文档内容
2025 年中考押题预测卷（连云港卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题根据相反数的定义，进行作答，即可求解；
【详解】解： 的相反数是-2025，
故选：B；
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合
并同类项，分别计算即可判断．
【详解】解：A、 ，故本选项符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 和 不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如表所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于
这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ）1
年龄/岁 11 13 14
2
███
频数/名 5 6
██
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的概念及计算，理解并掌握以上知识的概念辨析及计算
方法是解题的关键．
平均数：指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数：一组数据中,出现次数最多的数；中位数：
是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差：用于衡量数据集中的数值与期望值之间的差异程度，
方差越小，数据波动越小；由此即可求解．
【详解】解：数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，其中年龄在11岁的有5名,12岁的有6名，
13,14岁的频数被遮挡，
A、平均数与调查人员数量有关，表格中缺失数据，不能得到平均数，故不符合题意；
B、众数与调查人员的数量有关，表格中缺失数据，不能得到众数，故不符合题意；
C、∵共调查20名成员，其中年龄在11岁、12岁的共有11名，
∴中位数落在12岁的一组中，能得到中位数，符合题意；
D、不能得到平均数，也就不能得到方差，故不符合题意；
故选：C ．
4．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展
示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法
表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：144.17亿 ，
故选：C．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（ ）A．48° B．58° C．60° D．64°
【答案】B
【分析】如图，连接BD.证明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解决问题.
【详解】解：如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝32°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°，
故选：B
【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等.
6．如图，点 为反比例函数 图像上的一点，连接 ，过点 作 ，交反比例函数
图像于点 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作 轴于M，过B作
轴于N，设 ，证明 ，求出 ， ，则 ，然后根
据待定系数法求解即可．
【详解】解：过A作 轴于M，过B作 轴于N，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故选：B．
7．如图，等腰三角形ABC中， ， ，D为AC上一点， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形ABC，得出∠A=45°，从而得到∆DEA为等腰直
角三角形，求出AE=ADsin45°=2 ，在求出∠DBE=30°，所以在Rt∆DBE中得到BD=4，在
Rt∆DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
【详解】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰三角形ABC， ， ，
∴∠A=45°，
因为DE⊥AB，
∴∠DEA=90°
∴∠EDA=∠DAE=45°，
∴∆DEA为等腰直角三角形，在Rt∆ABC中，∵AD=2
∴AE=ADsin45°=2
∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°
∴在Rt∆DBE中BD=2DE=2×2=4，
在Rt∆DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
，
∴ ，
解得： （舍去） ，
所以sin∠BDC= ，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数．解题
的关键是正确作出辅助线，构造好直角三角形，再解直角三角形．
8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，
准备给相距 的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到
原来的2倍．设小数行走的时间为 ，小数和小文行走的路程分别为 ， ， ， 与 之
间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．小数比小文先出发15秒
B．小文提速后的速度为
C．
D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项
A，B，C；分别求得 以及 各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项．
【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意；
∵当 秒时， ，当 秒时， 厘米，
故小文提速前的速度是 厘米/秒，
∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意；
故提速后小文行走所用时间为： 秒，
∴ 秒，
∴ ，
∴小数的速度为 厘米/秒
∴ 秒，故选项C错误，符合题意；
设 段对应的函数表达式为 ，
将点 代入，可得 ，
可得 ，
∴可有 ，
当 时，小数和小文之间距离最大值为 厘米；
当 时，设 ，
将 ， 代入，
可得 ，解得 ，此阶段有 ，
∴
∴小数和小文之间距离 ，
当 时， 取最大值，最大值为 厘米；
设 段对应的函数表达式为 ，
将 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴此阶段有 ，
当 时，小数和小文之间距离 ，
当 时， 取最大值，最大值为 厘米；
当 时，小数和小文之间距离最大值为 厘米．
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合
题意．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．27的立方根为 ．
【答案】3
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．10．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了 次预选赛，其中甲，乙两名运动员
较为突出，他们在 次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数
相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ．
甲
乙
【答案】甲
【分析】本题考查了算数平均数的定义以及方差的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
分别计算、并比较两人的方差即可判断．
【详解】解：甲的平均成绩为： ，
乙的平均成绩为： ，
乙两人的百米赛跑运动成绩的方差为：
，
，
，
甲运动员的成绩更为稳定，
故答案为：甲．
12．已知 是 的反比例函数，其部分对应值如表：
… 1 2 …
… …
若 ，则 ．（填“ ”“ ”或“ ”）【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断
即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴每个象限内， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．无论a取何实数，动点 恒在直线 上， 是直线 上的点，则 的值等于
．
【答案】9
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，令 ，则 ；再令 ，则 ．再
利用待定系数法求直线的解析式，再根据直线上点的坐标与函数解析式的关系得到 ，再求代数式
的值．
【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令 ，则 ；再令 ，则 ．
