专题01集合与常用逻辑用语（5种经典基础练+6种优选提升练）解析版_1多考区联考试卷_0105好题汇编备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（新高考通用）

专题 01 集合与常用逻辑用语（5 种经典基础练+6 种优选提升 练） 集合的概念 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•海淀区期末）方程组 的解集是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【分析】解原方程组得出 ， 的值，然后写出原方程组的解集即可． 【解答】解：解 得， 或 ， 原方程组的解集为： ， ． 故选： ． 【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2023秋•郧阳区校级期末）集合 ，用列举法可以表示为 A． ，2，4， B． ，2，4，5，6， 学科网（北京）股份有限公司C． ， ， ， ，3， D． ， ， ， ，2，3， 【分析】利用已知条件，化简求解即可． 【解答】解：集合 ，可知 ， ， ， ， ， ，则 ，2，4，5，6，9． 集合 ，2，4，5，6， ． 故选： ． 【点评】本题考查集合的表示方法，是基础题． 3．（2023秋•东台市期末）设集合 ，2， ，则下列选项正确是 A． B． C． D． 【分析】根据元素与集合间的关系可解． 【解答】解：因为集合 ，2， ，则1，2，3均是集合 中的元素，故 正确， ， 错 误， 又 ，故 错误． 故选： ． 【点评】本题考查元素与集合间的关系，属于基础题． 4．（2023秋•安徽期末）已知集合 ，则 A． B． C． D． 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断． 【解答】解：集合 ， ，则 ， ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司5．（2023秋•重庆期末）若集合 ，则 A． B． C． D． 【分析】根据元素与集合的关系逐一检验选项即可． 【解答】解：集合 ， ， 则 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 二．多选题（共3小题） 6．（2023秋•文峰区校级期末）下列说法中不正确的是 A．0与 表示同一个集合 B．集合 ，2， 与 ，2， 是两个相同的集合 C．方程 的所有解组成的集合可表示为 ，1， D．集合 可以用列举法表示 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论． 【解答】解：0是元素不是集合， 表示以0为元素的一个集合，故 错误； 集合 ，2， 与 ，2， 的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故 正确； 方程 的所有解组成的集合可表示为 ， ，集合中的元素是不同的，故 错误； 集合 表示大于4小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举 法表示，故 错误． 故选： ． 【点评】本题主要考查了结合的表示，属于基础题． 7．（2023秋•邢台期末）集合 ，集合 还可以表示为 学科网（北京）股份有限公司A． ， B． C． ，1， D． 【分析】用列举法表示集合 及各选项的集合，对比即可得出答案． 【解答】解： ， 选项 ，不符合； 选项 ， ，1， ，符合； 选项 ，符合； 选项 ， ，1， ，符合． 故选： ． 【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题． 8．（2023秋•喀什地区期末）下列说法正确的是 A．方程 的解集中有两个元素 B． C． 是质数 D． 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断选项即可． 【解答】解：方程 ，即 ，解得 ，即方程 的解集中有一个 元素，选项 错误； 是自然数， ，选项 错误； 是质数， 是质数 ，选项 正确； 是有理数， ，选项 正确． 故选： ． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司三．填空题（共1小题） 9．（2023秋•重庆期末）已知集合 ，0， ， ， ，那么用列举法表示集 合 ， ． 【分析】根据集合 ，3， ， ， ，将 中元素一一代入 ，可得集 合 ． 【解答】解： 集合 ，0， ， ， ， ， ， 故答案为： ， 【点评】本题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法表示集合，比较基础． 四．解答题（共1小题） 10．（2023秋•宝山区校级期末）已知集合 ， ， ． （1）若 只有一个元素，试求实数 的值，并用列举法表示集合 ； （2）若 至少有两个子集，试求实数 的取值范围． 【分析】（1）考虑 和 且△ 两种情况； （2） 至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和 且△ 两种情况． 【解答】解：（1） 时 ， ，解得 符合题意； 时令△ 解得 ， 此时 ， ， 解得 符合题意， 故 或 ， 或 （2）若 至少有两个子集，则 至少有一个元素． 由（1）知 或 时符合题意． 由题意可知 时若△ 也符合题意． 学科网（北京）股份有限公司即 解得 且 ． 综上实数 的取值范围为 ， ． 【点评】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，是基础题． 集合间的基本关系 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•汉寿县校级期末）设 ， ，集合 ， ， ，则 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据集合的相等求出 ， 的值，从而求出 即可． 【解答】解： 集合 ， ， ， ， ， 故 ， ， ， 故选： ． 【点评】本题考查了集合的相等的定义，是一道基础题． 2．（2023秋•迎江区校级期末）已知集合 ，1， ， ，0， ，若 ，则 等于 A． 或3 B．0或 C．3 D． 【分析】根据 即可得出 ，解出 ，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得 ，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选： ． 【点评】考查列举法的定义，集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司3．（2023秋•杨浦区校级期末）已知 、 为非空数集， 为平面上的一些点构成的集合，集合 对任意 ，有 ，集合 对任意 ，有 ，给定下列四个命题 其中真命题是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【分析】运用元素和集合的关系判断即可． 【解答】解：设 ， ， ， ， ， ， ， 若 ， ， ， ，此时 ， ， 错误； 若 ， ， ， ， ，此时 ， ， ， 错误； 若 ，则 ， ， ， ， ，则 ， 且 ， ， ，若 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 真包含 ， 正确， 错误． 故选： ． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 4．（2023秋•沙坪坝区校级期末）设集合 ，4， ， ，5， ，若集合 ， 则集合 的子集个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求出集合 ，再利用集合的子集个数公式求解． 【解答】解： 集合 ，4， ， ，5， ， 集合 ， 集合 的子集个数为2． 学科网（北京）股份有限公司故选： ． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算，考查了集合的子集个数公式，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 5．（2023秋•济南期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族．若以集合 的子集为元 素的族 ，满足下列三个条件：（1） 和 在 中；（2） 中的有限个元素取交后得到的集合 在 中；（3） 中的任意多个元素取并后得到的集合在 中，则称族 为集合 上的一个拓扑． 已知全集 ，2，3， ， ， 为 的非空真子集，且 ，则 A．族 ， 为集合 上的一个拓扑 B．族 ， ， 为集合 上的一个拓扑 C．族 ， ， ， 为集合 上的一个拓扑 D．若族 为集合 上的一个拓扑，将 的每个元素的补集放在一起构成族 ，则 也是集合 上的一个拓扑 【分析】根据拓扑的定义，判断选项中的族是否满足拓扑的三个条件，由此能求出结果． 【解答】解：根据题目，我们知道全集 ，2，3， ， ， 为 的非空真子集，且 ， 根据拓扑的定义，判断选项中的族是否满足拓扑的三个条件， 对于 ，首先 ， ， ，满足条件（1）， 其次， ， 中的有限个元素取交后得到的集合为 或 ，都在 ， 中，满足条件 （2）， 再次， ， 中的任意多个元素取并集后得到的集合为 或 ，都在 ， 中，满足 （2），故 正确； 对于 ，族 ， ， 满足拓扑的一个条件，故 正确； 对于 ，族 ， ， ， ，不满足（2）． 中的有限个元素取交集后得到的集合不一定在集合 中，故 错误； 学科网（北京）股份有限公司对于 ，若族 为集合 上的一个拓扑，将 的每个元素的补集放在一起构成族 ， 则 也是集合 上的一个拓扑，这是拓扑的一个性质，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查据拓扑的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三．填空题（共1小题） 6．（2023秋•米东区校级期末）含有三个元素的集合既可表示成 ，又可表示成 ， ， ，则 ． 【分析】由集合相等的定义列出方程组，求出 ， ，由此能求出 的值． 【解答】解： 含有三个实数的集合既可表示成 ， ， ，又可表示成 ， ， ， ，解得 ， ， ． 故答案为： ． 【点评】本题考查代数式化简求值，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 四．解答题（共2小题） 7．（2023秋•吉安期末）已知集合 ， ，若 是 的真子集， 求实数 的取值范围． 【分析】将集合 和集合 进行化简，分 和 进行讨论，列出不等式解出结果即可． 【解答】解： 集合 ， ， 又 为 的真子集， 当 时， ，解得 或 ． 