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第二十四章 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、三角形内切圆半径、周长、面积关系问题
【解惑】如图，已知 是 的内切圆， ， 与 的切点分别为 D，E，
F，若 ， ，则 的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【融会贯通】
1．如图， 是 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点D，E，F．若 的半径为2，
， ， ，则 的面积为（ ）A． B．24 C．26 D．52
2．已知 的周长为20，其内切圆半径 ，则 的面积为 ．
3．【阅读材料】
已知，如图1，在面积为 的 中， ， ， ，内切圆 的半径为 ．连接 、 、
， 被划分为三个小三角形．
∵ ．
∴ ．
【理解运用】
(1) 两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______；
(2)如图2， 中 ， ， ，求 的内切圆的半径；
(3)如图3，在四边形 中， 与 分别为 与 的内切圆， 与 切点分别为、 、 ，设 的半径为 ， 的半径为 ，若 ， ， ， ，
，求 的值．
类型二、圆锥侧面展开最短路径
【解惑】如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面
爬行一周后回到点A的最短路程是( )
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，
则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图， 是圆锥底面的直径， ，母线 ．点 为 的中点，若一只蚂蚁从 点处出
发，沿圆锥的侧面爬行到 点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在 上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬
行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿 将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展
开图．
类型三、秦九韶与海伦公式
【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶（1208年～1268年）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公
式 （ 为三角形的三边长）．若一个三角形的三边长分别为 ，则其面
积是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著
作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式 ①，其中 是三角形的三边长， ， 为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），
曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 ②，经过对公式②进行整理变
形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在 中，
若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的
三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为 现已知 的三边长为2，
3， ，则利用公式求得 的面积是 ．
3．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦
（Heron，约公元50年）提出的海伦公式 （其中a，b，c表示三角形的三边长，
）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称
为海伦-秦九韶公式．
(1)已知在 中， ， ， ，且a，b，c满足 ．
① ______， ______， ______．
②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出 的面积．
(2)如图，在 中， ， ， ，请你用海伦-秦九韶公式求 的面积．类型四、圆的平移、折叠、旋转
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别相交于 ，B两点， ，
圆心 的坐标为 ， 与 轴相切于原点 ，若将 沿 轴向右平移，当 与直线 的位置关
系是相交时，横坐标为整数的点 的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【融会贯通】
1．如图， 是 的直径，将弧 沿弦 折叠后，弧 刚好经过圆心O．若 ，则 的长是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB为半径为8的 的弦，弧 沿弦 折叠经过圆心O，点D为弧 上一动点，连接
交 于点C，点P为 的中点，则 最小值为 ．3．已知，如图，等边 ，点D是平面内一点（点D不在直线 上），连接 、 ．将 绕
点A按逆时针方向旋转 得到 ，点D的对应点是点E．
设直线 与直线 交于点G．
(1)如图1，判断线段 与线段 的数量关系，并说明理由；
(2)当点D是线段 的中点，根据题意，在图2中画出图形，求 的度数；
(3)探索 与 的数量关系，直接写出结论．
类型五、弦切角、托勒密定理
【解惑】阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线 与 相切于点 ， 为 的弦， 叫弦切角， 叫做弦切角 所夹的弧，
是 所对的圆周角， 为直径时，很容易证明 ．
小华同学认为这是一种特殊情况，若 不是直径会如何呢？即在图2中 吗？她连接 并延
长，交 于点 ，连接 …问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角 为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角 为钝角时，能证明 （如图4）吗？任务：
(1)请按照小华的思路，利用图2证明 ；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点 为 的弦 延长线上一点， 切 于点 ，连接 ， ， ，
，则 ______°
【融会贯通】
1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，AC为⊙O的切线，点A
为切点，AB为⊙O内一条弦，∠CAB即为弦切角，
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定
理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度
数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，AC为⊙O的切线，点A为切点，AB为⊙O内一条弦，点D在⊙O上，连接OA，OB，
