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:76)(cid:189)(cid:120) (cid:116)(cid:76) (cid:88) (cid:181)(cid:265)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:214) = (cid:76)3 = +
2
△𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐴 𝑚
(cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87)
𝐶𝐵 𝑚A(cid:126) B(cid:126)2 C(cid:126) D(cid:126)3
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)−(cid:164)2(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:49)(cid:50)(cid:53)(cid:68)(cid:135)(cid:143).−1
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:327)(cid:316) (cid:76)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:10)
𝐶𝐷
1
(cid:248)(cid:136) = (cid:76)
2
𝐷𝐵 𝐴𝐷
2 2 1 2
(cid:250)(cid:99) = + = + = + = + (cid:76)
3 3 3 3
(cid:250)(cid:99) 𝐶 3 𝐷 = 𝐶𝐴 + 𝐴 2 𝐷 (cid:76) 𝐶𝐴 (cid:250)(cid:99) 𝐴𝐵 =2. 𝐶𝐴 𝐶𝐵−𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐵
(cid:251)(cid:20)(cid:10)𝐶B𝐷. 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑚
(cid:22)(cid:252)(cid:104)4-1(cid:28)(cid:86)2023·(cid:328)(cid:329)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:113) (cid:116)(cid:76)(cid:60)D(cid:136)(cid:181)BC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:214) + = + (cid:76)(cid:119)
=(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐶
𝜆−𝜇A(cid:126)1 B(cid:126)(cid:330)1 C(cid:126)2 D(cid:126)(cid:330)2
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:219)(cid:284)(cid:43)(cid:44)(cid:3)(cid:155)(cid:76)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:135)(cid:143)(cid:175) + (cid:27) , (cid:95)(cid:69)(cid:70)(cid:76)(cid:92)(cid:301)(cid:203)(cid:180)(cid:247)(cid:257).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136)(cid:60)D(cid:136)(cid:181)BC(cid:116)(cid:60)(cid:76) 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐴𝐶
1 1 3
(cid:250)(cid:99) + = + + = + (cid:76)
2 2 2
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶
1 3
(cid:250)(cid:99) = (cid:76) = (cid:76) = .
2 2
𝜆 − 𝜇 𝜆−𝜇 −2
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:252)(cid:104)4-2(cid:28)(cid:86)2024·(cid:326)(cid:331)(cid:332)(cid:116)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:76)(cid:113)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76) (cid:136) (cid:34)(cid:288)(cid:93)(cid:60) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76)
(cid:140) (cid:71)(cid:293)(cid:167)(cid:60) (cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119) =(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐶 𝐴𝐶
𝑀𝐷 𝑃 𝐴𝑃 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐷 𝑥𝑦
2 9 3 4
A(cid:126) B(cid:126) C(cid:126) D(cid:126)
3 16 4 9(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:194)(cid:27)(cid:30)(cid:122)(cid:66)(cid:47)(cid:220)(cid:186)(cid:110)(cid:187)(cid:203)(cid:180) =3(cid:76)(cid:195)(cid:301)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:42)(cid:34)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)(cid:42)(cid:119)(cid:135)(cid:143)(cid:203)(cid:68).
𝐴𝑃
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76) 𝑃(cid:136)𝐶 (cid:34)(cid:288)(cid:93)(cid:60) (cid:34)(cid:183)(cid:72)(cid:66)(cid:60)(cid:76) (cid:140) (cid:71)(cid:293)(cid:167)(cid:60) (cid:76)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐶 𝐴𝐶 𝑀𝐷 𝑃
(cid:250)(cid:99) = =3(cid:76)
𝐴𝑃 𝐴𝐷
𝑃𝐶 𝐶𝑀
3 3 3 3
(cid:250)(cid:99) = = + = + (cid:76)(cid:303) = + (cid:76)
4 4 4 4
𝐴𝑃 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝑃 𝑥𝐴𝐵 𝑦𝐴𝐷
3 9
(cid:250)(cid:99) = = (cid:76) = .
4 16
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
(cid:251)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:252)(cid:104)4-3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:333)(cid:259)(cid:334)(cid:335)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:34)
(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:263) = + (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 2𝐷𝐶,𝑀 𝐴𝐷
𝐵𝑀 𝑥𝐴1𝐵 𝑦𝐴𝐶 1
A(cid:126) = B(cid:126) + =
2 2
𝑥−𝑦 − 𝑥 𝑦 −
1 1
C(cid:126) = D(cid:126) + =
2 2
𝑥−𝑦 𝑥 𝑦
5 1
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:53)(cid:172) = + (cid:76)(cid:203)(cid:180) (cid:34)(cid:204)(cid:76)(cid:255)(cid:118)(cid:315)(cid:20)(cid:280)(cid:66)(cid:67)(cid:205)(cid:206)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:172)
6 3
𝐵𝑀 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑥,𝑦
(cid:219)(cid:302).
2 2 1 2
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = (cid:76)(cid:250)(cid:99) = + = + ( )= +
3 3 3 3
𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷 2𝐷𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶−𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:76)
𝐴𝐶 1 1 1
(cid:303) (cid:88)(cid:47)(cid:220) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:250)(cid:99) = = + (cid:76)
2 6 3
𝑀 𝐴𝐷 𝐴𝑀 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶
1 1 5 1
(cid:250)(cid:99) = + = + + = + (cid:76)
6 3 6 3
𝐵𝑀 𝐵𝐴 𝐴𝑀 −𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶
5 1 1
(cid:250)(cid:99) = = (cid:76)(cid:251) + = (cid:76)
6 3 2
𝑥 − ,𝑦 𝑥 𝑦 −
(cid:251)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:187)5(cid:28)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:76)(cid:119)“ // ”(cid:88)“(cid:336)(cid:113) (cid:76)(cid:337)(cid:203) = ”(cid:34)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236) B𝑎(cid:126)(cid:242)𝑏(cid:66)(cid:148)(cid:243)𝑎(cid:61)(cid:235)𝑏 (cid:236) 𝜆∈𝑅 𝑎 𝜆𝑏
C(cid:126)(cid:242)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:219)(cid:284)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:40)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:205)(cid:206)(cid:135)(cid:203).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:211) 0(cid:76) =0(cid:147)(cid:76)(cid:233)(cid:234) // (cid:76)(cid:268)(cid:148)(cid:336)(cid:113) (cid:76)(cid:337)(cid:203) = (cid:178)
(cid:211) = (cid:147)(cid:76)(cid:143)(cid:203)𝑎≠// (cid:178)𝑏 𝑎 𝑏 𝜆 𝑎 𝜆𝑏
(cid:250)𝑎(cid:99)“ 𝜆/𝑏/ ”(cid:88)“(cid:336)(cid:113)𝑎 𝑏 (cid:76)(cid:337)(cid:203) = ”(cid:34)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236).
(cid:251)(cid:20)(cid:10)𝑎A.𝑏 𝜆∈𝑅 𝑎 𝜆𝑏
(cid:22)(cid:252)(cid:104)5-1(cid:28)(cid:86)2024·(cid:265)(cid:338)(cid:339)(cid:272)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:263) (cid:136) (cid:250)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:265)(cid:190)(cid:60).(cid:214)(cid:215)(cid:13)x(cid:40)y(cid:40)z(cid:233)(cid:234) + + =
0 2+ 2+ 2 0 (cid:76)(cid:119)“ =0”(cid:88)“(cid:60)𝑂(cid:113) △𝐴𝐵𝐶(cid:34)(cid:181)(cid:250)(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:265)”(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑥𝑂𝐴 𝑦𝑂𝐵 𝑧𝑂𝐶
𝑥A(cid:126)𝑦(cid:242)(cid:66)𝑧(cid:148)≠(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑥𝑦𝑧 𝑂 △B𝐴(cid:126)𝐵𝐶(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)
C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:303)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236).
