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专题 03 导数及其应用
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
1. 导数小
题一般以课程学习情境为主,
突出基础性;大题一般以探索
创新情境为主,突出综合性,作
为载体的指数函数、对数函
数、三角函数应引起足够的重
视.
2. 在备考
时应注意以下两点:
2020-2024：5年七考：利用导数研究函数的零 (1)利用导数的几何意义解决与函
考点1 导数及 点或方程根的个数；导数研究函数性质：单调 数的切线有关的问题、利用导数
其应用 性、最值、极值等；求切线方程；利用导数求 研究函数的单调性、极值与最值
（5年几考） 解参数 问题要侧重通性通法,含参的讨论
要准确把握住分类标准,有条不紊
地进行分类讨论;
(2)不等式恒(能)成立问题、利用导
数证明不等式、利用导数研究零
点或方程解的问题,要侧重函数与
方程、数形结合、分类讨论的思
想方法的渗透,加强逻辑思维能
力、运算求解能力、创新能力的
训练,突出理性思维和数学探索的
学科素养的培养.。
考点 导数及其应用
1．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价
在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如
下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
4．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．5．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
6．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
7．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
1．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我
们所学数学知识，探究函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调逆增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值
2．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京房山·一模）若函数 ，则函数 零点的个数为
（ ）A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
4．（2024·北京海淀·一模）已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线
相切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设 是
的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·北京朝阳·一模）已知 个大于2的实数 ，对任意 ，存在 满足
，且 ，则使得 成立的最大正整数 为（ ）
A．14 B．16 C．21 D．23
7．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
8．（2024·北京海淀·一模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是奇函数；
② ，且 ，关于x的方程 恰有两个不相等的实数根；
③已知 是曲线 上任意一点， ，则 ；
④设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点.若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是 .
9．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，其中a为常数且 .(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调区间；
(3)当 时，若过点 的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记
的面积为S，求S的最小值.
10．（2024·北京顺义·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证：函数 存在极小值；
(3)求函数 的零点个数.
11．（16-17高三上·北京海淀·期末）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）求证：当 时，关于 的不等式 在区间 上无解．（其中 ）
12．（2024·北京海淀·二模）已知函数 .
(1)若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②求证：函数 恰有一个零点；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
13．（2024·北京朝阳·二模）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
14．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，求 的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若对于任意 ，不等式 成立，求a的取值范围．
15．（2024·北京房山·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的极大值；
(3)若 ，求函数 的零点个数．
16．（2024·北京海淀·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 存在最大值，求 的取值范围.
17．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
