文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（重庆卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．2025的相反数是（ ）
1 1
A．-2025 B．2025 C． D．−
2025 2025
【答案】A
【分析】本题考查了相反数，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，得
的相反数是a，解答即可．
【详解】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，得 的相反数是a，
故2025的相反数是 ，故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项符合题意；B． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D． 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A．
3．反比例函数 （ ， ）的图象如图所示，点 是图象上一点，轴且与 轴交于点 ，点
是 轴上任意一点，若△ABC的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数 的几何意义，掌握反比例函数 的几何意义是解题的关键．
连接 ，由 轴，则 ，然后由反比例函数 的几何意义得出 ，从而求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键；
先通过已知可得到 ，再将 代入可求得 的度数，
进而可求解，
【详解】解：由题意可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：C．
5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于
井口的木杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与井口直径 交于点 ，如果测得
米， 米， 米，那么 为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出
米，再证出 ，利用相似三角形的性质求解即可得．【详解】解：∵ 米， 米，
∴ 米，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ ，
解得 （米），故选：D．
6．如图1，在△ABC中， ．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．
图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的
直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（ ）
A．400 B．350 C．300 D．250
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的
面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出 ， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规
律，即可解决问题．
【详解】解： ，
图1中正方形的面积和为：
，
图2中所有正方形的面积和为：
，
图3中所有正方形面积和为：
，
…… ……图11中所有正方形的面积为 ．
故选：C
7．若 ，则m的值可以是（ ）
A．50 B．25 C．12 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的估算．分别代入数据，计算出算术平方根，再估算，即可判断．
【详解】解：当 时， ， ，故选项A不符合题意；
当 时， ， ，则 ，故选项B符合题意；
当 时， ， ，故选项C不符合题意；
当 时， ， ，则 ，故选项D不符合题意；
故选：B．
8．如图，正八边形 内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题结合正八边形，考查不规则图形面积的计算，核心素养主要表现为运算能力、几何直观．
把总面积转换成两个三角形和一个扇形面积之和即可算出答案．
【详解】
如图，连接 ．
根据圆和正八边形的对称性，可知题图中阴影部分的面积与如图所示的图形中阴影部分的面积相等．
易知 ，则 ，且设交点为 ，则 ，
∵⊙O半径为2
故选：A
9．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 上， ， 、
交于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得 ，由勾股定理得到 ，则 ，再证
明△BFE∽△CBD，由其性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，点 分别在 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 交于点 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴△BFE∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性
质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．依次排列的两个整式 ，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整
式 ；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式 ；将第3个
整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式 ，…以此类推，下列5个说法，
其中正确的结论有（ ）
①第9个整式为
②第 个整式中 与 的系数和为1；
③第8次操作与第9次操作得到的两个整式所有系数绝对值之和为
④第12次操作后得到的整式为
⑤当 时，第 次操作完成后，所有整式之和为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查数字的变化规律，整式的加减运算；通过计算，探索出整式各项系数之间的关系，找到
系数和的规律是解题的关键．
①按要求分别列出即可求解；②由①可知，从第三个整式开始 的系数符号相反，偶数个整式 的系数
为负， 的系数为正，且 的系数的绝对值比 的系数的绝对值大1，再求解即可；③求得第 个整式和
第 个整式的系数和是 ，即可求解；④根据题意求得第14个等式即可判断④；⑤第 次操作完成
后，得到第 个等式，共有 个整式，每个整式的值都是 ，据此可求解．
【详解】解：①第1个整式： ，
第2个整式： ，
第1次操作，第3个整式： ，
第2次操作，第4个整式： ，
第3次操作，第5个整式： ，
第4次操作，第6个整式： ，
第5次操作，第7个整式： ，
第6次操作，第8个整式： ，
第7次操作，第9个整式： ，故①符合题意；
第8次操作，第10个整式： ，
第9次操作，第11个整式： ，
②由①可知，从第三个整式开始 的系数符号相反，偶数个整式 的系数为负， 的系数为正，且 的系
数的绝对值比 的系数的绝对值大1，
∴第2024个整式中 与 的系数和为1，故②符合题意；
