文档内容
第二十四章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】...................................................................................................................................................................10
【题型1 圆的相关概念及性质】............................................................................................................................10
【题型2 垂径定理及其应用】................................................................................................................................11
【题型3 圆心角、弧、弦的关系】........................................................................................................................12
【题型4 圆周角定理】............................................................................................................................................13
【题型5 圆内接四边形的性质】............................................................................................................................14
【题型6 点和圆的位置关系】................................................................................................................................15
【题型7 直线和圆的位置关系】............................................................................................................................16
【题型8 切线的判定与性质】................................................................................................................................17
【题型9 切线长定理】............................................................................................................................................18
【题型10 三角形的内切圆和内心】........................................................................................................................20
【题型11 正多边形与圆】........................................................................................................................................21
【题型12 弧长的计算】............................................................................................................................................22
【题型13 扇形面积的计算】....................................................................................................................................23
【题型14 圆锥的侧面积】........................................................................................................................................25
【拔尖篇】...................................................................................................................................................................26
【题型15 圆与函数的综合】....................................................................................................................................26
【题型16 圆与格点作图】........................................................................................................................................28
【题型17 圆中的最值问题】....................................................................................................................................29
【题型18 圆中的定值问题】....................................................................................................................................30
【题型19 隐圆问题】................................................................................................................................................32
【题型20 圆中的多结论问题】................................................................................................................................33
知识点 1 圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”．（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
2. 圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“ ⊙ O ”，读作“圆O”．
3. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长（半径 r ） ；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；
（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点 2 圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．
2. 弧、半圆、劣弧、优弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
（3）弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
3. 等圆与等弧
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
同圆或等圆的半径相等.
知识点 3 垂直于弦的直径
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
③ =
① 是直径
如 图 ，
② ⊥ ⇒ ④ A M B M
C D A´C=B´ C
CD AB
⑤A´D=B´D
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
③ ⊥
① 是直径
如上图，② =
（CD 不是直径） ⇒ ④CDA´CA=BB´ C
AM BM
AB
⑤A´D=B´D
由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
知识点 4 弧、弦、圆心角
1. 圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 圆的旋转对称性
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心
是对称中心．
3. 圆心角及其所对的弧、弦的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
②A´B=C´D
如 图 ， ①∠AOB=⇒
∠COD ③ =
AB CD
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
① ∠AOB=
如 上 图 ， ②⇒ ∠COD
A´B=C´D
③ =
AB CD（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
① ∠AOB=
如上图，③ = ⇒ ∠COD
②A´B=C´D 和AD´ B=CB´D
AB
CD
由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”．
知识点 5 圆周角
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2. 圆周角定理
1
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，∠ABC= ∠AOC．
2
3. 圆周角定理的推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，A´C=B´D⇒∠ABC=∠BAD．
（2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如图，AB是直径⇒∠ACB=∠ADB =90°；∠ACB=90°⇒AB是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 圆周角与圆心角的区别
圆心角 圆周角顶点在圆心 顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数
的 个
联系 两边都与圆相交
知识点 6 圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边
形的外接圆．
2. 圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
知识点 7 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点 8 三角形的外接圆
1. 圆的确定
经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：