设直线l的解析式为 ，
∴ ，解得 ．
∴直线l的解析式为： ．
∵ 是直线l上的点，∴ ，即 ．
∴ ．
故答案为：9
14．如图，Rt 中， 的垂直平分线分别交 于点 交DF的
延长线于点 ，若 ，则四边形 的面积是 ．【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为 是 的垂
直的平分线， ， ，所以四边形 是矩形，因为 ， ，能求出 ，
，进而可求出 的长，从而求出面积．
【详解】解：∵ 是 的垂直的平分线， ， ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积为： ．
故答案为： ．
15．如图，在扇形 中， ，以 为直径在扇形 内部作半圆，圆心为点 ， 为 的
中点，连接 交半圆于点 ．若 ，则阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据圆
周角定理以及图形中各个部分面积之间的关系得到 ，再根据扇形面积、三角形面积
的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，点C是 的中点，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
D故答案为： ．
16．如图，已知反比例函数 和 的图象分别经过点A、B，线段AB交x轴于点C，
交y轴于点D，以AB为斜边在AB上方作 ，使 轴，BE交x轴于点F．若 ，
则k的值为 ．
【答案】
【分析】由平行线等分线段定理可得 ，设 ，则 ，根据 可得
，进而得到 ；再根据平行线等分线段定理可得 ；设 ，则
进而得到 ， ，可知 ；再根据反比例函数图
象的性质可得 、 ，最后进行计算即可解答．
【详解】解： 如图：由题意可得：
∴ ，
设 ，则
∵
∴
∴
由题意可得：∴
设 ，则
∴ ，
∴
∵反比例函数 和 的图象分别经过点A、B
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像图象的性质、平行线等分线段定理等知识点，根据平行线等分线
段定理得到系列比例线段是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】由题意先利用分式的运算法则进行计算化简，进而代入计算即可.
【详解】解：当 时，
原式= .
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及分母有理化的方法是解题的关键.
18．（本题6分）解不等式组 ，并求其整数解．
【答案】不等式组的解集为 ；整数解
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先分别求出不等式①，②的解集，即可求出不等式组的解集，再
求其整数解，熟练掌握求不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解： 解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
原不等式组的解集为 ，
原不等式组的整数解为 ．
19．（本题6分）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查零指数幂，负整数幂以及三角函数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据
运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
20．（本题8分）在“一盔一带”安全守护行动持续推进的背景下，某校小交警社团积极开展交通安全宣
传及调研活动．从2025年2月5日起，连续6天，在每天同一时段，对某地区一个重要路口的摩托车和电
动自行车骑乘人员佩戴头盔情况展开了调查，并将获取的数据绘制成了如下图表．图1是2月5日—2月
10日该路口骑乘人员头盔佩戴率折线统计图，图2是2025年2月9日该路口骑乘人员头盔佩戴情况的统计
表：
2025年2月5日-10日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
2025年2月9日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
骑乘摩托车 骑乘电动自行车
戴头盔人数 27 72
不戴头盔人数 88
(1) ______________；
(2)小明依据此次调查数据，认为2月10日该地区全天电动自行车骑乘人员头盔佩戴率约为 ．你是否
认同他的观点？请说明理由．
(3)统计发现每天同一时段，该路口电动自行车骑乘人员平均约为 人，小交警社团于2月11日在该路口
同一时段给未佩戴头盔的电动自行车骑乘人员每人发放1份交通安全知识宣传单，根据以上统计信息，判
断发放宣传单的份数可能是（ ）
A．180 B．126 C．92
【答案】(1)3
(2)不认同，理由见解析
(3)C
【分析】本题主要考查了折线统计图和统计表，样品所占百分比求样品总量，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）先根据题意求解2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数，在减去戴头盔人数 人即可求解．
（2）不认同，一个路口不能代表全区，数据比较少，不具有代表性．通过折线统计图中，摩托车和电动
自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，可以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，
毕竟这5天，其佩戴的百分比增长速度较慢．
（3）由题意得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为 ，结合在2025年2月5日
日骑乘电动自行车头盔未佩戴率逐步下降，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于： ，
即发放宣传单的份数小于 ，结合选项即可选出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：2025年2月9日骑乘摩托车人员戴头盔人数 人，头盔佩戴率为 ，
∴2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数为： （人），
∴2025年2月9日骑乘摩托车人员中不戴头盔人数为： （人），
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：不认同．
理由：该调查时对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行的调查，数据比
较少，不具有代表性．
（3）解：由题意可得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔佩戴率为 ，且在2025年2月5日 日骑
乘电动自行车头盔佩戴率逐步上升，
∴2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为 ，在2025年2月5日 日骑乘电动自
行车头盔未佩戴率逐步下降．
∴2月11日，当该路口电动自行车骑乘人员平均约为 人时，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于：
，
∴发放宣传单的份数小于 ，
∴C选项符合要求，
故选：C．
21．（本题10分）如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、
②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________；
(2)若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状
图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解．
【详解】（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是 ，
故答案为： ．
（2）画出树状图如图，
共有16种等可能结果，符合题意的有6种，
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键．22．（本题10分）已知：如图， 为正方形 的对角线．
(1)在 上求作一点 ，过点 作 ，交 于点 ，使得 ；（不写作法，保留作图痕
迹）
(2)在（1）的条件下，已知 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作 的角平分线即可．
（2）根据角平分线的性质可得 ，再由 是等腰直角三角形，可设 ，则
，然后在 中，根据勾股定理可得， ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
由（1）得∶ 平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ．
23．（本题10分）某商场销售一种市场需求较大的健身器材，已知每件产品的进价为40元，每年销售该
种产品的总费用（不含进货费用）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x