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:290)(cid:256) =0(cid:203) (cid:116)(cid:340)(cid:173)(cid:123)(cid:190)(cid:128)(cid:136)0(cid:76)(cid:246)(cid:263) =0(cid:143)(cid:203)(cid:60) (cid:113) (cid:34)(cid:181)BC(cid:250)(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:265)(cid:76)(cid:233)
(cid:234)(cid:242)(cid:66)(cid:48)(cid:178)(cid:214)(cid:60) (cid:113)𝑥𝑦𝑧 (cid:34)𝑥(cid:181),𝑦,𝑧(cid:250)(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:265)(cid:76)(cid:246)(cid:263)(cid:113)AB(cid:265)𝑥(cid:76)(cid:91)(cid:109)(cid:203) =𝑂0(cid:76)△(cid:243)𝐴(cid:61)𝐵𝐶(cid:48)(cid:233)(cid:234)(cid:76)(cid:119)(cid:143)(cid:203)(cid:247)(cid:257).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) 𝑂 (cid:136)△𝐴𝐵𝐶 (cid:250)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:265)(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:212)(cid:215)(cid:13)x(cid:40)y(cid:40)z(cid:233)(cid:234) 𝑧 + + =0 2+ 2+ 2 0
+ =∵ 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝑥𝑂𝐴 𝑦𝑂𝐵 𝑧𝑂𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 ≠
(cid:214)∴“𝑥𝑂𝐴 =𝑦0𝑂”(cid:76)𝐵(cid:119)−𝑧𝑂𝐶(cid:116)(cid:340)(cid:173)(cid:123)(cid:190)(cid:128)(cid:136)0(cid:76)(cid:232)(cid:119)(cid:214) = =0(cid:76)(cid:203) =0(cid:76)(cid:341)(cid:140) 2+ 2+ 2 0(cid:342)(cid:343)(cid:178)
𝑥𝑦𝑧 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 ≠
(cid:246)(cid:263) =0(cid:86) (cid:148)(cid:136)0(cid:87)(cid:76)(cid:143)(cid:203) = (cid:76) = (cid:76)
𝑧
𝑥 𝑦,𝑧 𝑦𝑂𝐵 −𝑧𝑂𝐶 ∴𝑂𝐵 −𝑦𝑂𝐶
(cid:32)(cid:33) (cid:97) (cid:55)(cid:47)(cid:76) (cid:60) (cid:113) (cid:34)(cid:181)BC(cid:250)(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:265)(cid:178)
(cid:214)∴(cid:60) (cid:113)𝑂𝐵 𝑂𝐶(cid:34)(cid:181)(cid:250)(cid:113)∴ (cid:298)𝑂(cid:47)(cid:265)△(cid:76)𝐴(cid:246)𝐵(cid:263)𝐶 (cid:113)AB(cid:265)(cid:76)(cid:344)(cid:272)(cid:32)(cid:33) (cid:97) (cid:55)(cid:47)(cid:76)
=𝑂0, △𝐴𝐵𝐶=0(cid:76) 𝑂𝐵 𝑂𝐴
∴𝑧“ =∴0𝑥”𝑦(cid:88)𝑧“(cid:60) (cid:113) (cid:34)(cid:181)(cid:250)(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:265)”(cid:34)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236).
(cid:251)∴(cid:20)𝑥𝑦(cid:10)𝑧C. 𝑂 △𝐴𝐵𝐶
(cid:22)(cid:252)(cid:104)5-2(cid:28)(cid:86)2023·(cid:253)(cid:254)(cid:338)(cid:345)·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120) , (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:207)(cid:128)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:346)(cid:347)“ ”(cid:88)“(cid:336)(cid:113) 0(cid:76)(cid:337)(cid:203)| +
|=| |+ |”(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑎𝑏 𝑎∥𝑏 𝜆≠ 𝑎 𝜆𝑏
A𝑎(cid:126)(cid:242)|𝜆(cid:66)𝑏(cid:301)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) B(cid:126)(cid:243)(cid:61)(cid:301)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)
C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:237)(cid:292)(cid:3)(cid:155)(cid:99)(cid:57)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:219)(cid:284)(cid:243)(cid:61)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:195)(cid:122)(cid:205)(cid:206).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:214) (cid:76)(cid:119)(cid:119)(cid:336)(cid:113)(cid:348)(cid:190)(cid:34)(cid:215)(cid:13)μ≠0(cid:76)(cid:337)(cid:203) = ，
(cid:251) | + |= 𝑎+∥𝑏 |= + |(cid:76) 𝑎 𝜇𝑏
(cid:301) |𝑎|+𝜆𝑏 |=|𝜇𝑏 |𝜆+𝑏 ||𝜇=(𝜆||𝑏+ )| |(cid:76)
(cid:336)(cid:113)𝑎λ (cid:337)|(cid:203)𝜆𝑏 +|𝜇𝑏= |𝜆𝑏+ (cid:186)|𝜆(cid:200)| (cid:76)|𝜇| 𝑏
|𝜆 𝜇| |𝜆| |𝜇|(cid:250)(cid:99)“ ”(cid:88)“(cid:336)(cid:113) 0(cid:76)(cid:337)(cid:203) | + |=| |+ |”(cid:34)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236)(cid:76)
→ → → →
(cid:214) 0𝑎(cid:212)∥𝑏 | + |=𝜆≠| |+ |(cid:76)(cid:119)𝑎 (cid:140)𝜆𝑏 (cid:157)(cid:32)𝑎 (cid:71)(cid:156)|𝜆,𝑏(cid:251)(cid:349)(cid:147) (cid:76)
𝜆≠ 𝑎 𝜆𝑏 𝑎 |𝜆𝑏 𝑎 𝜆𝑏 𝑎∥𝑏
(cid:250)(cid:99)“ ”(cid:88)“(cid:336)(cid:113) 0(cid:76) (cid:337)(cid:203) | + |=| |+ |”(cid:34)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:76)
→ → → →
(cid:251) ”𝑎(cid:88)∥𝑏“(cid:336)(cid:113) 0𝜆(cid:76)≠(cid:337)(cid:203)| | + 𝑎|=𝜆|𝑏|+ 𝑎 |”(cid:34)|𝜆(cid:242)𝑏(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:76)
(cid:251)𝑎(cid:20)∥:𝑏 C. 𝜆≠ 𝑎 𝜆𝑏 𝑎 |𝜆𝑏
(cid:22)(cid:252)(cid:104)5-3(cid:28)(cid:86)2023·(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:353)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:278)(cid:183)(cid:184)(cid:103) (cid:34)(cid:181)(cid:292)(cid:136)6(cid:76) = + (cid:76) [0,1](cid:76) [0,1]
(cid:212) + =2(cid:76)(cid:119)(cid:60) (cid:180)(cid:298)(cid:47) (cid:354)(cid:355)(cid:34)(cid:356)(cid:224)(cid:204)(cid:136)(cid:86) 𝐴 𝐵(cid:87)𝐶 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐶 𝜆∈ 𝜇∈
3𝜆 A(cid:126) 4 2 𝜇 3 𝑃 B(cid:126)3 𝐵𝐶 C(cid:126)3 3 D(cid:126)3 3
2
3 3
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:256) = + (cid:219)(cid:284) + =1(cid:203)(cid:172)(cid:60) (cid:113)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:49)(cid:307)(cid:76)(cid:195)(cid:301)(cid:203)(cid:172)(cid:60) (cid:180)(cid:298)(cid:47) (cid:354)(cid:355)(cid:34)
2 2
𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐷 2𝜇𝐴𝐸 𝜆 2𝜇 𝑃 𝐷𝐸 𝑃 𝐵𝐶
(cid:356)(cid:224)(cid:204).