如图，（1）连接AB，BC；
（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；
（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．
2. 三角形的外接圆（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．
（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
（4）三角形的外心的位置
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部
知识点 9 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
d与r关系 d＜r d＝r d＞r
公共点名称 割点 切点
直线名称 割线 切线
知识点 10 切线的判定定理和性质定理
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2. 切线的判定定理的推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3. 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径．
4. 证明直线是圆的切线的方法
一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点
二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径
三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径
知识点 11 切线长及切线长定理
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点 12 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角
形．
2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点．
3. 三角形的内心与外心的区别
内心 外心
内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等
过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边
所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部
知识点 13 正多边形及有关概念
1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n边
形，这个圆就是这个正n边形的外接圆．
3. 与正多边形有关的概念
（1）中心，即正多边形的外接圆的圆心；
（2）半径，即正多边形的外接圆的半径；
（3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角；
（4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离．
知识点 14 正多边形的有关计算
设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 以正六边形为例：
(n−2)⋅180°
（1）每个内角为 ；每个中心角为
n
360° 360°
；每个外角为 ；
n na 2
（2）半径、边长、边心距的关系为R2=r2+(
)
2
1 1
（3）周长l=na；面积 S= arn= lr
2 2
知识点 15 正多边形的画法
画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法：
1. 用量角器等分
特点：（1）可以画出任意正多边形；
（2）边数很大时，容易产生较大误差．
360° 1
步骤：（1）用量角器画一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的 ；
n n
（2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点；
（3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形．
2. 用尺规等分
特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边
形等；（2）作图比较准确．
画正六边形的步骤：（1）作直径AD；
（2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E；
（3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF．
知识点 16 弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR πR n nπR
，即 ，于是n°的圆心角所对的弧长为l= ⋅2πR= ，弧长为l的弧所对的圆心角为
360 180 360 180
180l
n= 度．
πR
知识点 17 扇形及扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆
πR2 nπR2
心角是1°的扇形面积是 ，于是圆心角为n°的扇形面积是S = ，还可以用弧长表示扇形面积
360 扇形 360
1
S = lR，其中l为扇形的弧长．
扇形 2
知识点 18 圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3. 圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆
锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S =πrl．全面积就是它的侧
侧
面积与它的底面积之和，即S =πrl+πr2 ．
全
【培优篇】
【题型1 圆的相关概念及性质】
【例1】如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【变式1-1】如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（
）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式1-2】如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，求证：OE=OF
．
【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重
合，点C在⊙A上，则⊙A与数轴正半轴的交点E表示的数为 ．【题型2 垂径定理及其应用】
【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，交AB于点E，点
D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D=30°，AB=4❑√3，则⊙O的半径为 ．
【变式2-1】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；
(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．
【变式2-2】（2025·江西九江·三模）如图，AB是⊙O的直径，四边形AFDE是平行四边形，请仅用无刻
度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中，点F与点O重合，请作出A´D的中点G．
(2)在图2中，请作出A´D的中点H．【变式2-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离
L=40m，弓形的高度S=10m．
(1)计算桥拱圆弧所在圆的半径；
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，AB为船身宽，为保证安全，点A、B与其正上方拱桥
线上的对应点E、F的距离均应不小于2m．某日，测得拱顶C点高出水面15m．现有一艘货轮露出水面部
分的高度为13.2m，AB=14m．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降0.1m，请问要保证该货轮安全通
过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？
【题型3 圆心角、弧、弦的关系】
【例3】（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，M为劣弧AC上一点，将劣弧
AC沿弦AC所在的直线翻折，翻折后点M恰好与圆心O重合，则∠B的大小等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式3-1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上位于直径AB同
侧的两点，且A´D=B´C，连接AD，AC，BC，BD．
(1)求证：△ABD≌△BAC；
(2)连接OC，若OC⊥BD，求∠ABD的度数．
【变式3-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦
AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
【变式3-3】如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO并延长
交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C ，△ABC
1
C
的周长记为C ，则 1 的值为 ．
2 C
2
【题型4 圆周角定理】
【例4】（2025·山东青岛·二模）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是A´E的中点，连接AC，CE，BE，
BD，BC，若∠A=62°，则∠D的度数为（ ）
A．34° B．31° C．30° D．24°
【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，且AC平分∠BAO，D
是⊙O上一点，连接CD，BD．若∠ACB=20°，则∠D的度数为 ．【变式4-2】（2025·湖北孝感·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB交
AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
(1)求证：EC=ED；
(2)若OA=8，EF=6，求AD的长．
【变式4-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
(1)如图1，若∠BAD=90°，求证：DB平分∠ADC；
(2)如图2，若AB=6，CD=8，DF是圆的直径，连接CF，求⊙O的半径．
【题型5 圆内接四边形的性质】
【例5】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的
度数为（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式5-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为
1:2:4，则∠D= ．
【变式5-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线
于点E，连接AC、BD，CD平分∠BDE．
(1)求证：CA=CB；
(2)若点B为CA´D的中点，DE=2，CE=6时，求AD的长．
【变式5-3】（2025·安徽六安·三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平
分∠ABC，连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE并延长交BA延长线于点F．(1)求证：AF=BC；
(2)若BC=2，求EF的长．
