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专题 10.8 统计、概率结合其他知识
题型一 统计概率与函数
题型二 统计概率与导数
题型三 统计概率与不等式
题型四 统计概率与数列
题型一 统计概率与函数
例1．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有
该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，
则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液
全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对
它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为
，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求 位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得 位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组 位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
【答案】（1） ；（2）当 或 时，方案一更“优”； 当 或
时，方案一、二一样“优”；当 时，方案二更“优”.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为 ，故根据对立事件得答案；
（2）采取方案一，检验次数记为 ，可能取值为 ，进而列概率分布列，求期望 ；采取
方案二，记检验次数为 ，可能取值为 ，进而列概率分布列，求期望得 ，再作差分情况
讨论即可得答案.
【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是 ，
根据对立事件可得，阳性的概率为
(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为 ，则 的可能取值为
，其分布列为:
则 ，
方案二:由题意分析可知，每组 份样本混合检验时，若阴性则检测次数为 概率为 ，若阳性，
则检测次数为 ，概率为 ，
方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 ，
;
其分布列为:
则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 或 时，可得 ，所以方案一更“优”
当 或 时，可得 ，所以方案一、二一样“优”
当 时，可得 ，所以方案二更“优”.
【点睛】本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题
的关键在于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事
件的概率求解是解决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论.
例2．从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案
是两个选项的概率为 ，正确答案是三个选项的概率为 （其中 ）.现甲乙两名学生独立解题.
(1)假设每道题甲全部选对的概率为 ，部分选对的概率为 ，有选错的概率为 ；乙全部选对的概率为 ，
部分选对的概率为 ，有选错的概率为 ，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中
的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做
出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.
（2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.
【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：
：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.
：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.
：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
.
.
（2）若为甲出方案.
则甲可能的选项个数为：1，2，3.
记 表示选1个选项的得分，则期望为 .
记 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
，
，
此时期望为 .
记 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5
，
，
此时期望为 .
∵ ， .
∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.
若为乙出方案.
则乙可能的选项个数为：1，2，3.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则
记 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，
此时 .
记 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时 .
∵ .
∴当 时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩.
当 时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩，
当 时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩.
练习1．在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医
护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设
该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感
染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可．
【详解】设事件 为：检测了3个人确定为感染高危户，
设事件 为：检测了4个人确定为感染高危户，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】事件 为第一个人不是阳性，第二个人不是阳性，第三个人是阳性，所以 ，同理
即 ，
设 ，则 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，即 .
故选：A
练习2．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中
各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中 ．
综合得分 的范
减排器等级 减排器利润率
围
一级品
二级品
三级品
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，
求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数 的分布列及数学期望 ；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
【答案】（1） ；（2）①二级品数 的分布列见详解， ；②投资乙型号减排器的平均利润率较
大.
【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽
样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2件一级品的概率；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为 ，二级品的概率 ，
三级品的概率为 ，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数 所有可能的取值为 ，且
，由此能求出 的分布列和数学期望.
②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减
排器的平均利润率较大.
【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的概率为 ，
分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为 （件）
则至少有2件一级品的概率，
；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为 ，
二级品的概率 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三级品的概率为 ，
若从乙型号减排器随机抽取3件，
则二级品数 所有可能的取值为 ，且 ，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望：
；
②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：
；
乙型号减排器的利润的平均值：
；
，又 ，
则 ，
所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【点睛】思路点睛：本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法．求解随机变量的分布
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】列及期望和利用函数思想解决实际问题．解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.
练习3．为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后
对每只白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白
鼠未感染病毒.现随机抽取 只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案:
方案一:逐只检验，需要检验 次;
方案二:混合检验，将 只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则 只白鼠未感染病毒;若
检验结果为阳性，则对这 只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验 次.
(1)若 ，且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率;
(2)已知每只白鼠感染病毒的概率为 .
①采用方案二，记检验次数为 ，求检验次数 的数学期望;
②若 ，每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)① ；②答案见解析.
【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率；
（2）①次数为 可能取值为1， ，利用对立事件概率求法求各值的概率，进而求其期望；②由①得
，根据其单调性及其零点，判断方案检验的费用的大小关系.