③∵第8次操作与第9次操作得到第10个和第11个整式，∴第10个整式和第11个整式的系数绝对值和是 ，故③不符合题意；
④第12次操作完成后，得到第14个等式，
根据①可得第12个等式为 ，
第13个等式为 ，
第14个等式为 ,故④符合题意；
⑤当 时，每个整式的值都是 ，所以所有整式之和应为 ，其中 是操作次数 ，
如果第 次操作后，总共有 个整式，和为 ，而题目中说 ，显然错误，因此
结论⑤错误；
故正确的有①②④
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
上．）
11．计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查了零次幂，负指数幂的运算．根据 计算即可．
【详解】解：原式 ．故答案为：6．
12．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同，则一枚鸟卵孵化后的雏鸟为雌鸟的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据概率等于所求情况数与总情况数之
比，即可解答．
【详解】解：因为一枚鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同，
所以一枚鸟卵孵化后的雏鸟为雌鸟的概率是 ；故答案为：
13．如图，在△ABC中， ，点 分别是 的中点，若点 在线段 上，且
，则 的度数为
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和
定理解答即可．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形
内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
14．若 使关于 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 的分式方程
的解为非负数，则所有满足条件的整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，由不等式组的解集
有且只有四个整数解可得 ，再求出分式方程的解，由分式方程的解为非负数可得 ，进而根
据分式方程的分母不等于 得 ，即得 的取值范围为 且 ，据此即可求解，由不等式组
和分式方程求出 的取值范围是解题的关键．
【详解】解： ，
由①得， ，
由②得， ，
∴不等式组的解集为 ，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴ ，
解得 ，
解分式方程得， ，
∵分式方程的解为非负数，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 且 ，
∴所有满足条件的整数 的和为 ，
故答案为： ．
15．如图，在△ABC中， ， ， ，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 、 、 ，
则⊙O的半径为 ；连接 、 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三
角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接 ，过点 作
于点 ，勾股定理求得 ，等面积法求得半径，过点 作 交 的延长线于点 ，解
，进而得出△BDE是等边三角形，进而及诶 ，得出 的长，进而根据正切的定
义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
依题意，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 、 、 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 ,Rt AGC中，
即 △
解得：
∴设⊙O的半径为 ，
∴
∴
如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 、 、 ，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴△DEB是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
在Rt CHD中，
△
故答案为： ； ．
16．如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之
和也为8，我们称M为“花开数”，记 ．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等
且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记 ．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若 被
9除余8， 被10整除，当 的值为某个自然数的平方时，B的值为 ．
【答案】 90 4653
【分析】本题考查整式加减的应用，根据已知条件得出A和B之间存在的数量关系是解题的关键．
（1）当A取最大值，要使A的千位取最大数字7，百位数字取次大数字6；B取最小值时，要使B的千位
取最小数字1，百位数字取次小数字2，由此求出A，B的值，再代入 计算即可；
（2）设A的千位数字为a，百位数字为b，可得 ，设B的千位数字为m，百位数字为n，
可得 ；根据 被9除余8，可得 ；根据 被10整除，可得 ；
计算出 ，分情况分别讨论，通过尝试判断是否有符合条件的m即可．
【详解】解：（1）当A取最大值，B取最小值时， ， ，
；
（2）设A的千位数字为a，百位数字为b，其中 ， ，
则 ，
；
设B的千位数字为m，百位数字为n，其中 ， ，
则 ，
；
被9除余8，
能被9带除，
，是9的倍数，
，
；
被10整除，
，是10的倍数，
，
；
，
分情况讨论：当 ， 时， ，
通过尝试可知，只有 时， ，是自然数8的平方，
此时 ， ， ，符合题意；
当 ， 时， ，
通过尝试可知，没有m的值可以使 是自然数的平方；
当 ， 时，或 ， 时，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意；
当 ， 时， ，
通过尝试可知，没有m的值可以使 是自然数的平方；
当 ， 时， ，
通过尝试可知，只有 时， ，是自然数8的平方，
此时 ， ， ，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意；
综上可知，B的值为4653．
故答案为：90；4653．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17．（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了整式乘法的混合运算及分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则计算，再去括号合并即可；
（2）先算括号里面的减法，再算外面的除法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式．
18．正月十五闹元宵，元宵节又称上元节或灯节，是中国的传统节日之一．某校以“弘扬传统文化，走进
元宵佳节”为主题在七、八年级中开展了知识竞赛．本次竞赛的满分为100分，所有参赛学生的成绩都不
低于75分．
【收集数据】从七、八年级中各随机抽取40名学生的成绩（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组： ， ，
