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专题 09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
01 等差、等比数列的基本量问题................................................................................................1
02 证明等差等比数列..................................................................................................................4
03 等差等比数列的交汇问题.......................................................................................................7
04 数列的通项公式....................................................................................................................11
05 数列求和................................................................................................................................17
06 数列性质的综合问题.............................................................................................................30
07 实际应用中的数列问题.........................................................................................................37
08 以数列为载体的情境题.........................................................................................................41
09 数列的递推问题....................................................................................................................44
01 等差、等比数列的基本量问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ， ，记 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A项，由已知可得 ，故A项错误；
对于B项，由已知可得， ， ，故B错误；
对于C项，由已知可得， ， ，
即 ，所以 .故C项错误；
对于D项，因为 ， ，
所以， 是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以， .故D正确.
故选：D.
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【解析】因为数列 是等比数列， ，
所以 ，即 ，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，故有 .
所以 ，则 ，
所有 ，所有 ，故B项正确.
故选：B.
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，且满足 ， ，
成等比数列，则 等于（ ）
A． 或 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由已知可得 ，设 的公差为 ，
且 ，即 ，
故 .
故选：C
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列 中，已知 ， ，则
（ ）
A． B．42 C． D．
【答案】C
【解析】设 的公比为 ，则 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，所以 .
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 对任意 满足 ，则
（ ）
A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
两式相减得： ，
令 得 ，
所以 ，所以 ，
当 时，
.
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列 中， ，
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；
【解析】（1）当 时，由 可得 ，易知 ；
两边同时取倒数可得 ，
即 ，
由等差数列定义可得 是以 为首项，公差 的等差数列，
所以 ，
即 ，可得 ，
显然 时， 符合上式，
即 的通项公式为 ；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，
都有 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，且 ， ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 、 的通项公式．
【解析】（1）因为 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ①， ②，
又数列 、 的各项均为正数，
则由②可得 ③，
将③代入①，得对任意 ，有 ，
即 ，
所以数列 是等差数列.
（2）设数列 的公差为 ，
由 ，
得 ， ，
所以 ，
由已知，当 时， ，
而 也满足此式，
所以 ， .
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知
(1)求 ，并证明： 是等比数列；
(2)求满足 的所有正整数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由 可得 ，
所以 ，
可得 ；
由已知得 ，
所以 ，
其中 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当 时， 单调递减，
其中 ，
所以满足 的所有正整数 为1，2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且
.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
【解析】（1） 中令 得： ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得： ；
（2） ，即 ，
所以 ， ， ，……， ，以上式子相乘得：
，
因为数列 的各项均为非零实数，且 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
故数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
，
故 ，所以 ，所以数列 是等差数列，
其前 项和 .
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列 的前n项和为 ，若 ， ， ， 成等差数列，
则 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，所以 是首项为6，
公比为 的等比数列，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
故答案为： .
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ．且 ， 是公差为 的等差
数列，则 ．
【答案】
【解析】 ，则 ，
∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ，则 ，
当 时， ，
，当 时， ，
∴数列 自第二项起构成公比为3的等比数列，
可得 ．
故答案为： ．
13．（2023•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有： ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】把 换成 ， ②，
② ①可得： ，
整理得： ，
由等差数列定义有 为等差数列；
（2）由已知有 ，设等差数列 的首项为 ，由（1）有其公差为1，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ，
故可得： ， ， ，
故 在 或者 时取最小值， ，
故 的最小值为 ．
14．（2023•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数
列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，
是首项为1的等比数列，设其公比为 ，
则 ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①
，②
① ②得， ，
，
，
．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 是公差为 的等差数列，设
，若存在常数 ，使得数列 为等比数列，则 的值为 .
【答案】
【解析】当 时， .若存在常数 ，使得数列 为等比数列，则
，记 ，则有 ，化简得 ，
这与 矛盾，故此时不存在常数 ，使得数列 为等比数列.
当 时， (其中
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】).因为数列 为等比数列，对任意 ，恒有 ( 为常数且 )，即
，所以 ，
所以 对任意正整数 恒成立，所以 解得 或
(舍)，所以数列 为等比数列时， .
故答案为：
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
【解析】依题 ，
记 ，
令 ，求出不动点 或3；由定理3知： ， ，
∴ ，又 ，所以 ，……， ，
，
∴ ．
又 ，令 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
∴ ．由 ，得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 设 ，求数列 的
通项公式.