学科网（北京）股份有限公司当 时， （等号不同时成立），解得 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ， ， ． 【点评】本题主要考查真子集的定义，属于基础题． 8．（2023秋•大理州期末）已知集合 ． （Ⅰ）当 时，求集合 ； （Ⅱ）若集合 只有2个子集，求实数 的值． 【分析】（Ⅰ）代入 求出方程的解，进而可得集合 ； （Ⅱ）分 和 两种情况，结合△求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）当 时，集合 ； （Ⅱ）若集合 只有2个子集，则集合 中只有一个元素， 当 时， ，符合题意， 当 时，则△ ， 解得 ， 综上所述， 的值为0或 ． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 集合的基本运算 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•淮安期末）已知集合 ，1，2， ， ，0，1，2， ，则 A． ， B． ，0，1，2， C． ，1，2， D． ，2， 【分析】由已知结合集合的并集运算即可求解． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：因为集合 ，1，2， ， ，0，1，2， ， 则 ，0，1，2， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 2．（2023秋•鄠邑区期末）已知集合 ，0，1， ， ，0，1， ，则集合 的元素个数是 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由已知结合集合的并集运算即可求解． 【解答】解：因为集合 ，0，1， ， ，0，1， ， 则集合 ，0，1，3， ， 的元素共有6个． 故选： ． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 3．（2023秋•郴州期末）已知集合 ，4， ， ，2， ，若 ，2，3， ，则 的可能取值个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果． 【解答】解： 集合 ，4， ， ，2， ， ，2，3， ， 或 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 4．（2023 秋•环县校级期末）已知集合 ， ， ，则 学科网（北京）股份有限公司A． ，1， B． ， C． ，2， D． ， 【分析】根据集合的交运算即可求解． 【解答】解： ， ， ， ， ， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 5．（2023秋•海林市校级期末）已知集合 ，2，3，4，5， ， ，4， ， ， 3， ，则 A． B． ，4， C． ，4， D． ，4，5， 【分析】通过集合的交并补混合运算直接得出答案． 【解答】解： ，2，3，4，5， ， ，3， ， ，4， ， ，4， ， ，4， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题． 6．（2023秋•惠州期末）已知集合 ，集合 ，1，2， ， ，3，4，5， ，则图 中阴影部分所表示的集合为 学科网（北京）股份有限公司A． B． ， C． ， D． ，1， 【分析】由已知结合集合的交集及补集运算即可求解． 【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分为 ， 因为 ，1，2， ， ，3，4，5， ， 所以 ， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题． 二．填空题（共2小题） 7．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集 ，1， ， ，如果 ， ， 则 2 ． 【分析】求出 中方程的解，表示出 ，根据全集 及 的补集，确定出 ，即可求出 的值． 【解答】解：由 中的方程解得： ，即 ， 全集 ，1， ， ， ， ， 则 ． 故答案为：2 【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 8．（2023秋•官渡区期末）设集合 ，集合 ，且 ，则 的值可以是 2 （答案不唯一） ．（写出满足条件的一个答案即可） 【分析】先求出集合 ， ，再结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合 ，集合 ， 学科网（北京）股份有限公司， 则 ， 故 ， 故 的值可以取2． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 三．解答题（共4小题） 9．（2024春•防城港期末）设集合 ， ； （1）当 时，求 ， ． （2）若 ，求 的取值范围． 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分 和 两种情况，得到不等式，求出答案． 【解答】解：（1）当 时， ， ； ． （2）因为 ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 综上， 的取值范围是 ． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 10．（2023秋•汉台区期末）已知集合 ， ． （1）求 ； 学科网（北京）股份有限公司（2）若集合 ， ， ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）先求出集合 ， ，再结合交集的定义，即可求解． （2）根据已知条件，结合交集和空集的定义，即可求解． 【解答】解：（1） ， ， 则 ． （2）集合 ， ， ， 则 或 ，解得 或 ， 故实数 的取值范围为 ， ， ． 【点评】本题主要考查交集和空集的定义，属于基础题． 11．（2023秋•黄浦区校级期末）若全集 ， ， ， ， ，且 ， 求实数 的值． 【分析】根据补集运算求解即可． 【解答】解：由题意可知： ， ， 则 ，解得 ， 所以实数 的值为 ． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 12．（2023秋•宝安区校级期末）设 ，已知集合 ， ． （Ⅰ）当 时，求 ； （Ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据 的值求出集合 ，再求出集合 ， 的并集，进而可以求解； （Ⅱ）根据已知建立不等式关系，求解即可． 【解答】解 当 时，集合 ， ， 学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， 所以 ， ， ； （Ⅱ）因为 ，且 ， 所以一定有 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查了集合的运算关系以及集合间的包含关系，考查了学生的运算求解能力，属于基 础题． 充分条件与必要条件 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•迎江区校级期末）“关于 的不等式 对 上恒成立”的一个必要 不充分条件是 A． B． C． D． 【分析】根据题意，分 、 两种情况讨论：在 时，直接加以验证；在 时，列出 关于实数 的不等式组，解出实数 的取值范围．然后根据必要不充分条件的定义判断出正确答案． 【解答】解：当 时，不等式化为 ，解得 ，在 上不恒成立； 当 时，若不等式 对 恒成立，则 ，解得 ． 综上所述，“关于 的不等式 对 上恒成立”的充要条件为“ ”， 因此，所求必要不充分条件，对应的范围应该真包含 ，对照各项可知 项“ ”符合题 意． 学科网（北京）股份有限公司故选： ． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式恒成立、充要条件的判断等知识，考查逻辑 推理能力，属于基础题． 2．（2023秋•百色期末）“方程 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 【分析】先求出 的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可． 【解答】解：由方程 有两个不等实数根可得△ ， 解得 ， 观察选项可得“方程 有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是 ． 故选： ． 【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，一元二次方程的根和判别式的关系，是基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期末） 是 的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得． 【解答】解：当 时，可取 、 符合题意，但此时不能得到 ，充分性 不成立， 当 时，有 ， ，即 成立，必要性成立， 综上所述， 是 的必要非充分条件． 故选： ． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司4．（2023秋•宝山区校级期末） 的一个充要条件是 A． B． C． ， D． ， 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【解答】解：由不等式 ，可得 ，即 ，所以 符合题意； 由 ，可得 或 ，所以选项 是 的充分不必要条件； 选项 和 都为 的既不充分也不必要条件． 故选： ． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 5．（2023秋•广安期末）“ ， ”为真命题的充分条件可以是 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，求出 的取值范围，再结合充分条件的定义，即 可求解． 【解答】解：“ ， “， 则 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 ， 和 均为 的真子集， 故 正确， 错误． 故选： ． 【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题． 三．填空题（共2小题） 6．（2023秋•宁乡市期末）若 ， ，则“ ”是“ ”的 充分不必要 条件． 