文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（辽宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．某市11月30日的最高气温为 ，最低气温为 ，则该市11月30日的温差（最高气温与最低气温
的差）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是有理数的减法．用最高气温减去最低气温进行计算即可．
【详解】解： ．
故选：D．
2．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键．
根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解．
【详解】
解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是：故选： ．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．
【详解】解：A既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
D不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
4．2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科
技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过15500000000
元．其中15500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解： ，
故选：C．
5．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，
不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出
7元，则还差4元．问共有多少人？设共有 个人，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有 个人，根据等量关系列出方
程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：设共有 个人，则可列方程为 ，
故选：A．
6．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零且结合根的判别式 ，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可
得出m的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当 时，方程有两个不
相等的实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
即 且 ，
故答案为：D．
7．已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割点的计算方法是关键．根据题意
得到 ，由此即可求解．
【详解】解：点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ， ，∴ ，
解得， ，
检验，当 时，原分式方程有意义，
∴ ，
故选：B ．
8．已知直线 过点 ， ，则 和 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，依据题意，先根据直线 判断出函数图象的增减性，再根据点
的横坐标的大小进行判断即可．解题的关键是掌握一次函数 的性质：当 时， 随 的
增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
【详解】解：∵直线 ， ，
∴ 随 的增大而增大，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
9．一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为 ，且 ，这个环形扇面的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键；先分别求出大扇形和小
扇形的半径，再根据扇形面积公式求出大扇形和小扇形的面积，最后用大扇形面积减去小扇形面积得到环
形扇面
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴大扇形的半径 ，小扇形的半径 ，
∵圆心角 ，大扇形半径 ，
∴ ． ．
．
故选：C．
10．如图，将直角梯形 平移得直角梯形 ，若 ， ， ，则图中阴影部分
的面积（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可
得 ， ， ， ，再根据平移的性质可得
，从而可得四边形 和四边形 都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于
直角梯形 的面积求解即可得．
【详解】解：由图可知，在直角梯形 中， ，
由平移的性质可知， ， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 和四边形 都是直角梯形，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．若 ，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的加减法
运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将 化简后即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．在平面直角坐标系 中，作点 关于 轴的对称点 ，再将点 向左平移3个单位，得到点，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标
互为相反数）得出 的坐标，再直接利用平移的性质得出答案．正确掌握坐标变换的性质是解题关键．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点为点 ，
∴点 ，
∵将点 向左平移3个单位，得到点 ，
∴点 的坐标为 ，即 ．
故答案为：
13．在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关 中的两个时，能够让灯
泡发光的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求某事件发生的，画树状图，得到所有等可能的结果，找出其
中能够让灯泡发光的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关 和 ， 和 ， 和 ， 和 时，灯泡能发光，
画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率 ．
故答案为： ．
14．如图，双曲线 的图象经过矩形 的边 的中点E，交 于点D，若四边形 的
面积为3，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了求反比例函数的关系式，系数k的几何意义，矩形的性质，先设点B的坐标，可得点
E的坐标，进而得出与k的关系式，即可得出点D是 的中点，再根据 得出k即可．
【详解】设 ，
∵点E是 的中点，四边形 是矩形，
∴ ．
∵函数 的图象经过矩形 的边 的中点E，
∴ ．
∵点D在函数 的图象上，且纵坐标为 ，
∴点D的坐标为 ，∴点D是 的中点，
∴ ，
∴ 或 （舍去）．
故答案为：2．
15．如图，在 中， ， ， ， 、 、 …都是正方形，且 、
、 …在 边上， 、 、 …在 边上．则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规