3
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136) + =2(cid:76)(cid:250)(cid:99) + =1(cid:76)
2
3𝜆 4𝜇 𝜆 2𝜇
3 2 1 2
(cid:250)(cid:99) = + = + (cid:126)(cid:294)(cid:151)(cid:76)(cid:263) = (cid:76)
2 3 2 3
𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐶 𝜆⋅ 𝐴𝐵 2𝜇⋅ 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵
1 3
= (cid:76)(cid:119) = + (cid:126)(cid:248)(cid:136) [0,1](cid:76) [0,1](cid:76)
2 2
𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝑃 𝜆𝐴𝐷 2𝜇𝐴𝐸 𝜆∈ 𝜇∈
(cid:250)(cid:99)(cid:60) (cid:113)(cid:47)(cid:220) (cid:265)(cid:49)(cid:307)(cid:76)(cid:357)(cid:196)(cid:76)(cid:211)(cid:60) (cid:140)(cid:60) (cid:227)(cid:284)(cid:147)(cid:76)(cid:60) (cid:180)(cid:298)(cid:47) (cid:34)(cid:354)(cid:355)(cid:358)(cid:203)(cid:356)(cid:224)(cid:204)3 3(cid:126)
2
𝑃 𝐷𝐸 𝑃 𝐸 𝑃 𝐵𝐶
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:190)(cid:40)(cid:158)(cid:20)(cid:21)
1(cid:126)(cid:86)2023·(cid:253)(cid:254)(cid:224)(cid:335)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:263) (cid:76) (cid:88)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)“ = ”(cid:88)“ = ”(cid:34)(cid:86) (cid:87)
| | | |
𝑎 𝑏
A(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:301)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) 𝑎 𝑏 B(cid:126)(cid:243) 𝑎 (cid:61)(cid:301)𝑏(cid:148)(cid:242)(cid:66) 𝑎 (cid:235) 𝑏 (cid:236)
C(cid:126)(cid:242)(cid:66)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236) D(cid:126)(cid:244)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:134)(cid:148)(cid:243)(cid:61)(cid:235)(cid:236)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:40)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:205)(cid:206)(cid:235)(cid:236)(cid:359)(cid:34)(cid:258)(cid:172)(cid:3)(cid:155)(cid:76)(cid:219)(cid:284)(cid:242)(cid:66)(cid:40)(cid:243)(cid:61)(cid:48)(cid:56)(cid:46)(cid:135)(cid:120)(cid:247)(cid:257).(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:256) = (cid:69)(cid:70)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:119) , (cid:156)(cid:32)(cid:76)(cid:268)(cid:148)(cid:173)(cid:279)(cid:56)(cid:137)(cid:138)(cid:237)(cid:88)(cid:232)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:135)(cid:148)(cid:173)(cid:258)(cid:172) = (cid:76)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:256) = (cid:69)(cid:70) , (cid:156)(cid:32)(cid:212)(cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:119) = (cid:76)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:250)(cid:99)“ = ”(cid:88)“ = ”(cid:34)(cid:243)(cid:61)(cid:301)(cid:148)(cid:242)(cid:66)(cid:235)(cid:236).
| | | |
𝑎 𝑏
(cid:251)(cid:20)(cid:10) 𝑎 B. 𝑏 𝑎 𝑏
2(cid:126)(cid:86)2023·(cid:360)(cid:199)(cid:270)(cid:30)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:278)(cid:157)(cid:103)ABCD(cid:34)(cid:181)(cid:292)(cid:136)1(cid:76)(cid:60)M(cid:233)(cid:234) + =2 (cid:76)(cid:119)| |=
(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐷
A(cid:126) 1 B(cid:126)1 C(cid:126) 2 D(cid:126) 2
2 2
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:44)(cid:3)(cid:155)(cid:53)(cid:68).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:294)(cid:151)(cid:76)
+ = =2 (cid:76)(cid:250)(cid:99)M(cid:88)AC(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)| |= 1 = 2(cid:178)
2 2
𝐴 (cid:251) 𝐵 (cid:20)(cid:10) 𝐵 C 𝐶 . 𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐷 𝐵𝐷
3(cid:126)(cid:86)2023·(cid:127)(cid:319)(cid:270)(cid:242)·(cid:190)(cid:237)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:278)(cid:157)(cid:103) (cid:34)(cid:181)(cid:292)(cid:136)1(cid:76)(cid:119)| + |=(cid:86) (cid:87)
A(cid:126)0 B(cid:126) 2 𝐴𝐵𝐶𝐷C(cid:126)2 2 𝐴𝐵 𝐵D𝐶(cid:126)−𝐶4𝐴
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:203)(cid:180)|
+
|=2| |=2
2.
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)| + |=| 𝐴𝐵 |=2𝐵 | 𝐶− | 𝐶(cid:76)𝐴 𝐴𝐶
(cid:248)(cid:136)(cid:278)(cid:157)(cid:103) 𝐴𝐵(cid:34)(cid:181)𝐵𝐶(cid:292)−(cid:136)𝐶𝐴1(cid:76)(cid:250)𝐴(cid:99)𝐶−𝐶𝐴= 1+𝐴𝐶1= 2(cid:76)
(cid:251)| + 𝐴𝐵𝐶𝐷|=2 2. 𝐴𝐶
(cid:251)(cid:20)𝐴𝐵(cid:10)C.𝐵𝐶−𝐶𝐴
4(cid:126)(cid:86)2024·(cid:259)(cid:260)(cid:270)(cid:197)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113)(cid:264)(cid:103) (cid:116)(cid:76) // (cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:119) =
(cid:86) (cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵 2𝐶𝐷 𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝑀
2 1 1 2
A(cid:126) B(cid:126) +
3 2 2 3
𝐴𝐵− 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷
1 3 1
C(cid:126) + D(cid:126) +
2 4 2
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:64)(cid:50)(cid:143)(cid:203).
1 1 1 1
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:208)(cid:21)(cid:45)(cid:143)(cid:203) = + = + +
2 2 2 2
𝐴𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐶
1 1 1 3 1
= + + = + (cid:126)
2 4 2 4 2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷
(cid:251)(cid:20)(cid:10)D.
