文档内容
2025 年中考押题预测卷（辽宁卷 02）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．北京时间2025年1月21日1时12分，经过约 小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、
宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装
置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆
满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为 秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相
反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可．
【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为 秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为 秒．
故选：
2．下列几何体都是由6个棱长为1的正方体组成，则俯视图面积与其他三个不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是掌握找俯视图的方法，即从物体的上面看得到的图形．
找到从上面看得到的图形，比较即可．
【详解】解：A、B、C三个选项中的俯视图有4个小正方形；D选项中的俯视图有5个正方形，因此俯视图面积与其他三个不相等的是D选项中的几何体．
故选：D．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线
折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此即可判断．
【详解】解：第一个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
第二个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意；
第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意；
第四个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意；
∴是轴对称图形但不是中心对称图形的有2个，
故选：C．
4．计算 与 的和的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式．
【详解】解： ， ，
它们的和为： ，
故选：A．
5．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程 的根与判别
式 的关系是解题关键．
利用根的判别式 列出关于 的方程，求解即可．
【详解】解：根据题意，可得 ，
解得 或9．
故选：C．
6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多
六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，
那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有 间
房，则可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．根据“如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1
间房”，结合客人人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：C．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示，根据图象得到
如下结论，其中结论错误的是（ ）A．在一次函数 的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组 的解为
C．方程 的解为
D．当 时，
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标
轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】A．由函数图象可知，直线 从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，
故A结论正确，不合题意；
B．由函数图象可知，一次函数 与 的图象交点坐标为 ，所以方程组
的解为 ，故B结论正确，不合题意；
C．由函数图象可知，直线 与x轴的交点坐标为 ，所以方程 的解为 ，故C结
论正确，不合题意；
D．由函数图象可知， 当 时， ，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
8．若关于 的分式方程 的解为正数，则满足条件的正整数 的值为（ ）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3
【答案】D
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，
根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于 的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解方程 ，得： ，
∵方程的解为正数，且 ，
∴ ，解得： 且 ，
∴满足条件的正整数 的值为1，3；故选D．
9．如图，在菱形 中， ， ， 、 分别是 、 上的动点，连接 、 ， 、
分别为 、 的中点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，垂线段最短，熟练掌握知识点是
解题的关键．
连接 ，过点 作 于点F，先解 求出 ，再由三角形的中位线定理可知 ，
那么当 时， 最小，即 最小，即可求解．
【详解】解：连接 ，过点 作 于点F，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴当 时， 最小，即 最小，
∴此时点 与点 重合，
∴ 的最小值即为 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：A．10．如图， 是 的直径， ，点 为劣弧 （不含端点）上一点，连接 ，分别
交 ， 于点 ．若 的半径为1，记 ，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线，熟练
掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
可得 ， ，导角证明 ，则 ，化简即可得到 ，即可判
断．
【详解】解：如图，
∵ 是 的直径， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故D符合题意，而A、B、C代数式的值均不能证明不变，故不符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．若 ，则 的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根
式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到 的取值范围，再根据 的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到
，即 ，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，解得： ，
，，
，
，
故答案为：2025．
12．在平面直角坐标系中，将点 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 ，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3
即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
13．小浩了解了祖冲之、赵爽、杨辉、秦九韶、刘徽这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大
成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选出两位的成就进行分享，选到
数学家赵爽和祖冲之的概率是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，
列表可得出所有等可能的结果数以及选到数学家赵爽和祖冲之的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟
练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键．
【详解】解：将祖冲之、赵爽、杨辉、秦九韶、刘徽这 位数学家分别记为 ， ， ， ， ，
列表如下：共有 种等可能的结果，其中选到数学家赵爽和祖冲之的结果有： ， ，共 种，
∴选到数学家赵爽和祖冲之的概率是 ．
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 是坐标原点，点 在 轴上，点 在反比例函数
的图象上．若菱形 的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数的比例系数k的几何意义等知识点．正确作出辅助线、根
据菱形性质求出 是解题的关键．
如图：连接 交 于D，由菱形的性质可知 ，根据反比例函数 中k的几何意义以及菱
形的面积求出k的值即可．
【详解】解：如图：连接 交 于D，
∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵顶点A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
由反比例函数的一支在第二象限，则 ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，在菱形 中， 为锐角，点 ， 分别在边 ， 上，且满足 ，
．将菱形沿 翻折，使点 落在平面 内的点 处．若菱形 的周长和面积分
别为12和6，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，
熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接 ，过点 作 于点H，交 于点 ，交 于点 ，由题意得可得菱形边长为3，
，由勾股定理求出 ，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形 是矩形，以及四
边形 为矩形，则 ，由平行线分线段成比例定理可得 ，再结合折叠可得
，最后在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，过点 作 于点H，交 于点 ，交 于点 ，∵菱形 的周长和面积分别为12和6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵折叠，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵折叠， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题 （本大题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则
是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
（3分）；（5分）
（2）
（7分）
．（10分）
17．（8分）习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须掌握在自己手中”．为优选品种，提高产量，
某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收
获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两
个品种全部售出后总收入为644000元．
(1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少；
(2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平
均亩产量将在去年的基础上分别增加 千克和 千克，由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去
年的基础上每千克上涨 元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降 元．甲、乙两个品种
全部售出后总收入将在去年的基础上增加7600元．求 的值．
【答案】(1)甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克
(2)4
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是 千克，根据：甲的平均亩产