【解析】依题 ，
记 ，令 ，求出不动点 ；
由定理2知：
，
；
两式相除得到 ，
∴ 是以 为公比， 为首项的等比数列，
∴ ，
从而 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．
【解析】设 所以
， ，
∴ ，解得： ，
又 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ∴
， ．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【解析】 为等差数列，
首项 ，公差为 ，
.
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【解析】（1）因为 ，
所以令 得： ，即： ①，
令 得： ，即： ②，
又因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ③，
将③代入①②可得 ，即
由①②③得： ， ，故 的值为1.
（2）因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
两式作差可得： ，
所以 ， ，
由（1）知， ，
所以 ，
即： ， ，
将 代入 得： ，符合，
综上， .
故数列 的通项公式为 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足递推关系： ，且 ， ，
求数列 的通项公式.
【解析】由于 且 ， ，故数列 发生函数为
于是数列 的通项为： ， .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为
所以两边同时加上 得： ，
所以 ，当 时，
故 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
于是
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ，求{an}的通
项.
【解析】∵ ……①
∴ ……②
②-①得：
……③
∵{a }的特征函数为： ，
n
由 x=1.
设 ， ……④
将④代入③得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】令 ，整理得 ，故 或 ，
由 可得 ，令 并将 代入，可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，整理得 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
【解析】由题意，
，
所以 ，则 ，而 ，
故 是以 为首项，3为公比的等比数列．
于是 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设 ，数列 满足 ， ，求数列 的通
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】项公式．
【解析】 ， ，两边取倒数得到 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ， ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
， ， ．
当 时， ，则 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
，
，
，
，
，
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通项公
式．
【解析】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ．
∴ ．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列 中， ，且
，则 等于 .
【解析】由题意可知： ，
显然有 ，
由累乘法可得 .
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求
【解析】法1：已知 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为3的等比数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，则 ，
得，
当n为奇数时， ， ， ， ， ，
累加可得， ，
所以 ，
当n为偶数时， ，
综上， ；
法2：由特征根方程 得， ， ，
所以 ，其中 ，解得 ， ，
.
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： （
），数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
【解析】（1）当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ①，
②，
①－②得： ，
∴ ，当 时， ，
∴ .
（2）∵ ，
∴
∴ ①，
②，
又∵ ∴①＋②得：
∴ .
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列 为等差数列， 是公比不为0的等比数列，
， ， ， ．
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列{cn}的前n项的和 ；
(3)设 ，求数列 的前n项的和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
依题意有 ，解得 ，
故 ， .
（2） ，
，①
，②
①-②得
，
即 .
（3） ，
所以 ，即 .
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列 为等比数列，首项 ，公比 ，
且 是关于 的方程 的根.其中 为常数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求使 的 的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 是关于 的方程 的根，
所以 .
又因为数列 为等比数列， ，公比 .
所以 ，解得： 或 （负值舍去），
故：
（2）由（1）得： ，
所以： ，
所以：
因为 ，
所以 ，解得： （ ），
故： 的最大值为48.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 是首项为1，公差
为1的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，则 ，故
当 时， ，
当 时， ，故 ，
显然， 满足上式，
所以 .
（2）因为
，
所以
.
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前99项和为 ，求 .
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ，
累加得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
（2）因为 ，所以 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以数列 是以3为周期的数列.
故 .
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列 的前 顶和为 .且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中， ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时，可得： ；
当 时， ， ，两式相减，得： ，即 ，
所以： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以： ，
时， ，上式也成立.
所以： ，
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【解析】（1）当 为奇数时，由 可得 ，
所以数列 的奇数项成等差数列，且公差为2，又由 ，故 ；
当 为偶数时，由 ，可得 ，
所以数列 的偶数项成等比数列，且公比为4，又由 ，故 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）当 为奇数时，
则
，
当 为偶数时，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
综上可得， .
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）因为数列 满足 ．
当 时， ；
当 时， ，所以 ,所以 .
当 时， ，上式也成立.所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
令 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 .
所以 是递增数列，所以 ，
所以 .
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习） 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ，证明 .
【解析】（1）由 可得 ，
两式做差得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
时， 或 （舍去）
所以 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 且单调递减，所以 单调递增，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 得证.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，设 的前 项积
为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意知， 为正项数列 的前 项的积，且 ，
当 时， ，所以 ，解得 ；
又 ①， ②，
②÷①得， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
结合 ，可知数列 是常数列，
所以 ，所以 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可得 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列 和 满足： ， ， ，
，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）证明：因为 ①， ②，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为常数列，且 ③，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ④，
③ ④可得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， .
