文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（连云港卷）
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． 的绝对值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可．
【详解】
故选：A．
2．在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代
科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为 ．已知 ，则 用
科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
，
故选：C．
3．下列运算错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，单项式乘单项式，积的乘
方的逆用，负整数指数幂等知识点，熟练掌握幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键．
按照同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用、单项式乘单项式法则、积的乘方的逆
用逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，故选项 符合题意；
B. ，计算正确，故选项 不符合题意；
C. ，计算正确，故选项 不符合题意；
D. ，计算正确，故选项 不符合题意；
故选： ．
4．如图，这是物理学中的小孔成像， 是物体，遮挡板 上的小孔抽象成点 ， 透过小孔在光屏
上成的像是倒立放大的实像 ， 和 成位似图形，位似中心为点 ，遮挡板 和光屏
的水平距离为 ， ，此时，像 的长为 ，为了使像 的长度变成 的 倍，在物体
和屏幕 位置不变的情况下，可以将遮挡板 （ ）A．水平向右移动 B．水平向左移动
C．水平向右移动 D．水平向左移动
【答案】B
【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似图形的应用，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，根据位似图形的
性质推出 ，分别求出遮挡板 水平移动前后 的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质
是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
∵ 和 成位似图形，位似中心为点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 分别为 和 对应边 、 上的高，
∴ ，
∵ 和 成位似图形， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵像 的长度变成 的 倍，在物体 和屏幕 位置不变的情况下，设 ，则 ，
，
又∵ ，即 ，
∴ ，
此时 ，
∵ ，
∴可以将遮挡板 水平向左移动 ．
故选：B．5．如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影
戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源
通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
【答案】B
【知识点】平行投影、中心投影
【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投
影是中心投影判断即可．
【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，
∴它的投影属于中心投影．
故选B．
6．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融
合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究
院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ）
A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升
B．2023年中国低空经济市场规模增量最多
C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小
D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元
【答案】B
【知识点】折线统计图、由条形统计图推断结论、求条形统计图的相关数据
【分析】本题主要考查了条形统计图以及折线统计图的相关信息，根据统计图的信息一一计算分析判断即
可．
【详解】解：A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升，说法正确，故该选项不符合题意；
B．2022年到2025年增量分别为：868.9，1278.8，1643，1889.2，2026年增量为：
，故增量最多的年份是2026年，原说法错误，故该选项符合题意；
C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小，说法正确，故该选项不符合题意；
D．2026年中国低空经济市场规模为 ，原说法正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
7．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为 ．已知点 ， ，
将函数图象向上平移 个单位长度，若平移后的函数图象与线段 只有一个公共点，则 的取值范围为
（ ）A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，
求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线 ，可得抛物线向上平移m个
单位后解析式为 ，平移后的抛物线的顶点坐标为 ，①当抛物线顶点落在
上时，则 ，解得 ②当抛物线经过点 时，当抛物线经过点 时，构建方程
求出m的值可得结论．
【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线 ，设抛物线与x轴的另一个交点为 ，
则有 ，
∴ ，
∴关于x的一元二次方程 的解为 ， ；
∴抛物线 ，
抛物线 向上平移m个单位后解析式为 ，∴平移后的抛物线的顶点坐标为 ，
①当抛物线顶点落在 上时，则 ，
解得 ，
②当抛物线经过点 时， ，
解得 ；
当抛物线经过点 时， ，
解得 ，
∴ 时满足题意．
综上所述， 或 ．
故选：A．
8．如图在 中， ，在 上取一点 ，使 ， 为 中点， 与
交于点 ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形
的相关计算【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合题意得到 ， ， ，如图所示，过
点 作 于点 ， ， ， ，如图所示，过
点 作 ，交 于点 ，可证 ， ，再证 ，得到 ，
设 ， ，在 中，运用勾股定理得到 ，由此即可
求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 中点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
9．比较大小： 1．（填“<”“=”或“>”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数大小比较，特殊角的三角函数值，先根据特殊角的三角函数值求解，然后比较即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是二次根式有意义的意见，分式有意义的条件，根据题意可得 ，从而可得答
