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专题 09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
01 等差、等比数列的基本量问题................................................................................................1
02 证明等差等比数列..................................................................................................................4
03 等差等比数列的交汇问题.......................................................................................................7
04 数列的通项公式....................................................................................................................11
05 数列求和................................................................................................................................17
06 数列性质的综合问题.............................................................................................................30
07 实际应用中的数列问题.........................................................................................................37
08 以数列为载体的情境题.........................................................................................................41
09 数列的递推问题....................................................................................................................44
01 等差、等比数列的基本量问题1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ， ，记 ，则有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A项，由已知可得 ，故A项错误；
对于B项，由已知可得， ， ，故B错误；
对于C项，由已知可得， ， ，
即 ，所以 .故C项错误；
对于D项，因为 ， ，
所以， 是以3为首项，4为公差的等差数列，
所以， .故D正确.
故选：D.
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 （ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
【答案】B
【解析】因为数列 是等比数列， ，
所以 ，即 ，则 .又因为 ，故有 .
所以 ，则 ，
所有 ，所有 ，故B项正确.
故选：B.
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列 ，其前 项和为 ，若 ，且满足 ， ，
成等比数列，则 等于（ ）
A． 或 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由已知可得 ，设 的公差为 ，
且 ，即 ，
故 .
故选：C
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列 中，已知 ， ，则
（ ）
A． B．42 C． D．
【答案】C
【解析】设 的公比为 ，则 ，解得 ，所以 ，解得 ，所以 .
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 对任意 满足 ，则
（ ）
A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
两式相减得： ，
令 得 ，
所以 ，所以 ，
当 时，
.
故选：C.02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列 中， ，
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；
【解析】（1）当 时，由 可得 ，易知 ；
两边同时取倒数可得 ，
即 ，
由等差数列定义可得 是以 为首项，公差 的等差数列，
所以 ，
即 ，可得 ，
显然 时， 符合上式，
即 的通项公式为 ；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，
都有 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，且 ， ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 、 的通项公式．
【解析】（1）因为 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，所以 ①， ②，
又数列 、 的各项均为正数，
则由②可得 ③，
将③代入①，得对任意 ，有 ，
即 ，
所以数列 是等差数列.
（2）设数列 的公差为 ，
由 ，
得 ， ，
所以 ，
由已知，当 时， ，
而 也满足此式，
所以 ， .
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知
(1)求 ，并证明： 是等比数列；
(2)求满足 的所有正整数 .【解析】（1）由 可得 ，
所以 ，
可得 ；
由已知得 ，
所以 ，
其中 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当 时， 单调递减，
其中 ，
所以满足 的所有正整数 为1，2.10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ，且
.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求证：数列 是等差数列，并求其前 项和.
【解析】（1） 中令 得： ，
因为数列 的各项均为非零实数，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得： ；
（2） ，即 ，
所以 ， ， ，……， ，以上式子相乘得：
，
因为数列 的各项均为非零实数，且 ，所以 ，
即 ，当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
故数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
，所以 ，所以 ，
，
故 ，所以 ，所以数列 是等差数列，
其前 项和 .
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列 的前n项和为 ，若 ， ， ， 成等差数列，
则 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，所以 是首项为6，
公比为 的等比数列，所以 ，所以 ．
故答案为： .
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ．且 ， 是公差为 的等差
数列，则 ．
【答案】
【解析】 ，则 ，
∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ，则 ，
当 时， ，
，当 时， ，
∴数列 自第二项起构成公比为3的等比数列，
可得 ．
故答案为： ．
13．（2023•甲卷）记 为数列 的前 项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有： ①，把 换成 ， ②，
② ①可得： ，
整理得： ，
由等差数列定义有 为等差数列；
（2）由已知有 ，设等差数列 的首项为 ，由（1）有其公差为1，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ，
故可得： ， ， ，
故 在 或者 时取最小值， ，
故 的最小值为 ．
14．（2023•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数
列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，
是首项为1的等比数列，设其公比为 ，
则 ， ，
，．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①
，②
① ②得， ，
，
，
．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 是公差为 的等差数列，设
，若存在常数 ，使得数列 为等比数列，则 的值为 .
