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专题 01 集合与常用逻辑用语
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1：集合 1、集合与充分必要条件相关内容是每年
2025北京卷、2024北京卷、2023北京
的交并补运算 高考的必考板块。在题型方面，主要以选
卷、2022北京卷、2021北京卷、
（5年5考） 择题形式呈现。就考查情况而言，其内
考点2：充分 容、频率、题型及难度都较为稳定，未出
必要条件的判 2025北京卷、2024北京卷、2023北京 现较大波动。
断 卷、2022北京卷、2021北京卷、 2、该部分重点聚焦于集合间的基本运
（5年5考） 算，其中集合的交、并、补运算是考查的
核心要点。考生需熟练掌握这些运算规
则，能够准确判断不同集合在交、并、补
运算下的结果。此外，充分必要条件的判
考点3：新定 断也是重要考查内容。考生要清晰理解充
义问题 2025北京卷、2024北京卷 分条件、必要条件以及充要条件的概念，
（5年2考） 并能依据具体条件关系进行准确判断。备
考时，考生应针对这些重点内容加强练
习，提升解题能力，以从容应对高考相关
题目。
考点01 集合的交并补运算
1．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
故选：D.
2．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 .故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
4．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
5．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： .
故选：B.
考点 02 充分必要条件的判断
6．（2025·北京·高考真题）已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存
在 ，使得 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
9．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
10．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是
“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
考点 03 新定义问题
11．（2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.
设 是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，可知任意两点间距离最大值 ，
阴影部分面积 .
故选：C.
12．（2025·北京·高考真题）已知集合 ，从M中选取n个不
同的元素组成一个序列： ，其中 称为该序列的第i项 ，若该
序列的相邻项 满足： 或 ，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为 的K列，写出它的第2项．
(2)设 为K列，且 中的项 满足：当i为奇数时， ：当i为偶数时，
.判断 ， 能否同时为 中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【解析】（1）根据题目定义可知， 或 ，
若第一项为 ，显然 或 不符合题意（不在集合 中），所以下一项是 或 ；
（2）假设二者同时出现在 中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设 在 之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从 到 必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从 到 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在 中.
（3）法1：若 中的所有元素构成K列，考虑K列中形如 的项，
这样的项共有 个，由题知其下一项为 ，共计16个，
而 ，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，即对于16个 ，有12个 与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则 .
设 ， .
则 和 都包含 个元素，且 中元素的相邻项必定在 中.
如果存在至少两对相邻的项属于 ，那么属于 的项的数目一定多于属于 的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于 .
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如 和 ，
否则将导致属于 的项的个数比属于 的项的个数多2，此时 .
从而这个序列的前 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 ；
这个序列的后 项中，第奇数项属于 ，第偶数项属于 .
如果不存在相邻的属于 的项，那么也可以看作上述表示在 或 的特殊情况.
这意味着必定存在 ，使得 .
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故 中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是 和 （不一定对应）.
但容易验证， 和 都包含 个横纵坐标之和为奇数的点和 个横纵坐标之和为偶数的点，所以
，得 .
从而有 .
这就得到 .
再设 ， .
则同理有 .
这意味着 .
从而得到 ，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．1．（2025·北京·模拟预测）“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题知，圆的圆心为 ，半径为1，
设圆心到直线 的距离为
则 ，解得： .
而 为 的真子集，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
即“ ”是“直线 与圆 相交”的必要不充分条件，
故选：B
2．（2025·北京·三模）设 是非零平面向量， 则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据题意，若 ，则 与 共线，
不防假设 ，则对任意的 都有 ，进而 成立，
故无法判定 ，充分性不成立，
若 ，则 ，所以 ，
故必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2025·北京·三模）已知集合 ， 则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】根据题意， ,
则 .
故选：A
4．（2025·北京朝阳·二模）已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于集合 ， ，化简得 ，所以 .
所以集合 .