案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：
11．如图，在 中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以
点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接 ，过点P作 交 于点
D，若 ，则 的长为 ．
【答案】3
【知识点】两直线平行内错角相等、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得 平分 ，根据角平分
线的定义求得 ，根据平行线的性质求得 ，得出 ，再根据等
角对等边即可求解．
【详解】解：由作图可得： 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
12．已知a和b是方程 的两个解，则 的值为 ．
【答案】2029
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系
数关系是关键．
先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得 ， ，再将 变形为
，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵a和b是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：2029．
13．已知菱形的周长为C，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为S，那么S关于C的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、已知正切值求边长
【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．根据菱形的性质得出菱形的边长，由正
切的定义得出 ，再由勾股定理得出 的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解．
【详解】解：如图，四边形 是菱形， 是 边上的高，
∵菱形的周长为C，
∴ ，
∵ 的正切值为2，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得： ，
菱形面积为 ，
故答案为： ．
14．如图， 交 于点 切 于点 点在 上，若 ，则 为 ．【答案】
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出
是解题的关键．先由圆周角定理得到 ，由切线的性质得到 ，即可利用三角形内角和
定理求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 切 于点C，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．将一张矩形纸片进行如图所示的操作： 沿对角线 折叠，得到折痕 ； 折叠纸片使边 落
在折痕 上，点 落在点 处，得到折痕 ； 过点 折叠纸片，使点 分别落在边 、
上，展开得到折痕 ．如果矩形 是一个黄金矩形，其中 ，那么这张矩形纸片的两条
邻边 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割
【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设 与 交于点 ，
由矩形的性质可得 ， ， ， ，则 ，由折叠性质可知： ， ，故 ，设 ， ， ，
根据勾股定理求出 ，则 ，再证明 ，最后由相似三角形的性质即可
求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ，
∵矩形 是一个黄金矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
由折叠性质可知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，把 置于平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是
内切圆的圆心．将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次
滚动后圆心为 ，第二次滚动后圆心为 ，依此规律，第2025次滚动后， 内切圆的圆心 的
坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知
识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与 ， ， 的切点分别为 ， ， ，
连接 ， ， ，根据勾股定理求得 ，可求得 内切圆的半径为1，因此 的坐标为 ，
然后根据三角形内切圆的性质，可知 ， ， ，四边形 是正方形，得到
，进而得到 ， ，结合 ，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为
1，然后计算 、 、 的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案．
【详解】解：设内切圆与 ， ， 的切点分别为 ， ， ，连接 ， ， ，如图，点 是 内切圆的圆心，
， ， ， ， ，
四边形 是正方形，
，
， ，
， ，
在 中， ，
内切圆的半径 ，
点 坐标为 ，
，
， ，
，即点 到 三边距离都相等，
每次滚动后圆心的纵坐标都为1，
第1次滚动后点 的横坐标为： ，即点 的坐标为 ；
第2次滚动后点 的横坐标为： ，点 的坐标为 ；
第3次滚动后点 的横坐标为： ，点 的坐标为 ；
每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加 ，
，
点 的横坐标为： ，
则点 的坐标为 ，故答案为： ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（本题6分）计算： ．
【答案】
【知识点】化简绝对值、实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简
【分析】此题主要考查实数的混合运算，利用二次根式的性质，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行化
简，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．（本题6分）解不等式组： ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】 ，0．
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
所以不等式组的解集为 ．
所以整数解有 、 、所有整数解的和为 ．
19．（本题6分）先化简： ，再从 中选择一个合适的数代入求值．
【答案】 ；当 时，原式 ．
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、分式乘法
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对分子分母
因式分解，然后约分化简，再化为同分母分式计算，最后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求
值即可．
【详解】解：
，
观察上式， 时都使分式无意义，
当 时，原式 ．
20．（本题8分）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O．