【详解】（1）根据题意，恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率 ，
恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率 ，
所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率 ．
（2）①设检验次数为 ，可能取值为1， ．
则 ， ，
所以 ．
②方案二的检验次数期望为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，设 ，
因为 ，所以 单调递增，由 得： ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故当 时，选择方案二检验费用少，
当 时，选择方案一检验费用少，
当 时，选择两种方案检验费用相同．
练习4．2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的
亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为 ；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数
记为 ．
累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率
为 ，每次投篮互不影响．
(1)若 ，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计
算即可.
（2）求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.
【详解】（1） ，甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球
的事件和，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为 .
（2）选方案一，则 ，选方案一得分的数学期望为 ，
选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为 ，
进行三轮投篮，得3分的次数 为随机变量，则 ， ，
进行三轮总得分 ，则选择方案二得分的期望为 ，
显然 ，
当 ， ，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；
当 ， ，方案二期望大，所以甲应该选方案二；
当 ， ，方案一期望大，所以甲应该选方案一．
练习5．从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，
其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多
选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为 （其中 ）.
(1)若 ，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率；
(2)在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择A，再
从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；Ⅲ：
只选择A、小明该题的得分为Z；在p变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据分类加法求概率.
（2）分别求出三种策略下的得分均值，通过比较均值的大小来确定选择哪个策略.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）若答案是两个选项，所有的可能有： 共6种，
则小明只选一个得2分的概率为： ；
答案是三个选项，所有的可能有：有 共4种，
则小明只选一个得2分的概率为： ；
故小明得2分的概率为
（2）选策略Ⅰ，则小明得分为 的分布为：
0 2 5
得分的期望为
选策略Ⅱ，则小明得分为 的分布为：
0 5
得分的期望为
策略Ⅲ，得分为 ,则
当 ，
此时 ，故此时选择策略Ⅰ，
当 时， 最大，此时选择策略Ⅱ，
当 时，策略Ⅰ, Ⅱ概率一样，都可以.
题型二 统计概率与导数
例3．今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中
国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能
出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指
南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一
是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接
种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察
结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)是否有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检
测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈
阳性的概率均为 且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的
概率为 ．求当 为何值时， 最大？附：
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关
(2)
(3)当 时， 最大
【分析】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，根据题意求得 判断；
（2）易得该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，再利用独立重复实验求解；
（3）易得 ，再利用导数法求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，
依题意有 ，
故假设不成立， 没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关.
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，设随机抽取的4人中至多有1人感
染病毒为事件 ，则 ，
（3）记事件 为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；事件 为：检测了3名成员确定为“感染高
危家庭”；则
则， ，令 ，则 （舍去）
随着 的变化， 的变化如下表：
+ 0
递增 极大值 递减
综上，当 时， 最大．
例4．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新
能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情
况进行调查，得到下面的统计表：
201 201
年份 2018 2020 2021
7 9
年份代码 1 2 3 4 5
销量 万辆 10 12 17 20 26
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该地区新能
源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解当地的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车），该企业随机调查了该地区的购车情况.设购
置新能源汽车的概率为 ，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有车主中随机抽取5人，记恰有3
人购置新能源汽车的概率为 ，求当 为何值时， 最大．
附： 为回归方程， ．
【答案】(1) ，2028年
(2)当 时 最大
【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令 求解即可；
（2）根据二项分布的概率公式可得 ，再利用导函数分析 的最大值即可.
【详解】（1）由题意可知 ， ，
， ，
所以 ， ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，令 ，得 ，
所以最小的整数为12， ，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）由题意知 ，
则 ，
当 时，知 ，函数 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，知 ，函数 单调递减，
所以当 时 取得最大值 .
练习6．某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5
组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量 表示第 组被感染的白鼠数，并将
随机变量 的观测值 绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概
率为 ，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记 为事件“ ”.
(1)写出 （用 表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率 与参数 之间的关系为 .在统计学中，若参数 时的
值使得概率 最大，称 是 的最大似然估计，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知随机变量 ，然后利用二项分布的概率公式求解；
（2）设事件 ，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出 ，令 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的 ，代入 中可求得 .