学科网（北京）股份有限公司（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答） 【分析】化简 可得 ，然后根据充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得“ ”等价于 ， 由 ，可以推出 ，故 成立；反之，由 不能推出 ． 因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点评】本题主要考查指数函数的单调性、充要条件的判断及其应用，属于基础题． 7．（2023秋•岳阳期末）若“ ”是“ ”的必要不充分条件， ，则 取值可以是 3 （答案不唯一） ．（填一个值即可） 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义，算出整数 的取值范围，即可得到本 题的答案． 【解答】解：若“ ”是“ ”的必要不充分条件， 则 ， ， ，可知 ，结合 ，可知 是大于等于3的整数． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 四．解答题（共3小题） 8．（2023秋•衡水期末）已知集合 ， ． （1）当 时，求 ； （2）命题 ，命题 ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 【分析】（1）根据题意，将 代入，再直接根据补集和交集的概念计算即可； （2）先通过条件得到 ，进而根据 和 列不等式求解即可． 【解答】解：（1） 当 时， ，且 或 ， ； 学科网（北京）股份有限公司（2） 命题 ，命题 ， 是 的必要条件， ，可得 或 ，解得 ， 实数 的取值范围为 ， ． 【点评】本题主要考查集合的交集与补集运算法则、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻 辑推理能力，属于基础题． 9．（2023秋•徐州期末）已知集合 ， ． （1）求 的真子集； （2）若 ①② ，求实数 的取值集合． 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答． ①“ “是“ ”的充分条件；② ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）可求出集合 ，然后根据真子集的定义即可得出答案； （2）选择条件①②都得出 ，然后讨论 是否为0，从而得出 的值，进而得出实数 的取值 集合． 【解答】解：（1） ， ， 的真子集为： ， ， ； （2） ， 选择条件①： “ “是“ ”的充分条件， ， 时， ，满足 ； 时， ，则 或 ，则 或 ， 实数 取值的集合为： ． 选择条件②： ， ， 学科网（北京）股份有限公司由上面得实数 取值的集合为： ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，充分条件的定义，并集的运算，子集的定义，是基础题． 10．（2023秋•盐都区校级期末）已知集合 ， ． （1）求 ； （2）集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的 取值范围． 【分析】（1）解不等式得到 ， ，利用补集和并集的概念求出答案； （2）求出 ，根据题意得到包含关系，从而得到不等式，求出实数 的取值范围． 【解答】解：（1） 或 ， ， 故 ， ； （2）因为 ，所以 ， 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集， 又 恒成立，故只能 ， 实数 的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查集合的运算，考查充分必要条件，属于基础题． 全称量词与存在量词 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•日照期末）若命题“ ， ， ”是真命题，则实数 的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ， 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据全称命题为真命题可得 ， ， ，即可求得实数 的取值范围． 【解答】解：由“ ， ， ”是真命题可知， 不等式 ， ， 恒成立，因此只需 ， ， ， 易知函数 在 ， 上的最小值为1，所以 ． 即实数 的取值范围是 ， ． 故选： ． 【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题． 2．（2023秋•湛江期末）命题“ ，有 ”的否定为 A． ，使 B． ， ，使 C． ，有 D． ， ，有 【分析】由已知结合含有量词的命题的否定即可求解． 【解答】解：由题意可得“ ，有 ”的否定为“ ，使 ”． 故选： ． 【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题． 二．多选题（共1小题） 3．（2023秋•宝安区期末）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有 A． ， B．有的矩形不是平行四边形 C． ， D． ， 【分析】根据题意，判断选项中的命题是存在量词命题，且为假命题即可． 【解答】解：对于 ，因为 对 都成立，所以 ， 是 存在量词命题，且为假命题； 对于 ，因为所有的矩形都是平行四边形，所以有的矩形不是平行四边形是存在量词命题，且为 学科网（北京）股份有限公司假命题； 对于 ，因为 ，所以 ， 是真命题； 对于 ，因为 ， 是全称量词命题，所以选项 不满足条件． 故选： ． 【点评】本题考查了存在量词命题与命题的真假性判断问题，是基础题． 三．填空题（共3小题） 4．（2023秋•广州期末）命题“ ， “的否定是 ， ． 【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解． 【解答】解：“ ， “的否定是： ， ． 故答案为： ， ． 【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题． 5．（2023秋•建平县校级期末）若命题：“ ， ”为假命题，则实数 的取 值范围为 ． 【分析】根据题中条件可得方程 无实数解，则△ ，解出即可． 【解答】解：由题意可知方程 无实数解， 所以△ ，解得 ， 故实数 的取值范围为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题． 6．（2023秋•阜阳期末）已知命题 ， ，请写出一个满足“ 为假命题” 的整数 的值： （答案不唯一） ． 【分析】根据已知条件，结合判别式法，即可求解． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：由命题 ， 为假命题，得△ ，解得 ， 所以整数 的值可为 ，0，1（答案不唯一）． 故答案为： （答案不唯一）． 【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题． 根据集合间的关系求参数 一．填空题（共1小题） 1．（2020 秋•瑶海区校级期末）已知函数 ，集合 ， ，若 ，则 的取值范围为 ， ． 【分析】根据集合 非空可求出 的一个范围，然后令 ，可求出 的值域，最后根据 建立关系式，即可求出所求． 【解答】解：因为函数 ，集合 ， ， 所以函数 与 轴有交点，△ ，解得 或 ， ，令 ， ，而 ， 根据二次函数的对称性有 ，即 ， 所以 ，而 ，所以 ， 解得： ，而 或 ， 所以 的取值范围为 ， ． 学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合 ，同 时考查了学生的推理能力和换元的思想． 二．解答题（共6小题） 2．（2023秋•聊城期末）函数 的值域为 ， 的定义域为 ． （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数 在 上的最大值和最小值，即可得出 集合 ． （2）求出集合 ，利用集合的包含关系可得出关于实数 的不等式组，解之即可． 【解答】解：（1）因为 在 上单调递减， 所以，当 时 有最大值，且最大值为 ， 当 时， 有最小值，最小值为 ， 所以 ． （2）由 ，得 ，解得 ， 所以， ， 因为 ，所以 ，解得 ． 故实数 的取值范围 ， ． 【点评】本题主要考查集合和函数的单调性，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司3．（2021秋•阿勒泰地区期末）已知非空集合 ， ， （1）当 时，求 ， ； （2）求能使 成立的 的取值范围． 【分析】（1）当 时，集合 ， ，由此能求出 和 ． （2）由非空集合 ， ， ，得 ，由此能求出 的取值范围． 【解答】解：（1）当 时，集合 ， ， 求 ， ． （2） 非空集合 ， ， ， ， ， ，解得 ． 的取值范围是 ， ． 【点评】本题考查集合、交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想。 4．（2020秋•徐汇区校级期末）设 ，其中 为实数． （1）设集合 ，集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围； （2）若集合 中的元素有且仅有2个，求实数 的取值范围． 【分析】（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出 ， ，再由子集的定义即可求解； 学科网（北京）股份有限公司（2）先得到 ，且 ，再求出 在 上的值域即可， 【解答】解：（1） ， ， ， 又 ， ， ， 的取值范围为 ， ． （2）由 ， 得 ，且 ， 设 ，对称轴 ， 则 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 且 ， （1） ， （3） ， 若直线 与函数 在 上恰有两个交点时， 则 ， ． 的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数 求值域问题，属于中档题． 5．（2021秋•西峰区校级期末）已知集合 ， ． （1）当 时，求集合 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）当 时，先求出集合 ，再根据交集的定义求集合 即可； 学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求实数 的取值范围进要注意 是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时， 不是空集时，比较两个集合的端点即可． 