文档内容
第 01 讲 集合与常用逻辑用语
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年天津卷，第1题,5分 交集的概念与运算
充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、
2024年天津卷，第2题,5分
判断一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算
2023年天津卷，第2题,5分 必要条件的判断与性质
2022年天津卷，第1题,5分 交集的概念及运算、交并补混合运算
2022年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件
2021年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算
2021年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件
2020年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算
2020年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合
与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集
合间的关系解决充分条件必要条件问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，
然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。知识讲解
知识点一.集合的含义与表示
1.集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性
2.常用数集及其记法
N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集
3.集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a ∈M，或者a ￠M，两者必居其一。
4.集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合
②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合
③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合
5.集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集
②含有无限个元素的集合叫做无限集
③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø)
知识点二.集合间的基本关系
名称 记号 意义 性质 示意图(1)A⊆A
A⊆B（或 (2)∅⊆A
或
子集 A中的任一元素都属于B
B⊇A) (3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C
(4)若A⊆B且B⊆A，则A=B
⊂ ∅⊂A
真子 A B（或B A⊆B，且B中至少有一 （1） （A为非空子集）
≠ ≠
集 ⊃ A） 元素不属于A (2)若 A⊂B 且 B⊂C ，则 A⊂C
≠ ≠ ≠ ≠
A中的任一元素都属于
集合
A=B B，B中的任一元素都属于 (1)A⊆B(2)B⊆A
相等
A
知识点三.子集与元素之间的关系
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2n 个子集，它有2n−1个真子集，它有2n−1个非空子集，它有2n−2
非空真子集.
知识点四.集合的基本运算
1. 集合的并交补运算：
； ；
2.集合的包含关系: ； ；
3.识记重要结论： A∩B=A ⇔ A⊆B; A∪B=A⇔A⊇B;
C (A∪B)=C A∩C B; C (A∩B)=C A∪C B
U U U U U U
知识点五. 命题、充分条件、必要条件与充要条件
1、命题:可以判断真假的语句叫命题。
逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。
简单命题:不含逻辑联结词的命题。
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题
2、充分条件、必要条件与充要条件
(1)、一般地，如果已知p⟹q，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件;
若p ⟹q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件
(2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系
3、从逻辑推理关系上看:
①若p⟹q，则p是q充分条件，q是p的必要条件;②若p⟹q，但q⇏p，则p是q充分而不必要条件:
③若p⇏q，但q⟹p，则p是q必要而不充分条件;
④若p⟹q且q ⟹p，则p是q的充要条件;
⑤若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件,
4、从集合与集合之间的关系上看:
已知A ={x|x满足条件p}，B = {x|x满足条件q}
①A ⊆B,则p是q充分条件;
②若B⊆A,则p是q必要条件;
⊂
③若A B，则p是q充分而不必要条件;
≠
⊂
④若B A，则p是q必要而不充分条件;
≠
⑤若A =B，则p是q的充要条件;
⑥若A ￠ B且B ￠A，则p是q的既不充分也不必要条件
5、全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题
(2)存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命
题，叫做特称命题
(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p: x ∈ M,p(x)，它的否定¬p: x∈ M, ¬p(x).全称命题的否定是特称命题
o o
②特称命题p: ∀ x o ∈ M,p(x o ),它的否定¬p: ∃ x ∈ M, ¬p(x).特称命题的否定是全称命题
考点一、元素与集合的关系
∃ ∀
1.（2022·全国·高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁ M={1,3}，则（ ）
U
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
2.（2024·四川·模拟预测）已知全集U={−2,−1,0,1,2},A∩B={−1,1},A∪B={−2,−1,1,2}，则
（ ）
A．−1∈A,−1∉B B．2∈A,2∈B
C．−2∉A,−2∉B D．0∉A,0∉B1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A=¿，若2∈A，则m的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A．− ≤m< B．− ≤m≤ C．m≤− 或m> D．m≤− 或m≥
2 2 2 2 2 2 2 2
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合A=¿，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1) B．(−∞,0)
C．(−∞,0)∪(1,+∞) D．(−∞,−1)∪(0,+∞)
3.（2024·北京·三模）已知集合A=¿，若a∉A，则a可能是（ ）
1
A． B．1 C．2 D．3
e
4.(2023·北京房山·二模）设集合A={(x,y)|x−y≥0,ax+ y≥2,x−ay≤2}，则（ ）
A．当a=1时，(1,1)∉A B．对任意实数a，(1,1)∈A
C．当a<0时，(1,1)∉A D．对任意实数a，(1,1)∉A
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x∣x>a(a−1)}，0∈A，则a的取值范围是
．
6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知0∈{2,x2−1}，则实数x= ．
考点二、集合中元素的特征
2π
1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列{a }的公差为 ，集合S={cosa |n∈N∗}，若S={a,b}，则
n 3 n
ab=（ ）
1 1
A．－1 B．− C．0 D．
2 2
2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3}，若A=B，则a=（ ）
A．−1或3 B．0 C．3 D．−3
1.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合A={1,3,a2}，集合B={1,2+a}，若A∪B=A，则a= ．
{ 6 }
2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合 y|y= ,x∈Z,y∈Z 中的元素个数为（ ）
x+2
A．2 B．4 C．6 D．8{ b }
3.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成 a, ,1 ，又可表示成{a2,a+b,0}，
a
则a2022+b2022= ．
考点三、集合的基本关系
1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合A={−3,0,3}和B={x|x2+3x=0}的关系
的是（ ）
A．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅
2.（2024·辽宁·三模）若全集U=R， A={x|x<2}，B={y|y=ex,x∈R}，则下列关系正确的是
（ ）
A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁ A D．∁ A⊆B
U U
1.（2024·重庆·三模）已知集合 A={x|x2−1=0}，集合 B={a+1,a−1,3}，若 A⊆B，则a=
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
b 1
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x| =a,a,b∈R},B={b, },A⊆B，则a的取值集合为
x b
.