【详解】（1）由题知随机变量 ，所以 .
（2）设事件 ，由题图可知 ，
则 ，
即 .
设 ，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
所以当 时， 取得最大值，即 取得最大值，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第
（2）问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出 ，然后构造函数，利用导数求出其最
大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
练习7．生产某种特殊零件的废品率为 （ ），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4
件废品的概率为 ，设 的最大值点为 ．
(1)求 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若工厂生产该零件的废品率为 ．
（ⅰ）从生产的产品中随机抽取 个零件，设其中优等品的个数为 ，记 ， ，已
知 时优等品概率 最大，求 的最小值；
（ⅱ）已知合格率为 ，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进
行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格
零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）12；（ⅱ）30
【分析】（1）根据二项分布求出 的解析式，利用函数的单调性求解；
（2）（i）根据二项分布，写出 的分布列，再根据 最大求出n的范围；
（ii）根据数学期望求出最高维修费用.
【详解】（1）由题意得：
，（ ）
，
所以， 在 递增，在 递减，
当 时， 取最大值；
（2）（ⅰ）设优等品的个数为 ，则 ，
， ，
若 时， 有最大值，则 ，即 ，解得 ，
所以 的最小值为12；
（ⅱ）设工厂生产一个零件获利 元，零件的修复费用为 元
则 的可能取值为：70， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
， ,
所以，一个零件需要修复费用最高为30元；
综上，（1） ，（2）（i） 的最小值为12，（ii）一个零件需要修复费用最高为30元.
练习8．今年 月以来，世界多个国家报告了猴痘病练习，非洲地区猴痘地方性流行国家较多. 我国目前为
止尚无猴痘病练习报告. 我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署.
同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（ 年版）》. 此《指南》中指出：
①猴痘病人潜伏期 天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力. 据此，援非
中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者
集中医学观察 天. 在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比练习较大.
对该国家 个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下
面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
接种天花疫苗
(1)是否有 ％的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率. 现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取 人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有 人感染猴痘病毒的概率；
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查. 在排查期间，发现一户 口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测. 每名成员进行检
测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”. 假设该家庭每个成员检测呈
阳性的概率均为 且相互独立. 记：该家庭至少检测了 名成员才能确定为“感染高危家庭”的
概率为 .求当 为何值时， 最大？
附：
0.1 0.05 0.010
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有
(2)
(3)
【分析】（1）提出假设，由参考公式求 的值，比较其与临界值的大小，由此判断结论；
（2）求该地区每名密切接触者感染病毒的概率值，再利用独立重复实验求解；
（3）先求 的解析式，再利用导数求其最大值.
【详解】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关
依题意有 ，
故假设不成立
没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）由题意得：该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，
设随机抽取的 人中至多有 人感染病毒为事件 ，则
；
（3）
则 ，
令 ，则 （舍去），
当 时， ，函数 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以，当 时，该家庭至少检测了 名成员才能确定为“感染高危家庭”的可能性最大.