【解答】解：（1）当 时， （3分） 则 （6分） （2）①当 为空集时，得 ，则 （9分） 当 不为空集时， ，得 由 可得 且 （12分） 得 （13分） 故实数 的取值范围为 （14分） 【点评】本题考查集合中的参数取值问题，属于集合包含关系的运用，求解本题关键是理解包含关 系的意义，本题中有一易错点，在第二小问中空集容易因为忘记讨论 是空集导到失分，这是一 个很容易失分的失分点，切记． 6．（2023秋•石鼓区校级期末）已知集合 ， ． （1）求 ； （2）求 ； （3）若 ，且 ，求 的取值范围． 【分析】利用不等式的解法可得： ， ， ， ． 再 利 用 集 合 的 运 算 性 质 可 得 ： （ 1 ） ． （ 2 ） 及 其 ． （ 3 ） 若 ，且 ，可得 ． 【解答】解： ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司（1） ， ． （2） ， ． ， ， ． （3）若 ，且 ， ． ，解得 ． 的取值范围是 ， ． 【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（2022秋•中原区校级期末）已知函数 ， ，集合 ． （1）若集合 中有且仅有3个整数，求实数 的取值范围； （2）集合 ，若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）根据条件解不等式 ，即 ，分 、 、 得到集合 ，通过二次函数的对称轴分析 ，又集合 中有且仅有3个整数，故3个整数只可能是0， 1，2，然后由集合 列出不等式组，解不等式组即可得 的取值范围； （2）分 和 两种情况分别写出集合 ， 对应的解集，根据 列出不等式组，综合利 用不等式的性质，求出 的取值范围即可． 【解答】解：（1）由 ， 由于 对称轴为 ，所以 ，集合 中有且仅有3个整数，所以集合 的3个整数只可能 是0，1，2， 若 即 时，集合 与题意矛盾，所以 ； 若 即 时，集合 ， ， 学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ， 若 即 时，集合 ， ， 则 ，解得 ， 综上所述实数 的取值范围是 ， ， ； （ 2 ） 若 即 时 ， 集 合 ， ， 因为 ，所以 即 （1） 解得 ， 若 即 时，集合 ， ， 则 设集合 ， ，因为 ，即 ， ， ，如图所示， 则 ，即 ，得 ， 所以 可得 ，所以 ，所以 ， 又因为 ， 学科网（北京）股份有限公司所以 即 ． 综上所述 的取值范围是 ． 【点评】本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数 进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并 表达集合 是解题的关键，属于难题． 根据集合间的运算结果求值 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•三门峡期末）设 ， ，若 ，则实数 的值不可以为 A． B．0 C．3 D． 【分析】先求出集合 ， ，再结合题目条件，分 ， 两种情况讨论，即可确定实 数 的值． 【解答】解：由题，得 ， ， 因为 ，所以 ， 当 时， 无解，此时 ，满足题意； 当 时，得 ，所以 或 ，解得 或 ， 综上，实数 的值可以为 ，不可以为3． 故选： ． 【点评】本题主要考查集合的交集运算，属于中档题． 二．填空题（共2小题） 2．（2023秋•川汇区校级期末）已知 ， ， ，则实数 的取 值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司【分析】由 与 ，以及 与 的交集不为空集，确定出 的范围即可． 【解答】解： ， ，且 ， ， 故答案为： ． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．（2022秋•郴州期末）已知集合 ， ， ，则实数 的 取值范围是 ． 【分析】先求出集合 ，利用 ，确定实数 的取值范围． 【解答】解： ， 或 ， 要使 ，则 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，利用数形结合是解决此类 问题的基本方法． 三．解答题（共5小题） 4．（2023秋•佳木斯期末）已知集合 ， ． （1）求 ； （2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值集合． 【分析】（1）由指数函数、对数函数的单调性分别求出集合 、 ，由补集的运算求出 ，由 学科网（北京）股份有限公司交集的运算求出 ； （2）由 得 ，根据条件对 分类讨论，分别由子集的定义求出 的范围，最后并在 一起求出实数 的取值集合． 【解答】解：（1）集合 ， ， ， ； （2） ， ， ①当 时， ，此时 ； ②当 时，集合 ， ， 则 ， 综上可得，实数 的取值集合是 ， ． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，以及指数函数、对数函数的单调性，考 查分类讨论思想． 5．（2023秋•肇东市校级期末）已知 ， ． （1）当 时，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1） 时， ， ，由此能求出 ， ． （2）当 时， ；当 时， ，则 ，由 ，得 或 学科网（北京）股份有限公司．由此能求出 的取值范围． 【解答】解：（1） 时， ， ， 故 ， ． （2） ， ． ， 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 ，由 ， 得 或 解得 或 ， 综上可知， 的取值范围是 ． 【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意交集、并集定义的合理运用． 6．（2022秋•西双版纳期末）已知集合 ， ． （1）求集合 ； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）若 ，求实数 的取值范围． 【分析】（1）由全集为 ，以及 ，求出 的补集即可； （2）根据 为 的子集，列出关于 的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出 的范围； （3）根据 与 的交集为 ，分 为空集与 不为空集时两种情况，求出 的范围即可． 【解答】解：（1） ， 或 ； 学科网（北京）股份有限公司（2） ， ， ， ， 解得： ， 则实数 的取值范围是 ， ； （3）由 ，得到 ， 分两种情况考虑： ①当 ，即 时， ，符合题意； ②当 ，即 时，需 ， 解得： ， 综上得： ， 则实数 的取值范围为 ， ． 【点评】此题考查了补集及其运算，交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各 自的定义是解本题的关键． 7．（2022秋•金寨县校级期末）设集合 ， ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）当 时，没有元素 使得 与 同时成立，求实数 的取值范围． 【分析】（1）若 ，则 ，即说明 是 的子集，分 与 讨论，即可求得 实数 的取值范围； （2）当 时，没有元素 使 与 同时成立，则说明 与 交集为空集，再分 与 讨论，即可求得实数 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1） ， 当 ，即 时， ，满足 ． 当 ，即 时，要使 成立， 需 ，可得 ， 综上， 时有 ． （2）因为 ，且 ， ，又没有元素 使 与 同 时成立， 与 交集为空集． ①若 ，即 ，得 时满足条件； ②若 ，则要满足的条件是 或 ， 解得 ． 综上，有 或 ． 【点评】利用集合的关系，建立不等关系，求解参数问题，注意集合 能否是空集，必要时要进 行讨论是解决这类问题的关键． 8．（2022秋•秦州区校级期末）已知集合 ， ． 学科网（北京）股份有限公司（1）求集合 ， ； （2）若集合 且 ，求 的取值范围． 【分析】（1）化简集合 、 ，根据交集与并集和补集的定义计算即可； （2）根据题意 知 ，讨论 和 时，分别求出 的取值范围． 【解答】解：集合 或 ， ． （1）集合 ， ， ； （2）若集合 ，且 ， ， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 综上， 的取值范围是 或 ． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题． 容斥原理的应用 一、单选题 1．（22-23高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合 叫做有限集，用 表示 有限集合 中元素的个数.例如， ，则 .容斥原理告诉我们，如果被计数的事 学科网（北京）股份有限公司物有 三类，那么， .某校初一四班学生 46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有 12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教 材阅读与思考改编）（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合 {参加足球队的学生}， 集合 {参加排球队的学生}， 集合 {参加游泳队的学生}， 则 ， 设三项都参加的有 人，即 ， ， 所以由 即 ， 解得 ， 三项都参加的有4人， 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举 办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这 个班总共参赛的同学有（ ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用容斥原理 可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合 ，参加球类运动会的同学构成集合 ， 则参加田径运动的同学人数 ， 参加球类运动会的同学人数 ， 两次运动会都参赛的同学人数 ， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 3．（20-21高一上·贵州安顺·期末）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典 文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调 查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的 学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同 学中阅读过《三国演义》的学生人数为（ ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【解析】首先可根据题意确定只阅读了《三国演义》一本的学生共有 位，然后再由阅读过《西 游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，即可求出结果. 