【答案】
【解析】当 时， .若存在常数 ，使得数列 为等比数列，则
，记 ，则有 ，化简得 ，
这与 矛盾，故此时不存在常数 ，使得数列 为等比数列.
当 时， (其中).因为数列 为等比数列，对任意 ，恒有 ( 为常数且 )，即
，所以 ，
所以 对任意正整数 恒成立，所以 解得 或
(舍)，所以数列 为等比数列时， .
故答案为：
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
【解析】依题 ，
记 ，
令 ，求出不动点 或3；由定理3知： ， ，
∴ ，又 ，所以 ，……， ，
，
∴ ．
又 ，令 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
∴ ．由 ，得 ．∴ ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 设 ，求数列 的
通项公式.
【解析】依题 ，
记 ，令 ，求出不动点 ；
由定理2知：
，
；
两式相除得到 ，
∴ 是以 为公比， 为首项的等比数列，
∴ ，
从而 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．
【解析】设 所以
， ，
∴ ，解得： ，
又 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
，∴ ∴
， ．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
【解析】 为等差数列，
首项 ，公差为 ，
.
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【解析】（1）因为 ，
所以令 得： ，即： ①，
令 得： ，即： ②，
又因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ③，
将③代入①②可得 ，即
由①②③得： ， ，故 的值为1.
（2）因为 ，当 时， ，
两式作差可得： ，
所以 ， ，
由（1）知， ，
所以 ，
即： ， ，
将 代入 得： ，符合，
综上， .
故数列 的通项公式为 .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足递推关系： ，且 ， ，
求数列 的通项公式.
【解析】由于 且 ， ，故数列 发生函数为
于是数列 的通项为： ， .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求 .【解析】因为
所以两边同时加上 得： ，
所以 ，当 时，
故 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
于是
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ，求{an}的通
项.
【解析】∵ ……①
∴ ……②
②-①得：
……③
∵{a }的特征函数为： ，
n
由 x=1.
设 ， ……④
将④代入③得：，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】令 ，整理得 ，故 或 ，
由 可得 ，令 并将 代入，可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，整理得 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
【解析】由题意，
，
所以 ，则 ，而 ，
故 是以 为首项，3为公比的等比数列．
于是 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）设 ，数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】 ， ，两边取倒数得到 ，
令 ，则 ，
当 时， ， ， ，
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
， ， ．
当 时， ，则 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
，
，
，
，
，
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通项公
式．
【解析】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ．
∴ ．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列 中， ，且
，则 等于 .
【解析】由题意可知： ，
显然有 ，
由累乘法可得 .
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求
【解析】法1：已知 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为3的等比数列，故 ，则 ，
得，
当n为奇数时， ， ， ， ， ，
累加可得， ，
所以 ，
当n为偶数时， ，
综上， ；
法2：由特征根方程 得， ， ，
所以 ，其中 ，解得 ， ，
.
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足： （
），数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 .
【解析】（1）当 时， ；当 时， ①，
②，
①－②得： ，
∴ ，当 时， ，
∴ .
（2）∵ ，
∴
∴ ①，
②，
又∵ ∴①＋②得：
∴ .
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列 为等差数列， 是公比不为0的等比数列，
， ， ， ．
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列{cn}的前n项的和 ；
(3)设 ，求数列 的前n项的和【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
依题意有 ，解得 ，
故 ， .
（2） ，
，①
，②
①-②得
，
即 .
（3） ，
所以 ，即 .
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列 为等比数列，首项 ，公比 ，
且 是关于 的方程 的根.其中 为常数.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求使 的 的最大值.【解析】（1）因为 是关于 的方程 的根，
所以 .
又因为数列 为等比数列， ，公比 .