（2）由（1）可知， ，
则
.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即函数 的图象关于点 对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 ，
所以 （倒序），
又由（1）得 ，
所以 ，所以 .
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）由（1）知 ，
即 ，则 .
，
，
则
，
所以 .
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的最小正整数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 ，所以 ①
当 时， ，所以 ；
当 时， ②
①-②得 ，即 ，
则 ，而 ，
所以数列 构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则 ，所以 .
（2） ， ，
的前 项和
的前 项和
单调递增且 ，
所以使得 最小正整数 为4.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知数列 满足 求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）依题意，设数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）由（1）知 ， ，可得 ，
所以
．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
46．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．
所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列 满足 、 、 成等比数列， 、 、
成等差数列，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等差数列 、 、 的公差为 ，设等比数列 、 、 的公比为 ，推导出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，然后分 和 两种情况讨论，分别得出 和 ，
结合数列 的单调性可求得 的取值范围.设等差数列 、 、 的公差为 ，则 ，
，且 ，
设等比数列 、 、 的公比为 ，则 ， ，且 ， .
由题意可得 ，即 ，
由不等式的基本性质可得 ， .
①当 时，则 ，可得 ， ，即 ，
此时， ，由 可得 ，又 ，此时 ；
②当 时，则 ，可得 ， ，即 ，
此时 ，由 可得 ， ，则 ，此时 .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列 满足 ， ，若对于任意正
整数 ，都有 ，则 的取值范围为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 恒成立，即 恒成立.
因为 ，所以 .因为 恒成立，
整理得 恒成立.
因为 ，所以 .
当 时，由 ，
得 在 上有解，
故 的取值范围是 .
故选：C
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设 是公差为2的等差数列， 为其前n项和，若 为递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由数列 是公差为2的等差数列，
可得 ，则 ，
因为数列 为递增数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，可得 在 为单调递减函数，
所以，当 时， 取得最大值 ，所以 ，即 的取值范围为 .
故选：A.
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 满足 ，若 ，则实数k的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】据题设知， 对一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立．
又当 时， ，
所以 ，所以所求实数k的取值范围是 ．
故选: ．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的
，均有 成立，则 的值的取值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 ；
若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 中，其前 项和为 ，且满足 ，数列 的
前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以当 时， ，得 ，
当 时， ， ，两式相减得 （常数），
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列.因为 ，则 （常数），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
即 对 恒成立，
当 为偶数时， ，则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以数列 是递增数列，则 的最小值为 ，
则 所以 ；
当 为奇数时， ，所以 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为数列 是递增数列，所以 的最小值为 ，所以 ，
所以 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：D.
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，则公差 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，
所以 ，即 ，解得 ，
故选：C
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列， 且 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】B
【解析】设 ，则 ，则 ，
由题设有 ，故 ，
因比 的取值范围是 ．
故选：B.
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列 的前 项和为 ， ，且
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由
得 ，
则有 对任意 成立，
又 ，则 ，
故 ，且
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，
由 得， ，
分离参数得， ，
令
则
令 ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
由 ，则当 时，
当 时，恒有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，故 的最小值为 .
若存在 ，使得 成立，则 ，
则有 ，即实数 的最小值为 .
故选：D.
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列 通项公式为
，若对任意 ，都有 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 且 ， ，∴ ，解得 .
当 时， 单调递增，
若对任意 ，都有 ，则 且 ，
即 且 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：B.
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元
（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为 万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为 万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为 万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为
万元，
故选：C.
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按
复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设每年应还 万元，则有 ，
得 ，
解得 ．
故选：B．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
【答案】D
【解析】不妨设10名股东所持股份为 ，总股份为1，
∵ ， ， 的最小值为 ，
若 ，此时 ，
又因为 ，此时 ，A正确；
由于 ，且 ，
故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的 ，B正确；
因为 ，所以 ，
∴ ，C正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，D错误，
故选：D．
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，
二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢
固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地
生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以后每年投入资金是上一年的 倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万
元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元 B．525万元，200万元
C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元
【答案】C
【解析】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为 ，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是 （万元）．
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是 （万元）．
故选：C．
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会
徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知
为直角顶点，设这些直角三角形的
周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以前 项和 ，
所以 ，
故选：C.
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能
的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业
的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核
电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一
核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.