【详解】因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有 位，阅读过《西游记》的学生共有 60位， 所以只阅读了《三国演义》的学生有 位， 又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位， 所以只阅读过《三国演义》的学生共有 位， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养，能否明确题目中所给 出的信息是解决本题的关键. 4．（22-23高一上·浙江台州·期末）某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追 我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追 我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至 多为（ ） 学科网（北京）股份有限公司A．36 B．35 C．34 D．33 【答案】B 【分析】利用韦恩图运算即可. 【详解】 如图所示，设两种项目都参加的有 人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B， 则数学组共有 人，显然 人. 故选：B 二、填空题 5．（20-21高一上·福建厦门·期末）某班有 名学生，其中参加关爱老人活动的学生有 名，参 加洁净家园活动的学生有 名，则同时参加两项活动的学生最多有 名；最少有 名. 【答案】 【解析】设参加两项活动的学生人数为 ，根据题意可得出关于 的不等式（组），由此可求得结 果. 【详解】设参加两项活动的学生人数为 ，由 ，可得 . 则 ，解得 . 因此，同时参加两项活动的学生最多有 名，最少有 名. 故答案为： ； . 6．（21-22高一上·重庆巫山·期末）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同 学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和 物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人 . 【答案】 【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为 ， 、 ，根据容斥原理可求出 结果. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为 ， 、 ，同时参加数学和化学 学科网（北京）股份有限公司小组的人数为 ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为 ，如 图所示： 由图可知： ，解得 ， 所以同时参加数学和化学小组有 人. 故答案为： . 7．（22-23高一上·重庆南岸·期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同 学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 ， ， ，同时参加数学 和化学小组的有 人，同时参加物理和化学小组的有 人，则同时参加数学和物理小组的人数为 ． 【答案】4 【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为 ， 、 ，根据容斥原理可求出 结果. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为 ， 、 ，同时参加数学和物理 小组的人数为 ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为 ，如 图所示： 由图可知： ，解得 ， 学科网（北京）股份有限公司所以同时参加数学和化学小组有 人. 故答案为：4 8．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有 15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有 5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的 有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有 人， 可得 ，解得 ． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 Veen图的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图所示的 图中，集合 ，则阴影 部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 图知阴影部分元素属于集合 或 ，但不属于 ，结合已知即可得集合. 学科网（北京）股份有限公司【详解】由图知：阴影部分元素属于集合 或 ，但不属于 ， 所以阴影部分表示的集合是 . 故选：B 2．（23-24高一上·河南·期末）已知全集 ，集合 ，则图中阴影部 分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知影部分所表示的集合为 ，再结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由图知，影部分所表示的集合为 ， 又 ， ， 所以图中阴影部分所表示的集合为 ， 故选：A. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N满足   ，则下列运算结果 为U的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据   ，结合交并补的运算即可判断选项 【详解】如图， 因为   ，所以 ，故A错误； 因为 ，故B错误； 因为   ，所以 ，故C错误； 因为   ，所以 ，故D正确. 故选：D 二、多选题 4．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形 表示全集， 是 的两个子集，则阴影部 分可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析元素 与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 且 ，即 且 ， 所以阴影部分可表示为 ，A对； 且 ，阴影部分可表示为 ，而 ，故C错误； 且 ，阴影部分可表示为 ，D对； 学科网（北京）股份有限公司显然，阴影部分区域所表示的集合为 的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 5．（23-24高一上·河北唐山·期末）非空集合 ， ， 均为 的真子集，且   ，则 （ ） A． B．  C．  D． 【答案】AC 【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出 ，故B错误；C选项， 由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误. 【详解】A选项，因为  ，所以 ，A正确； B选项，因为  ，所以 ， 而  ，故B错误； C选项，因为  ，所以  ，C正确； D选项，  ，如图所示， 所以 表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 三、填空题 6．（21-22高一上·海南·期末）已知集合 ，集合 ，则Venn图中阴影 部分表示的集合中元素的个数为 ． 学科网（北京）股份有限公司【答案】3 【分析】由集合定义，及交集补集定义即可求得. 【详解】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为 ． 又 ， ， ， 即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3 故答案为：3. 根据充分必要条件求参数 一．解答题（共6小题） 1．（2023秋•萍乡期末）已知 ，集合 ， ． （1）若 ，求 ； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【分析】（1）由已知求得集合 ， ，由交集运算即可得出结果． （2）根据已知条件得集合 是集合 的真子集，列出不等式，求解即可． x5} 【解答】解：（1）当 时，集合 ，可得 或 ， (�A)B{x|3�x1} 所以 R ； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 2a1�3  由题意得， A，则 2a1�a1 ，即 a� 2 ，且满足a1� 3 ，两式不能同时取等号，解得 2剟a 1 ， 综上，实数a的取值范围为 [2 ， 1] ． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题． A{x|(x2)(5x)�0} B{x|2a1x3a5} 2．（2023秋•光明区校级期末）已知集合 ， ． AB （1）若a2，求 ； （2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【分析】（1）解不等式得出A，代入a2得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案； B� A （2）根据已知可推得 ，分B以及B，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即 可得出答案． (x2)(5x)�0 x� 2 x�5 【解答】解：（1） ，可得 或 ， A{x|x� 2 x�5} 所以 或 ． 当a2时， B{x|3x1} ， AB{x|x1 x�5} 所以 或 ． （2）由“xA”是“xB”的必要不充分条件， A{x|x� 2 x�5} B{x|2a1x3a5} 又 或 ， ． 当B，有 2a1�3a5 ，即 a� 4 ，显然满足； 当B时，有2a13a5，即a4． 若“xA”是“xB”的必要不充分条件， a4 a4   则有3a52 或2a15 ， 7 4a 解得 3或 a�2 ． 7  ][2 综上所述， a( ， 3 ， ) ． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于中档题． 