(1)尺规作图：在菱形 的边 上方找一点E，使得 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形的性质、尺规作图——作三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定于性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识
点 ，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（ ）作 ，再在射线 上截取 ，连接 ，因为四边形 为菱形，所以 ，
， 因 为 可 得 得 到 ， 又 ， 故 可 得
，即点E即为所求；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，再结合 可得四边形 是平行四边形，最后根据
平行四边形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如图∶ 点E即为所求．
（2）证明： ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
21．（本题10分）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ______， ______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此
可判断他是______年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等
角度分析，写出一条理由即可）
【答案】(1)85，87，七
(2)估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人
(3)我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好，理由见解析
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用方差做决策
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计
算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，
94，
故该组数据的中位数为 ，
八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数 ．
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生．
故答案为：85，87，七．
（2）解： （人），
答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人．（3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好．
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一）
22．（本题10分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙
真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1
张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率；
(1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______；
(2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键．
（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根
据概率公式求解．
【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，
所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为 ．
23．（本题10分）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神
舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：
(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购
买方案．
【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元
(2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种
飞船模型
【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二
元一次方程（组）是解题关键．
（1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船
模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解
之即可；
（2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价 单价 数量，得到关于a、b的二元一次方
程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为 元，乙种飞船模型每件的售价为 元，
根据题意得 ，
解得 ，
答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元；
（2）解：设购买 件甲种飞船模型和 件乙种飞船模型，
根据题意得 ，
，
， 均为正整数，
当 时， ；
当 时， ，有2种购买方案如下：
①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；
②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．
24．（本题10分）2025年3月2日重庆马拉松顺利举行，据悉有35000名选手以矫健的步伐丈量“山水之
城”，享受马拉松运动的乐趣．小陶和小乐受到鼓舞，计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从
超市 出发，临行前小陶决定先到在超市 北偏东 方向上的图书馆 还书后，再到体育馆 ；小乐则
按原计划沿正东方向的街道行走400米至报亭 后，再沿北偏东 方向走到体育馆 ，已知体育馆 分别
在超市 的北偏东 方向上和图书馆 的南偏东 方向上．
(1)求报亭 与体育馆 之间的距离；（结果保留根号）
(2)若小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，请通过计算说明小陶和小乐谁先
到达体育馆 ．（参考数据： ， ，结果精确到0.1）
【答案】(1)报亭 与体育馆 之间的距离 米
(2)小陶先到达体育馆
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，30度所对的直角边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真分析题干的条件，得出 ， ，故在 中， （米），
，然后证明 是等腰直角三角形， 在 中， ，即可作答．
（2）先分别算出小陶和小乐经过的路程，再分别除以他们各自的速度，然后比较，即可作答．
【详解】（1）解：过点 作 ，如图所示：∵体育馆 分别在超市 的北偏东 方向上和图书馆 的南偏东 方向上．
∴ ，
依题意， 米，
∴ ，
在 中， （米）， ，
则 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 米，
在 中， ，
∴ （米），
∴报亭 与体育馆 之间的距离 米；
（2）解：由（1）得 ， 米，
在 中， ，
故 （米），
则 （米），
∵
∴ ，