， ， ）．
①八年级抽取学生的成绩在 这一组的具体数据是91，92，93，93，93，93，94，94．
②将八年级抽取学生的成绩整理并绘制成频数直方图（如下图）：
【分析数据】两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 91 90 98
八年级 91 m 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：表中m的值为________．
(2)若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有
多少名．
(3)小明认为七、八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，
请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）．
【答案】(1) ；(2)264名；(3)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理
解样本估计总体的方法是解决问题的前提．
（1）根据中位线定义求出结果即可；
（2）用样本估计总体即可；
（3）根据中位线和众数以及方差进行解答即可．
【详解】（1）解：将八年级学生成绩从小到大进行排序，排在第20的是92分，第21位的是93分，∴中位数 ；
（2）解： （人），
答：估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有264名；
（3）解：因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位线和众数都比七年级大，因此不能说两个年
级成绩一样好．
19．在 中， ．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度 得到 ，点
A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在 边上时，求 的度数；
(2)如图2，当 时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边 的中点，求证：四边形 是平行
四边形．
【答案】(1) ；(2)见解析
【分析】（1）利用旋转的性质得 ， ， ，再根据等腰三角
形的性质和三角形内角和计算出 ，进而计算出 的度数；
（2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到 ，再根据旋转的
性质得到 ， ， ，从而得到 ，△ACD和△BCE为等边三角形，
接着证明 得到 ，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】（1）解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度 得到△DEC，点E恰好在 上，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵点F是边 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵将△ABC绕点C顺时针旋转 得到△DEC，
∴ ， ， ，
∴ ，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴ ， ，
∵点F为△ACD的边 的中点，
∴ ，
在 和Rt CFD中，
△
，
∴ ≌Rt CFD(HL)，
∴ ， △
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，
能够综合运用上述知识点是解题的关键．
20．【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料
一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买
方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．
求B款加料的奶茶买了多少杯？
【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确
列出二元一次方程．
任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶
茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种
款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b
杯，则B款加料的奶茶买了 杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，
求出正整数解即可．
【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得： ；
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：
，
整理得： ，
∵m、n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b
杯，
则B款加料的奶茶买了 杯，即 杯，
由题意得： ，
整理得： ，
∵a、b、 均为正整数，
∴ ，
∴ ；
答：B款加料的奶茶买了11杯．21．如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始
终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度 与注水
时间 之间的关系如图2所示．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)图2中折线 表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段 表示______容器中水的深
度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点 的纵坐标表示的实际意义是______；
(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？
(3)若乙容器的底面积为 平方厘米（壁厚不计）．
①求甲容器的底面积（壁厚不计）；
②求乙容器中铁块的体积．
【答案】(1)乙，甲，圆柱形铁块的高度为 cm
(2)注水 时，甲、乙两个容器中水的深度相同
(3)① ；②
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、圆柱的体积公式是解题的关键．
（1）根据甲容器中水的深度逐渐减小、乙容器中水的深度逐渐增加分别判断折线 、线段 表示哪
个容器中水的深度与注水时间之间的关系；从 点开始，乙容器中单位时间内水的深度的增加开始变小，
由此判断此时水的深度为圆柱形铁块的高度；
（2）利用待定系数法分别求出线段 和 的函数关系式，当甲、乙两个容器中水的深度相同时两函数
值相等，据此列关于 的方程并求解即可；
（3）①设甲容器的底面积为 ，利用圆柱的体积公式，根据时间从 到 时，甲容器中水的体
积的减少量等于乙容器中水的体积的增加量列关于 的方程并求解即可；
②设乙容器中铁块的体积为 ，利用圆柱的体积公式，根据时间从 到 时，甲容器中水的体积的
减少量与乙容器中铁块的体积之和等于乙容器的底面与水深之积．