5(cid:126)(cid:86)2024·(cid:304)(cid:331)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113) (cid:116)(cid:76) =4 (cid:76) =2 .(cid:214) = + (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐸𝐷 𝐵𝐶 𝜆𝐴𝐸 𝜇𝐶𝐷
A(cid:126) + =5 B(cid:126) =1 C(cid:126) =6 D(cid:126) =3
𝜆
𝜆 𝜇 𝜆−𝜇 𝜆𝜇 𝜇
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:175)(cid:32)(cid:33) ， (cid:96)(cid:308)(cid:35)(cid:266)(cid:76)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:119)(cid:99)(cid:57)(cid:13)(cid:361)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:42)(cid:119)(cid:76)(cid:203)(cid:180) =
(cid:135)(cid:143). 𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐵𝐶 −3𝐴𝐸−2𝐶𝐷
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:208)(cid:21)(cid:45)(cid:76) =4 (cid:76)
(cid:250)(cid:99) = = 𝐴𝐵 𝐴𝐷= + )(cid:76)
(cid:303)(cid:248)𝐵(cid:136)𝐶 𝐷=𝐶2−𝐷𝐵(cid:76) −𝐶𝐷−3𝐴𝐷 −𝐶𝐷−3(𝐴𝐸 𝐸𝐷
(cid:250)(cid:99) 𝐶 𝐸= 𝐸𝐷 = = (cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝐵𝐶= −(cid:76)𝐶𝐷=−3𝐴𝐸(cid:76)−3𝐸𝐷 −𝐶𝐷−3𝐴𝐸−𝐶𝐷 −3𝐴𝐸−2𝐶𝐷
𝜆 −3 𝜇 −2 3
(cid:250)(cid:99) + = (cid:76) = (cid:76) =6(cid:76) = (cid:76)(cid:340)(cid:123)(cid:20)(cid:280)C(cid:278)(cid:279)(cid:178)
2
𝜆
𝜆 𝜇 −5 𝜆−𝜇 −1 𝜆𝜇 𝜇
(cid:251)(cid:20)(cid:10)C(cid:126)
6(cid:126)(cid:86)2024·(cid:360)(cid:199)(cid:360)(cid:329)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120) , (cid:88)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:214)2 + (cid:140) + (cid:88)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119)
1 2 1 2 1 2
⃗ ⃗ → → → →
(cid:86) (cid:87) 𝑒 𝑒 𝑒 𝜆𝑒 𝜇𝑒 𝑒A(cid:126) = B(cid:126) = C(cid:126) =2 D(cid:126) =2
𝜆 𝜆
𝜇 −2 𝜆𝜇 −2 𝜇 𝜆𝜇
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:21)(cid:45)(cid:76)(cid:256)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:56)(cid:15)(cid:76)(cid:273)(cid:172)(cid:157)(cid:201)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:203)(cid:180)(cid:219)(cid:302).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:208)(cid:21)(cid:45)(cid:76)(cid:263)2 + = + (cid:76)(cid:303) , (cid:88)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:76)
1 2 1 2 1 2
→ → → → → →
(cid:250)(cid:99) = = (cid:76)(cid:250)(cid:99) = 𝑒 2(cid:126) 𝜆𝑒 𝑡 𝜇𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
(cid:251)(cid:20)𝑡(cid:10)𝜇D.2,𝜆 𝑡 𝜆𝜇
7(cid:126)(cid:86)2024·(cid:333)(cid:259)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:189)(cid:120)(cid:32)(cid:33) (cid:76) (cid:88)(cid:30)(cid:31)(cid:265)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:212) = +2 (cid:76) =
1 2 1 2 1
+2 (cid:76) =3 (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) 𝑒 𝑒 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝐵𝐶 −3𝑒
2 1 2
A𝑒(cid:126) 𝐷(cid:40)𝐴 (cid:40)𝑒(cid:183)−(cid:60)6𝑒(cid:55)(cid:47) B(cid:126) (cid:40) (cid:40) (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)
C(cid:126)𝐴(cid:40)𝐵(cid:40)𝐶(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) D(cid:126)𝐴(cid:40)𝐵(cid:40)𝐷(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)𝐴(cid:164)𝐶(cid:28)(cid:51)𝐷(cid:52)(cid:32)(cid:33) , (cid:55)(cid:47)(cid:119) = ( R)(cid:205)(cid:206)𝐵(cid:135)(cid:143)𝐶 . 𝐷
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:118)A(cid:76)(cid:248)(cid:136)𝑎𝑏 = 𝑎+2𝜆𝑏(cid:76)𝜆∈ = +2 (cid:76)(cid:148)(cid:336)(cid:113)(cid:215)(cid:13) (cid:337)(cid:203) = (cid:76)(cid:251) (cid:40) (cid:40) (cid:183)(cid:60)(cid:148)
1 2 1 2
(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:251)A(cid:275)(cid:276)(cid:178) 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝐵𝐶 −3𝑒 𝑒 𝜆 𝐴𝐵 𝜆𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶
(cid:118)B(cid:76)(cid:248)(cid:136) = +2 (cid:76) =3 (cid:76)(cid:148)(cid:336)(cid:113)(cid:215)(cid:13) (cid:337)(cid:203) = (cid:76)(cid:251) (cid:40) (cid:40) (cid:183)(cid:60)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:251)B(cid:275)
1 2 1 2
(cid:276)(cid:178) 𝐴𝐵 𝑒 𝑒 𝐷𝐴 𝑒 −6𝑒 𝜆 𝐴𝐵 𝜆𝐷𝐴 𝐴 𝐵 𝐷
2
(cid:118)C(cid:76)(cid:248)(cid:136) = + = +4 (cid:76) =3 (cid:76)(cid:119) = (cid:76)(cid:251) (cid:40) (cid:40) (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:251)C(cid:278)(cid:279)(cid:178)
1 2 1 2 3
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 −2𝑒 𝑒 𝐷𝐴 𝑒 −6𝑒 𝐴𝐶 − 𝐷𝐴 𝐴 𝐶 𝐷
(cid:118)D(cid:76)(cid:248)(cid:136) = +2 (cid:76) = = = +6 = +4 (cid:76)(cid:148)(cid:336)(cid:113)(cid:215)(cid:13) (cid:337)(cid:203)
1 2 1 2 1 2 1 2
= (cid:76)𝐵(cid:251)𝐶 (cid:40)−3(cid:40)𝑒 (cid:183)𝑒(cid:60)(cid:148)𝐵(cid:55)𝐷(cid:47)(cid:76)−(cid:251)𝐷𝐴D−𝐴(cid:275)𝐵(cid:276).𝐷𝐴 −3𝑒 𝑒 −𝑒 −2𝑒 −4𝑒 𝑒 𝜆
(cid:251)𝐵𝐶(cid:20)(cid:10)𝜆𝐵C𝐷. 𝐵 𝐶 𝐷
8(cid:126)(cid:86)2024·(cid:81)(cid:82)·(cid:228)(cid:237)(cid:87)(cid:60) (cid:88) (cid:250)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:156)(cid:34)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = + + (cid:76)(cid:119)(cid:298)(cid:47) (cid:299)(cid:198)
(cid:34)(cid:86) (cid:87) 𝑂,𝑃 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝑃 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝑃
△𝐴A𝐵(cid:126)𝐶(cid:227)(cid:287) B(cid:126)(cid:300)(cid:287) C(cid:126)(cid:90)(cid:287) D(cid:126)(cid:286)(cid:287)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:76)(cid:77)(cid:219)(cid:284)(cid:13)(cid:103)(cid:219)(cid:284)(cid:66)(cid:67)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:205)(cid:206).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:263) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:136)(cid:60) (cid:76)(cid:250)(cid:99) + =2 (cid:76)
(cid:119) = 𝐵=𝐶2 (cid:76) 𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷
(cid:214)𝑂𝑃−𝑂𝐴(cid:127)(cid:60)𝐴𝑃(cid:55)(cid:47)(cid:147)𝑂𝐷(cid:76)(cid:135)(cid:60) (cid:362)(cid:113)(cid:116)(cid:47) (cid:265)(cid:76)(cid:250)(cid:99) (cid:299)(cid:198)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)
(cid:214)𝐴,𝑃,𝑂,𝐷(cid:127)(cid:60)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:147)(cid:76) 𝑂/,/𝑃 (cid:76)(cid:212) 𝐴=𝐷 (cid:76)(cid:327)𝑂(cid:219)𝑃 (cid:76)(cid:293)(cid:167)(cid:60) (cid:76)
(cid:294)𝐴(cid:151),𝑃(cid:76),𝑂,𝐷 𝐴𝑃 𝑂𝐷 𝐴𝑃 2𝑂𝐷 𝐴𝐷,𝑂𝑃 𝐺= =2(cid:76)(cid:135)(cid:60) (cid:88)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)(cid:135) (cid:299)(cid:198) (cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)
𝐴𝐺 𝐴𝑃
𝐺(cid:363)𝐷(cid:265)(cid:143)𝑂𝐷(cid:120)(cid:76) (cid:299)(cid:198) 𝐺 (cid:34)(cid:227)(cid:287). 𝑂𝑃 △𝐴𝐵𝐶
(cid:251)(cid:20)(cid:10)A. 𝑂𝑃 △𝐴𝐵𝐶
(cid:228)(cid:40)(cid:364)(cid:20)(cid:21)
9(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:267)·(cid:23)(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:260)·(cid:369)(cid:116)(cid:87)(cid:267)(cid:273)(cid:344)(cid:42)(cid:116)(cid:278)(cid:279)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126)(cid:214) (cid:140) (cid:362)(cid:88)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119) =
B(cid:126)(cid:133)(cid:32)𝑎 (cid:33)𝑏(cid:34)(cid:292)(cid:107)(cid:136)(cid:133)(cid:76)(cid:157)(cid:32)(cid:88)𝑎 (cid:221)𝑏(cid:45)(cid:34)
C(cid:126)(cid:214) (cid:140) (cid:88)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:119) =
D(cid:126)(cid:214)𝑎+𝑏 =0(cid:182) =0(cid:76)𝑎(cid:119)𝑏//
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)𝑎 (cid:28)𝑏(cid:51)(cid:52)(cid:158)(cid:159)𝑎−(cid:32)𝑏(cid:33)(cid:40)(cid:133)(cid:32)𝑎(cid:33)(cid:40)𝑏(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:205)(cid:206).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:158)(cid:159)(cid:32)(cid:33) (cid:140) (cid:34)(cid:157)(cid:32)(cid:148)(cid:190)(cid:56)(cid:71)(cid:156)(cid:76)(cid:251)A(cid:275)(cid:178)
(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:292)(cid:107)(cid:136)(cid:133)(cid:76)(cid:157)(cid:32)𝑎 (cid:221)𝑏(cid:45)(cid:76)(cid:251)B(cid:278)(cid:279)(cid:178)
(cid:214) (cid:76) , (cid:34)(cid:237)(cid:292)(cid:148)(cid:190)(cid:56)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:251)C(cid:275)(cid:178)
(cid:214)𝑎∥+𝑏 =𝑎0𝑏(cid:182) =0(cid:76)(cid:119) , (cid:34)(cid:157)(cid:32)(cid:71)(cid:156)(cid:182)(cid:71)(cid:174)(cid:76)(cid:250)(cid:99) (cid:76)(cid:251)D(cid:278)(cid:279).