量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解；
（2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和，先表示出总收入，进而得到关于 的方程，解方程即得答
案．
【详解】（1）解：设甲水稻品种去年平均亩产量是 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是 千克，根据题
意得
， （2分）解得 ． （4分）
答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克．
（2）解：由题意得，甲、乙两个品种全部售出后总收入：
，（6分）
∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加7600元，可得
，
解得 ．（8分）
答： 的值为4．
18．（9分）寒假期间，数学实践活动小组对九年级 班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线
上调查，每位同学在《哪吒 》《唐探 》《熊出没》《封神 》《美国队长 》这5部电影中选择 部，
将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
人 百分
电影
数 数
（哪吒 ）
《唐探 》
《熊出没》
《封神 》
《美国队长 》
(1)九年级 班共有学生________名： ________；
(2)若该年级有学生 名，请估计最喜欢的电影为《哪吒 》的学生人数；
(3)已知在选择最喜欢电影《封神 》的 人中有 名男生， 名女生，现随机抽取 人赠送电影票，请利用
列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】(1) ， ；
(2) 名；
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表、用样本估计总体、画树状图求概率．
根据喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的 ，人数是 名，可以求出九年级 班共有学生 名；
根据喜欢《美国队长 》的有 名，求出 的值即可；
根据九年级 班喜欢《哪吒 》的人数占全班人数的 ，用样本估计总体求出该年级喜欢《哪吒
》的人数；
画树状图可知共有 种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有 种，利用概率公式求出
结果即可．
【详解】（1）解：由统计表可知：喜欢《熊出没》的人数占全班总人数的 ，
由条形统计图可知：喜欢《熊出没》的人数是 名，
九年级 班共有学生 (名)，
由统计表可知：喜欢《美国队长 》的有 名，
；
故答案为： ， ；（4分）
（2）解：由统计表可知：九年级 班喜欢《唐探 》的有 名，喜欢《熊出没》的有 名，喜欢《封神
》的有 名，喜欢《美国队长 》的有 名，
喜欢《哪吒 》的人数是 名，
喜欢《哪吒 》的人数占全班人数的 ，（5分）
用样本估计总体，
可知该年级有学生 名，估计最喜欢的电影为《哪吒 》的学生人数为 名；（6分）
（3）解：画树状图如下，
（8分）从图中可知共有 种等可能的情况，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有 种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 ．（9分）
19．（8分）凤翔草编是历史悠久的传统手工艺品，作为一种古老的传统民间工艺，据《凤翔县志》记载，
凤翔草编工艺起源于北宋，距今已有一千多年历史，草编制品是凤翔农村世代相传的一种家庭副业．某商
家想要购进一批草编手提包，草编手提包的总价 （元）与购买数量 （个）之间的关系存在如图所示的
关系．
(1)当 时，求 与 之间的函数表达式；
(2)若该商家计划用 元购进草编手提包，再以 元/个的价格售出，求该商家售完这批草编手提包获得的
总利润．
【答案】(1) ；
(2)该商家售完这批草编手提包获得的总利润为 元．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，已知函数值求自变量的值，
解题的关键是设出一次函数的解析式，再代入两点坐标求解．
（1）先设出一次函数表达式，再将两点的坐标代入，求出待定系数即可；
（2）当 时，得到关于 的方程求出购买数量，再根据利润等于总售价减总进价，即可解题．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数表达式为 （ 、 为常数，且 ）．
将 和 代入 ，
得 ，（2分）解得： ，（4分）
当 时， 与 之间的函数表达式为 ．（5分）
（2）当 时， ，
解得 ，（7分）
（元），（8分）
该商家售完这批草编手提包获得的总利润为290元．
20．（8分）如图，某型号订书机的主要部件托板 与手柄 的长度相等，均为 ，其中托板分为
弹簧 ，长为 的推动器 和书钉 三段，连杆的一端通过销子 与手柄相连，另一端可在 段
滑动，当托板与手柄的夹角 张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端 并随着 的增大拉
动推动器向销子 方向移动．现测得销子 ， 之间的距离为 ，连杆与推动器的长度之和等于销子
到手柄端点 的距离．
(1)如图①，当连杆勾住点 时，若 ，求此时书钉的长度（结果精确到 ，参考数据：
， ）；
(2)如图②，已知一条新书钉的长度为 ，当装好一条新书钉且连杆勾住点 时，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）勾股定理求出 的长，再利用线段的和差关系求出 的长即可；
（2）过点 作 ，设 ，求出 的长，利用双勾股定理，列出方程求出 的长，再利用余弦的定义，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∴ ，（2分）
∵ ，
∴ ，（3分）
∴ ；（4分）
答：此时书钉的长度为 ；
（2）过点 作 ，
由题意，得： ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，（6分）
∴ ，解得： ，
∴ ，（7分）
∴ ．（8分）21．（8分）如图， 内接于 ，作 于 ，与 交于点 ，点 在 的延长线上，使得
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得 ，结合三角形内角和性质得
，因为 ，得 ，进行作答即可．
（2）先整理得 ，再根据垂径定理以及圆周角定理得 ，则
，证明 ，得 ，代入数值得 ， ，最后在
中， ．