练习9．今年 月以来，世界多个国家报告了猴痘病练习，非洲地区猴痘地方性流行国家较多． 月 日，
中国疾控中心发布了我国首练习“输入性猴痘病练习”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，
对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘
诊疗指南（ 年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期 天；②既往接种过天花疫苗者对
猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控
措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察 天．在医学观察期结束后发现密切接触
者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比练习较大．对该国家 个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样
本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
接种天花疫苗与否/人数 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗 30 60
接种天花疫苗 20 90
(1)根据小概率值 的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切
接触者中随机抽取 人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有 人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户 口之家
与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检
测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈
阳性的概率均为 且相互独立．记：该家庭至少检测了 名成员才能确定为“感染高危家庭”的
概率为 ．求当 为何值时， 最大？
附：
0.1 0.05 0.010
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.706 3.841 6.635
【答案】(1)没有
(2)
(3)
【分析】（1）假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，根据题意求得 判断；
（2）易得该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，再利用独立重复实验求解；
（3）易得 ，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：假设 ：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，
依题意有 故假设不成立，
∴ 没有 的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，
设随机抽取的 人中至多有 人感染病毒为事件 ，
则 ；
（3） ，
则 ，令 ；则 （舍去），
随着 的变化， 的变化如下表：
p
+ 0 -
递增 极大值 递减
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，当 时， 最大．
练习10．某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱
存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成 列联表，并
依据小概率值 的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品
无不合格品 有不合格品 合计
设备
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取
20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为
，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 ，求
最大时 的值 ．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的 作为 的值．已知每个口罩的
检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检
验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附： ，其中 ．
【答案】(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写 列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判
断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为 的表达式，利用求
导方法解出 的最大时的 ；
（3）先设 表示余下的480件产品中不合格品的数量， 符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用
与赔偿费用的和记为 ，找出 、 的等式关系，即可求出 ，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
是否有不合格品
无不合格品 有不合格品 合计
设备
新 90 10 100
旧 75 25 100
合计 165 35 200
零假设为 ：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知 的观测值
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断
犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得 ，
则 ，
令 ，又 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 最大时 的值 ．
（3）由（2）知 ．
设 表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知 ，
所以 ．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，则 ，
所以 ．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为 （元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
题型三 统计概率与不等式
例5．已知随机变量 ，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的 ．
【详解】依题意 ，
由 ，
即 ，解得 或 .
故选：C.
例6．某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺
（Dopamine）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺
（Dopamine）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，定义运动后多巴胺含量超过 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树
人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人
数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占 ，男生中明显有效运动的人数占 ．
男
女生 合计
生
明显有效运动
不明显有效运
动
合计
(1)根据所给的数据完成上表，并依据 的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说
明理由；
(2)若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有
可能是多少？
附： ，其中 ．
参考数据：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，认为明显有效运动与性别存在差异，理由见解析
(2)人数最有可能是3或4
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算 ，与临界值对比即可得出结论；
（2）由题意，问题可转化为二项分布，利用二项分布概率公式列出不等式组求解.
【详解】（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为 ，
女生中明显有效运动的人数占 ，男生中明显有效运动的人数占 ，得到下面的列联表：
男
女生 合计
生
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】明显有效运动 10 30 40
不明显有效运
10 10 20
动
合计 20 40 60
给定假设 ：明显有效运动与性别没有关系．
由于 ，
则根据小概率值 的 独立性检验，有充分的证据推断假设 不成立，因此认为明显有效运动与
性别存在差异．
（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为 ，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率
为 ，
设11人不明显有效运动的人数为 ，则
所以
假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是 ，
则 ，
解得 ， ，
故 或 .
所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．
练习11．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快
速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒
男性人数 17 21 13 9
女性人数 8 10 16 6
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概
率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧
魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定 ，即可表示出 ，列
不等式组求 最大时k的值，即可得答案.
【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 ，
设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为 ，
则 ，其中 ，
时， ；
显然 ，即 不可能为 最大值，
当 时，由 得 ，
化简得 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5，
故选：C．
练习12．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套
住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用水范围（吨）
为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 户居民的月用水量（单位：吨），得到统计
表如下：
居民用水户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用水量（吨） 7 8 8 9 10 11 13 14 15 20
(1)若用水量不超过 吨时，按 元/吨计算水费；若用水量超过 吨且不超过 吨时，超过 吨部分按
元/吨计算水费；若用水量超过 吨时，超过 吨部分按 元/吨计算水费.试计算：若某居民用水 吨，则
应交水费多少元？
(2)现要在这 户家庭中任意选取 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；
(3)用抽到的 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 户，若抽到 户月用水量
为第一阶梯的可能性最大，求 的值.
【答案】(1)75元
(2)分布列见解析，
(3)6
【详解】（1）若某居民用水 吨，则需交费 （元）；
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 户，则 可取 ，
， ， ， .
0 1 2 3
故 的分布列是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
（3）由题可知从全市中抽取 户，其中用电量为第一阶梯的户数 满足 ，
于是为 ， ，
由 ，
化简得 ，解得 .
因为 ，所以 .