(cid:251)(cid:20)𝑎 (cid:10)𝑏BD. 𝑎−𝑏 𝑎𝑏 𝑎∥𝑏
10(cid:126)(cid:86)2024·(cid:370)(cid:322)·(cid:228)(cid:237)(cid:87) (cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:136)(cid:60) (cid:76)(cid:60)O(cid:76)P(cid:88) (cid:250)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:207)(cid:128)(cid:148)(cid:156)(cid:34)(cid:60)(cid:76)(cid:233)(cid:234) = +
+ (cid:76)(cid:119)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐺 △𝐴𝐵𝐶 𝑂𝑃 𝑂𝐴
𝑂𝐵 A𝑂(cid:126)𝐶 (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47) B(cid:126) =2
C(cid:126)2𝑂,𝑃,𝐺= + + D(cid:126)𝑂(cid:60)𝑃 (cid:113) 𝑂𝐺 (cid:34)(cid:90)(cid:371)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)𝑂𝑃(cid:28)(cid:51)𝐴(cid:52)𝑃(cid:183)𝐵(cid:184)𝑃(cid:103)(cid:227)𝐶(cid:287)𝑃 (cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:76)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:205)𝑃(cid:56)(cid:57)△(cid:32)𝐴(cid:33)𝐵𝐶(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:135)(cid:143)(cid:205)(cid:206)(cid:126)
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) = + + = + + + + +
=3 + +𝑂𝑃 +𝑂𝐴 (cid:76)𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐺 𝐺𝐴 𝑂𝐺 𝐺𝐵 𝑂𝐺 𝐺𝐶
(cid:248)(cid:136)𝑂(cid:60)𝐺 (cid:136)𝐺𝐴 𝐺𝐵(cid:34)(cid:227)𝐺𝐶(cid:287)(cid:76)
(cid:250)(cid:99) 𝐺+ △𝐴+𝐵𝐶 =0(cid:76)(cid:250)(cid:99) =3 (cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝐺𝐴 (cid:183)𝐺𝐵(cid:60)(cid:55)𝐺(cid:47)𝐶(cid:76)(cid:251)A(cid:278)(cid:279)𝑂(cid:76)𝑃 B(cid:275)𝑂(cid:276)𝐺(cid:178)
𝑂,𝑃,𝐺+ + = + + + + +
𝐴=𝑃( 𝐵𝑃+ 𝐶𝑃+ 𝐴)𝑂+3𝑂𝑃(cid:76)𝐵𝑂 𝑂𝑃 𝐶𝑂 𝑂𝑃
(cid:248)(cid:136)𝐴𝑂 =𝐵𝑂 +𝐶𝑂 + 𝑂𝑃(cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝑂(𝑃 +𝑂𝐴 +𝑂𝐵 )+𝑂𝐶3 = +3 =2 (cid:76)(cid:135)2 = + + (cid:76)(cid:251)C(cid:278)(cid:279)(cid:178)
(cid:248)(cid:136) 𝐴𝑂=3𝐵𝑂(cid:76)𝐶𝑂 𝑂𝑃 −𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐶𝑃
(cid:250)(cid:99)(cid:60)𝑂𝑃 (cid:34)(cid:159)𝑂(cid:372)𝐺(cid:373)(cid:374)(cid:60) (cid:159)(cid:372)(cid:34)(cid:252)(cid:16)(cid:301)(cid:252)(cid:16)(cid:76)(cid:251)(cid:60) (cid:148)(cid:190)(cid:56)(cid:113) (cid:34)(cid:90)(cid:371)(cid:76)(cid:251)D(cid:275)(cid:276)(cid:178)
(cid:251)(cid:20)(cid:10)A𝑃C(cid:126) 𝑂 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
11(cid:126)(cid:86)2023·(cid:338)(cid:270)(cid:375)(cid:298)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:158)(cid:159)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:140)(cid:112)(cid:379)(cid:336)(cid:113)(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:155)(cid:76)(cid:383)(cid:364)(cid:112)(cid:379)(cid:116)(cid:34)(cid:237)(cid:29)(cid:364)(cid:384)(cid:167)(cid:13)(cid:11)(cid:34)(cid:385)
(cid:386)(cid:126)(cid:189)(cid:120)(cid:387)(cid:199)(cid:388)(cid:14)(cid:34)(cid:266)(cid:389)(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:27)(cid:278)(cid:393)(cid:181)(cid:103)(cid:136)(cid:98)(cid:394)(cid:76)(cid:255)(cid:99)(cid:278)(cid:393)(cid:181)(cid:103)(cid:34)(cid:395)(cid:235)(cid:181)(cid:308)(cid:136)(cid:278)(cid:157)(cid:103)(cid:34)(cid:190)(cid:235)(cid:181)(cid:192)(cid:193)(cid:172)(cid:393)
(cid:128)(cid:278)(cid:157)(cid:103)(cid:76)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:76)(cid:119)(cid:113)(cid:396)(cid:151)(cid:103)(cid:116)(cid:76)(cid:267)(cid:273)(cid:344)(cid:42)(cid:278)(cid:279)(cid:34)(cid:88)(cid:86) (cid:87)
A(cid:126) = 2 3+1 B(cid:126) = + 3
3 2
𝐺𝐻 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐹
C(cid:126) = 3 1 D(cid:126) =3 3 + 3
3 2 6 4
+ −1
𝐺𝐵 𝐵𝐷− 𝐶𝐹 𝐼𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐹
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:256)(cid:151)(cid:143)(cid:203)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:3)(cid:155)(cid:140)(cid:58)(cid:237)(cid:292)(cid:359)(cid:72)(cid:33)(cid:3)(cid:155)(cid:76)(cid:135)(cid:143)(cid:203)(cid:247)(cid:257).
1
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)A(cid:20)(cid:280)(cid:76)(cid:256)(cid:21)(cid:120) = (cid:76)(cid:251) = + + = + = 2 3+1 (cid:76)(cid:301) (cid:76)(cid:251)
3 3
𝐵𝐶
𝐵𝐷 𝐺𝐻 𝐺𝐴 𝐴𝐸 𝐸𝐻 2𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝐺𝐻∥𝐵𝐷
A(cid:278)(cid:279)(cid:178)
1
B(cid:20)(cid:280)(cid:76)(cid:256)(cid:21)(cid:120) = (cid:76) = + = + (cid:76)(cid:251)B(cid:275)(cid:276)(cid:178)
2
𝐶𝐹 2𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐹
C(cid:20)(cid:280)(cid:76) = + = 3 1 (cid:76)(cid:251)C(cid:278)(cid:279)(cid:178)
3 2
𝐺𝐵 𝐺𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐷− 𝐶𝐹
D(cid:20)(cid:280)(cid:76)(cid:248)(cid:136) = + (cid:76) = 1 1 (cid:76) = 3 = 3 +
2 4 3 3
𝐼𝐶 𝐼𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐷− 𝐶𝐹 𝐼𝐵 𝐵𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐹
= 3 1 + 3 = 3 + 3 (cid:76)
3 2 4 6 4
𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝐵𝐷 𝐶𝐹
(cid:251) =3 3 + 3 (cid:76)(cid:251)D(cid:278)(cid:279).