【详解】（1）解：连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，（1分）
∵ ，
∴ ，（2分）
∵ ，
∴ ，（3分）
∵ 是半径，
∴ 是 的切线；（4分）
（2）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
连接 ，取 的中点 ，连接 交 于一点 ，如图所示：
∵点 是 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，（5分）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（6分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，（7分）
∵
则
∴
在 中， ．（8分）
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，垂径定理，
相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．（12分）【问题背景】如图1，已知抛物线经过 ， ， 三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点 的坐标，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2， 为对称轴左侧抛物线上一动点，点 ，直线 分别与 轴、直线 交于 ， 两
点，当 为等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】
（1） ；
（2） ， ， ；
（3） 或 或 或16
【分析】（1）先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析式；
（2）先利用平行四边形的性质，得出 ， ， ， ， ，
，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标；
（3）分 ， ， 三种情形，分别求解，求出 的长．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为 ，（ ， ， 为常数， ），
∵抛物线经过 ， ， ，∴ ，（2分）
解得 ，（3分）
∴抛物线的解析式为 ；（4分）
（2）如图，有三种情况，
∵ ， ， ，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ， ， ， ， ， ， ，（5分）
∴点 在 点的左边距离为 处，坐标为 ，（6分）
点 在 点的右边距离为 处，坐标为 ，（7分）
点 与 的连线的中点是 点，坐标为 ．（8分）
（3）分类讨论：①当 ，点 在点 的左侧时，过点 作 于点 ，
则 ，
， ，
， ，， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
， ，
∵点 ，
∴ ，
，解得： （舍去）或 ，
；
当 ，点 在点 右侧时，如图，过点 作 轴于点 ，
则 轴，
， ，
， ，
， ，
，，
设 ，则 ， ，
，
， ，
，解得： （舍去）或 ；
②如图，当 时，过点 作 交 轴于点 ，则 ，
设 ，则 ，
，
，解得： ，
，
设直线 的关系式为 ，
则 ，解得： ，
直线 的关系式为 ，
设直线 的关系式为 ，
，解得： ，
直线 的关系式为 ，
，，
③如图，当 时，过点 作 交 轴于点 ，则 ，
， ，
，
，
，
设直线 的关系式为 ，
则 ，解得： ，
直线 的关系式为 ，
设直线 的关系式为 ，
，
，解得： ，
直线 的关系式为 ，
，
．
综上所述， 的长为 或 或 或16．（12分）
【点睛】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析
式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，进
行分类讨论，并结合图形进行求解是解题关键．
23．（12分）【问题提出】（1）如图1，点 是直线 外一点， 于点 ，点 在直线 上， ，连接 ， ，则点
到直线 的最短距离为______；
【问题探究】
（2）如图2，在 中， ，点 、 、 分别为 、 和 的中点，连接 、 ．
求证：四边形 是矩形；
【问题解决】
（3）如图3， 和 是某植物园的两块三角形花圃，且点 、 、 在同一条直线上，
， ， ．点 是 上的动点（不与端点重合），连接 ，现要
沿 搭建一道篱笆墙，并在 区域种植另外一种植物，将 的中点 设为入口，再沿 铺设一条
观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路 的成本，要求 的长尽可能的短．已知 ，
当观赏小路 的长度最短时，求 的长．
【答案】（1）12；（2）见解析；（3） ．
【分析】（1）先利用勾股定理求得 ，再利用垂线段最短求得点 到直线 的最短距离；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再根据它有一个角是直角，证得结论成立；
（3）先证明 是等腰直角三角形，再利用中位线的性质证得 和 ，证得四边形
是矩形，再利用矩形的性质得出 ， ，设 ，接着手 表示
出 ， ，再借助三角函数求得 ，再用 表示出 ，然后利用线段的和求最 的长度最短．
【详解】解：（1） 于点 ， ， ，
∴ ，
∴点 到直线 的最短距离为12．（3分）
（2）证明： 点 、 、 分别为 、 和 的中点，
和 是 的中位线，
， ，
四边形 是平行四边形．（5分），
四边形 是矩形．（7分）
（3）连接 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，过点 作 于点 ， 交 于点
．
，
是等腰直角三角形， ．
在 中，点 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，（8分）
，则 ．
点 是 的中点，点 是 的中点，
是 的中位线，则 ， ．
G、O、H三点共线，
当点 在 上运动时，点 在 上运动，
当 时， 最短，即点 与点 重合时， 的长度最短．（9分）
连接 并延长交 于点 ，则 的长度最短时，点 与点 重合，此时 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
， ．（10分）
在 中，设 ，则 ，
．
在 中， ，
，（11分）
．的长度最短时， ．
当观赏小路 的长最短时， 的长为 ．（12分）
【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，中位线的性质，矩形的判定与性质，解直三角
形，勾股定理等知识，解题的关键是根据矩形的性质与判定求线段长．