在 中， （米），在 中， ，
∴ （米），
则 （米），
∵ 米， 米，
∴ （米），
∵小陶步行的平均速度为70米/分，小乐步行的平均速度为60米/分，
∴ （分钟）， （分钟），
∵
∴小陶先到达体育馆 ．
25．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点 、 在抛物线 上，该抛物
线的顶点为 ．点 为该抛物线上一点，其横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 轴时，求点 到直线 的距离；
(3)当 时，设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别
为 、 ，当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)(3) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合应用；
（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点 的坐标，然后求出 ，再根据三角形的面积公式可得结
论；
（3）过点B作 轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在
点C和点E之间时，③当点P在点E下方时，分别根据 列式求解即可．
【详解】（1）解：把点 、 代入 得： ，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）知， ，
点 为 ，
当 轴时，点 与点 关于对称轴 对称，
点 ，
，
∴ ，
∴点 到直线 的距离为 ；
（3）解：过点B作 轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴 对称， ，如图所示：①当点P在点B和点C之间时，即 时，最高点为点 ，最低点为点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： （不合题意）；
②当点P在点C和点E之间时，即 时，最高点为点 ，最低点为点 ，
∴ ， ，
∴ 符合题意，
∴ ，
③当点P在点E下方时，即 时，最高点为点 ，最低点点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 或 ，
∵ ，
∴ ．
综上所述，m的取值范围为 或 ．
26．（本题12分）【问题探究】
下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．
（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当 时（如图1），线段 __________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．②当 时，必然存在线段 的中点E与点B重合的情况，线段 恰好不能通过直角弯道（如图
2）．此时， 的度数是__________．
③当 时，线段 __________（填“能”或“不能”）通过直角弯道．
【问题解决】
（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数 的图象，第一象限的角平分线交图象于点
A，弯道内侧的顶点B在射线 上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行， ， ．用矩
形 模拟汽车，发现当 的中点E与点B重合，且 时，矩形 恰好不能通过该弯道．
若 ， ，要使矩形 能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据： ，
）
【答案】（1）①能，② ，③不能；（2）6
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键．
（1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
②过点 作 ，交于点 ，证明 ，即可求得 ，即可解答；
③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（2）过点 作 轴于点 ，求得点 坐标，即可求得反比例函数解析式，过点 作 轴于点
，即可求得直线 的解析式，列方程，求得 的坐标，即可求得 的长，即可解答．
【详解】解：（1）①如图，当 时，线段 恰好不能通过直角弯道，当 时，线段 能通过直角弯道，
故答案为：能；
②如图，过点 作 ，交于点 ，
，
，
线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，
，
，
，
，
由题意可得 ，
，
当 时，必然存在线段 的中点E与点B重合的情况，
，
，
故答案为： ；
③根据①可得，当 时，线段 不能通过直角弯道，
故答案为：不能；
解：（2）如图，过点 作 轴于点 ，
第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线 上，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
把 代入 ，可得 ，
解得 ，
反比例函数的解析式为 ，
设直线 与 的交点为 ，则 ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
，
，
根据（1）中可得 与 轴的夹角为 ，
故可设直线 的解析式为 ，
把 代入可得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
,，
，
要使矩形 能通过该弯道，b的最大整数值为 ．
27．（本题12分）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该
三角形第三个内角的“张望角”．
(1)如图1，点D在 的延长线上， 是 中 的“张望角”，求证： ；
(2)如图2， 内接于 ，点D在 的延长线上，点E在 上，连接 ， ．连接
，点F在 上， ，连接 ，连接 并延长交 的延长线于点 ，求证： 是 中
的“张望角”；
(3)如图3，在（2）的条件下，若 是 的直径，过点I作 的垂线，点G为垂足， 交 于点
H，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)
【知识点】因式分解法解一元二次方程、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性
质综合
【分析】（1）根据题中“张望角”的定义和角平分线的定义得到 ，结合
三角形的外角性质可得结论；
（2）先根据圆周角定理和角平分线定义可得 平分 ，再根据圆周角定理，结合圆内接四边形的性
质可证明 平分 ，进而根据“张望角”的定义可得结论；
（3）连接 ， ，先证明 得到 ，进而证明 得到
，过F作 于M，在 上截取 ，连接 ， ，证明 ，求
得 ， ， ，过I作 于K， ，在 中，由勾股定
理求得 ，进而可求解．
【详解】（1）证明： 是 中 的“张望角”，
∴ 分别是 ， 的平分线
；
（2）证明： ，
，
，
即 平分 ，
，，
∵四边形 内接于 ，
，
，
，
，
即 平分 ，
是 中 的“张望角”；
（3）解：连接 ， ，
是 中 的“张望角”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
过F作 于M，在 上截取 ，连接 ， ，则 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，又 ，
∴ ，解得 （负值已舍去），
∴ ，
∴ ，
由 得 ，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过I作 于K，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由 得 ，
解得 （负值已舍去），即 ，∴ ．