6 4
+ −1
𝐼𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐹(cid:251)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:126)
(cid:183)(cid:40)(cid:101)(cid:102)(cid:21)
12(cid:126)(cid:86)2023·(cid:397)(cid:398)(cid:259)·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:87)(cid:113)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103) (cid:116)(cid:76)3 = (cid:76) = + ( R)(cid:76) + =
→ → → → →
𝐴𝐵𝐶𝐷 5 𝐵𝐸 𝐸𝐷 𝐶𝐸 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐷 𝜆,𝜇∈ 2𝜆 𝜇 −
4
(cid:126)
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:194)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:256)(cid:30)(cid:122)(cid:127)(cid:181)(cid:103)ABCD,3 = (cid:76)
→ →
(cid:143)(cid:120) =4 (cid:76)(cid:119) =4 𝐵𝐸 (cid:76)𝐸𝐷
𝐵𝐷 𝐵1𝐸 3𝐶𝐷−𝐶𝐵1 3𝐶𝐸−𝐶𝐵
(cid:399)(cid:15)(cid:203) = + = (cid:76)
4 4 4 4
𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐵 𝐵𝐴− 𝐵𝐶
1 3
(cid:119) = (cid:76)
4 4
𝐶𝐸 − 𝐴𝐵− 𝐴𝐷
5
(cid:250)(cid:99) + = .
4
2𝜆 𝜇 −
5
(cid:251)(cid:247)(cid:257)(cid:136)(cid:10) .
4
−
13(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:267)·(cid:265)(cid:338)(cid:400)(cid:305)(cid:23)·(cid:369)(cid:116)(cid:87)(cid:267)(cid:273)(cid:3)(cid:167)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:245)(cid:21)(cid:76)(cid:401)(cid:9)(cid:278)(cid:279)(cid:34)(cid:88) .
(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:122)(cid:167)(cid:221)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:178) ①③
①(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) , (cid:76)(cid:214) // (cid:76)(cid:119) =± (cid:178)
②(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)𝑎,𝑏(cid:76)(cid:214)𝑎=±𝑏 (cid:76)𝑎(cid:119) // 𝑏(cid:178)
③(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)𝑎,𝑏(cid:76)(cid:214)𝑎// (cid:76) 𝑏(cid:119) (cid:140)𝑎 (cid:250)𝑏(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:190)(cid:56)(cid:227)(cid:284).
(cid:22)④(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:51)(cid:52)𝑎𝑏(cid:30)(cid:122)(cid:32)𝑎(cid:33)(cid:97)𝑏 (cid:55)(cid:47)𝑎(cid:32)(cid:33)𝑏 (cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:143)(cid:205)(cid:206) (cid:178)(cid:51)(cid:52)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:97)(cid:71)(cid:174)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:46)(cid:143)(cid:205)(cid:206) .
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:248)(cid:136)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:140)(cid:221)(cid:190)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:122)(cid:76)(cid:250)(cid:99) (cid:278)①(cid:279)(cid:178)②④ ③
(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) , (cid:76)(cid:214) // (cid:76)(cid:119) (cid:97) (cid:88)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)①(cid:301)(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:157)(cid:32)(cid:71)(cid:156)(cid:182)(cid:71)(cid:174)(cid:34)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)
(cid:251) (cid:148)(cid:190)(cid:56)(cid:72)(cid:167)𝑎𝑏± (cid:76)(cid:251)𝑎 𝑏(cid:275)(cid:276)𝑎(cid:178) 𝑏
𝑎 𝑏 ②(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33) , (cid:76)(cid:214) =± (cid:76)(cid:119) (cid:140) (cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:182)(cid:71)(cid:174)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:251) // (cid:76)(cid:251) (cid:278)(cid:279)(cid:178)
(cid:118)(cid:167)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)𝑎,𝑏(cid:76)(cid:214)𝑎// (cid:76)𝑏(cid:119) (cid:97)𝑎 (cid:88)𝑏(cid:30)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:76)(cid:134)(cid:88)(cid:55)(cid:47)(cid:32)(cid:33)(cid:76)𝑎(cid:268) 𝑏(cid:140) (cid:250)③(cid:113)(cid:298)(cid:47)(cid:148)(cid:190)(cid:56)(cid:227)(cid:284).
(cid:251)(cid:20)(cid:10) . 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
14(cid:126)(cid:86)2①02③4·(cid:326)(cid:331)(cid:402)(cid:146)·(cid:183)(cid:237)(cid:87)(cid:403)(cid:404)(cid:88)(cid:405)(cid:82)(cid:406)(cid:407)(cid:13)(cid:11)(cid:408)(cid:40)(cid:409)(cid:17)(cid:11)(cid:408)(cid:76)(cid:224)(cid:410)(cid:113)(cid:7)(cid:411)222(cid:80)(cid:76)(cid:403)(cid:404)(cid:136)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:50)(cid:299)(cid:415)
(cid:190)(cid:416)(cid:308)(cid:401)(cid:147)(cid:76)(cid:417)(cid:334)(cid:78) “(cid:418)(cid:419)(cid:420)(cid:157)(cid:151)”(cid:76)(cid:421)(cid:422)“(cid:403)(cid:404)(cid:423)(cid:151)” ((cid:99)(cid:298)(cid:184)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:34)(cid:424)(cid:181)(cid:136)(cid:181)(cid:203)(cid:180)(cid:34)(cid:278)(cid:157)(cid:103)). (cid:425)(cid:110) “(cid:403)(cid:404)
(cid:423)(cid:151)”(cid:76)(cid:192)(cid:193)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:34)(cid:151)(cid:103)(cid:76)(cid:137)(cid:88)(cid:256)(cid:183)(cid:128)(cid:81)(cid:72)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:140)(cid:116)(cid:359)(cid:34)(cid:190)(cid:128)(cid:225)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:426)(cid:186)(cid:34)(cid:190)(cid:128)(cid:224)(cid:72)(cid:181)(cid:183)(cid:184)
(cid:103)(cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:60) (cid:113) (cid:265)(cid:76) = (cid:76)(cid:60) (cid:113) (cid:90) ((cid:73)(cid:181)(cid:427))(cid:190)(cid:60)(cid:76)(cid:214) = + (cid:76)(cid:119) (cid:34)(cid:356)(cid:224)
𝐷3𝐹 𝐴𝐹 𝑃 𝐴𝐵 𝐵𝑃 2𝐴𝑃 𝑄 △𝐷𝐸𝐹 𝑃𝑄 𝜆𝑃𝐷 𝑃𝐴 𝜆
(cid:204)(cid:136) .
2
2
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:290)(cid:194)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:203)(cid:180) = (cid:76)(cid:308)(cid:172)(cid:428)(cid:429)(cid:47)(cid:76)(cid:203)(cid:180) // (cid:76)(cid:212) = (cid:76)(cid:92)(cid:301)(cid:203)(cid:180)(cid:247)(cid:257).