BD，AD．
求证：______．
证明：
(2)如图3，AB为⊙O的切线，A为切点，点C是⊙O上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，CD交⊙O于
E，连接OE，OC，AE．若AD＝10，AE＝2 ，求弦CE的长．
2．阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 年—公元 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，
他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积
之和．
用数学文字表示为：如图1，已知四边形 内接于 ，则
任务：
（1）如图1，当 为等边三角形时， 与 有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知 为直径， ， ，求 的长；（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的
面积为_________．
3．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．
在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形
ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．类型六、阿基米德折弦定理
【解惑】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段
、 组成折线段 ，点 在折线段 上，若 ，则称点 是折线段 的中点．
【概念应用】
（1）如图2， 的半径为2， 是 的切线， 为切点，点 是折线段 的中点．若 ，
则 的长为________________；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段 放在圆中，且 、 、 三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米
德折弦定理：如图3， 和 是 的两条弦（即折线段 是圆的一条折弦） ， 是
的中点， ，垂足为 ，则 ．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程，
【证明定理】
证明：如图3，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
是 的中点，
…（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【灵活运用】
（3）如图4，已知等边三角形 内接于 ， 为弧 上一点， 于点 ，连接 ，若
， ，请直接写出 的周长．
【融会贯通】
1．某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究．
【问题呈现】
阿基米德折弦定理：如图 ． 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）． ，点
是 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．
同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补
充完整．
证明：如图 ，在 上截取 ，连接 、 、 和 ．
是 的中点．
___________．
又 ， ，
___________ ___________．
，
又 ，___________．
．
即 ．
【变式探究】
如图 ，若点 是 的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断 、 、 之间存在怎样的数
量关系？并加以证明．
【实践应用】
如图 ， 是 的直径，点 是圆上一定点，点 是圆上一动点，且满足 ．若 ，
的半径为 ．求 的值．
2．阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆
的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
，点M是 的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“ ”，于是他在CD上截取 ，连接
MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
(2)如图3，在 中， ， ，若 ，则AE的长度为_______．3．请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）， ，M是
的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是 的中点，
∴ ．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于 ，D为 上一点， ， 于点E，
，连接AD，则 的周长是______．类型七、新定义圆——几何
【解惑】定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．
(1)已知 ，请直接写出一个α的值______，使四边形 为幸福四边形；
(2)如图1， 中，D、E分别是边 上的点， ．求证：四边形 为幸福四边形；
(3)在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作 ，与边 交于另一点F，与边 交于点G，且
．
①求证： 是 的直径；
②连接 ，若 ，求 的长．
【融会贯通】
1．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”．
(1)如图1， 是 的弦，作作 、 ，分别交 于点 ，连接 交 于点E．求证： 、 是 的等垂弦；
(2)如图2， 的半径为5， 、 是 的等垂弦， 与 交于点 ， ，求 的长．
2．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”．
(1)如图1，四边形 是“近似矩形”， ， ， ，求 的值．
(2)如图2，在四边形 中，点 是 上的点， 是 的直径， 分别与 交于点
，连结 ，若 平分 ， ，
①如图3，若 ，求 的度数；
②求证：四边形 是“近似矩形”．
3．定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为
“唯美四边形”，如图，四边形 中， 平分 ，则 为四边形 的“唯美线”．利用上
述知识解答下列问题．
[问题发现]（1）如图①，若 ，求 的最小值；
[深度探究]（2）如图②，连接对角线 ，若 平分 ，且 ，求 的度数；
[拓展延伸]（3）若四边形 为唯美四边形， ， 平分 ， 与
相交于点 ，则当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．
类型八、新定义圆——函数
【解惑】对于平面内的点 和图形 ，给出如下定义：以点 为圆心， 为半径作圆．若 与图形 有公共点，且半径 存在最大值与最小值，则将半径 的最大值与最小值的差叫做点 视角下图形 的宽度，
