文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（连云港卷）
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． 的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和同底数幂的乘法分别
运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解： 、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项正确，符合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
故选： ．
3．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为 ，则 这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】 这个数用科学记数法表示为 ．
故选：A．
4．“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动，如图是一个
水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看
到的图形如下：
，
故选：A．
5．为参加学校举办的“诗意校园 致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这
五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是 ．下列说法正确的是（ ）
A．小明的成绩比小强稳定 B．小明、小强两人成绩一样稳定
C．小强的成绩比小明稳定 D．无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
【答案】A
【分析】本题考查方差的概念，正确理解方差的概念是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一
个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳
定性越好．在平均数相同的情况下,方差越小越稳定,据此即可得到答案．
【详解】解：因为小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.1，
两人平均成绩相同，小明的方差小，成绩稳定，
故选：A．
6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古
代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根
据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设马每匹x两，马四匹、牛六头，共价四十八两，牛每头y
两，马二匹、牛五头，共价三十八两，据此列方程组即可．
【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得
故选：B
7．如图，在矩形 中， ，将矩形沿 折叠使点D落在点 处， 与 交于点
F，则 的值为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查平行和翻折相结合，考查到的知识点有：翻折，平行性质，勾股定理，同高不等底的两
三角形的面积比．难点在于如何证明 ．
由翻折知， ，则 ，故 ，在 中，由 ，求
出 6 ，进而求解．
【详解】解：由翻折知， ，
∵在矩形中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
则 的值为 ，
故选：A．
8．如图，在 中， 是直径，且 ，点 是 上一点，点 是 的中点， 于点 ，
过点 的切线交 的延长线于点 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ，连接 ， ， ．关
于下列结论：① ；② ；③点 是 的外心；④点 是 的内心；⑤若
，则 ．
其中正确结论的个数为（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】①用反证法即可判断结论①；②通过证明 即可判断结论②；③通过证明
即可判断结论③；④说明 与 不一定相等，即可判断结论④；⑤证明 是
等边三角形，求出 即可判断结论⑤．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即： 、 是 的三等分点，
这显然不符合题意，故结论①错误；
如图，连接 ，
，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论②正确；
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的外心，故结论③正确；
∵ 与 不一定相等，
∴ 与 不一定相等，
∴点 不一定是 的内心，故结论④错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∵ ，
∴ ，
∴点P是 的内心，
，
∴ ，故结论⑤错误；
综上所述，正确的结论有： ，共 个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反证法，圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，
直径所对的圆周角是直角，三角形外心内心的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌
握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上）
9．要使代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行解题即可．熟练
掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解： 代数式 有意义，
，
．
故答案为： ．
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．先提公因式 ，再；利用平方差公式
分解即可．
【详解】解： ，故答案为： ．
11．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有10个红球，8
个蓝球，若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个黄球的概率为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．设黄球
有 个，根据“随机摸出一个蓝球的概率为 ”，可以求出黄球的个数，最后根据概率公式即可得出随机
摸出一个黄球的概率．
【详解】解：设黄球有 个，
随机摸出一个蓝球的概率为 ，
，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，
∴黄球有 个，
∴随机摸出一个黄球的概率为： ，
故答案为： ．
12．若 对x恒成立，则方程 的两根之积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．根据多项式乘以多项式
法则展开得出 ， ，求出m、n的值，再代入方程，即可求出答案．
【详解】解：∵ 对x恒成立，
∴ ， ，
解得： ， ，
代入方程 得： ，所以方程 的两根之积为 ，
故答案为： ．
13．如图， 是 外一点， 是 的切线， 为切点， ， ．连接 并延长，且与
交于点 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，含 度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据 是 的切线，
为切点， ，得出 ， ，根据勾股定理可得 ,进而求得 ，
根据 , ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．14．如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为 ，交 于点 ．按以下步
骤作图：①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 ， 于点 ， ；②分别以点 ，
为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；③作射线 ，与直线 交于点 ．若 与
的夹角为 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知
识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余得 ，由角平分线的定义得 ，由线段垂直平分线可得△
是直角三角形，故可得 ，即可求出 ．
【详解】解： 是直角三角形， ，
，