3
𝐷𝑃
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28) = + 𝐴 = 𝑄 𝜆𝑃𝐷 = (cid:76) 𝐷𝑃 𝐴𝐻 𝐴𝐻
(cid:358) (cid:34)(cid:116)(cid:60) 𝑃(cid:76)𝑄(cid:327)(cid:316)𝜆𝑃𝐷(cid:76)𝑃𝐴⇒𝑃𝑄−𝑃𝐴 𝜆𝑃𝐷⇒𝐴𝑄 𝜆𝑃𝐷
𝐷𝐸 𝐻 𝐴𝐻
(cid:248)(cid:136) = (cid:76)(cid:251) = (cid:76)
𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐷 2𝐻𝐷 2 2
(cid:303) = (cid:76)(cid:250)(cid:99) = = (cid:76)(cid:251) // (cid:76)(cid:212) = (cid:76)
3 3
𝐵𝑃 𝐵𝐷 𝐷𝑃
𝐵𝑃 2𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐵𝐻 𝐷𝑃 𝐴𝐻 𝐴𝐻
3
(cid:250)(cid:99) (cid:34)(cid:356)(cid:224)(cid:204)(cid:136) (cid:76)(cid:349)(cid:147)(cid:60) (cid:140)(cid:60) (cid:227)(cid:284).
2
𝜆 𝑄 𝐻
(cid:251)(cid:247)(cid:257)(cid:136)(cid:10)
3.
2
(cid:127)(cid:40)(cid:68)(cid:247)(cid:21)
15(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:267)·(cid:23)(cid:365)(cid:430)(cid:431)·(cid:369)(cid:116)(cid:87)(cid:16)(cid:318)(cid:267)(cid:273)(cid:315)(cid:104)(cid:10)
(1)( + )+ )(cid:178)
𝐴𝐵 𝑀𝐵 (−𝑂𝐵−𝑀𝑂(2) (cid:178)
(3)𝐴𝐵−𝐴𝐷−+𝐷𝐶 (cid:178)
(cid:22)(cid:68)𝑂𝐴(cid:21)−(cid:163)𝑂𝐷(cid:164)(cid:28)𝐴(cid:86)𝐷1(cid:87)(cid:86)2(cid:87)(cid:86)3(cid:87)(cid:432)(cid:433)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:39)(cid:42)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:42)(cid:119)(cid:64)(cid:50)(cid:135)(cid:203).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)( + )+ ) =( + )+( ) = + = (cid:178)
(cid:86)2(cid:87) =𝐴𝐵 𝑀𝐵 = (−(cid:178)𝑂𝐵−𝑀𝑂 𝐴𝐵 𝐵𝑂 𝑀𝐵−𝑀𝑂 𝐴𝑂 𝑂𝐵 𝐴𝐵
(cid:86)3(cid:87)𝐴𝐵−𝐴𝐷−+𝐷𝐶 =𝐷𝐵−+𝐷𝐶 =𝐶0𝐵.
16(cid:126)(cid:86)𝑂2𝐴4−-2𝑂5𝐷(cid:24)(cid:228)𝐴·𝐷(cid:265)(cid:338)𝐷·(cid:246)𝐴 (cid:369)𝐴(cid:308)𝐷(cid:434)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:76)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:208)(cid:435)(cid:88)(cid:278)(cid:183)(cid:184)(cid:103)ABC(cid:34)(cid:181)AB(cid:40)BC(cid:40)AC(cid:34)(cid:116)(cid:60).
(1)(cid:113)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:40)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:182)(cid:436)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178)
(2)(cid:113)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:76)(cid:99)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:436)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)𝐸(cid:33)𝐹 (cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178)
(3)(cid:113)(cid:99)E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:141)(cid:60)(cid:76)(cid:99)A(cid:40)B(cid:40)C(cid:136)(cid:436)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:140)(cid:32)(cid:33)𝐺𝐹(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33).
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:256)EF(cid:88) ABC(cid:34)(cid:116)(cid:159)(cid:47)(cid:76)(cid:219)(cid:284)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:203)𝐸(cid:180)𝐺(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178)
(cid:86)2(cid:87)(cid:256)(cid:32)(cid:33)(cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:203)△(cid:180)(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:178) 𝐸𝐹
(cid:86)3(cid:87)(cid:256)(cid:32)(cid:33)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:37)(cid:38)(cid:203)(cid:180)(cid:140)(cid:32)(cid:33) 𝐺(cid:71)𝐹(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:126)
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:86)1(cid:87) 𝐸𝐺
1
(cid:66)(cid:230)(cid:136) (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76) // (cid:76)(cid:212) = (cid:76) (cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:88) , , , , , , .
2
∵𝐸,𝐹 𝐴𝐵,𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 ∴ 𝐸𝐹 𝐴𝐺𝐴𝐶𝐺𝐴𝐺𝐶𝐶𝐺𝐶𝐴𝐹𝐸
(cid:86)2(cid:87)(cid:248)(cid:136) (cid:88)(cid:278)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:76)(cid:250)(cid:99) = = (cid:76)
(cid:248)(cid:136)E(cid:40)F(cid:40)△G𝐴𝐵(cid:208)𝐶(cid:435)(cid:88)(cid:278) (cid:34)(cid:181)𝐴A𝐵B(cid:40)B𝐴C𝐶(cid:40)A𝐵C𝐶(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)
(cid:250)(cid:99) = = = △=𝐴𝐵𝐶= = = = (cid:76)
(cid:250)(cid:99)𝐴(cid:113)𝐸(cid:99)A𝐸(cid:40)𝐵B(cid:40)𝐺C𝐹(cid:136)𝐸(cid:141)𝐹(cid:60)(cid:76)𝐺(cid:99)𝐶 E𝐴(cid:40)𝐺F(cid:40)𝐵G𝐹(cid:136)(cid:436)𝐹𝐶(cid:60)(cid:34)𝐸(cid:32)𝐺(cid:33)(cid:116)(cid:76)
(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:237)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:136) , , , , , (cid:178)
(cid:86)3(cid:87)(cid:113)𝐺(cid:99)𝐹 E(cid:40)F(cid:40)G(cid:136)(cid:141)(cid:60)𝐴𝐸(cid:76)𝐴(cid:99)𝐺𝐵A(cid:40)𝐸𝐵B𝐹(cid:40)𝐶C𝐺(cid:136)𝐶𝐹(cid:436)(cid:60)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:76)(cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:136) .
17(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:267)·(cid:281)(cid:270)(cid:413)(cid:437)·(cid:438)(cid:220)(cid:169)(cid:115)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:76)(cid:60) (cid:88) (cid:116)BC𝐸(cid:181)𝐺 (cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76) =𝐹𝐶, = .
𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑎𝐴𝐶 𝑏(1)(cid:214)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)(cid:439)(cid:27) , (cid:69)(cid:70) ;
(2)(cid:214)(cid:60)𝑂(cid:88)△𝐴𝐵𝐶(cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)(cid:53) 𝑎+𝑏 +𝐴𝑂 .
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)𝑂(cid:164)(cid:28)△(cid:86)𝐴𝐵1𝐶(cid:87)(cid:51)(cid:52)(cid:183)(cid:184)(cid:103)𝑂(cid:116)𝐴(cid:47)(cid:34)𝑂𝐵(cid:48)(cid:79)𝑂(cid:97)𝐶(cid:227)(cid:287)(cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:53)(cid:68)(cid:178)
(cid:86)2(cid:87)(cid:51)(cid:52)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:227)(cid:287)(cid:34)(cid:48)(cid:79)(cid:219)(cid:284)(cid:21)(cid:45)(cid:53)(cid:68)(cid:135)(cid:143)(cid:415)
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:248)(cid:136)(cid:60) (cid:88) (cid:116)BC(cid:181)(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)
(cid:250)(cid:99) = 2 = 2 1 + 1 𝐷 = 1△𝐴 + 𝐵1𝐶 . 𝑂 △𝐴𝐵𝐶
3 3 2 2 3 3
(cid:86)2(cid:87) 𝐴 (cid:248) 𝑂 (cid:136)(cid:60) 𝐴𝐷 (cid:88) 𝑎 (cid:34)𝑏(cid:227)(cid:287)(cid:212) 𝑎 (cid:88) 𝑏 BC(cid:181)(cid:34)(cid:116)(cid:60)(cid:76)(cid:250)(cid:99) + =2 (cid:76)
2 𝑂 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷
(cid:303) = =2 (cid:76)(cid:250)(cid:99) + = = (cid:76)
3
𝐴𝑂 𝐴𝐷 𝑂𝐷 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝐴𝑂 −𝑂𝐴
(cid:250)(cid:99) + + =0.