【题型6 点和圆的位置关系】
【例6】矩形ABCD中，AB＝8，BC=3❑√5，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，
PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
【变式6-1】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在⊙O中，弦MN的长为2❑√3，点A在⊙O上，
MN⊥OA,∠ANM=30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP=2，则点P与⊙O的位置关系是
（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【变式6-2】点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半
径是 ．
【变式6-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作
⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．2.5 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
(3)求线段OQ长度的最大值.【题型16 圆与格点作图】
【例16】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺
按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作弦AB的圆心角．
(2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上．
【变式16-1】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点
△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．
(2)在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°．
【变式16-2】（2025·天津·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上．
（1）线段AG的长为 ；
（2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的
延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直
尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是
如何找到的（不要求证明） ．【变式16-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的
顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
⟺
(1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，并在
AB
上作点D，使
AD=AC；
(2)在图②中，⊙O经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，点D是⊙O和网格线的交点，连接
AB，BD，请在AD上作点E，使BE平分∠ABD，并在BC上作点F，使得CF∥BD．
【题型17 圆中的最值问题】
【例17】如图，⊙O半径为❑√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD´C上运动，连接BE，作
AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
❑√2
A．❑√5−1 B．1 C．❑√2−1 D．
2
【变式17-1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆弧上的一
点，连接AC，将劣弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，取劣弧AD的中点为E，连接OE．已知AB=2
，则点E与圆心O距离的最小值为（ ）
1
A． B．❑√2−1 C．2−❑√2 D．1
2
【变式17-2】如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作
BD⊥MN于点D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
【变式17-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，
PO=5，点A、B在⊙O上，且满足BP=BA，则线段PA的最大值是 ，最小值是 ．
【题型18 圆中的定值问题】
【例18】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴
上，A点的坐标为(0,4)．
(1)将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
(2)如图，⊙O 与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O 于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点
1 1
M、N、Q．求证：O N平分∠MO Q．
1 1
(3)若H(−4,4)，T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O ，AS⊥AC交⊙O 于S．当T运动时
2 2
（不包括A点），AT−AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
【变式18-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图直角坐标系中，以M(3,0)为圆心的⊙M交x轴负半
轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D两点，过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交
⊙M于N，当⊙M的半径从小变大时，AN的长度（ ）A．不变 B．逐渐变大
C．不规则变化 D．逐渐趋近一个定值
【变式18-2】如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得
DO=DG，连接GB，GC，OB，OC
(1)求证：四边形BOCG为菱形．
(2)如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB
于点F，求证：AE+AF为定值．
【变式18-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，⊙O的半径为2，A、B是⊙O上的两点，
∠AOB=120°，C是AB的中点．
(1)∠ACB=_______________度；并求阴影部分的面积；
(2)若点P在⊙O上，且△APB是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置；(3)如图2，弦MN的端点在优弧AB上滑动（不与A、B重合），且MN=2❑√3，连接CM、CN分别交OA
、OB于点E、F．当弦MN的端点在优弧AB上滑动时，探讨四边形CEOF的面积是否发生变化？如果不
变，求出这个定值；如果变化，求出四边形CEOF面积的取值范围；
(4)如图3，过点A作射线AX⊥AB，AX交⊙O于点G，D是平面内的一个动点，且DG=1，Q为BD的
中点．直接写出线段AQ长度的最大值与最小值的差．
【题型19 隐圆问题】
【例19】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点，若
∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4，则EF的长为 ( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 2 D. 2√ 3
【变式19-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点，若
∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4，则EF的长为 ( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. 2 D. 2√ 3
【变式19-2】辅助圆之定角定高求解探究(1)如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断AB是否存在最小值，
若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，
∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6❑√2，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，
那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【变式19-3】已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．
(1)如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为
A′,B′,D′，连接OD,OD′．判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论：
(2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
(3)如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB
面积的最大值．
【题型20 圆中的多结论问题】
【例20】如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到
矩形A′B′C′D′，且AD′交⊙O于点E，AB′交⊙O于点F，D′C′与⊙O相切于点M．下列说法正确的有
．（只填写序号）①AE＝4；②A´E=E´M=M´B；③AF=4❑√3；④∠DAD′=30°．
【变式20-1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理
就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，AB，BC为⊙O的两条弦(ABa，
若Rt△ABC是奇异三角形，则a:b:c=1:❑√3:2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点
A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，
CB=CE.则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC=120°.其
中，说法正确的有 .
【变式20-3】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边
三角形一定是奇异三角形；②在Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt ABC
是奇异三角形，则a：b：c＝1：❑√3△：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、△B重
合），D是半圆AD´ B的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则
ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当 ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有
△（ ） △A．①② B．①③ C．②④ D．③④