，
，
是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
．
故答案为： ．15．如图，在 中， ， ，点 为斜边 上一点，连接 ，将 沿
翻折得到 ， 与 交于点 ，当 时，则
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由 ，
，得 ，由翻折可得 ，设 ，则
，则 ，求得 ，设 ，则 ，由
，则 ，解得 ，则 ， 由勾股定理求出
，过点 作 于点 ，则 ， 证明 ，得到 ，即
，解得 ，由勾股定理求出 ，进而求出 ，再由勾股定理求出
，即可求解．掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由翻折可得： ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
如图，过点 作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 是 轴上的动点，线段 绕着点 顺时针旋转
至线段 ，连接 ，则线段 长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是
正确寻找点 的运动轨迹，属于中考常考题型．设 ，过点 作 轴，垂足为点 ，证明
，推出 ，可得点 的坐标为 ，推出点 的运动轨迹是直
线 ，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：设 ，过点 作 轴，垂足为点 ，∵线段 绕着点 按顺时针方向旋转 至线段 ，
∵点 ，点 ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，
设直线 交 轴于 ，交 轴于 ，
将 代入 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
过点 作 于 ．则 ，
根据垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 的值最小，最小值为 ，故答案为： ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17．（6分）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值，然后计算加减．
【详解】解：
．………………………………6分
18．（6分）解不等式组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出
不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
由①得， ，
由②得， ，………………………………3分
不等式组的解集为 ．………………………………6分
19．（6分）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
【答案】 ，【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同
分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可
求出值．
【详解】解：
∵
∴ ………………………………3分
∴原式 ．………………………………6分
20．（8分）2025年春晚名为《秧 》的舞蹈，机器人以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的
独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解
这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到
数据进行如下统计和分析．
[数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：h）：
6.3 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 7.1 7.3 7.3 7.3 7.3 7.4 7.5 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.0 8.2
[数据整理]对所统计数据整理如下：
组别 工作时长 （ ） 机器人数量（台） 组内工作总时长（ ）
A 2 12.7
B 27.0
C 6 43.7
D 5E 3 24.2
[数据分析及问题解决]请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)填写表格中所缺数据， _______， _______；
(2)所抽取机器人工作时长的中位数是______ ，平均数是______ ；
(3)若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于 的有多少台？
【答案】(1)4 ，38.4
(2)7.3 ，7.3
(3)800台
【分析】（1）由题中[数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计中的数据进行分析求解即可得到答案；
（2）由题中[数据收集]对所抽取机器人工作时长进行统计中的数据，根据中位数及平均数的求法代值求解
即可得到答案；
（3）由样本中的数据估算总体中的情况即可得到答案．
【详解】（1）解：由[数据收集]可知，工作时长在 的机器人呢数量是4台，则 ；
由[数据收集]可知，工作时长在 的5台机器人的工作时长为7.5 7.6 7.6 7.8 7.9，则
；
故答案为：4，38.4；………………………………2分
（2）解：由由[数据收集]可知，排在中间的两个数是7.3 7.3，则所抽取机器人工作时长的中位数是7.3；
由由[数据收集]可知，所抽取机器人工作时长的平均数是 ；
故答案为：7.3 ，7.3；………………………………5分
（3）解：样本中，这批机器人工作时长不小于 的有 台，
则2000台机器人中，工作时长不小于 的有 台，
答：若这批机器人共有2000台，估计这批机器人工作时长不小于 的有800台．
………………………………8分
【点睛】本题考查统计综合，涉及频数统计表、求中位数、平均数、由样本估计总体等知识，熟记相关统
计量的定义及求法是解决问题的关键．
21．（8分）为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“ ．临夏砖雕、 ．傩
舞傩戏、C．河州泥塑、 ．保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲．
班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画．将卡片背
面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行准备．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是_____；
(2)请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是 ．
………………………………4分
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果有12种，
∴甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率为 ．
………………………………8分22．（10分）如图，在平行四边形 中， ， 的平分线与 的延长线交于点E，与
交于点F，且点F为边 的中点， 的平分线交 于点M，交 于点N，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，
熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出 的长，进而求出 的长，证明 ，得到
，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ．
∴四边形 是菱形．………………………………5分
（2）解：由（1）得四边形 是菱形，
∴ ，
∵F为边 的中点，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．……………………………10分
23．（10分）某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1
件甲种农机兵比1件乙种农机具多 万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具
的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机
具最多能购买多少件？
【答案】(1) ，3
(2)6
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出