18(cid:126)𝑂(cid:86)𝐴23-2𝑂4𝐵(cid:24)(cid:190)𝑂(cid:265)𝐶 ·(cid:333)(cid:259)(cid:440)(cid:329)·(cid:369)(cid:441)(cid:87)(cid:263) , (cid:88)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:207)(cid:128)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:126)
(1)(cid:214) =4 , =6 +2 , =2 𝑎𝑏 (cid:76)(cid:53)(cid:314)(cid:10) (cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:178)
𝑂𝐴 1 𝑎−21𝑏𝑂𝐵 𝑎 𝑏𝑂𝐶 𝑎−6𝑏 𝐴,𝐵,𝐶
(2)(cid:214)4 + (cid:140) + (cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:53)(cid:215)(cid:13)k(cid:34)(cid:204)(cid:126)
2 2
𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑎 𝑏
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:61)(cid:314)(cid:272)(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:135)(cid:314)(cid:272)(cid:183)(cid:60)(cid:202)(cid:186)(cid:34)(cid:207)(cid:128)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:47)(cid:135)(cid:143).
(cid:86)2(cid:87)(cid:256)(cid:55)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:53)(cid:172)(cid:54)(cid:13)(cid:135)(cid:143).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:256) =4 , =6 +2 , =2 (cid:76)
(cid:203) = =6 +𝑂2𝐴 4𝑎−2𝑏𝑂𝐵=2 𝑎+4 ,𝑏𝑂𝐶 𝑎−6𝑏
𝐴=𝐵 𝑂𝐵−𝑂=𝐴2 𝑎 𝑏6− +𝑎2−2𝑏= 𝑎 𝑏= 2 +4 = ,
(cid:250)𝐵𝐶(cid:99) 𝑂𝐶−𝑂𝐵(cid:76)(cid:212)(cid:123)𝑎−(cid:7)6𝑏(cid:55)−(cid:60)𝑎B(cid:76) 𝑏 −4𝑎−8𝑏 −2 𝑎 𝑏 −2𝐴𝐵
(cid:250)(cid:99)𝐴𝐵∥𝐵(cid:183)𝐶(cid:60)(cid:55)(cid:47).
𝐴,𝐵,𝐶 1 1
(cid:86)2(cid:87)(cid:256)4 + (cid:140) + (cid:55)(cid:47)(cid:76)
2 2
𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑎 𝑏
(cid:119)(cid:336)(cid:113)(cid:215)(cid:13) (cid:76)(cid:337)(cid:203)4 + 1 = 1 + (cid:76)
2 2
𝜆 𝑎 𝑘𝑏 𝜆 𝑘𝑎 𝑏
(cid:135) 1 + 1 =0(cid:76)(cid:303) , (cid:88)(cid:148)(cid:55)(cid:47)(cid:34)(cid:207)(cid:128)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:33)(cid:76)
2 2
4− 𝜆𝑘 𝑎 𝑘−𝜆 𝑏 𝑎𝑏1
=0 =2 =
(cid:248)(cid:349) 2 (cid:76)(cid:68)(cid:203) (cid:76)(cid:182) (cid:76)
1 =0 =4 =
42− 𝜆𝑘 𝜆 𝜆 −2
(cid:215)(cid:13)k(cid:34) 𝑘− (cid:204) 𝜆 (cid:88)±4. 𝑘 𝑘 −4
19(cid:126)(cid:86)23-24(cid:24)(cid:190)(cid:265)·(cid:370)(cid:322)(cid:224)(cid:327)·(cid:369)(cid:441)(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:76)(cid:189)(cid:120)(cid:60) (cid:88) (cid:34)(cid:227)(cid:287)(cid:76)(cid:198)(cid:60) (cid:308)(cid:298)(cid:47)(cid:66)(cid:230)(cid:140)(cid:181) (cid:40)
(cid:293)(cid:167) (cid:40) (cid:207)(cid:60)(cid:86)(cid:60) (cid:40) (cid:140)(cid:60) (cid:40) (cid:148)(cid:227)(cid:284)(cid:87)(cid:76)(cid:263) = 𝐺 (cid:76)△𝐴𝐵=𝐶 (cid:126) 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝑀 𝑁 𝑀 𝑁 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝑥𝐴𝑀 𝐴𝐶 𝑦𝐴𝑁
(1)(cid:53) + (cid:34)(cid:204)(cid:178)
𝑥1 𝑦 2
(2)(cid:53) + (cid:34)(cid:356)(cid:225)(cid:204)(cid:76)(cid:77)(cid:53)(cid:349)(cid:147) (cid:76) (cid:34)(cid:204)(cid:126)
𝑥−1 𝑦−1 𝑥 𝑦
1 1
(cid:22)(cid:68)(cid:21)(cid:163)(cid:164)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:256)(cid:183)(cid:184)(cid:103)(cid:227)(cid:287)(cid:48)(cid:79)(cid:143)(cid:203) = + (cid:76)(cid:219)(cid:284)(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:48)(cid:79)(cid:135)(cid:143)(cid:53)(cid:203)(cid:219)(cid:302).
3 3
𝐴𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:86)2(cid:87)(cid:49)(cid:27)“1”(cid:34)(cid:407)(cid:442)(cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:72)(cid:104)(cid:53)(cid:68)(cid:135)(cid:143).
(cid:22)(cid:68)(cid:247)(cid:198)(cid:201)(cid:28)(cid:86)1(cid:87)(cid:294)(cid:151)(cid:250)(cid:70)(cid:76)
2 1 1 1
(cid:248)(cid:136)G(cid:136) (cid:227)(cid:287)(cid:76)(cid:250)(cid:99) = + = + (cid:76)
3 2 3 3
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐺 ⋅ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:250)(cid:99) = + (cid:76)
3 3
𝑥 𝑦
𝐴𝐺 𝐴𝑀 𝐴𝑁
1 1
(cid:248)(cid:136)M(cid:76)G(cid:76)N(cid:183)(cid:60)(cid:55)(cid:47)(cid:76)(cid:250)(cid:99) + =1(cid:76)(cid:135) + =3(cid:126)
3 3
>1
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
1< <2
(cid:86)2(cid:87)(cid:256)(cid:21)(cid:45)(cid:143)(cid:120) >1 (cid:76)(cid:212) + =1(cid:76)
1< <2
+𝑥 =3
𝑥
𝑦 ⇒ 𝑥−1 𝑦−1
𝑦
(cid:250)(cid:99) 1 + 2 = 𝑥1 + 𝑦 2 ( + )=3+ 2( ) + 3+2 2( ) =3+2 2
𝑥−1 𝑦−1 𝑥−1 𝑦−1
𝑥−1 𝑦−1 𝑥−1 𝑦−1 ⋅ 𝑥−1 𝑦−1 𝑦−1 𝑥−1≥ 𝑦−1 ⋅𝑥−1
2( )
(cid:211)(cid:212)(cid:222)(cid:211) = (cid:76)(cid:135) = 2( )(cid:147)(cid:358)(cid:72)(cid:9)(cid:76)
𝑥−1 𝑦−1
𝑦−1 𝑥−1 𝑦−1 𝑥−1 1 2
(cid:303) + =3(cid:76) = 2(cid:76) = 2(cid:147)(cid:76) + (cid:358)(cid:203)(cid:356)(cid:225)(cid:204)(cid:136)3+2 2(cid:126)
∵𝑥 𝑦 ∴𝑥 𝑦 3− 𝑥−1 𝑦−1
