文档内容
专题 6.5 正、余弦定理
题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形
题型二 判断三角形解的个数
题型三 三角形面积及其应用
题型四 判断三角形的形状
题型五 利用正弦定理求外接圆半径
题型六 利用正余弦定理进行边角互化
题型七 解三角形的实际应用
题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形
例1．（2022春·福建·高二统考学业考试） 的内角 ，所对的边分别为 ，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求 的值.
【详解】由正弦定理知： ，则 ， ，
所以 或 ，又 ，故 .
故选：B
例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在 中， ， ，若该三角
形为钝角三角形，则边 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据三角形的性质可得 ，分类讨论，结合题意列式求解即可.
【详解】由三角形可得 ，解得 ，
若该三角形为钝角三角形，注意到 ，
则角 为钝角或角 为钝角，可得 或 ，
即 或 ，解得 或 ，故边 的取值范围是 .
故答案为： .
练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在 中，已知 ， ， ，则
角的度数为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】根据大边对大角得到角 ，利用正弦定理求得 ，结合角 的范围求得角
的度数.
【详解】由 ， 得 ，于是 ，
由正弦定理得 ，
∴ ，
故选：B.
练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在 中，
，点D在边BC上，且 ．
(1)求 ；
(2)求线段 的长．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）在 中利用余弦定理求解即可；
（2）先利用同角关系求 ，在 中利用正弦定理即可求解．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
又 ，；
（2）因为 ，所以 ，
，
由 ，可得 ，
在 中根据正弦定理得： ，
又 ， ， ，
所以 ．
练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在 中，角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求 的值；
(2)若 为边 所在线段上一点，且 ， ， ，求b的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 由余弦定理求出 ，进而得 ；
（2） 在 中，由余弦定理得 ，进而求得 ，在 中，由正
弦定理求得 ．
【详解】（1）由 ，可得 ，
于是得 ，又 ，则 ，
所以 ；
（2）在 中， ，
由余弦定理得 ，所以 ，
则 ，
在 中，由正弦定理有 ，即 ，解得 .
练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测） 中， ， ， ， 平分线与 交于点 ，则 _________.
【答案】
【分析】首先利用余弦定理求出 、 ，即可得到 ，再由正弦定理
计算可得.
【详解】由余弦定理 ，
，
所以 ，所以 ，
因为 为 的平分线，所以 ，
所以 ，
在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 .
故答案为：
练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形 中， 与 相交于点O，
平分 ， ， ，则 的值_______.
【答案】 /
【分析】由余弦定理求出 ，再由正弦定理求出 ，即得解；【详解】在 中， ，
由余弦定理得
，
所以 .
由正弦定理得 ，
.即 .
又因为 平分 ，所以 .
故答案为：
题型二 判断三角形解的个数
例3．（2022春·高三课时练习）已知在 中， ，若 有两
解，则正数 的取值范围为____________．
【答案】
【分析】利用正弦定理得到 ，由题意则 ，且 求解.
【详解】解：由正弦定理得： ，
要使三角形有两解，则 ，且 ，
即 ，解得： .
故答案为：
例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在 ABC中，角A，B，C
所对的边长分别为a，b，c，且 ， ，若三角形有且只△有一解，则b的取值范
围为___________.
【答案】
【分析】由正弦定理得 ，依题意得 或 ，进而利用三角
函数的性质可得结果.【详解】因为 ， ，由正弦定理 得 ，
要使三角形有唯一解，则 或 ，
所以 或 ，即 或 ，
解得 或 ，则b的取值范围为 .
故答案为： .
练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c，若 ，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是
（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】BD
【分析】由题意 ，则角A只有一个解，有 或 且 ，
转化为边的关系即可.
【详解】由正弦定理得， ，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且
只有唯一解，则A只有一个，
则 或 且 ，
所以 或 ，选项BD符合.
故选：BD．
练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中） 中， .则
满足这样的三角形的个数为（ ）
A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行求解即可
【详解】已知 ，
由正弦定理 ， ，
又 ，则 ， ，
或 ，满足条件的三角形有2个三角形.
故选：B.练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在 中， ，角 所对的边
，下列结论正确的为（ ）
A．若 ， 有一个解 B．若 ， 无解
C．若 ， 有两个解 D．若 ， 有一个解
【答案】BCD
【分析】根据题意，由正弦定理求得 ，结合选项中 的取值范围，分类
讨论，即可求解.
【详解】因为 且 ，由正弦定理 ，即 ，
当 时，可得 ，所以 ，此时 有一个解，故A不正确；
当 时，可得 ，不成立（舍去），此时 无解，故B正确；
当 时，即 ，则 ，由 ，此时 有两解，即 有两解，故C
正确；
当 ，即 ，则 ，由 ，此时 只有一解，故D正确.
故选：BCD.
练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在 中， ， ，
分别是角 ， ， 所对的边， ， ，若 有两解，请写出一个满足题意
的 的值：_____.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，根据正弦定理得到 ，确定三角形有两解，得到答案.