【详解】（1）解：图2中折线 表示乙容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段 表示甲容器中
水的深度与注水时间之间的关系，点 的纵坐标表示的实际意义是圆柱形铁块的高度．
故答案为：乙，甲，圆柱形铁块的高度为 cm；
（2）解：设线段 的函数关系式为 （ 为常数，且 ，
将坐标 代入 ，得 ，
解得 ，
线段 的函数关系式为 ，
设线段 的函数关系式为 （ 、 为常数，且 ），
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
线段 的函数关系式为 ，
当甲、乙两个容器中水的深度相同时，得 ，
解得 ，
答：注水 时，甲、乙两个容器中水的深度相同；
（3）解：①当时间从 到 时：
乙容器中水的深度增加了 ，
当 时，甲容器中水的深度为 ；
当 时，甲容器中水的深度为 ；
甲容器中水的深度减少了 ，
设甲容器的底面积为 ，
则 ，
解得 ，
答：甲容器的底面积为 ；
②当时间从 到 时：
当 时，甲容器中水的深度为 ；
当 时，甲容器中水的深度为 ；
甲容器中水的深度减少了 ，
设乙容器中铁块的体积为 ，
则 ，
解得
答：乙容器中铁块的体积为 ．
22．如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何
图形，其中点C是支干 上一可转动点，点P是中间竖杆 上的一动点，当点P沿 滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时， 与 重合于竖干 ，经
测量 ， ．
(1)当 时，求竖杆最下端B到地面的距离 ；
(2)点P从点A滑动至 的中点的过程中， 变化的度数是多少？（参考数据： ≈1.73，结果精确
到 ）
【答案】(1) ；(2)
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）如图①，过点 作 于点 ．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ，
再根据解直角三角形求出 ， ， ，即可求解．
（2）如图②，当点 位于点 时， 三点共线，即 ．
求出 ，再求出当点 滑动至 的中点时， ，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点 作 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
，．
（2）解：如图②，当点 位于点 时， 三点共线，即 ．
由题意，得 ．
当点 滑动至 的中点时， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 变化了 ．
23．如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C，点P是x轴上一动
点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段 上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形 面积的最大值，并求出此时点
N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使
以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 或 或 或
【分析】（1）把 代入 中求出b，c的值即可；
（2）先求出 ，求出 ， ，求出直线 的解析式为 ，设 ，则， ，则 ；再由 得到
，故当 时， 最大，最大值为 ，此时点P的坐标为 ；
（3）先求出顶点 的坐标，设 ，分 为菱形的对角线、 为菱形的对角线和 为菱形的对角
线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 中，得
，
解得
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵二次函数 与y轴交于点C，
∴ ，
∴ ；
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ；
∵ ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
∴此时点P的坐标为 ；
（3）解：存在．
∵ ，
∴ ，
设 ，
①当 为菱的对角线时，如图，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
②当 为矩形的对角线时，如图，∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ，
∴ ；
③当 为矩形的对角线时，如图，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
综上，存在E点坐标为 或 或 或 或 使得以A、D、E、F为
顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函
数的图象和性质是解题的关键．
24．综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形 中，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且 ，请
判断 和 的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，求
证： ．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 上一点，
交 于点 ，交矩形 的边于点 ．当 时，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示，由矩形性质得到相关角
度与边长，由三角形全等的判定得到 即可得到答案；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示，由三角形全等的判定确定
，再由三角形相似的判定得到 ，从而得证；
（3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到 ，再
由相似比求出 ，过点 作 交 于点 ，如图所示，先判定 ，再
由相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【详解】（1）解： ，证明如下：
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
则 ，
在正方形 中， ，
四边形 ，四边形 是矩形，∴ ，
设 交 于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：在矩形 中， ， ，
∴ ，
平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图所示：此时，点 在 上， ， ，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
过点 作 交 于点 ，如图所示：
， ，
， ，
，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩
形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟
练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题
的关键．