练习13．为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织
开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷
于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的
比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分
情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获
得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得
什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为 ，
， ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 ， .
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分， 的可能值
为5，4，3，2，根据事件相互独立求出 的分布列、数学期望；
（2）设小A每天赢得的局数为 ，则 ，从而得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分，
这些事件相互独立，由条件知 的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
5 4 3 2
所以 .
（2）设小明每天赢得的局数为 ，则易知 ，
于是 .
假设赢得 局的概率最大，则据条件得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
整理得 ，解之得 ，
又因为 ，所以 ，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
练习14．某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同
的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案
一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一
枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随
机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.
(1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？
(2)若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为 ，当 取得最大
值时，求 的值.
【答案】(1)选择方案一
(2)15
【分析】（1）选择方案一：法一，设出积分为 ，写出 可能取值及相应的概率，求出分布列和期望；
法二：设抽中红球的次数为 ，积分为 ，则 ，利用二项分布求解期望值；选择方案二：利用
条件概率求出最终摸出红球的概率，进而得到积分的期望值，比较后得到结论；
（2）由题意得到 ，列出不等式组，求出答案.
【详解】（1）选择方案一：法一：
因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放回地摸球，每次摸到红球的概率为 ，
由题意可得，设积分为 ，
可能取值为0，10，20，30，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
， ，
则 的分布列为
1
0 20 30
0
且 ；
法二：
由题意可得，设抽中红球的次数为 ，积分为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
若选择方案二：设事件 “从甲袋摸球”，则事件 “从乙袋摸球”，事件 “摸出的是红球”，设
方案二的积分为 ，
则 ，
则 ，
因为 ，所以选择方案一；
（2）由题意得 ，则 ，
解得 ，又 ，即 时， 最大.
练习15．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好
差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列2 2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过 的条件下，认为成绩是否优秀与上课是
否转笔有关．
上课转
上课不转笔 合计
笔
合格 25
优秀 10
合计 100
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽
到5人中合格的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为 的
概率为 ，当 取最大值时，求k的值．
附： ，其中
k
【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.
(2)分布列见解析， .
(3) .
【分析】（1）由卡方独立性检验计算可得；
（2）由超几何分布的概率计算公式可得；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由二项分布的概率公式，结合求概率最大的方法 可得.
【详解】（1）
上课转
上课不转笔 合计
笔
合格 25 45 70
优秀 20 10 30
合计 45 55 100
零假设 ：成绩是否优秀与上课是否转笔无关.
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以有 的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.
（2）根据频率分布直方图大于600分的频率为 ，
小于600分的频率为 ，
故由分层抽样知，抽取的10人中合格有 人，优秀的为 人，
则从这10人中随机抽取5人，合格人数 服从超几何分布，
由题意 的可能值为 ，
故 ， ，
， ，
故分布列为
2 3 4 5
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为 ，
故根据题意 ，则 ，
若上课转笔的人数为 时， 最大，
则 ，
解得 ，故 ，
所以当 最大时， .
题型四 统计概率与数列
例7．甲、乙两个袋子里各有1个白球和1个黑球，每次独立地从两个袋子中随机取出1个球相互交换后放
回袋中，若第 次交换后，甲袋中两个球颜色相同，记 ，否则， ．
(1)求 的概率；
(2)求 的概率；
(3)记 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1） 于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的
两球颜色仍然保持不同，需要取出的两球颜色相同计算概率即可得答案；
（2）利用条件概率和全概公式即可求解.