分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）假设出未知数，根据农机具数量关系列出方程求解即可，注意最后要进行检验；
（2）假设出未知数，找出不等关系，列出一元一次不等式，确定取值即可．
【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需要 万元，则购买1件甲种农机具需要 万元，根据题
意得，
解方程得，
经检验， 是分式方程的解，并符合题意，∴
所以，购买1件甲种农机具需要 万元，购买1件乙种农机具需要3万元；
………………………………5分
（2）解：设购买甲种农机具购买 件，则乙种农机具为 件，根据题意得，
解不等式得， ，
∵ 取正整数，
∴
所以，甲种农机具最多能购买6件．………………………………10分
24．（10分）如图， 是 外接圆， 是直径，延长 到C，点F为 下方半圆弧上一点，
，垂足为 ， ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解本题的关键．
（1）连接 ，根据已知条件得到 ，根据平行线的性质得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，设 ，则 ，得到 ，得到 ，求
得 ，根据全等三角形的性质得到 ；
【详解】（1）证明：连接 ，，
，
，
，
，
为 切线；………………………………5分
（2）解：连接 ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．………………………………10分
25．（12分）东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有
众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图1是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图2所示．在垂直地面的这座塔 前阶梯下有一平台，小张在平台 处测得塔顶端 的仰角为
， ，走上阶梯 ，阶梯 的坡度 ，阶梯 的坡面长度为 ．（参考数据：
， ， ， ，结果均保留整数）
(1)求阶梯 的垂直高度，即点 到直线 的距离；
(2)求这座塔 的高度．
【答案】(1)约为
(2)约为
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和三角函数的应用的知识，掌握以上知识是解
题的关键；
（1）分别延长 和 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，根据坡度 ，得到
，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）在 中，通过三角函数求得 ，然后在根据矩形的性质即可求解
【详解】（1）解：分别延长 和 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
阶梯 的坡度 ，即 ，
∴设 ，则 ，在 中， ，即 ，
解得 （米），
答：阶梯 的垂直高度，即点 到直线 的距离约为 米．
………………………………6分
（2）解：在 中， ，
∴ （米）．
由题易得，四边形 为矩形，
∴ ，
∴ （米）．
答：这座塔的高度 约为 米．………………………………12分
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 、点
，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式：(2)点P为直线 下方抛物线上一动点，作 轴交 于点E， 轴交 于点E，当 的周
长最大时，求点P的坐标和 周长的最大值；
(3)将抛物线 沿射线 方向平移 个单位，得到新的抛物线 ，在新的抛物线
上是否存在点H，使 ，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在，点H的坐标为 或
【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点 的坐标，进而可求出直线 的表达式，由题意可得 ，推出 ，
，则 ，求出 的最大值即可求解；
（3）求出新抛物线的表达式为： ，分当点H在x轴上方时，延长
交 轴于点 ，当点H在 下方时，过点B作直线 ，两种情况讨论，即可求出答案．
【详解】（1）解：将 、点 代入 ，
得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；………………………………4分
（2）令 ，则 ，
点 ，
设直线 的表达式为： ，将点 ，点 ，代入得：
，
解得： ，
直线直线 的表达式为： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴交 于点E， 轴交 于点E，
∴ ，
， ，
∴
设点 ，则 ，
则 ，
即 ，
，
有最大值为2，此时点 ；
则 的周长有最大值，最大值为 ；
………………………………8分
（3）存在，点H的坐标为 或
将抛物线 沿射线 方向平移 个单位，相当于向右平移 个单位，向上平
移 个单位，则新抛物线的表达式为： ，
连接 ， 当点H在 下方时，过点B作直线 ，则点 即为直线 与抛物线
的交点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的表达式为： ，
将点 ，点 ，代入得：
，
解得： ，
直线 的表达式为： ，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，联立得到 ，
解得 或 （舍去），
∴点H的坐标为 ；
当点H在x轴上方时，延长 交 轴于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立得到 ，解得 或 （舍去），
此时 两点重合，
∴点H的坐标为 ；
综上，点H的坐标为 或 ．………………………………12分
27．（14分）定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点
对已知线段的视角，如图①， 是点P对线段 的视角．
问题：如图②，已知线段 与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段 的视角最大．
小明的分析思路如下：过A、B两点，作 使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段 的视角最大，
即 最大．
小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接 ，如图
②，设直线 交圆O于点H，连接 ，
则 ．（依据1）
∵ ．（依据2）
∴
∴
所以，点P对线段 的视角最大．
(1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2；
依据1：________________________________________
依据2：________________________________________
(2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，
线段 是球门的宽， 是球场边线， 是直角， ．
①若球员沿 带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在 上求作点P，使点P对 的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．
②若 ， ，直接写出①中所作的点P对 的最大视角的度数（参考数据：
．）
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据圆周角定理，三角形外角的性质，即可求解；
（2）①作线段 的垂直平分线交 于点P，点P即为所求；②过A、B两点，作 使其与直线 相
切，切点为P，设 交 于点M，设 ，则 ，可得四边形 是矩形，从而
得到 ， ，在 中，根据勾股定理，可得 ，从而得到 ，
进而得到 ，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：在直线l上另外任取一点Q，连接 ，如图②，设直线 交圆O于点H，连接
，
则 ．（同弧所对的圆周角相等）
∵ ．（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．）
∴
∴ ，
所以，点P对线段 的视角最大．………………………………5分
（2）解：①如图，作线段 的垂直平分线交 于点P，点P即为所求．
………………………………8分
②过A、B两点，作 使其与直线 相切，切点为P，设 交 于点M，设 ，则，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最大视角是 ．………………………………14分
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形、直线和圆相切等，这种新定义类的题目，通常按
照题设的顺序求解，一般比较容易解答．