1 A{x|m xm1} 3．（2023秋•双塔区校级期末）已知集合 2 ， B{x|2x2 x30} ． （1）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司A(�B) （2）若集合 R 中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围． 【分析】（1）根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集，然后列不等式求解即可； （2）根据集合 � R B 得到整数元素为1，0，1中的两个，然后根据集合 A(� R B) 中只含有两个整 数元素且这两个元素非负列不等式求解． 3 B{x|2x2 x30}{x|x 【解答】解：（1） 2或 x1} ， 根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集， 3 1 m1�  m �1 所以 2 或 2 ， 5 3 m�  m� 解得 2或 2 ， 5 3 (, ][ ,) 故实数m的取值范围为 2 2 ． 3 �B{x| 剟x 1} （2）由（1）可知， R 2 ，则集合 � R B 中含有整数元素1，0，1，  1 1�m 0  2 由集合 A(� R B) 中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知  m11 ， 1 0m 解得 2， 1 (0, ) 故实数m的取值范围为 2 ． 【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题． 4．（2023秋•涟源市期末）设集合 A{x|1剟x 5} ，集合 B{x|2a剟x 12a} ，其中aR． （1）若B，求a的取值范围； （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求a的取值范围． 【分析】（1）由 B{x|2a剟x 12a} ，得2a12a，可得结果． （2）xA是xB的必要条件，可得 B A ，然后分B和B两种情况求解即可 【解答】解：（1）由 B{x|2a剟x 12a} ，得2a12a， 学科网（北京）股份有限公司1 1 a (, ) 解得 3，故a的取值范围 3 ． （2）由于xA是xB的必要条件，故B为A的子集， 1 a 当B时，2a12a，解得 3，  1 a  3  12a5  2a1 1  a1 当B时， ，解得3 ． 综上可得a的取值范围为 a�1 ，即 a( ， 1] ． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于中档题． pR (2p1)(p3) (p6)(p3)10 5．（2023秋•松山区期末）（1）已知 ，试比较 与 的大小． 3 p: 1 （2）已知命题 x2 ，命题 q:x2 5mx4m2�0 ，其中mR．当m0时，若 q 是 p 的必要 不充分条件，求实数m的取值范围． 【分析】（1）通过作差的方法求出结果． （2）分别解出不等式，再根据m0可求出结果． (2p1)(p3)[(p6)(p3)10] 【解答】解：（1） 2p2 6p p3 p2 3p8  p2 2p5 (p1)2 40 ， (2p1)(p3)(p6)(p3)10 ． 3 1 （2） x2 ， 3 x2 5x   0  x2 x2 x2 ， (x2)(x5)0 ， 学科网（北京）股份有限公司p:{x|2x5} 命题 ； 又 x2 5mx4m2�0 ， (xm)(x4m)�0 ， 当m0时，不等式的解集为： {x|m剟x 4m} ， 命题 q 对应不等式的解集为： {x|m剟x 4m} ， 当m0时．若 q 是 p 的必要不充分条件， {x|2x5} {x|m剟x 4m} 即： 是 的真子集， 2�m  5�4m 5 5 剟m 2 m[ ,2]  4 ，即 4 ． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题． A{x|x2 2x8�0} B{x|m3剟x 3m3} 6．（2022秋•定西期末）已知集合 ， ． （1）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； AB （2）若 ，求实数m的取值范围． A� B 【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出 ，再列出不等式组计算即可； （2）分B和B两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可． x2 2x8�0 2剟x 4 【解答】解：（1）由题意， ，解得 ， A{x|2剟x 4} ． A� B 由“xA”是“xB”的充分不必要条件，得 ， m3� 2 1  剟m 1 则3m3�4 且等号不能同时取到，解得3 ， 学科网（北京）股份有限公司1 {m| 剟m 1} 故实数m的取值范围为 3 ． （2）当B时，得m33m3，即m3，符合题意； 当B时，得 m3�3m3 ，即 m� 3 ， 5 m AB 由 ，得m34或3m32，解得m7或 3 ， 5 3�m  3 或m7； 5 {m|m  或m 7} 综上所述，实数m的取值范围为 3 ． 【点评】本题考查了充分必要条件以及集合的包含关系，考查不等式问题，是中档题． 集合的新定义 一．选择题（共1小题） 1．（2022 秋•淮阳区校级期末）用 C（A）表示非空集合 A中的元素个数，定义 C(A)C(B),C(A)�C(B) A*B C(B)C(A),C(A)C(B) ，若 A{1 ， 2} ， B{x|(x2 ax)(x2 ax2)0} ，且 A*B1 设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则 C(S) 等于 ( ) A．1 B．3 C．5 D．7 【 分 析 】 结 合 题 意 知 C（ A ） 2， 从 而 可 得 C（ B ） 1或 C（ B ） 3， 即 方 程 (x2 ax)(x2 ax2)0 有1个根或3个根，而由 x2 ax0得x0或xa0，分类讨论；当 a0时，求解集合B，判断；当a0时，x2 ax0对应的根为0和a，则C（B）3，再按 方程x2 ax20的解的情况分两类讨论，进一步检验即可． 【解答】解：由题意知，C（A）2，  A*B1， 学科网（北京）股份有限公司C(A)C(B),C(A)�C(B) A*B C(B)C(A),C(A)C(B) ， C （B）1或C（B）3， (x2 ax)(x2 ax2)0 即方程 有1个根或3个根， (x2 ax)(x2 ax2)0 若 ， 则x2 ax0或x2 ax20， 若x2 ax0，则x0或xa0， 当a0时， B{0} ，C（B）1，符合题意； 当a0时，x2 ax0对应的根为0和a， 若C（B）3，则有以下两种情况， ①当x2 ax20有两个相等的实数根时， △a2 80， 解得a2 2， 当a2 2 时， B{0 ， 2， 2 2} ， C（B）3，符合题意； 当a2 2时， B{0 ， 2， 2 2} ， C（B）3，符合题意； ②当x2 ax20有两个不相等的实数根时， 则a是x2 ax20的一个根， (a)2 a(a)20 即 ， 无解； 学科网（北京）股份有限公司综上所述， S {0 ，2 2， 2 2} ； C(S)3 故 ， 故选：B． 【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题． 二．解答题（共8小题） 2．（2023秋•朝阳区校级期末）已知集合 A{1 ，2，3，， n}(nN,n�3) ， W  A 且W 中元素 的个数为 m(m�2) ．若存在u， vW(uv 得uv为2的正整数指数幂，则称W 为A的弱 P(m) 子 集；若对任意的s， tW(st) ，st 均为2的正整数指则称W 为A的强 P(m) 子集． （Ⅰ）请判断集合 W 1 {1 ，2， 3} 和 W 2 {2 ，3， 4} 是否为A的弱P（3）子集，并说明理由； （Ⅱ）是否存在A的强P（3）子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若n11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱 P(m) 子集，求m的最小值． 【分析】（Ⅰ）根据题干A的弱 P(m) 子集的定义，套定义判断． （Ⅱ）假设存在，反证法找矛盾． （Ⅲ）对A中元素进行分组，找到临界的组合，分情况讨论． 【解答】解：（Ⅰ） W 1是A的弱P（3）子集， W 2不是A的弱P（3）子集． 理由如下：1322 ， W 1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以 W 1是A的弱P（3）子集． 235，347，246， W 2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以 W 2不是A 的弱P（3）子集． （Ⅱ）不存在A的强P（3）子集． 理由如下：假设存在A的强P（3）子集 W {a ，b， c} ，不妨设abc，a，b，c为正整数， ab2k1 ，ac2k2，bc2k3，则 k 1 k 2 k 3， k 1， k 2， k 3为正整数， k 2 �k 3 1 ， 学科网（北京）股份有限公司则 b2k1 a， c2k2 a， 代 入 bc2k3中 ， 所 以 a2k112k212k312k212k212k31 2k2 2k31�0 ， 所以a0，与a为正整数矛盾，所以不存在A的强P（3）子集． A {1 3} A {5 11} A {6 10} A {7 9} B {2} B {4} B {8} （Ⅲ）设 1 ， ， 2 ， ， 3 ， ， 4 ， ， 1 ， 2 ， 3 ， 若W 不是A的弱 P(m) 子集，则W 最多能包含 A 1， A 2， A 3， A 4中的一个元素以及 B 1， B 2， B 3中 的元素，一共7个元素， W {3 8} W W 令 0 ，11，10，9，2，4， ， 0中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以 0不 是A的弱P（7）子集， 当 m�7 时， W 0的任意一个元素个数为m的子集都不是A的弱 P(m) 子集， 当 m�8 时， A 1， A 2， A 3， A 4中至少有一个集合是W 的子集，此时W 中一定存在两数之和为2的 正整数幂， 即A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱 P(m) 子集，所以m的最小值为8． 【点评】本题考查了集合的新定义，反证法的应用，属于中档题． 3．