所以 ，解得： 或 （负值舍去），
故：
（2）由（1）得： ，
所以： ，
所以：
因为 ，
所以 ，解得： （ ），
故： 的最大值为48.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 是首项为1，公差
为1的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．【解析】（1）因为 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，则 ，故
当 时， ，
当 时， ，故 ，
显然， 满足上式，
所以 .
（2）因为
，
所以
.
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前99项和为 ，求 .
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ，
累加得 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
所以数列 是以3为周期的数列.
故 .
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列 的前 顶和为 .且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中， ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）当 时，可得： ；
当 时， ， ，两式相减，得： ，即 ，
所以： .（2）当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以： ，
时， ，上式也成立.
所以： ，
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【解析】（1）当 为奇数时，由 可得 ，
所以数列 的奇数项成等差数列，且公差为2，又由 ，故 ；
当 为偶数时，由 ，可得 ，
所以数列 的偶数项成等比数列，且公比为4，又由 ，故 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）当 为奇数时，
则
，
当 为偶数时，
则，
综上可得， .
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【解析】（1）因为数列 满足 ．
当 时， ；
当 时， ，所以 ,所以 .
当 时， ，上式也成立.所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
令 ，
所以
，又 ，所以 .
所以 是递增数列，所以 ，
所以 .
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习） 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ，证明 .
【解析】（1）由 可得 ，
两式做差得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
时， 或 （舍去）
所以 是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
， ，因为 且单调递减，所以 单调递增，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 得证.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列 满足 ， ，设 的前 项积
为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】（1）由题意知， 为正项数列 的前 项的积，且 ，
当 时， ，所以 ，解得 ；
又 ①， ②，
②÷①得， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
结合 ，可知数列 是常数列，
所以 ，所以 ，所以 ．（2）由（1）可得 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列 和 满足： ， ， ，
，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）证明：因为 ①， ②，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为常数列，且 ③，
① ②可得 ，且 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ④，
③ ④可得 ，则 ，所以， .
（2）由（1）可知， ，
则
.
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求证：函数 的图象关于点 对称；
(2)求 的值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即函数 的图象关于点 对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为 ，
所以 （倒序），
又由（1）得 ，
所以 ，所以 .
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列.(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）由（1）知 ，
即 ，则 .
，
，
则
，
所以 .
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的最小正整数 .【解析】（1）因为 ，所以 ①
当 时， ，所以 ；
当 时， ②
①-②得 ，即 ，
则 ，而 ，
所以数列 构成以1为首项，3为公比的等比数列，
则 ，所以 .
（2） ， ，
的前 项和
的前 项和
单调递增且 ，
所以使得 最小正整数 为4.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；(2)已知数列 满足 求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）依题意，设数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）由（1）知 ， ，可得 ，
所以
．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
46．（2023•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．
所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列 满足 、 、 成等比数列， 、 、
成等差数列，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等差数列 、 、 的公差为 ，设等比数列 、 、 的公比为 ，推导出，然后分 和 两种情况讨论，分别得出 和 ，
结合数列 的单调性可求得 的取值范围.设等差数列 、 、 的公差为 ，则 ，
，且 ，
设等比数列 、 、 的公比为 ，则 ， ，且 ， .
由题意可得 ，即 ，
由不等式的基本性质可得 ， .
①当 时，则 ，可得 ， ，即 ，
此时， ，由 可得 ，又 ，此时 ；
②当 时，则 ，可得 ， ，即 ，
此时 ，由 可得 ， ，则 ，此时 .
综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列 满足 ， ，若对于任意正
整数 ，都有 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 恒成立，即 恒成立.
因为 ，所以 .因为 恒成立，
整理得 恒成立.
因为 ，所以 .
当 时，由 ，
得 在 上有解，
故 的取值范围是 .