记作 ．
(1)如图1， 为坐标原点， ， ，则 ；
(2)如图2，在菱形 中， ， ， ，已知 ，求 ；
(3)如图3， ， 在第一象限且纵坐标为2， 是线段 延长线上一点，且 ，则
的横坐标为 ，若点 为 轴负半轴上一动点，且点 的横坐标小于 ，则 的最大值为 ．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．对于点 和 的弦 ，给出如下定义：点 向左平移
个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到点 ，若点 在弦 上，且不与点 ， 重合，则称点 是
弦 “伴随点”．
(1)如图，点 ， ，在点 ， ， 中，弦 的“伴随点”是______；
(2)已知 是直线 上一点，且存在 的弦 ，使得点 是弦 的“伴随点”．记点 的横坐标为 ，直接写出 的取值范围；
(3)已知点 ．对于线段 上任意一点 ，存在 的弦 ，使得点 是弦 的
“伴随点”，将点 对应的弦 的长度的最小值记为 ，直接写出 的最大值及 的取值范围．
2．在平面直角坐标系 中，对于点P、点M、点Q，给出如下定义：点P绕点M逆时针旋转 得到点
，点N为线段 的中点（点N不与点 重合），则称线段 的长为点P关于点M及点Q的“垂中
距”，记为 ．
(1)已知点 ．
①若点 ，则 为______________；
②若点C为y轴上一动点，则 的最小值为______________．
(2)若 ，直接写出 的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy中， 的半径为 ．对于 的弦 和点C（C可以与A，B重合）给出如下
定义：若直线 经过弦 的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于 ，则称点C是弦 的
“关联点”．(1)如图，点 ．
①点 ，在点 ， ， 中，弦AB的“关联点”是________；
②点 ，若点C是弦 的“关联点”，直接写出点D的坐标________；
(2)已知点 ， ．线段 上存在弦 的“关联点”，记 的长为t，直接写出t的取值
范围．
类型九、动圆相切求t
【解惑】如图1，在矩形 中， ，点P以 的速度从点A向点B运动，点Q以
的速度从点C向点B运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒 ．
(1)当t为何值时， 的面积等于 ；
(2)如图2，若 是 的外接圆，连接 ，交 于点N，当 时，求t的值．【融会贯通】
1．如图1所示，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 坐标为 ， 过点 ．与 轴、 轴
分别交于 、 两点， 为弧 的中点．连接 并延长交 轴于点 ，连接 并延长，使得 ，
连接 ．
(1)求点 的坐标；
(2)连接 、 ，判断四边形 的形状并说明理由；
(3)点 从 点出发以每秒 个长度单位的速度沿折线段 运动，同时点 也从 点出发以相同的
速度沿射线 运动，当点 到达 点两点同时停止，设运动时间为 ， 的面积为 ，求 与 之间
的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(4)如图2，若点 为 中点， 为直线 上一点，将线段 绕 旋转某一角度得到的线段 ，线段
是否能是 的弦，若能请求出 点的坐标，若不能请说明理由．
2．在矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿 边向点 以每秒 的速度移动，
同时点 从点 出发沿 边向点 以每秒 的速度移动， 、 两点在分别到达 、 两点时就停止
移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题：(1)如图 ，当 为几秒时， 的面积等于 ？
(2)如图 ，以 为圆心， 为半径作 在运动过程中，是否存在这样的 值，使 正好与四边形
的一边 或边所在的直线 相切？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．
3．在矩形 中， cm， cm，点P从点A出发，沿 边向点B以每秒1cm的速度移动，
同时点Q从点B出发沿 边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，
设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
(1)如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5 ？
(2)如图2，当t＝ 秒时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)如图3，以Q为圆心， 为半径作 ．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使 正好与四边形 的一边（或边所在的直线）相切？若
存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若 与四边形 有三个公共点，请直接写出t的取值范围．
类型十、无刻度尺作图
【解惑】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 内接于圆，点 均在格点上，且
．（I）线段 的长等于 ；
（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 ，使 ，并简要说明点 的
位置是如何找到的（不要求证明） ．
【融会贯通】
1．图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，
经过格点A，B、C．
(1)操作：
只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法．
步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可）
步骤二：在图1中画 的切线 ．
步骤三：图2中，点D为 与网格线的交点，在 上画点F，使F是 的中点．
(2)探究：
①求 的长度（结果保留π）．
②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接 与 交于点N，连接 ．直接写出 的长．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点 ， ， ， 均是格点．(1)线段 的长等于___________；
(2)点 在线段 上，连接 ，点 是点 关于 的对称点，射线 与射线 相交于点 ．当
的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 与点
的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
3．如图是由小正方形组成的 网络，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点 为格点， 经过点 ，
点 、 为 与横格线的交点，仅用无刻度的直尺在绘定网格中完成画图任务．
(1)如图1，先将点 绕点 旋转 得到点 ，再将线段 绕点 旋转 得到线段 ；
(2)如图2，在 上画点 （点 异于点 ）， ；并过点 作 的切线 ．