（2023秋•丰台区期末）设nN* ，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A， B，C是“n无和划分”： ABC {1 n} ① ，2，， ； AB BC  AC  ② ， ， ； ③1A，且C中的最小元素大于B中的最小元素； ④xA， yB ，zC，必有 x yC ， yzA ，zxB． （Ⅰ）若 A{1 ， 3} ， B{2 ， 4} ， C {5 ， 6} ，判断A，B，C是否是“6无和划分”，并说 明理由． 学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）已知A，B，C是“n无和划分” (n�4) ． (i) 证明：对于任意m， kC(mk) ，都有km1； (ii) 若存在i， jC ，使得 ji2 ，记  ABC ．证明：中的所有奇数都属于A． 【分析】 (I) 可取1A，4B，则145C，判断即可求解； （Ⅱ） (i) 假设存在m， kC(mk) ，使得km1，根据题意可证得假设不成立，从而求解； (ii) 利用 A，B，C是“n无和划分”，分别设出存在i， jC ，使得 ji2 ，记i的最小值 i i t 为 0，然后分类讨论不同的 0 情况，从而可求解． (I) 【解答】解： 不是． 令1A，4B，则145C，由“6无和划分”的定义可得：A，B，C不是“6无和划 分”． （Ⅱ）证明： (i) 假设存在 m， kC(mk) ，使得 km1，设 m的最小值为 m 0，则 m 0， m 1C 0 ； 设B中最小的元素为b，则 b�2 ，所以iA，其中i1，2，3，，b1， 若 m 0 bA ， m 0 1bA ，则与bB， m 0， m 0 1C 矛盾，故 m 0 bA ， m 0 1bA ， 若 m 0 1bB ，则与b1A， m 0 C 矛盾，故 m 0 1bB ，所以 m 0 1bC ， 因为 m 0 bm 0，所以 m 0 b ， m 0 1b 不同属于C． m bB 0  所以m 0 1bC ，这与1A矛盾． 故假设不成立，即原命题成立． 证明： (ii) 因为 A，B，C是“n无和划分”，且存在i， jC ，使得 ji2 ，记i的最小值 学科网（北京）股份有限公司i i C i 2C 为 0，所以 0 ， 0 ； (i) i 2C i 1C i 1C i 3C 由 知， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 因为1A，所以 i 0 1A ， i 0 1A ，所以3B， 设B中最小的元素为b，若b2，则 b�4 ，所以 i 1 A ，其中 i 1 1 ，2，，b1， 所以 i 0 bA ， i 0 2bA ，否则与bB， i 0， i 0 2C 矛盾， 所以 i 0 2bB ，否则 i 0 2bB 与b2A， i 0 C 矛盾， 所以 i 0 2bC ，又因为 i 0 b 和 i 0 2b 不同属于C，所以 i 0 bB ， 这与2A， i 0 2bC 矛盾，所以b2，即2B， 所以3C，所以3A， 所以5C， i 0 3B ，所以 i 0 3C （否则与 i 0 1A ，2B矛盾），所以 i 0 3A ． 若5B，则与 i 0 3A 和 i 0 2C 矛盾，所以5A，所以7C ， i 0 5B ，否则与5A， i 0 C 矛盾； i 0 5C ，否则与 i 0 3A ，2B矛盾，所以 i 0 5A ． 以此类推，对于任意奇数 ti 0，都有tA， i 0 tA ． 所以 i 0为偶数，否则 i 0 2A ，与2B和 i 0 C 矛盾， i t i 1 所以 0 ， 0 均为奇数． 因为 i 0 3C ，所以 i 0 3B ，否则与3A， i 0 C 矛盾，所以 i 0 3A ， 所以 i 0 5C ，所以 i 0 5B ，否则与5A， i 0 C 矛盾，所以 i 0 5A ， 以此类推，对于任意大于 i 0，小于或等于n的奇数都属于集合A． 学科网（北京）股份有限公司综上所述，中的所有奇数都属于集合A． 故原命题得证． 【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的逻辑思维能力，属中档题． 4．（2022秋•顺义区期末）已知 A是非空数集，如果对任意x， yA ，都有 x yA ， xyA ， 则称A是封闭集． B{0} C {1 1} （Ⅰ）判断集合 ， ，0， 是否为封闭集，并说明理由； （Ⅱ）判断以下两个命题的真假，并说明理由； p A A AA 命题 ：若非空集合 1， 2是封闭集，则 1 2也是封闭集； q A A AA  AA 命题 ：若非空集合 1， 2是封闭集，且 1 2 ，则 1 2也是封闭集； （Ⅲ）若非空集合A是封闭集合，且AR，R为全体实数集，求证： � R A 不是封闭集． 【分析】（Ⅰ）根据封闭集的定义判断即可； p A {x|x2k kZ} A {x|x3k kZ} （Ⅱ）对命题 举反例 1 ， ， 2 ， 说明即可； 对于命题 q ：设a， b(A 1 A 2 ) ，由 A 1， A 2是封闭集，可得 ab(A 1 A 2 ) ， ab(A 1 A 2 ) ，从 而判断为正确； （Ⅲ）根据题意，假设结论成立，设aAa2A且aA，否则 a痧 R A(a)2 R A ，得出 假设矛盾即可得证． 【解答】（Ⅰ）解：对于集合 B{0} ，因为000B，000B， B{0} 所以 是封闭集； 对于集合 C {1 ，0， 1} ，因为x1， y1 ， x y2 不属于C， C {1 1} 所以集合 ，0， 不是封闭集； p A {x|x2k kZ} A {x|x3k kZ} A A （Ⅱ）解：对命题 ：令 1 ， ， 2 ， ，则集合 1， 2是封闭 集， 学科网（北京）股份有限公司AA 但 1 2不是封闭集，故错误； 对于命题 q ：设a， b(A 1 A 2 ) ，则有a， bA 1， A abA abA 又因为集合 1是封闭集，所以 1， 1， abA abA 同理可得 2， 2， ab(AA ) ab(AA ) 所以 1 2 ， 1 2 ， AA 所以 1 2是封闭集，故正确； （Ⅲ）证明：假设结论成立，设aAa2A且aA，否则 a痧 R A(a)2 R A ， 所以有aa0A，设 b痧 R Ab2 R A 且 b� R A ，否则 bA(b)2A ， bb0� A 所以有 R ，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕． 【点评】本题考查了集合新定义的应用，属于中档题． 5．（2022秋•丰台区期末）已知集合 U {xZ||x|�4} ．若集合A是U 的含有 k(kN*) 个元素的 子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U 的“k元零子集”．将U 的所有“k元零子集”的 f(k) 个数记为 ． （Ⅰ）写出U 的所有“2元零子集”； （Ⅱ）求证：当kN* ，且 k�8 时， f(k) f(9k) ； f f  f （Ⅲ）求 （1） （2） （9）的值． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由“k元零子集”的定义，列举U 的“2元零子集”，即可得答案； （Ⅱ）根据题意，设M 是U 的任意一个“k元零子集”，由“k元零子集”的定义分析可得 � U M 是U 的“9k元零子集”，即可得结论； （Ⅲ）根据题意，由“k元零子集”的定义，列举法求出 f （1）、 f （2）、 f （9）的值， 计算可得答案． 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（Ⅰ）根据题意，U 的“2元零子集”有 {4 ， 4} ， {3 ， 3} ， {2 ， 2} ， {1 ， 1} ； （Ⅱ）证明：根据题意，当kN* ，且 k�8 时，设M 是U 的任意一个“k元零子集”，即集合M 中所有元素之和为0， U {xZ||x|�4} 而集合 ，其中所有元素之和也为0， 则 � U M 中所有元素之和也为0，即 � U M 是U 的“9k元零子集”， f(k) f(9k) 则有 ， （Ⅲ）根据题意，U 的“1元零子集”只有 {0} ，即 f （1）1， U 的“2元零子集”有 {4 ， 4} ， {3 ， 3} ， {2 ， 2} ， {1 ， 1} ，即 f （2）4， U 的“3元零子集”有 {4 ，0， 4} ， {3 ，0， 3} ， {2 ，0， 2} ， {1 ，0， 1} ， {4 ，1， 3} ， {4 ，1， 3} ， {3 ，1， 2} ， {3 ，1， 2} ，即 f （3）8， U 的“4元零子集”有 {4 ，1，1， 4} ， {4 ，2，2， 4} ， {4 ，3，1， 3}{3 ，2，2， 3} ， {3 ，1，1， 3} ， {3 ，2，2， 3} ， {2 ，1，1， 2} ， {4 ，1，2， 3} ， {4 ，1，2， 3} ， {4 ，0，1， 3} ， {3 ，0，1， 2} ， {4 ，0，1， 3} ， {3 ，0，1， 2} ， f 则 （4）12， 由（Ⅱ）的结论， f （5）  f （4）12， f （6）  f （3）8， f （8）  f （1）1， U 的“9元零子集”即U ，即 f （9）1， 故 f （1） f （2）  f （9）1481212841151． 学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查集合的应用，注意理解“k元零子集”的定义，属于中档题． a c  6．（2022秋•大兴区期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 b d ，那 (a,b) (c,d) (c,d) (a,b) 么称点 是点 的“上位点”．同时点 是点 的“下位点”； (3,5) （1）试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； ac bd P( , ) （2）已知点 (a,b) 是点 (c,d) 的“上位点”，判断点 2 2 是否是点 (a,b) 的“下位点”， 证明你的结论； （3）设正整数n满足以下条件：对集合 {t|0t2022 ， tZ} 内的任意元素m，总存在正整数k， (n,k) (2022,m) (2023,m1) 使得点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”，求满足要求的一个 正整数n的值，并说明理由． 