故选：C
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设 是公差为2的等差数列， 为其前n项和，若 为递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由数列 是公差为2的等差数列，
可得 ，则 ，
因为数列 为递增数列，可得 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，可得 在 为单调递减函数，
所以，当 时， 取得最大值 ，所以 ，即 的取值范围为 .
故选：A.
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 满足 ，若 ，则实数k的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】据题设知， 对一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
即 对一切 恒成立．
又当 时， ，
所以 ，所以所求实数k的取值范围是 ．
故选: ．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的
，均有 成立，则 的值的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 ；
若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列 中，其前 项和为 ，且满足 ，数列 的
前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以当 时， ，得 ，
当 时， ， ，两式相减得 （常数），
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列.因为 ，则 （常数），又 ，所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
即 对 恒成立，
当 为偶数时， ，则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以数列 是递增数列，则 的最小值为 ，
则 所以 ；
当 为奇数时， ，所以 ，
则 ，因为数列 是递增数列，所以 的最小值为 ，所以 ，
所以 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：D.
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，则公差 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为首项为 的等差数列，从第 项起开始为正数，
所以 ，即 ，解得 ，
故选：C
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c组成等比数列， 且 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】B
【解析】设 ，则 ，则 ，
由题设有 ，故 ，
因比 的取值范围是 ．
故选：B.
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列 的前 项和为 ， ，且，若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由
得 ，
则有 对任意 成立，
又 ，则 ，
故 ，且
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，
由 得， ，
分离参数得， ，
令
则
令 ，则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
由 ，则当 时，
当 时，恒有 ，又 ，故 的最小值为 .
若存在 ，使得 成立，则 ，
则有 ，即实数 的最小值为 .
故选：D.
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列 通项公式为
，若对任意 ，都有 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 且 ， ，∴ ，解得 .
当 时， 单调递增，
若对任意 ，都有 ，则 且 ，
即 且 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：B.
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元
（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为 万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为 万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为 万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为
万元，
故选：C.
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款 万元用于购房，购房贷款的年利率为 ，按
复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分 次等额还清，每年 次，问每年应还（ ）万元.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设每年应还 万元，则有 ，
得 ，
解得 ．
故选：B．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10名股东，其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2位股东所持股份之和可以超过总股份的
【答案】D
【解析】不妨设10名股东所持股份为 ，总股份为1，
∵ ， ， 的最小值为 ，
若 ，此时 ，
又因为 ，此时 ，A正确；
由于 ，且 ，
故公司持股较多的5位股东所持股份均不少于总股份的 ，B正确；
因为 ，所以 ，
∴ ，C正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，D错误，
故选：D．
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，
二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢
固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地
生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的 倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万
元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781万元，60万元 B．525万元，200万元
C．781万元，200万元 D．1122万元，270万元
【答案】C
【解析】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为 ，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是 （万元）．
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是 （万元）．
故选：C．
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会
徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知
为直角顶点，设这些直角三角形的
周长从小到大组成的数列为 ，令 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】由 ，可得 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以前 项和 ，
所以 ，
故选：C.
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能
的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业
的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核
电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一
核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.
专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（
）（参考数据 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以 为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为 ，
两边取常用对数可得： ，
所以 ，
故选：B
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n的数列 ，满足： ，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的
“对称数列”．设数列 为 项的“对称数列”，其中 ， ， ， 是公差为 的等差数列，数
列 的最小项等于 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】5或4
【解析】由于 ， 是公差为 的等差数列，故 ， 单调递减，所以 ，
故 ，则 ， ．
又 ，故 ，即 ，
由等差数列前 项和公式有 ，化简得 ，
解得 或 ．
故答案为：5或4．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张 的数表（如下表），
0 1 2 3 n
统计 ， ， ， 中各数出现次数．若对任意 ，1， ，n，均满足数k恰好出现 次，则称之为
阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．
0 1 2 3
1 2 1 0
对于如下的一张7阶自指表．记 ，N的所有可能值为
．
0 1 2 3 4 5 6
【答案】3211000
【解析】由题意可得，7阶自指表为:0 1 2 3 4 5 6
此时 ， ， ， ， ，
所以 .
