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专题 10.9 统计、概率综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1． 是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的 日均值（单位： )的
折线图，则下列关于这10天中 日均值的说法不正确的是（ ）
A．众数为30
B．中位数为31.5
C．平均数小于中位数
D．后4天的方差小于前4天的方差
2．在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为32
B．各项系数和为128
C．常数项为
D．常数项为135
3．袋子中装有大小､形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的
是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）A． B． C． D．
4．下列说法中正确的个数为（ ）个
①互斥事件一定是对立事件.
②在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位；
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
④在回归分析模型中，若相关指数 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．随机变量 服从正态分布 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知事件 ， 满足 ， ，则不能说明事件 ， 相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．随机变量 的分布列如下所示 则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居
民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在 内的
居民有180人.则以下说法正确的是（ ）
A．
B．调查的总人数为4000
C．从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数
D．根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民
不超过全体居民的 ”的规定
10．下列说法正确的是（ ）
A．在回归直线方程 中， 与 具有负线性相关关系
B．两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越小
C．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
D．随机变量 服从正态分布 ，若 ，则11．若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知随机变量 服从两点分布，且 ，若 ，则下列判断不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13． 的展开式中 项的系数为_____．
14．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位： ）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，
收集了4组数据，用模型 去拟合x与y的关系，设 ，x与z的数据如表格所示：
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
得到x与z的线性回归方程 ，则 _____.
15．《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用
五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的
胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为 ，比赛局数的期望值记为 ，则 的最大值是_____.
16．土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施．中国现有耕地有近 受到不同程度的污染，
但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，
不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、
澳、台的30个省（区、市）．如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个
省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是_____，若图中未列出的其它20个省（区、市）土
壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为
_____．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．2020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包括学科素
质测试和体育测试.射洪中学为了解高一､高二学生对“强基计划”的了解程度，从高一､高二两个年级的学
生中随机抽取了100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为 ，其中高
二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解.
(1)请补充完整 列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；
了解 不了解 合计
高二 50高一 15
合计 100
(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了7人，若从这
7人中随机抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.
附表及公式： ， .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平
和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作
用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取 位市民进行心理健康问卷调查，按所
得评分（满分 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的市民为 人.
(1)求 的值及频率分布直方图中 的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 人，进行心理疏导.据以往数据统计，
经过心理疏导后，调查评分在 的市民心理等级转为 “良好”的概率为 ，调查评分在 的市民心理等级转为“良好”的概率为 ，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的 人中，经
过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
19．已知在 的展开式中，前 项的系数分别为 ， ， ，且满足 ．
(1)求展开式中各项的二项式系数的和；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)求展开式中所有有理项．
20．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民
（分为18﹣40岁、41岁﹣70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分
为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘
制频数分布表如下
分组 A小区频数 B小区频数
18﹣40 岁人群 60 30
41﹣70 岁人群 80 90
其他人群 30 50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
(2)从A、B小区41﹣70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量
X，求X的分布列和数学期望；
(3)求事件E：“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，这两名居民均
对垃圾分类比较了解”的概率
21．某研发小组为了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额 （单位：亿元）的影响，结合近
10年的年研发资金投入量 和年销售额 的数据（ ），建立了两个函数模型：① ，
② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数.设 ， ，经过计算得如下数据.
20 66 770 200 14
46
4.20 3125000 0.308 21500
0
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立 关于 的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归
方程，若当年的销售额大致为 亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数 ，
线性回归直线 中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为 ， .
22．根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概
率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .