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标； a c  （2）先由点 (a,b) 是点 (c,d) 的“上位点”得 b d ，作差化简得ad bc0，结合所得结论、定 ac bd P( , ) 义，利用作差法可判断出点 2 2 是否是点 (a,b) 的“下位点”； P(ac,bd) (c,d) (a,b) （3）借助（2）的结论，证明点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位 点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数n的值． (3,5) 【解答】解：（1）根据题设中的定义可得点 的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为 (3,4) (3,7) 和 ． ac bd P( ) （2）点 2 ， 2 是点 (a,b) 的“下位点”． a c  证明：点 (a,b) 是点 (c,d) 的“上位点”，  b d ， a，b，c，d均大于0，ad bc，ad bc0， 学科网（北京）股份有限公司ac a b(ac)a(bd) bcad a ac    0   bd b b(bd) b(bd) ， b bd ， ac bd P( , ) 点 2 2 是点 (a,b) 的“下位点”． P(ac,bd) (c,d) (a,b) （3）可证点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”． a c  证明：点 (a,b) 是点 (c,d) 的“上位点”，  b d ， a，b，c，d均大于0，ad bc，ad bc0， ac c d(ac)c(bd) abcd bccd ad bc     0  bd d d(bd) d(bd) d(bd) ， ac c  即bd d ，点 P(ac,bd) 是点 (c,d) 的“上位点”， ac a b(ac)a(bd) bcad    0 bd b b(bd) b(bd) 同理得 ， a ac  即b bd ，点 P(ac,bd) 是点 (a,b) 的“下位点”， P(ac,bd) (c,d) (a,b) 点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”， (n,k) (2022,m) (2023,m1) 根据题意知点 既是点 的“下位点”，又是点 的“上位点”对 m{t|0t2022 tZ} ， 时恒成立， 根据上述的结论知，当n202220234045，k 2m1时，满足条件，故n4045． 【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难 题． A{a a a }(nN* n�3) 7．（2023秋•密云区期末）对于正整数集合 1， 2， n ， ，如果去掉其中任 意一个元素 a i， (i1 ，2，， n) 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的 集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”． {1 5} （Ⅰ）判断集合 ，2，3，4， 是否是“和谐集”，并说明理由； 学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用“和谐集”的定义直接判断求解； （Ⅱ）设 A{a 1， a 2，， a n } 中所有元素之和为M ，由题意得 M a i均为偶数，则 a i (i1 ， n) 2，， 的奇偶性相同，由此能证明集合A中元素个数为奇数； A{1 13} （Ⅲ）推导出 ，3，5，7，9，11， 是“和谐集”，由此能求出元素个数的最小值． A{a a a }(nN* n�3) 【解答】解：（Ⅰ）对于正整数集合 1， 2，， n ， ， a(i1 n) 如果去掉其中任意一个元素 i ，2，， 之后， 剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”． {1 5} {1 5} {1 5} 对于 ，2，3，4， ，去掉2后， ，3，4， 不满足题中条件，故 ，2，3，4， 不是“和 谐集”， （Ⅱ）证明：设 A{a 1， a 2，， a n } 中所有元素之和为M ， 由题可知， M a i (i1 ，2，， n) 均为偶数， 因此 a i (i1 ，2，， n) 的奇偶性相同， ①若 a i为奇数，则M 为奇数，易得n为奇数， a b  i ②若 a i为偶数，此时取 i 2 ，可得 B{b 1， b 2，， b n } 仍满足题中条件，集合B也是“和谐 集”， 若 b i仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n为奇数 综上，集合A中元素个数为奇数； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数， 当n3时，显然任意集合 {a 1， a 2， a 3 } 不是“和谐集”． 学科网（北京）股份有限公司当n5时，不妨设 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5，将集合 {a 1， a 3， a 4， a 5 } 分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等， a a a a a a a a {a a a a } 则有 1 5 3 4①，或者 5 1 3 4②；将集合 2， 3， 4， 5 分成两个交集为空集的 子集，且两个子集元素之和相等， a a a a a a a a 则有 2 5 3 4③，或者 5 2 3 4④． a a a a 由①、③，得 1 2，矛盾；由①、④，得 1 2，矛盾； a a a a 由②、③，得 1 2，矛盾；由②、④，得 1 2，矛盾． 因此当n5时，集合A一定不是“和谐集”． 当n7时，设 A{1 ，3，5，7，9，11， 13} ， 因 为 35791113， 19135711， 91313711， 13511713， 19113513，3791513，1359711， A{1 13} 所以集合 ，3，5，7，9，11， 是“和谐集”． 集合A中元素个数n的最小值是7． 【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查分类讨论的数学思想，考查了反证法的应用， 属于难题． 8．（2022秋•昌平区期末）设有限集合 E {1 ，2，3，， N} ，对于集合 AE ， A{x 1， x 2， x x } 3，， m ，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素 x k，当 x k 1 时，在集合A中存在元素 x i， x j (i�j) ，使得 x k x i x j， 则称A为E的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素 x i， x j (i j) ，都有 x i x j A ，则称A为E的开放子集． （Ⅰ）若N 20，集合 A{1 ，2，4，6，8， 10} ， B{x|x3k1 ， k�6 ， kN*} ，判断集合 A，B为E的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） 学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若N 100，1A，100A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值； （Ⅲ）若NN* ，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值． 【分析】（Ⅰ）利用封闭子集，开放子集定义可得答案； （Ⅱ） A{1 ， x 2， x 3，， x m1， 100} ，设 1x 2 x 3  x m1 100 ，因集合A中任意一个元 素 x k，当 x k 1 时，在集合 A中存在元素 x i， x j (i�j) ，使得 x k x i x j，则 x n1 1剟x n 2x n1，其 中 2剟n m ，nN* ，据此可得 7剟x 7 64100 ，得m7，后排除m8，再说明m9符合题意即 可； （Ⅲ）因为NN* ，且N为奇数，当N 1时，得m1，当 N�3 ，将 E {1 ，2，3，， N} 里 N 1 m 面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且 2 为最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）对于A，211，422，624，826，1028， 且 AE ，则A为E的封闭子集． 对于B，由题可得 B{4 ，7，10，13，16， 19} ， 其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且 BE ， B是E的开放子集． （Ⅱ）由题意， A{1 ， x 2， x 3，， x m1， 100} ，设 1x 2 x 3  x m1 100 ， 集合A中任意一个元素中任意一个元素 x k，当 x k 1 时，在集合A中存在元素 x i， x j (i�j) ， 使得 x k x i x j，则 x n1 1剟x n 2x n1，其中 n[2 ， m] ，n， x n N* ， x 2 3剟x 4 4剟x 8 5剟x 16 6剟x 32 7剟x 64 得 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 7剟x 7 64100 ，则m7， 若m8，则 x 8 100 ，则在A中存在元素 x i， x j (i�j) ，使它们的和为100， 学科网（北京）股份有限公司1x x  x 100 又 2 3 m1 ， i j x x剟x x 96100 x 2x x 50 则当 时， i j 6 7 ，得 8 7，解得 7 ， 在A中存在元素 x i， x j (i�j) ，使它们的和为50， i j x x剟x x 2425 又当 时， i j 4 5 ， x x (i�j) x x x 不存在元素 i， j ，使 6 i j， 这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m8， 当m9，取 A{1 ，2，4，8，16，32，64，96， 100} ， 其符合E的封闭子集的定义，m的最小值为9． （Ⅲ） NN* ，且N为奇数，当N 1时，得m1， 当 N�3 时，将 E {1 ，2，3，， N} 里面的奇数组成集合A， 则 A{1 ，3，5，7，， N} ，  A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且 AE ， N 1 则A为E开放子集，此时集合A元素个数为 2 ， N 1 下面说明 2 为m最大值， N 1 m N 1，成立；当 N�3 时，若 2 ，则A中至少有一个属于 E {1 ，2，3，， N} 的偶数， 设为 a t，则 2剟a t N 1 ，得 a t 1 为属于集合 {1 ，3，5，7，，N， a t } 中的奇数， N 1 m� 这与E开放子集的定义矛盾，故 2 ， N 1 综上，m的最大值为 2 ． 【点评】本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 学科网（北京）股份有限公司