文档文本内容
专题 02 函数与导数
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 函数模
2025北京卷、2024北京卷、2022北京
型及应用
卷
（5年3考）
考点2 基本初
等函数的性
质：单调性、 2025北京卷、2023北京卷、2022北京
奇偶性、周期 卷、2021北京卷
性、对称性
（5年4考）
近五年高考命题显示，本节内容为高考重
考点3 比较大
点。函数单调性、奇偶性、对称性、周期
小问题 2024北京卷
性是必考知识点，尤其周期性、对称性、
（5年1考）
奇偶性常相互结合，并与函数图像、零点
考点4 函数与 及不等式综合考查。导数及其应用在高考
方程的综合问 2023北京卷、2022北京卷、2021北京 中的考查较为稳定，是重点内容。面对高
题 卷 考相关试题，关键在于把握导数是研究函
（5年3考） 数的有力工具，借助图像直观呈现函数单
考点5 函数及 调性、极值、最值等本质问题。无论试题
2023北京卷、2022北京卷、2022北京
其表示 如何变化，最终都要聚焦于函数的单调性
卷
（5年3考） 与最值，它们是导数考查的核心所在，做
考点6 双变量 好具体问题转化即可。
问题 2025北京卷、2022北京卷
（5年2考）
考点7 零点问
题 2024北京卷
（5年1考）
考点8 极最值
问题 2023北京卷、2021北京卷
（5年2考）考点01 函数模型及应用
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间
（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间
增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
考点 02 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
考点 03 比较大小问题
8．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
考点 04 函数与方程的综合问题
9．（2023·北京·高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
10．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
11．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点 05 函数及其表示
12．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
13．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
14．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
考点 06 双变量问题
15．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设
是曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．16．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
考点 07 零点问题
17．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
考点 08 极最值问题
18．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．19．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．1．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即 其中 是信道容量，单位bps； 为信道带宽，单位
Hz； 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
， ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·北京大兴·三模）已知定义在 上的函数 满足如下三个条件：
① ，有 ；
② ，有 ；
③ ， ．
则下列说法正确的是（ ）
A． ，有 ，
B． ，有 ，
C．函数 的递减区间为 ，
D．当 时，
4．（2025·北京大兴·三模）已知 ，则 的值为（ ）
A．15 B． C． D．
5．（2025·北京海淀·模拟预测）若集合 是函数 的定义域， ，则 等于
（ ）A． B． C． D．
6．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，且函数 在 ， 内恰
有2025个零点，则满足条件的有序数对 （ ）
A．有且仅有1对 B．有且仅有2对
C．有且仅有3对 D．有无数对
7．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，若函数 恰有2个零点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·北京海淀·三模）已知 ， ，则“ ”是“ 是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025·北京·三模）已知 是函数 的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·北京大兴·三模）已知函数 .若 的最小值为 ，则 的一个取
值为 ； 的最大值为 ．
12．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数 ，若 是 上的单调函数，则 的一个取值为 ；若 有最小值，则 的取值范围是 ．
13．（2025·北京海淀·二模）已知函数 ，则 的值域为 ，曲线 的对称
中心为 ．
14．（2025·北京通州·一模）设 ，函数 ，若 为单调函数，则a的一个
取值为 ；若 有三个零点，则实数a的取值范围是 .
15．（2025·北京西城·一模）记 表示不超过实数 的最大整数．设函数 ，有以下四个结论：
①函数 为单调函数；
②对于任意的 ， 或 ；
③集合 （ 为常数）中有且仅有一个元素；
④满足 的点 构成的区域的面积为8．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．（2025·北京·三模）已知函数 ， ， ．
(1)若 在点 处的切线平行于直线 ： ，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
17．（2025·北京大兴·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立．
①求实数 的值；
②判断方程 的根的个数，并说明理由．18．（2025·北京海淀·三模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为
．
(1)求 的值．
(2)求 在 上的零点个数．
(3)证明： 在 上存在两个零点 ，且 ．
19．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线的倾斜角；
(2)若 是函数 的极值点，
（i）求实数 的值；
（ii）设函数 ．证明： ．