对于集合 ， ，根据指数函数的性质可得 .
所以集合 .
所以 .
故选：A.
5．（2025·北京·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 或 ，
又 ，
所以 .
故选：A.
6．（2025·北京·二模）已知集合 ，集合 ，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
错误， 错误， 错误，
，
所以 ，D正确，
故选：D7．（2025·北京昌平·二模）已知全集 ，集合 ， ，则 =（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ， ，则 ，
又 ，所以 .
故选：B.
8．（2025·北京朝阳·二模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，
得 ，解得 或 ，
由 ，得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
9．（2025·北京海淀·二模）已知 是非零平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，得 ，故必要性成立；
由 ，得 ，得 ，
不一定成立，故充分性不成立.
所以“ ”是“ ”必要不充分条件.
故选：B
10．（2025·北京东城·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】由 ，则必有 ，
由 ，则 ，可得 ，
又 ，根据基本不等式有 ，
若 且 ，则有 ，即 是 的充分条件，
若 ，则 ，此时满足 ，但 不成立，
所以 是 的非必要条件，
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
11．（2025·北京海淀·一模）已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．若 ，
则“ 是递增数列”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 是递增数列，则 对所有的正整数 都成立，
充分性：若 是递增数列，则
即 恒成立，又 ， ，
①若数列为无穷数列，
若 ，则 ， 时， ，所以 ；
若 ，则 ， 时， ，所以 ，
此时充分性成立；
②若数列为有穷数列，
若 ， ，只需 即可，此时充分性不成立.
必要性： 时，
若 ，有 ，则 不一定成立，故必要性不成立；
即 时，“ 是递增数列”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
12．（2025·北京丰台·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】集合 ，
则 .
故选：A.
13．（2025·北京海淀·二模）已知集合 ．若 ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意知， ，
因为 ，
所以 .
故选：B
14．（2025·北京东城·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，且 ，
则 .
故选：A
15．（2025·北京·模拟预测）集合 的所有三个元素的子集记为 记 为集
合 中的最大元素，则 （ ）
A．10 B．40 C．45 D．50
【答案】C
【解析】由题知：
， ，
， ，
， ， ，
则
故选：C
16．（2025·北京丰台·二模）已知 是平面直角坐标系 中的
点集．设 是 中两点间距离的最大值， 是 中的点与原点 连线的斜率， 是 表示的图形的面积，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①代入可得 符合题意，故①正确；
∵ 对 恒过点 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
由此我们可知 的点集是由曲线绕A点往上直到 点扫过的区域，如图：
∴ ，故②正确；
， ， ，故③错误；
有图易得 ，故④正确.
故选：C.
17．（2025·北京·三模）已知整数数列 的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：
① ；
②
记
(1)若m=3，且 ，写出 的值；
(2)记 其中 表示集合A中元素的最大值.
（i）若 ， ，求 的最大值；
（ii）当 时，若 ，求Q的最小值.
【解析】（1）由题意可得， ，
所以 .
（2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使 越大，则可考虑一组数据更集中，
一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使 取到最大值，对应极端情况，取数列 为1，3，5；取数列 为2，3，4，
则 ，
下证： 的最大值为2：
法1：（反证法）假设 ，则 ，不妨设 ，
若 ：
因为 ，所以 ，
则 ，与性质②矛盾，舍去；若 ：
因为 ，所以 ，可得
则 ，与性质②矛盾，舍去；
若 ：
因为 ，所以 ，
则 ，与性质②矛盾，舍去．
所以 ，同理可得 ，所以 .
