文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（重庆卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1． 的绝对值是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义计算即可．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
【详解】解： 的绝对值是2024，
故选：B．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A．不是中心对称图形，该选项不合题意；
B．不是中心对称图形，该选项不合题意；
C．是中心对称图形，该选项符合题意；
D．不是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：C．
3．若点 在反比例函数 的图象上，则k的值是（ ）
A．5 B． C． D．4【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，将 代入反比例函数解析式计算即可得解．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．如图， 与 是位似图形，位似中心是点O，若 ，且 的面积为12，则
的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由位似图形的性质得 ，
，由相似三角形的性质，即可求解；掌握位似图形的性质及相似三角形的性质是解题的关
键．
【详解】解：∵ 与 是位似图形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故选：A．5．将一把直尺与一块含有 角的直角三角板按如图方式放置，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出 ，然后利用三角形外角
的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴
∴
∴ ．
故选：B．
6．估算 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出 的范围是解此题的关键．
利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
∵
∴ 即 ，
故选：C．7．如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，第②个图案有9个圆，第③个
图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ）
A．34 B．35 C．39 D．40
【答案】A
【分析】根据前面四个图案的情况找出规律，然后可以算得答案．
【详解】解：由前面4个图案的情况可以得到排列规律为：
第1个图案圆的个数为：4×1+0=4个；
第2个图案圆的个数为：4×2+1=9个；
第3个图案圆的个数为：4×3+2=14个；
第4个图案圆的个数为：4×4+3=19个；
......
∴第n个图案圆的个数为：4×n+n-1=5n-1个；
∴第7个图案圆的个数为：5×7-1=34个；
故选：A．
8．如图， 是半圆的直径，点D是 的中点，连接 ， ， 于点E．若 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ．由圆周角定理可得 ，根据点D是 的中点，可知
，即可证 为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出 ，
最后根据 ，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ．∴ ．
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选A．
9．如图，在正方形 中，M， N分别是 ， 的中点， ， 相交于点E， 与 相交于
点F，分别连接 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 平分 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐项判断
即可．
【详解】如图1，分别延长 ， 相交于点P，∵正方形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选项A结论正确；
如图2，过点A作 ，与 的延长线交于点G，作 于点H．
同理可证 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 平分 ，
故选项B结论正确；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选项C结论正确；
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
故选项D结论错误．
故选：D.
10．将 （所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：
“x、y对调操作”的结果为 ，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操
作”．下列说法：
①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；
②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则 或 ；
③若 ，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论．
【详解】解： ，
“x、n对调操作”的结果为
“y、m对调操作”的结果为 ，故①错误；
∵“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，
∴ ，
，
，
解得： 或 ，故②正确；
∵ ，
∴
∴对调后的结果为 ， ， ，共有3种不同运算结果，故③错误；
综上所述，正确的为②，
故选B
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
上．）
11．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：153.86亿=15386000000= ，
故答案为： ．
12．李老师记得王老师的电话号码是 □□，最后两个数字有一个是7，还有一个数字和其他数字都
不重复，李老师要拨通王老师的电话，最多要试打 次．
【答案】8
【分析】本题考查了列举法，列出所有可能的结果是解题的关键．
列出所有可能的结果即可求解．
【详解】解：这个电话号码已知数字有0、4、5、6、7、8，剩下的这个数字可能是1、2、3、9，
因为最后两个数字有一个是7，7可能在倒数第二的位置或最后一位的位置，所以最后两位数字可能是：
71、72、73、79、17、27、37、97，所以最多要试打8次．
故答案为：8．
13．如图，在菱形 中， ，E为对角线 上一点，连接 并延长交 的延长线于点
F，连接 ， ，则 ．
【答案】32
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，根据菱形的性质可得
， ，易证 ，得到 ，再根据菱形的性质
求出 ， ， ，进而求出 ，利用三角形内角和定理求
出 ，得到 由 即可得到结果．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：32．
14．已知关于x的不等式组 至少有三个整数解，且关于y的分式方程 的解为
非负整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解两个不等式，再根据不等式组至少有3
个整数解得到 ，再解分式方程确定a的值即可得到答案．正确计算是解题的关键．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 ，得： ，
∵关于x的不等式组 至少有三个整数解，
∴ ，∴ ，
由 ，得 ，
∵关于y的分式方程 的解为非负整数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，同时a是偶数，
则所有满足条件的整数a有： ，0，4，6
∴所有满足条件的整数a的值之和为 ，
故答案为：8．
15．如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 的切线，点D为切点，点E在 的延长线
上， ， ，垂足分别为点O，F，连接 ．若 ， ，则 ，
．
【答案】12；