（3）列出分布列后根据数字特征即可求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）设 ，则 ．
由于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的两球颜色仍然
保持不同，需要取出的两球颜色相同，则 ．
（2）当 时，由（1）得 ，则 ．
很明显， ，依据全概率公式，得
，
则 ，
由（1）得 ，则 ，
则 ．
（3）由（1）（2）得 的分布列，如下表所示：
1 0
则 ，
由 得
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例8．投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投．在战国时期较为盛行，在唐朝
时期，发扬光大．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，
某单位开展投壶游戏．现甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中则此人
继续投壶，若未投中则换为对方投壶．无论之前投壶情况如何，甲每次投壶的命中率均为0.3，乙每次投
壶的命中率均为0.4．由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投壶的人是甲的概率；
(2)求第i次投壶的人是乙的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设“第 次投壶的人是甲”为事件 ，设“第 次投壶的人是乙”为事件 ，则
有 ，由此计算可得答案；
（2）根据题意，设 ，由全概率公式可得 ，由此可得
，变形可得 ，结合等比数列的性质分析可得 的通项公式，进而计
算可得答案．
【详解】（1）根据题意，设“第 次投壶的人是甲”为事件 ，设“第 次投壶的人是乙”为事件 ，
则 ；
（2）根据题意，设 ，则 ，
则有 ，
则有 ，即 ，
变形可得 ，
又由 ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
故 ．
练习16．甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中
各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲
盒中恰有2个黑球的概率为 ，恰有3个黑球的概率为 .
(1)求 ；
(2)设 ，证明： ；
(3)求 的数学期望 的值.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）交换后甲盒有 黑球，说明两个盒子相互交换 个白球或者交换 个黑球，若交换后甲盒有
黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；
（2）根据全概率公式进行求解；
（3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知： ，
（2） 次操作后，甲盒有一个黑球的概率 ，由全概率公式知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即
（3） ，
又 ，
即
练习17．甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；
若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在
一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为 ，求 的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若 表示“在甲所得筹码为 枚时，最终甲获胜的概率”，则 .证明：
为等比数列.
【答案】(1)分布列见解析， .
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出 的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望；
（2）根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；
（3）根据全概率公式和等比数列的定义可证.
【详解】（1） 的所有可能取值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，
则 的分布列为：
2 3 4
0.2 0.5 0.3
.
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为： .
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为： ，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为 .
（3）因为 表示“在甲所得筹码为 枚时，最终甲获胜的概率”， ，
在甲所得筹码为 枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为 ，
在甲所得筹码为 枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为 ，
在甲所得筹码为 枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为 ，
根据全概率公式得 ，
所以 ，变形得 ，因为 ，
所以 ，同理可得 ，
所以 为等比数列.
【点睛】关键点点睛：第（3）问中，正确理解题意，利用全概率公式得到数列 中相邻三项之间的关系
是解题关键.
练习18．王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规
则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，
若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】表示事件“第 天王先生选择骑自行车出行”的概率．
(1)用 表示 ；
(2)请问王先生骑自行车的概率和开车的概率哪个更大？并说明理由．
【答案】(1)
(2)王先生选择骑自行车出行的次数多于选择开车出行的次数是大概率事件，理由见解析
【分析】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ，则 ，计算 和
，结合全概率公式即可求解；
（2）通过构造数列得到 ，再与 比较即可.
【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ，则 ，
，则 .
用 表示事件“第 天王先生选择的是骑自行车出行”，
表示事件“第 天王先生选择的是骑自行车出行”，
由全概率公式知：
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知， ， ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ，于是 ．
又因为 恒成立，
所以王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大于选择开车出行的概率，
从长期来看，王先生选择骑自行车出行的次数多于选择开车出行的次数是大概率事件．
练习19．有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均
为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入
第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记 为从第 个箱子中取出黄
球的概率.
(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；
（2）由题意可得 ，可得答案.
【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从第三个箱子取出黄球的概率 ；
（2）由题意可知， ，
即 ，又 ，
.
练习20．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅
有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知
测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概
率为 ，并且规定若第 题正确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第
题正确选项为三个，则第 题正确选项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个， 表示第 题正确选项为
个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.由全概率公式可求出 ，继而 可求，再由
全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论
化简可得 ，可知 为等比数列,求通项可得
；
（3）根据（2）求出的 可得 ，在利用全概率公式即可求得 的分布列，计算出
,则结论可证.
【详解】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个，
表示第 题正确选项为 个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.
设事件 表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量 表示第二题得分.
依题得， 可能取值为 .
因为 ， ，
所以
所以 的分布列为:
所以 .
（2）依题得， ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
所以 ， .
（3）由（2）可知， ， .
依题得， 可能取值为 .
，
，
所以 .
【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，
然后用数列手段去处理求解.
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