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专题 09 平面向量、复数与不等式
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1 平面向 1. 平面向量问题以基础性为主，
2020-2024：5年五考：向量的运算；垂直及平
量 突出向量的线性运算和坐标运算,
行的向量表示；向量的坐标；向量模的运算
（5年几考） 特别是线性运算、夹角计算、数
2020-2024：5年五考：复数的四则运算；复数 量积考查较多,模的计算、向量的
考点2 复数
的坐标运算；共轭复数的概念及计算；复数模 垂直与平行也经常出现见,向量的
（5年几考）
长的运算；复数的几何意义 综合问题间隔考查.平面向量重点
突出其工具功能.向量备考应重视
基础知识,要求考生熟练掌握基本
技能。
2. 复数主要以课程学习情境为主,
每年一题,以考查复数的四则运算
为主,偶尔与其他知识交汇、难度
较小,考查代数运算的同时,主要涉
2020-2024:5年一考：基本不等式的应用；不等
考点3 不等式 及考查的概念有:复数的代数形
式的性质
式、共轭复数、复数的模、复数
的几何意义等,考查学生的逻辑推
理、数学运算等学科核心素养。
3. 不等式的性质和基本不等式这
部分内容主要以选择题或填空题
的形式出现见,这类题目主要考查
逻辑思维能力和运算求解能力。
考点01 平面向量
1．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
3．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
4．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
5．（2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
； ．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的坐标，
利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关键，
考查计算能力，属于基础题.考点 02 复数
6．（2024·北京·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得 .
故选：C.
7．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
8．（2022·北京·高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．
9．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.10．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据复数几何意义得 ，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得 ， .
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点 03 不等式
11．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
1．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为 ，则 （ ）
A．i B．-i C． D．
【答案】B【分析】由题可得 ，再由复数除法法则即可求解.
【详解】z对应的点坐标为 ，所以 ，
所以
故选：B.
2．（2019·辽宁沈阳·模拟预测）向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线，则实
数 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先由图得出用 表示 的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.
【详解】根据网格图中的 的大小与方向，易于得到 ，
由向量 与 共线，可得 ，解得： .
故选：D.
3．（2024·北京顺义·三模）设 ， ， .若 ， ，则 最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系利用 表示 ，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号.
∴ 的最大值为1.
故选：C.4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）若 为虚数单位，复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先化简复数，再求共轭复数.
【详解】 ，则 .
故选：D
5．（2024·黑龙江·二模）已知 ， ， 在 上的投影向量为 ，则向量 与 夹角余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式可求向量 与 夹角余弦值.
【详解】 在 上的投影向量为 ，故 ，
而 ，故 ，故 ，
故 即 ，
故选：A.
6．（2024·北京通州·三模）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.
【详解】不妨设 ，此时满足 ，
但不满足 ，充分性不成立，
两边平方得 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，解得 ，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得.
【详解】 ， .
故选：A．
8．（2024·北京海淀·二模）在 中， ，点 满足 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用 ， 表示 ，根据 ，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.
【详解】由题可知， ，
故 ，
故 ，解得 .
故选：B.
9．（2024·北京海淀·二模）设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证 即可判断C.
【详解】对于A，取 ，则 ，故A错误，
对于B， ，则 ，故B错误，
对于C，由于 ，故 在 单调递减，故 ，因此
，
由于 ，所以 ，故 ，C正确，对于D, ,则 ，故D错误，
故选：C
10．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中， ， ， ，则
（ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】C
【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.
【详解】
如图，取 的中点 ，则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
则 ，所以 为正三角形，
过 作 于 ，
则 ，
所以 .
故选：C.
11．（2024·北京通州·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.
【详解】由题意可得 ，
所以 ，
故选：A.
12．（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利
用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B结论正确；
对于C，因为 ，所以 ，
而函数 为减函数，所以 ，故C结论正确；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.
13．（2024·北京房山·一模）已知i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值是
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据纯虚数的定义即可得解.
【详解】 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 ，解得 .
故选：C.
14．（2024·北京海淀·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知 ，
所以 ，得 ，又 ，
所以 .
故选：C.
15．（15-16高二下·新疆哈密·期末）若复数 满足 ，则 的共轭复数是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数 即可求解结果．
【详解】解：复数 满足 ，所以 ．
所以 的共轭复数是 ．
故选：B．
16．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最
小值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得 的坐标，即可求解.
【详解】如图，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线建立 轴，建立平面直角坐标系，
由 ， ，则 ，
所以 ， ， ，设 ，
则 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值，此时 ， .
故选：B17．（2024·北京朝阳·一模）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数 ，所以复数对应的点为 ，为第一象限的点.
故选：A
18．（2022·北京丰台·三模） 为等边三角形，且边长为2，则 与 的夹角大小为 ，
若 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运
算和数量积的运算律计算可得 ，结合平面向量夹角的范围即可得出结果.
【详解】由题意知，如图，
由 为等比三角形，得 ，
所以 ；
因为 ，所以点E为AC的中点，
则 ，又 ，
所以
，
，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ； .19．（2024·北京通州·三模）已知 ， ， ，则三者大小关系为 （按从小到
大顺序）
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出 的范围，即可求解.
【详解】因为 ，
，且 ，
，
故 ，
故答案为： .
20．（2024·北京海淀·二模）若 ，则 .
【答案】1
【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于 的方程组，解之即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：1.
21．（2024·北京朝阳·二模）已知向量 ， ，且 ，则实数k= .
【答案】 /
【分析】利用已知求得 ，进而根据 ，可得 ，求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
22．（16-17高二下·辽宁·期末）复数 满足 ，则 的虚部是 ．
【答案】1
【分析】由已知条件求出复数 ，从而可求出复数 的虚部.
【详解】∵复数z满足 ，
，
故z的虚部是1.
故答案为：1
23．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
则 ．
【答案】
【分析】用 、 作为一组基底表示出 ， ，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意 ，
，
所以
.
故答案为：