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定
和性质等知识点，过C作 交 延长线于点H，连接 ，根据切线的性质、正方形的判定可得
四边形 为正方形，再由勾股定理 ，可求出 ，再根据正方形的性质可求 ，即可求得直径 ；过D作 交 于点Q，连接 ，根据等面积法即
，可求出 ，由同弧所对的圆周角相等可得 ，
进而可求出 ，再根据 ，可证明A、C、O、F四点共圆，根据同弧所对的圆周
角相等可得 ， ，从而证明 ，最
后由 ，即可求出 ，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过C作 交 延长线于点H，过D作 交 于点Q，连接 ，
，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ 、 、 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 为正方形，
设 ，
则 ，∵ ，
即 ，
解得： （舍去负值），
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∴A、C、O、F四点共圆，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：12； ．
16．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数m是否是大吉数，可以用m的末三位数减去末三位数
以前的数字所组成的数，其差记为 ，如果 是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字
253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则 ，因为 ，所
以 是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数 （其中 ，且 为整
数）是“大吉数”，则 ．若p，q均为“大吉数”，且 ， （
， ， 且 、 、 均为整数），则 的最大值为 ．
【答案】91，819
【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出方程，求出未知数的值，即可．
解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．
【详解】解：∵整数 （其中 ，且n为整数）是“大吉数”，
∴ 能被13整除；
∵ ，
∴ 能被13整除，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，是“大吉数”，
∴ ，是“大吉数”，
∴ 能被13整除，
∴ 能被13整除，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是“大吉数”，
∴ ，是“大吉数”，
∴ ，能被13整除，
∴ 能被13整除，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， ， ，此时 ，
当 时，不存在y，z满足条件；
当 时，不存在y，z满足条件；
当 时， ， ，此时 ，
综上： 或 ，
∴ 或 ；
∴ 或 ；
∴ 的最大值为819．
故答案为：91，819．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17．计算：
（1） ．（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握运算法则是解
题关键．（1）先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得；
（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将x的值代入计算即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
将 代入得：原式 ．
18．学习了平行四边形后，小高进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线
所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是
通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作 的平分线，交 于点F．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在 中， ， 交于点O， 平分 交 于点E， 平分 交 于
点F．
求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ①
∴ ．
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ②
∴ ．
又∵ ③ ， ，
∴
∴ ．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所
得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ．
【答案】（1）作图见解析；（2）① ；② ；③ ；④被对角线的交点平分
【分析】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据要求画出图形，
证明 ，可得结论．
【详解】如图所示， 即为所求：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴∴ ．
小高再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所
得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段被对角线的交点
平分．
故答案为：① ；② ；③ ；④被对角线的交点平分．
19．中考体考在即，某校对初三年级共830名学生进行了最后一次体测（满分50分且分数均为整数）.测
试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上.现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行
整理、描述和分析（分数用x表示， 为合格， 为良好， 为优秀），得到下
列信息：
甲班10名学生的测试成绩为：50，46，40，49，50，50，47，49，50，47
乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47
抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
甲班 47.8 49 a
乙班 47.8 b 49
根据以上信息回答以下问题：
（1）填空： ____________， ____________， ____________；
（2）你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？
【答案】（1）50，48，10；（2）见解析；（3）415人．
【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这
些统计量作决策是解答的关键．（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可；（2）根据甲乙两班
的平均数、中位数和众数分析决策即可；（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可．
【详解】（1）解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50，∴ ，
∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48， 48，48，48出现3次，
众数是49，
∴49出现4次，
优秀人数为 （人），
∴优秀的学生都是49，
∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48，
∴中位数 ，
∵乙组合格的人数为 ，
∴ ，
即 ，
故答案为：50，48，10
（2）解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等都是47.8、甲班的中位数49大于乙班的中位数
48；
（3）解： （人），
答：估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有415人．
20．重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大
桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的 ，
用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份．
（1）求两种小吃的单价分别为多少元？
（2）已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份 元．某天该小吃店售出两种小吃
共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？
【答案】（1）山城冰汤圆的单价为8元，则玫瑰冰粉的单价为6元；（2）当天至少卖出山城冰汤圆60份
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设山城冰汤圆的单价为 元，则玫瑰冰粉的单价为 元，根据用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份列出方程求解即
可；
（2）设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉 份，根据总利润不低于380元列出不等式求
解即可．
【详解】（1）解：设山城冰汤圆的单价为 元，则玫瑰冰粉的单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ， ，
答：山城冰汤圆的单价为8元，则玫瑰冰粉的单价为6元；
（2）解：设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉 份，
由题意得， ，
解得 ，
∴m的最小值为60，
答：当天至少卖出山城冰汤圆60份．
21．如图，在 中， ， ， ，点P为直角边 ， 边上一动点，现从
点B出发，沿着 的方向运动至点A处停止．点P在 上的运动速度为每秒2个单位，在
上的运动速度为每秒 个单位，运动时间为x秒， 的面积为y．（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）画出这个函数的图象，写出该函数的一条性质：
（3）结合函数图象，当 时，直接写出y的范围．
【答案】（1） ；（2）作图见解析，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y随x的增大而减小；（3）
【分析】本题主要考查函数图象的性质，熟练掌握题意是解题的关键．（1）当P在 上时， ，
当P在 上时， ，分两种情况讨论即可；（2）根据函数图象得出性质；（3）根据图
象x的取值范围求出y的范围．
【详解】（1）解：当P在 上时， ，
∴ ，
当P在 上时， ，
，
由于 ，∴ ， ，
综上， ；
（2）解：如图：
由函数图象，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；
（3）解： ．
22．如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．
如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB
坡度i＝3：4，且 米，BC＝50米，CD⊥BF于点C（A，B，C，D，E，F均在同一平面内，
AE∥BF）．
（1）求平台上点B到山体底部地面AE的距离；
（2）求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，
cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）【答案】（1）48米；（2）100米
【分析】（1）过点B作 ，根据 坡度 ，且 米，设 ，则 ，
进而求得 ，即可求得k，进而求得 ；（2）延长 交 于点H，解直角三角形 ，
进而即可求得 ， ．
【详解】（1）解：如图，过点B作 ，
∵ AB坡度 ，且 米，
∴
设 ，则 ，
∴
∴
∴ 米， 米
∴ 米
即平台上点B到山体底部底面AE的距离为48米；
（2）解：如图，延长 交 于点H，∵ ， ，
∴四边形 是矩形
则 米， 米，
∴ 米，
∵在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，
即 ，
∴在 中， 米
∴ 米
即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为100米．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，过点B的直线与
y轴交于点 ．
（1）求抛物线的表达式：
（2）如图1，点E是抛物线顶点，P是 轴上方抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于点R，
过点P作直线 的垂线交 于点Q，点M、N为y轴上的动点（点M在点N的上方），且 ，当
的周长取得最大值时，求 的最小值；
（3）如图2，把抛物线沿射线 的方向平移 个单位得到新抛物线 ，点H在新抛物线 的对称轴上，
过点H作直线 的平行线，交x轴于点G，连接 ．若 ，直接写出所有符合条件的点H的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设直线 的表达式为 ，求出表达式，当 最
大时， 的周长最大，设 ，则 ，得 ，
当 时， 最大，此时 的周长最大，得 ，作 ，截取 ，连
接 ， ，N，E三点共线时 最小；（3）由抛物线沿射线 方向平移 个单位，得出新抛
物线的顶点坐标为 即 ，对称轴为直线 ，设 ，直线 交x轴于点
M，分两种情况：
①当点H在x轴上方时，②当点H在x轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；（2）解：设直线 的表达式为 ，
把 ， 代入 得 ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 最大时， 的周长最大，
设 ，则 ，∴ ，
当 时， 最大，此时 的周长最大，
∴ ，
∴ ，
∴ 的顶点E的坐标为 ，
即 ；
作 ，截取 ，连接 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，若使 最小，则 最小即可，
∵ ，
∴ ，N，E三点共线时 最小，∴ ，
∴ ；
（3）解：把抛物线沿射线 方向平移 个单位，相当于向上平移 个单位，向右平移
个单位，
∴新抛物线的顶点坐标为 ，即 ，
∴对称轴为直线 ，
设 ，直线 交x轴于点M，
①当点H在x轴上方时，
如图，当 时，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中 ，
∴
∴ （舍去）， ，
∴ ，
②当点H在x轴下方时，如图，
此时 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同①可得 ， ，
，
在 中 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴ ，
综上所述，点H的坐标为 或 ．
24．如图所示，在等腰三角形 中， ， ，等边 边长为4，连接 ．（1）如图①，若 ， ，求 ；
（2）如图②，取 中点F，连接 ， ， ，猜想线段 与 之间的数量关系，并证明你的结
论；
（3）在（2）的条件下，将 沿 翻折得 ，连接 ，若 ，则当 最小时，求
的值．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）作 于点 ，作 于点G，先求得 ，
，再利用等腰直角三角形的性质求得 ，据此求解即可；
（2）连接 并延长至M，使 ，连接 ， ，延长 交 于点N，交 于点H，
证明 和 ，推出 是等边三角形，据此求解即可；
（3）推出当A、 、B共线时， 最小，此时点D、 重合，且都在线段 上，求得 ，
利用勾股定理求得 ，过点C作 于点K，利用勾股定理求得 ，据此求解即
可．
【详解】（1）解：过点E作 于点 ，过点D作 于点G，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
（2）解： ，理由如下，
连接 并延长至M，使 ，连接 、 ，延长 交 于点N，交 于点H，∵点F是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：过点D作 于点G，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
点 在以点A为圆心，1为半径的圆上，当A、 、B共线时， 最小，此时点D、 重合，且都在
线段 上，
，
∴ ，
∴ ，
过点C作 于点K，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