律是解题关键．先根据正方形的性质可得 ， ，再证出 ，根据相似三角
形的性质可得 的长，同理可得 ， 的长，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
即 ，
同理可得： ， ，
归纳类推得： ，其中 为正整数，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）根据绝对值的意义，负整数指数幂的意义等化简计算即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【详解】（1）解：原式 （3分）
；（5分）（2）解：原式 （8分）
．（10分）
17．（8分）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客
购买，已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元．
(1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价．
(2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共
600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销
售所获利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元．
(2)购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元．
【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用．
（1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要
100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解；
（2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞 把，所获利润为w元，根据“总利润 太阳帽的利润
太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，
根据题意，得 ，（2分）
解得 ，
答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元；（4分）
（2）解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞 把，所获利润为w元，
购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，
，
解得 ，根据题意，得 ，（6分）
，
w随m的增大而减小，
当 时，w取得最大值，最大值为 ，（7分）
此时 ，
答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元．（8分）
18．（9分）为传承国学经典，弘扬传统文化，学期初某中学启动了“品古典文学之美，悟中华文化之
魂”经典诵读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《论语》B．《楚
辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生
进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答
下列问题：
(1)学校此次被调查的学生总人数为_______人，并根据题意补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中， 所对应的圆心角度数是______；
(3)9年级1班选派甲、乙两位同学参加学期末全校组织的经典诵读汇报活动，请用画树状图或者列表法，
求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率．
【答案】(1)100，图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图得综合应用，列表法求概率，从统计表中有效的获取信息，是解题的关
键：
（1）用 的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出 的人数，补全条形图即可；（2）用360度乘以 的人数所占的比例，求解即可；
（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解： （人），（2分）
，补全条形图如下：
（4分）
故答案为：100；
（2） ；
故答案为： （6分）
（3）
甲
乙
共16种结果，符合条件的有4种，所以 （甲乙选同一种书籍） ．（9分）
19．（8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服
药后血液中药物浓度 与服药时间 之间的函数关系如图所示（当 时， 与 成反比
例）．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 与 之间的函数表达式；
(2)若该药品血液中药物浓度不低于 ，药效最好，求血液中药物浓度不低于 的持续时间为
多少小时？
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为 ，下降阶段的函数表达式为
(2)血液中药物浓度不低于 的持续时间为
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数在实际中的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是
解题的关键；
（1）分别设出 以及 时函数的解析式，然后根据待定系数法，结合图中给出数据求解即
可；
（2）令上述所得两个函数解析式中的 ，求出对应的x的值，然后作差即可得到结果．
【详解】（1）解：当 时，设函数的表达式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，（1分）
∴直线的表达式为 ，
当 时，设反比例函数的表达式为 ，（2分）
将 代入得 解得： ，（3分）
∴反比例函数的表达式是 ，因此，血液中药物浓度上升阶段的函数表达式为 ，下降阶段的函数表达式为
．（4分）
（2）解：当 时，由 得 ，（5分）
当 时，由 得 ，（6分）
，
因此， 血液中药物浓度不低于 的持续时间为 ．（8分）
20．（8分）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方
向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东 方向航行一定
距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东 方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东 方向航行一定距
离到达C港．
(1)求A，C两港之间的距离（结果精确到1海里）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1) 海里
(2)甲货轮先到达 港，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，先在 中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，再
在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）根据题意可得： ， ，从而可得 ，然后利用角的和差关系可
得 ，从而在 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出 和 的长，再在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，最后进行计算比较即可解答．
