文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（辽宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数 是2025的（ ）
A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了实数及相反数，熟练掌握实数及相反数的意义是解题的关键；因此此题可根据相反数
的意义进行求解
【详解】解：实数 是2025的相反数；
故选：B ．
2．如图所示物体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了三视图，俯视图是从上面观察几何体而画出的图形．根据 得到俯视图为，即可得到答案．
【详解】
解： ，
俯视图为 ，
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称
图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．2024年我省夏粮总产量约350亿斤，这里“350亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：“350亿”用科学记数法表示为 ．
故选：B．
5．下列一元二次方程中有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
关于 的一元二次方程 ，其根的判别式为 ．当 时，方程有两个不相
等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即
可．
【详解】解：A. ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程有实数根，本选项符合题意；
B. ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程无实数根，本选项不符合题意；
C. ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程无实数根，本选项不符合题意；
D. ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程无实数根，本选项不符合题意．
故选：A．6．已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根
时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为： ，再根据方程的解为正数及分母不为
0，列不等式组，从而可得答案．
【详解】解： ，
，
解得： ，
∵关于 的方程 的解是正数，
且 ，
解得： 且 ．
故选：A．
7．已知正比例函数 （ 为常数， ），若 的值随着 值的增大而减小，则一次函数
在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数 ，当 时，图象过一、
二、三象限；当 时，图象过一、三、四象限； 时，图象过一、二、四象限；
时，图象过二、三、四象限是解决此题的关键，由于正比例函数 函数值随 的增
大而减小，可得 ，然后，判断一次函数 的图象经过象限即可．
【详解】解：正比例函数 （ 为常数， ）中的 的值随着 值的增大而减小，，
一次函数 的图象经过二、三、四象限；
故选： ．
8．《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一
尺．问木长几何？”其大意：“现有一根木头，不知道有多少尺，用一根绳子测量，绳子还余4.5尺，将
绳子对折再测量，绳子短1尺，问这根木头的长有多少尺？若设木头的长为 尺，则可以列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头的长为 尺，依题意得 ，即可，正确理
解题意、找准相等关系是解题的关键．
【详解】解：设木头的长为 尺，依题意得：
，
故选：D．
9．如图，点 在 的延长线上， 交于点 ，且 ， ， ， 为
线段 上一动点， 为 上一点，且满足 ， 为 的平分线，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，由 可得 ，因此
，结合 ，可得出 ，因此 ，进而可得 ， 为
的平分线， ，根据
可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的平分线，
，
，
故选：C．
10．如图，在矩形 中， ， ，点P在对角线 上，以点A为圆心，2为半径长作 ，
以点P为圆心作 ，如果点C在 内而点D在 外，并且 与 外切，那么可以作为 半径长
的值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，过点 作 ，解题关键是求出 、 的长，
再确定 的半径 的取值范围即可．
【详解】解：矩形 中， ， ，则 ， ，
由勾股定理可得： ，
过点 作 ，则 ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
令 与 交于点 ，设 ，则 ， ， ，
， ，
∴ ，
∵点C在 内而点D在 外，并且 与 外切，
{
8−r r r ，即 ( r− 22) 2 + (24) 2 >r2 ，
5 5
{r>4
∴ 53，
r<
11
即 的半径 的取值范围为： ，
故四个选项中，只有4.5在该范围内，故答案为：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式
计算和变形即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把线段 沿 轴向右平移得到 ，若四边形 的
面积为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的
关键．根据平移的性质得出四边形 是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形
的面积求得 的长，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵把线段 沿 轴向右平移得到 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，A和C的纵坐标相同，∵四边形 的面积为 ，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
13．如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡 发光的概率为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可
能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：设 、 、 、 分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
∴能够让灯泡发光的概率为： ，
故答案为： ．14．如图，点A，B为直线 上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线 于C，
D两点．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，勾股定理等，设 ， ，可得 ， ，
求出 、 ，由勾股定理得 ， ，即可求解；能熟练利用勾股定理及整体代换
思想求解是解题的关键．
【详解】解： 点A，B为直线 上的两点，
可设 ， ，
过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线 于C，D两点，
， ，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ，点E为直线 上一动点，连接 ， ，若 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 即为 的最小值，由
轴对称的性质可得 ， ，由直角三角形的两个锐角互余可得 ，
进而可得 ，由等角对等边可得 ，在 中，根据勾股定理可得
，即 ，进而可得 ， ， ，
由平行四边形的性质可得 ， ，由两直线平行内错角相等可得 ，
在 中，根据勾股定理可得 ，由此即可求出 的最小值．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，设 交 于点 ，则 即为 的最小值，
由轴对称的性质可得：
， ，
，
，
，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问
题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题
关键．
（1）首先进行二次根式化简、乘方运算、零指数幂运算以及化简绝对值，然后相加减即可；
（2）首先进行括号内的运算，将除法转化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）原式 （3分）
；（5分）
（2）原式 （8分）
．（10分）
17．（8分）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器
和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础
上加价 进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．
【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元
(2)全部售出后共可获利1480元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设一个干粉灭火器的进价为 元，一个消防自救呼吸器的进价为 元，根据题意列出方程组，解出
的值即可解答；
（2）设购进干粉灭火器 个，购进消防自救呼吸器 个，根据题意列出方程组，解出 的值，再计算获利即可解答．
【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为 元，一个消防自救呼吸器的进价为 元，
由题意得， ，（2分）
解得： ，
答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元．（4分）
（2）解：设购进干粉灭火器 个，购进消防自救呼吸器 个，
由题意得， ，（6分）
解得： ，（7分）
购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个，
全部售出后共可获利 （元），
答：全部售出后共可获利1480元．（8分）
18．（9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之
气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生
每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在 范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
课外阅读时间x（ 等 人
） 级 数
D 3
C a
B 8
A 4(1)统计表中的 _______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度；