3. （ 23-24 高 三 下 · 河 南 郑 州 · 阶 段 练 习 ） 已 知 集 合
A={x∣x2−3x<0},B={x∣−26}
2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合A={x∈N∣(x−3)(x+2)≤0},B={x∣|x−1|≤1}，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A．{0,1} B．{3} C．{1,2} D．{1,2,3}
1.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是
（ ）A．∁ (A∪B) B．A∪(∁ B) C．(∁ A)∩(∁ B) D．(∁ A)∪(∁ B)
U U U U U U
2.（2024·山西·三模）已知集合A，B均为集合U的子集，则(∁ A)∩B表示的区域为（ ）
U
A．① B．② C．③ D．④
3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表
示的集合．若A=¿，B=¿，则A⊗B=（ ）
A．{−1,0,3} B．{−2,−1,2}
C．{−2,−1,2,3} D．{−2,−1,3}
4.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学
生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（
）
A．70% B．60% C．50% D．40%
{ x2 }
5.（2023·四川南充·一模）已知全集U=R，集合A={x|log (x−1)>1}，B= x| + y2=1 ，则能表示
3 4
A，B，U关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
考点七、充分条件与必要条件
1.（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2022·天津·高考真题）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
1.（2024·全国·高考真题）设向量⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)，则（ ）
A．“x=−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=−3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
y x
2.（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+ y=0”是“ + =−2”的（ ）
x y
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（2023·全国·高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+cosβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
S
5.（2023·全国·高考真题）记S 为数列{a }的前n项和，设甲：{a }为等差数列；乙：{ n }为等差数列，则
n n n n
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2+x−2<0，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点八、全称量词命题与存在量词命题、
1.（2024·全国·高考真题）已知命题 p：∀x∈R，|x+1|>1；命题 q：∃x>0，x3=x，则
（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．1>0且3>4 B．1>2或4>5
C．∃x∈R，cosx>1 D．∀x∈R，x2≥0
1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“∀x∈R，m≥sinx+cosx”是真命题，则实数m的取值
范围是 .
2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题p:∀x∈R，ex+1+e3−x≥2e2，则命题p的真假以及否定分别
为（ ）
A．真，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2 B．假，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2
C．真，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2 D．假，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2
3.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“∀x∈R,kx2+2kx−3<0”为真命题的k的取值范围
（ ）
A．(−3,0) B．(−3,0]
C．(−3,1) D．(3,+∞)
1
4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p:∀x∈[−1,0],a≤ −5x，若p为假命题，则a的取值范围是
2x
5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“∀x∈R，sin2(π+x)+2cosx+m≤0”是假命题，则m的取值范
围为（ ）
A．[−2,+∞) B．(−2,+∞) C．(−∞,−1) D．(−∞,−2]
1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题p:∀x>0，x2−ax+2>0的否定是（ ）
A．∀x>0，x2−ax+2≤0 B．∀x≤0，x2−ax+2>0
C．∃x >0，x2−ax +2≤0 D．∃x ≤0，x2−ax +2≤0
0 0 0 0 0 0
π
3．（2024·山东青岛·三模）已知命题 p:∀x∈
(
0,
),sinxx
B．∃x∈
(
0,
),sinx>x
2 2π π
C．∃x∉
(
0,
),sinx≥x
D．∃x∈
(
0,
),sinx≥x
2 2
4．（2024·江苏苏州·三模）已知集合A={x∣sinx>0},B={x||x−3∣<1}，则A∩B=（ ）
A．{x∣2 ”是“a2+2b2>3ab”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合A={0,a2},B={1,a+1,a−1}，则“a=1”是“A⊆B”的
（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·湖南邵阳·三模）“00且a≠1）在R上单调递减”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
{ x−4 }
6．（ 2024·广西贵港 ·模拟预测）已知集合 A= x| ≤0 ， B={x|y=log (x2−9)}，则
x+2 3
A∩(∁ B)=（ ）
R
A．[−2,3] B．(−2,3] C．(−2,4] D．[3,4]
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合A={x|x2−x−12≤0}，B={x|x2−3mx+2m2+m−1<0}，
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
1．（2022·天津·高考真题）设全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={0,1,2},B={−1,2}，则A∩(∁ B)=
U
（ ）
A．{0，1} B．{0,1,2} C．{−1,1,2} D．{0,−1,1,2}
2．（2022·浙江·高考真题）设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（ ）
A．{2} B．{1,2} C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}
{ k 1 } { k 1 }
3 ． （ 2002· 江 苏 · 高 考 真 题 ） 设 集 合 M= x|x= + ,k∈Z ,N= x|x= + ,k∈Z ， 则
2 4 4 2
（ ）
A．M=N B．M⊆N C．M⊇N D．M∩N=∅
4．（2022·全国·高考真题）集合M={2,4,6,8,10},N=¿，则M∩N=（ ）
A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}
{ 5}
5．（2022·全国·高考真题）设集合A={−2,−1,0,1,2},B= x∣0≤x< ，则A∩B=（ ）
2
A．{0,1,2} B．{−2,−1,0} C．{0,1} D．{1,2}
6．（2022·全国·高考真题）设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则
∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{1,3} B．{0,3} C．{−2,1} D．{−2,0}
7．（2022·北京·高考真题）已知全集U={x|−3