【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为 ，如图所示：
由题可知 ， ，
为等腰直角三角形，（1分）
在 中， （海里）， （海里），（2分）
在 中， （海里），（3分）
（海里），
， 两港之间的距离约为 海里；（4分）
（2）解：甲货轮先到达 港，理由如下：
如图所示：
由题意得 ， ，
，
，（5分）
在 中， ，
（海里）， （海里），（6分）由条件可知 （海里），
甲货轮航行的路程 （海里），
乙货轮航行的路程 （海里），（7分）
，即 ，
，
甲货轮先到达 港．（8分）
21．（8分）如图，在 中， 、 为直径，弦 于点 ，连接 ．
(1)若 ， ，求 的直径；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题关
键．
（1）设 的半径为 ，则 ， ，先根据垂径定理可得
，再在 中，利用勾股定理可得 的值，由此即可得；
（2）先根据垂直的定义可得 ，则 ，再根据圆周角定理可得 ，
由此即可得．
【详解】（1）解：设 的半径为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，（1分）
∵在 中， 为直径，弦 于点 ， ，∴ ，（2分）
在 中， ，即 ，
解得 ，（3分）
∴ ，
即 的直径为 ．（4分）
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，（6分）
又∵ ，
∴ ，
∴ ．（8分）
22．（12分）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的
安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点 为无人机的摄像头， 是喷药口， ， 在同一条
水平直线上， ．如图2，以无人机摄像头所在位置 为坐标原点，竖直方向为 轴，以 所在
直线为 轴，建立平面直角坐标系．喷药口点 和点 到点 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直
方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与 轴的交点为 ．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为 ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度
到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为 的区域，且 ，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线 上再增加2个喷药口 和 ， 在 左侧， 在 右侧，且 ，当
无人机上升到距地面的高度为 时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解
决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行
求解．
（1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且 长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特
征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质
得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式；
（2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关
于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐
标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得
到无人机应下降的高度．
（3）根据已知条件求出M的坐标．设 所在抛物线表达式为 ，根据无人机相对高度对应
的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离
乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度．
【详解】解：（1） ，点 与点 到点 的距离相等，
，
点 的坐标为 ． （1分）
，
点 的坐标为 ．（2分）设点 所在抛物线的函数表达式为 ，
将点 代入得 ．
解得 ． （3分）
点 所在抛物线的函数表达式为 ．（4分）
（2） 以无人机摄像头所在位置 为坐标原点，竖直方向为 轴，水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，
喷药口 喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点 和点 关于 轴对称，
可以设点 的坐标为 ．
将点 代入 ，
得 ．（6分）
点 的坐标为 ．
此时无人机摄像头距离地面的高度为 ．（7分）
．
答∶ 无人机应该下降的高度为 ．（8分）
（3） ∵ ， 点坐标为 ，
∴ 点坐标为 ．（9分）
∵ 所在抛物线形状与 所在抛物线相同，二次项系数相同，
设 所在抛物线表达式为
∵无人机高度为 ，
∵抛物线是从 点（相对高度 ），
∴代入 到 中，得
．解得 ， ．
，（11分）
关于y轴对称，
，
长 （12分）
23．（12分）【问题提出】
（1）如图1， 是半径为 的 上一点，直线 是 外一条直线， 于点 ，圆心 到直线 的
距离为 ，则线段 的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点 是正方形 内一点，连接 ，则 ，若 ，求 的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为 的湿地，其中 ， ， ． 点D是 上的
一个动点，以 为直径在 内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接 与半圆O交于点
E，连接 ，沿 修一条步道，为了节约成本，要使得 的长度最短，试求 的最小值．
【答案】（1）12；（2） ；（3）
【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，
勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键．
（1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解；
（2）根据题意得点 的轨迹在以 为直径的圆 上部分，连接 ，交圆 于点 ，此时的 即为
的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解；
（3）连接 ，根据题意得： ，以 为直径作圆Q， ，得出点E在以 为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：过点 作 ，如图所示：
由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径 不变，
可知此时 最大，
最大值为 ，
故答案为：12；（3分）
（2）根据题意得 是定值， ，
∴点 的轨迹在以 为直径的圆 上部分，如图，
连接 ，交圆 于点 ，
此时的 即为 的最小，（4分）
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，（5分）
∵ ，
∴ ，（6分）
∴ ，∴ 的最小值为 ；（7分）
（3）如图，连接 ，
根据题意得： ，
以 为直径作圆Q， ，
∴点E在以 为直径作圆Q上，（9分）
连接 ，
当点Q、E、C三点共线时， 取得最小值，
∵ ， ， ．
∴ ， ，（10分）
∴ ，
∴ 的最小值为 ．（12分）