(2)阅读时间在 的众数是_______；阅读时间的中位数是________；
(3)请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人；
(4)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列
举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)5，144
(2)40 ，40
(3)估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于
(4)
【分析】本题考查统计图表，求众数与中位数，用样本估计总体，树状图法求概率，从统计图表中有效的
获取信息，是解题的关键：
（1）用总数减去其他组的人数求出 的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数；
（2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为：5，144（2分）
（2）解：阅读时间在 的数据中出现次数最多的是40；
故众数为40 ；（3分）
将数据排序后，第10个和第11个数据均为40，
∴中位数为： ；（4分）
（3）解： （名）；答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于 ；（6分）
（4）解：画树状图如下：
（8分）
共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种；
（一名男生和一名女生） ．（9分）
19．（8分） 年舟山群岛马拉松，吸引了来自 个国家和地区的约 名运动员参与，以“向海风
许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．
甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．
从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（ ）与时间t（ ）之间的
关系如图所示．根据图象回答下列问题：
(1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值．
(2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？
(3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距 ？
【答案】(1) ，
(2)甲的速度为 ，乙的速度为
(3) 或 或 或
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键．
（1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值；
（2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度；（3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出 和 的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为 ，
由直线 可得， ，
当 时， ；（2分）
（2）由（1）得 ， （4分）
∵直线 过点 ， ，
∴ ，（6分）
∴甲的速度为 ，乙的速度为 ；
（3）由（2）可得，直线 的解析式为： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．（8分）
综上所述，乙经过第一个补给点后 或 或 或 ，甲乙两名选手相距 ．
20．（8分）【研学实践】为了缅怀先烈，重温“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到华东革命
烈士纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机搭载的 扫描仪采集纪念碑的相关数据．
【数据采集】如图，点A是纪念碑顶部一点， 的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水
平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面38米的点C处时，测得点A的仰角 ；然后沿
方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 ，当到达点A正上方的点E处时，测得 米；
……
【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离 的长（结果精确到1米．参考数据： ， ，
， ， ， ）．
【答案】点 到地面的距离 的长约为 米．
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，矩形的性质等知识，延长 交
于点 ，根据矩形的性质得到 ，解直角三角形即可得到结论，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，
由题意得，四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ，
，（2分）
在 中， ，
，（4分）
设 ，
∵ ，∴ ，
，
解得： ，（7分）
∴ （米）（8分）
答：点 到地面的距离 的长约为 米．
21．（8分）如图， 是 的外接圆，且 ．连接 交延长交 于点D．过点A作
，垂足为点E．点F在 的延长线上，连接 ．使 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)直线 与 相切，理由见解析
(2) 的半径为
【分析】（1）连接 ，证明 ，由角的等量代换即可证明 ，可得结论；
（2）连接 ，延长 交 于点M，证明 ，在 中， ，代入计
算即可．
【详解】（1）解：直线 与 相切，理由如下：
证明：连接 ，
∵ ，
∴
∴
∵∴ （2分）
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线．（4分）
（2）解：如图，连接 ，延长 交 于点M，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（6分）
在 中， ，
∵ ，
∴
解得， ．即 的半径为 ．（8分）
【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌
握圆的有关性质是解题的关键．
22．（12分）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截
面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条
的直线 ，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过B作 垂直于x轴，交x轴于A，交直线 于C，过点
B作 垂直于直线 ，交直线 于D，求 的最大值．
②如图3，G为直线 上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为 ；②G点坐标为 或 或 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由图可知抛物线经过原点，即 ，求出a的
值即可求函数的解析式；
（2）①由题可知 是等腰直角三角形，则 ，设 ，则 ，，当 时， 的最大值为 ，即可得出问题答案；
②由①可得 ，然后根据题意可分当 时，当 时，然后根据正方形的性
质可分类进行求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，（3分）
∴抛物线的解析式为 ；（4分）
（2）解：①∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，（5分）
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，（6分）
设 ，则 ，
∴ ，（7分）
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ；（8分）
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得 ，
∴当 时， 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
∴H点的纵坐标为5，
∴ ，
解得 或 ，
∵G点在直线 上，
∴ 或 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，如图，连接 ，交 于点M，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
综上所述：G点坐标为 或 或 或 ．（12分）【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三
角形的性质是解题的关键．
23．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是 ， 上的两点，连接 ， ，
，则 的值为________；
（2）如图2，在矩形 中， ，点E是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
的值为_____；
【类比探究】（3）如图3，在四边形 中， ，点E为 上一点，连接 ，过点C作
的垂线交 的延长线于点G，交 的延长线于点F，求证： ；
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点A
落在点C处得 ，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4） ．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，得到答案；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，列出比例式，证明结论；
（4）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ， 与 相交于点 ，根据正切的定义得到
，根据勾股定理分别求出 、 ，根据三角形的面积公式求出 ，计算即可．
【详解】（1）解：设 与 交于点 ，如图所示：四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，即 ，（2分）
（2）设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是矩形，
， ， ，
∴ ，
，
，
，
，
又∵ ，，
，
，
，（4分）
（3）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：
，
，
四边形 为矩形，
， ，（5分）
又∵ ，
，
，
，（6分）
，
，
；（7分）
（4）∵将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，如图所示：
， ，，
，
，
，
，（8分）
在 中， ，
，即 ，设 ，则 ，
，
，
或 （线段长的负值舍去），（10分）
， ，
，
，
，
，（11分）
．（12分）
