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专题 06 导数及其应用（解答题）
8 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
知识1 导数的 考点01 导数的几何意义
几何意义 2025·北京 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷 2021·
（5年4考） 北京 2021·全国乙卷
知识2 导数在
考点02利用导数研究函数的极值
研究函数中的应
2025·上海 2024·新课标Ⅱ卷 2023·北京
用
2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷
（5年3考） 1.含参的函数利用导数求参数问
考点03利用导数研究不等式恒成立问题 题是高考中的一个高频考点，也
2025·全国一卷 2024·全国甲卷 是必考点，通过函数单调性转化
2024·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2021·天津 成为恒成立问题或者存在使成立
问题以及其他问题，可直接求导
考点04利用导数证明不等式
或者是利用分离参数去转化。
2025·天津 2024·天津 2023·天津
2.导数综合类问题一直是高考数
2023·新课标Ⅰ卷 2022·天津 2022·浙江
学的压轴题一般牵扯到不等式的
2022·北京2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国乙卷
证明问题，极值点偏移问题，拐
2021·新高考全国Ⅰ卷
点偏移问题，隐零点问题，函数
考点05利用导数研究函数的零点
知识3 导数的 放缩问题。未来也是高考重难
2025·全国二卷 2022·全国甲卷2022·全国乙卷
综合应用 点。
2021·全国甲卷2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·浙江
（5年5考） 3.随着高考数学新结构的形式出
2021·全国甲卷
现。导数新定义问题将成为高频
考点06 导数与数列的综合 考点
2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷
考点07 导数与概率的综合
2021·新高考全国Ⅱ卷
考点08 导数新定义
2024·上海考点01 导数的几何意义
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切
线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
3．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
5．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是
曲线 在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
考点02利用导数研究函数的极值
6．（2025·上海·高考真题）已知 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；(2)若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
8．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
考点03利用导数研究不等式恒成立问题
11．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数 ，求 在 的最大值；
（2）给定 ，设a为实数，证明：存在 ，使得 ；
（3）设 ，若存在 使得 对 恒成立，求b的最小值．
12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
16．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
17．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
考点04利用导数证明不等式
18．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1) 时，求 在点 处的切线方程；
(2) 有3个零点， 且 .
（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．
19．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
20．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线斜率；(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
22．（2022·天津·高考真题）已知 ，函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若曲线 和 有公共点，
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）求证： ．
23．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
25．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
26．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
27．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
考点05利用导数研究函数的零点
28．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
29．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设 分别为 在区间 的极值点和零点.
（i）设函数 ·证明： 在区间 单调递减；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论．
30．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
32．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
34．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
(注： 是自然对数的底数)
35．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
考点06 导数与数列的综合
36．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
37．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取
点 过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；
(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
考点07 导数与概率的综合
38．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
考点08 导数新定义
39．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