专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（
）（参考数据 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以 为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为 ，
两边取常用对数可得： ，
所以 ，
故选：B
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列 ，满足： ，我们称其
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的
“对称数列”．设数列 为 项的“对称数列”，其中 ， ， ， 是公差为 的等差数列，数
列 的最小项等于 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】5或4
【解析】由于 ， 是公差为 的等差数列，故 ， 单调递减，所以 ，
故 ，则 ， ．
又 ，故 ，即 ，
由等差数列前 项和公式有 ，化简得 ，
解得 或 ．
故答案为：5或4．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张 的数表（如下表），
0 1 2 3 n
统计 ， ， ， 中各数出现次数．若对任意 ，1， ，n，均满足数k恰好出现 次，则称之为
阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
0 1 2 3
1 2 1 0
对于如下的一张7阶自指表．记 ，N的所有可能值为
．
0 1 2 3 4 5 6
【答案】3211000
【解析】由题意可得，7阶自指表为:
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】0 1 2 3 4 5 6
此时 ， ， ， ， ，
所以 .
故答案为： .
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列 ，由 作通项得到的数列
，称 为数列 的差分数列，已知数列 为数列 的差分数列，且 是以1为首项以2为
公差的等差数列，则 ．
【答案】65
【解析】由题意得 ，
累加得 ，即 ，
则 ．
故答案为：65.
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习） ， 为一个有序实数
组， 表示把A中每个-1都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实
数组，例如： ，则 ．定义 ， ，若 ，
中有 项为1，则 的前 项和为 ．
【答案】
【解析】因为 ，依题意得， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然， 中有2项，其中1项为 ，1项为1，
中有4项，其中1项为 ，1项为1，2项为0，
中有8项，其中3项为 ，3项为1，2项为0，
由此可得 中共有 项，其中1和 的项数相同，
设 中有 项为0，所以 ， ，
从而 ①，
因为 表示把A中每个 都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序
实数组，
则 ②，
①+②得， ③，
所以 ④，
④-③得， ，
所以当 为奇数且 时，
，
经检验 时符合，
所以 （ 为奇数），
当 为偶数时，则 为奇数，
又因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
当 为奇数时， ，
所以 的前 项和为
.
故答案为： .
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为 的数列 满足： 我们称其为
项的“对称数列”．例如：数列 为 项的“对称数列”；数列 为 项的“对称数列”．设
数列 为 项的“对称数列”，其中 是公差为 的等差数列，数列 的最大项等于 ，
记数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
【答案】3或4
【解析】由题意， ，又 是公差为 的等差数列，故 ，则 ，
.
又 ，故 ，即 ，
由等差数列前 项和公式有 ，化简得 ，解得 或 .
故答案为：3或4
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金
属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】次？
【答案】
【解析】设把 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次.
则把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次
把n个金属片从1号针移到3号针，分为以下步骤来完成:
第一步：先将上面的 个金属片从1号针移到2号针，则最少需要移动 次.
第二步：将第n个金属片从1号针移到3号针，需要1次.
第三步：再将上面的 个金属片从2号针移到3号针，则最少需要移动 次.
所以 ，其中
则 ，所以
所以
故答案为：
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步， 技术的蓬勃发展得
益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中 智能终端产品的制造仅能由 公司和 公司提
供技术支持.据市场调研预测， 商用初期，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品分别
占比 及 .假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，
上一周期采用 公司技术的产品中有 转而采用 公司技术，采用 公司技术的仅有 转而采用 公
司技术.设第 次技术更新后，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品占比分别为 及 ，
不考虑其他因素的影响.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)用 表示 ，并求实数 ，使 是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用 公司技术的智能终端产品占比能否超过 ？若能，至少需要
经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据： ）
【解析】（1）依题意， 5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分
别为 ， ，
经过n次技术更新后 ， ， ，
则 ，因此有 ，
设 ，令 ，解得 ，
则有 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，
因此经过n次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比 ，
依题意，令 ，得
，而 ，则 ，
所以至少经过10次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛
出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后
沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求证：当n为偶数时， .
【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为 ，
第 次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第 次抛沙包后，
沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故 ，且
故 ，
，
所以数列 为等比数列，
由 ，得 ，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得 ；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为 ，
则 ，
∵当n为偶数时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线 及曲线 ．
从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于
点 ，点 的横坐标构成数列 ．
(1)试求 与 之间的关系，并证明： ；
(2)若 ，求 的通项公式．
【解析】（1） ，从而有 ， 在 上，故 ，
故 ，
由 及 ，知 ，下证： ，
，故 与 异号，
，故 ，故 ，即 ；
（2） ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相除得 ， ，
故 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ，解得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