（元/件）之间存在着一次函数关系 ，且 时， ； ．
(1)求出y与x的解析式
(2)若商场希望该种产品一年的销售利润为55万元，请你为商场定一个销售单价．
【答案】(1)
(2)90元或110元
【分析】（1）由题意： 时， ； ， ．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）该种产品一年的销售利润为55万元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将 时， ； ， ；代入 得：
，
解得： ，与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
答：商场的销售单价是90元或110元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）正确求出一次函数
解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（本题10分）如图，一次函数 与函数为 的图象交于 两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数 的图象于点Q，若 面积为3，求
点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)点P的坐标为 或【分析】（1）将 代入 可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将 和点B
坐标代入 即可求出一次函数解析式；
（2）直线 在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为 ，代入一次函数解析式求出纵坐标，将 代入反比例函数求出点Q的纵坐标，
进而用含p的代数式表示出 ，再根据 面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，可得 ，
解得 ，
反比例函数解析式为 ；
在 图象上，
，
，
将 ， 代入 ，得：
，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解： ，理由如下：
由（1）可知 ，当 时， ，
此时直线 在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为 ，
即满足 时，x的取值范围为 ；
（3）解：设点P的横坐标为 ，
将 代入 ，可得 ，
．
将 代入 ，可得 ，
．
，
，
整理得 ，
解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系
中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
25．（本题10分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（ ）捣谷物的工具——“碓（ ）”
的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆 绕着支点 转动．当碓头 被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快
速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知 于点 与水平线 相交于点 于点 ．
(1)若 分米， 分米， ，求此时点 到水平线 的距离（结果精确到1）．（参考
数据： ）
(2)当点 下落至时水平线 上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点 对应点 的位置（保留作图
痕迹，不写作法）．
【答案】(1)4分米
(2)见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，尺规作图等知识，解题的关键是：
（1）延长 交l于D，过B作 于E，在 中，根据正切的定义求出 的长度，进而求出
的长度，在 中，根据正弦的定义求出 的长度即可；
（2）连接 ，以C为顶点，在 的下方作 ，然后在 截取 即可．
【详解】（1）解：延长 交l于D，过B作 于E，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， （分米），
∴ （分米），
在 中， （分米），
∴点 到水平线 的距离为4分米；（2）解：如图， 点即为所求，
．
26．（本题12分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ．其
中 ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2) 是该抛物线上一点．
①连接 ，若 ，求点 的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点 ，使 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）设抛物线的表达式为 ，把点 代入，即可求解；
（2）①过点B作 交 于点F，过点F作 轴于点G，过点D作 轴于点H，根据
题意可得 ，再由 ，可得 ， ，从而得到 ，
再求出点 ，可得 ，在 中，利用勾股定理可得， ，从而得到点F的坐标为 ，再求出直线 的解析式，进而得到直线 的解析式，即可求解；②过点E作 轴
于点F，过点D作 轴于点G，则 ，设点E的坐标为 ，则
，可得 ，然后根据
，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴可设抛物线的表达式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：①如图，过点B作 交 于点F，过点F作 轴于点G，过点D作 轴于
点H，
∵点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
对于 ，
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 或0（舍去），
∴ ，
∴点F的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴可设直线 的解析式为 ，
把点 代入 得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得： ，
解得： 或 ，
∴点E的坐标为 ；
②如图，过点E作 轴于点F，过点D作 轴于点G，则 ，
∵点 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 ，
∴ ，
设点E的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： 或0（舍去），
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理
等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
27．（本题14分）（1）证明推断：如图（1），在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，
于点 ，点 ， 分别在边 ， 上， ．
①求证： ；
②推断： 的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， （ 为常数）．将矩形 沿 折叠，使点
落在 边上的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与
之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 ，当 时，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）①证明见解析；②解：结论： ．理由见解析；（2）结论： ．理由见解析；
（3） ．【分析】（1）①由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知
∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②证明四边形DQFG是
平行四边形即可解决问题．
（2）结论： 如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．
（3）如图2-1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ≌ ，
∴ ．
②解：结论： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为1．
（2）解：结论： ．
理由：如图2中，作 于 ．∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图2﹣1中，作 交 的延长线于 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴可以假设 ， ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 或﹣1（舍弃），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学
会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