取数列 为1，3，5；取数列 为2，3，4，
则 成立，所以 的最大值为2．
法2：（一般性证明）设 ，不妨设 ，
则 ，
所以 ，（7分）
取数列 为1，3，5；取数列 为2，3，4，
则 成立，所以 的最大值为2．
法3：（枚举法）
取 为1，2，3，则 只能为1，2，3，此时 ；
取 为1，2，4，则 只能为1，2，4，此时 ；
取 为1，2，5，则 可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时 或2；
取 为1，3，4，则 可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时 或2；
取 为1，3，5，则 可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时 或2；
取 为1，4，5，则 可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时 或2；
取 为2，3，4，则 可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时 或2；
取 为2，3，5，则 可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时 或2；取 为2，4，5，则 只能为2，4，5，此时 ；
取 为3，4，5，则 只能为3，4，5，此时 ．
综上， 的最大值为2．
（ii）考虑极端情况，显然 ，
若 为偶数，取 为 ，
取 为
则
解得 成立；
若 为奇数，取 为 ，
取 为
则
解得 ，与 为奇数矛盾，舍去，
所以 的最小值为30，
当 为 为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到．
证明：
记 ，
则 ，
，设
则有 ，其中 分别表示集合 的元素个数
由（i）可得 ，
所以 （＊）
又因为 ，所以 ，进一步有 ，
将 代入（＊）中可得
，
再次代入（＊）中可得 ，解得 ，另一方面，当 为 为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时 ．
所以 的最小值为30．
18．（2025·北京海淀·二模）记 表示有穷集合 的元素个数．已知 是正整数，集合 ．
若集合序列 满足下列三个性质，则称 是“平衡序列”：
① ，其中 ；
② ⫋ ，其中 ；
③对于 中的任意两个不同元素 ，都存在唯一的 ，使得 ．
(1)设 ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知 且集合序列 是“平衡序列”，对于 ，定义：
证明：
（i）当 时， ；
（ii） ．
【解析】（1） 是平衡的， 不是平衡的．
理由： ，
， ，满足 ，
显然 ⫋ ，且对于 中的任意两个不同元素 ，
，
都存在唯一的 ，使得 ．
故 是平衡的，
，
并不是 的子集，故 不是平衡的．
（2）（i）当 时，对于 中的每个元素 ，考虑 ．
由③知存在唯一的 ，满足 ，则 ．
将每一个 对应到 ，
若 ，就有 ，否则 且 与③矛盾．
所以 ．（ii）对 中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是 ，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是 ，
所以 ．（＊）
不妨设 中最小的（之一）为 ，
且 ，由②③知 ．
再不妨设 ．
由（i）的证明方法可证：当 时， ，
由③知 ，
所以 ，
又因为 ，所以 都不大于 ，
全部相加得 ，
由 的最小性知 ，
结合（＊）可得
，
所以 ．
19．（2025·北京朝阳·二模）已知 是无穷正整数数列，且对任意的
，其中 表示有穷集合S的元素个数．
(1)若 ，求 的所有可能取值；
(2)求证：数列 中存在等于1的项；
(3)求证：存在 ，使得集合 为无穷集合．
【解析】（1）因为 ，则 中与 相等的数有且仅有2个，除去 本身， 中与 相等的数
有且只有1个，
∴ 或 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 的所有可能取值为2，3．
（2）假设 中不存在等于1的项,则 ．
又 ，所以 ．当 时，由 ，则存在 ，使得 ．
所以 ，与假设矛盾．
当 时，由 ，则存在 ，使得 ,且 中有且只有一项与 相等.
①若 中有两项为2，一项为3，
则 ，与假设矛盾．
②若 中有两项为2，一项为 ，
则 ，与假设矛盾．
③若 中有一项为2，两项为3，
则 ，与假设矛盾．
④若 中有一项为2，两项为 ，
则 ，矛盾．
综上，假设不成立，所以 中存在等于1的项．
（3）假设 均为有限集合，
当 时， ,
则当 时， （*）
令 ,下证当 时， .
否则假设 ，则 ,与（*）矛盾.
∴当 时， ,
∵已知数列 是无穷正整数数列，
所以存在 ，使得集合 为无穷集合，矛盾，
∴假设错误，∴存在 ，使得集合 为无穷集合．