故答案为： .
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列 ，由 作通项得到的数列
，称 为数列 的差分数列，已知数列 为数列 的差分数列，且 是以1为首项以2为
公差的等差数列，则 ．
【答案】65
【解析】由题意得 ，
累加得 ，即 ，
则 ．
故答案为：65.
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习） ， 为一个有序实数
组， 表示把A中每个-1都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实
数组，例如： ，则 ．定义 ， ，若 ，
中有 项为1，则 的前 项和为 ．
【答案】
【解析】因为 ，依题意得， ， ，显然， 中有2项，其中1项为 ，1项为1，
中有4项，其中1项为 ，1项为1，2项为0，
中有8项，其中3项为 ，3项为1，2项为0，
由此可得 中共有 项，其中1和 的项数相同，
设 中有 项为0，所以 ， ，
从而 ①，
因为 表示把A中每个 都变为 ，0，每个0都变为 ，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实
数组，
则 ②，
①+②得， ③，
所以 ④，
④-③得， ，
所以当 为奇数且 时，
，
经检验 时符合，
所以 （ 为奇数），
当 为偶数时，则 为奇数，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
当 为奇数时， ，
所以 的前 项和为
.
故答案为： .
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为 的数列 满足： 我们称其为
项的“对称数列”．例如：数列 为 项的“对称数列”；数列 为 项的“对称数列”．设
数列 为 项的“对称数列”，其中 是公差为 的等差数列，数列 的最大项等于 ，
记数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
【答案】3或4
【解析】由题意， ，又 是公差为 的等差数列，故 ，则 ，
.
又 ，故 ，即 ，
由等差数列前 项和公式有 ，化简得 ，解得 或 .
故答案为：3或4
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金
属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次？
【答案】
【解析】设把 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次.
则把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动 次
把n个金属片从1号针移到3号针，分为以下步骤来完成:
第一步：先将上面的 个金属片从1号针移到2号针，则最少需要移动 次.
第二步：将第n个金属片从1号针移到3号针，需要1次.
第三步：再将上面的 个金属片从2号针移到3号针，则最少需要移动 次.
所以 ，其中
则 ，所以
所以
故答案为：
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步， 技术的蓬勃发展得
益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中 智能终端产品的制造仅能由 公司和 公司提
供技术支持.据市场调研预测， 商用初期，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品分别
占比 及 .假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，
上一周期采用 公司技术的产品中有 转而采用 公司技术，采用 公司技术的仅有 转而采用 公
司技术.设第 次技术更新后，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品占比分别为 及 ，
不考虑其他因素的影响.(1)用 表示 ，并求实数 ，使 是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用 公司技术的智能终端产品占比能否超过 ？若能，至少需要
经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据： ）
【解析】（1）依题意， 5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分
别为 ， ，
经过n次技术更新后 ， ， ，
则 ，因此有 ，
设 ，令 ，解得 ，
则有 ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，
因此经过n次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比 ，
依题意，令 ，得
，而 ，则 ，
所以至少经过10次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛
出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后
沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；(2)求证：当n为偶数时， .
【解析】（1）由题意知：第n次抛沙包后的抛沙包方法数为 ，
第 次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第 次抛沙包后，
沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故 ，且
故 ，
，
所以数列 为等比数列，
由 ，得 ，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得 ；
（2）由题意知：第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为 ，
则 ，
∵当n为偶数时， ，∴ .
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线 及曲线 ．
从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于
点 ，点 的横坐标构成数列 ．
(1)试求 与 之间的关系，并证明： ；
(2)若 ，求 的通项公式．
【解析】（1） ，从而有 ， 在 上，故 ，
故 ，
由 及 ，知 ，下证： ，
，故 与 异号，
，故 ，故 ，即 ；
（2） ，则 ， ，两式相除得 ， ，
故 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ，解得 ．