【详解】取 ，则 ，即 ， ，
， 或 ，验证满足，故有两个解，满足.
故答案为： （答案不唯一）
练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在 中， ，若三角
形有两解，则 的取值范围是（ ） △A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于 ，根据 的长度大小关系判断三角形个数，即可
确定参数范围.
【详解】由题设，过 作 于 ，如下图示，
则 ，可得 时，三角形有两解.
当 ，即 时，三角形不存在；
当 或2时， 分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；
当 时，在射△线 方向上有一个 ，而在射线 方向上不存在，故此时仅有一
个三角形； △
故选：C
题型三 利用正弦定理求外接圆半径
例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在 中， ， ，
，则 ______.
【答案】
【分析】由余弦定理求解 ，由同角函数基本关系求出 ，代入面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理 可得 ，
解得 ，则 ，
又 ，
所以 .
故答案为：
例6．（2023·北京·高一专题练习）在 中， .
(1)求 ；(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得 ，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得，
，
因为 ，所以 ，
且 ，所以 或 .
（2）由（1）可知 或 ，且 ， ，所以
即 ，由余弦定理可得， ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或 .
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，AB边上的高为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式求得 ，利用余弦定理求得 ，再结合余弦定
理，即可求得 的值，即可求解.
【详解】解：在 中，设 边上的高为 ，则 ，所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
又由余弦定理得 ．
故选：B.
练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在 中，其三边分别为 ， ， 且三角
形的面积 ，则角 __________.
【答案】 /
【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出 的值，即可求解出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小
三角形拼成了如图所示的等边△ ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得 ， ，设出 长度，利用正弦定理可得 与 的等量关
系，再用余弦定理，即可求得 ，再求三角形面积即可.【详解】在 中， ，
因为 ，所以 ，
设 （ ），则 ，
由正弦定理可知， ，即 ，则 ，
在 中， ，
，
又 ，则 ，故 ，
所以 ．
故选：B．
练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在 中， 为钝角， ，
是 的平分线， 交 于点 ，且 ， ．
(1)求 的大小；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中根据正弦定理可解；
（2）先求 ，利用正弦定理可得BC，然后由三角形面积公式可解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ．
所以 ．
因为 为钝角，所以 .（2）根据条件，由（1）得 ．
由题设， ，
在 中，由正弦定理可得 ．
又 ，
所以 的面积为 ．
练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 所对边分
别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为______.
【答案】 /
【分析】根据余弦定理计算 ， ，再根据面积公式计算得到答案.
【详解】 ， ， ，则 ，
解得 ， ，
.
故答案为：
题型四 三角形面积及其应用
例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在 中， ，则三角
形的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到结果.
【详解】因为在 中， ，
由正弦定理可得， ，
所以 ，
即 ，所以 ，即 .
所以 为等腰三角形.
故选:B例8．（2023春·浙江·高三期中）已知 分别是 三内角 的对边，且满足
，则 的是__________三角形．（填三角形的形状特征）
【答案】直角
【分析】边化角，结合降幂公式化简整理可得.
【详解】解析：由正弦定理和降幂公式可得 ，
即
又 ，
所以
即
因为 ，
所以 ，
即
因为 ，所以 ，得 ，故为直角三角形．
故答案为：直角
练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在 ABC中，角A，
△
B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则 ABC是（ ）
△
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D． 的三角形
【答案】A
【分析】根据题意，先由降幂公式化简，然后由余弦定理可得 ，即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
再由余弦定理可知 ，所以 ，即 ，
所以 ABC是直角三角形.
故选：A
△
练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在
ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
△A．若 ，则
B．若 ABC是锐角三角形，则不等式 恒成立
C．若△ ，则 ABC必是等边三角形
△D．若 ， ，则 ABC是等边三角形
【答案】AD △
【分析】利用正弦定理，余弦定理解三角形逐项判断即可.
【详解】由 ，利用正弦定理可得 ，∴ ，
而 在 上单调递减，∴ ，故A正确；
在锐角 ABC中，A， ， ，∴ ，
△
∴ ，因此不等式 恒成立，故B错误；
由 ，利用正弦定理可得 ，
∴ ，∵A， ，∴ ，
即 ，∴ ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形.故C错误；
由于 ， △ ，由余弦定理可得 ，
可得 ，解得 ，∴ ，故D正确.
故选：AD.
练习18．（2023·上海·高三专题练习）在 中，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，判断 的形状.
【答案】(1)
(2)等腰的钝角三角形
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角 的余弦值.
（2）利用三角形内角和关系计算出B、C角，根据角度判断三角形形状.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理 得 ，
所以 ，而 为三角形内角，所以 ；
（2）由（1）知 ，且 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 是等腰的钝角三角形.
练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在 中， ，且 ，
试判断 的形状．
【答案】等边三角形
【分析】先利用余弦定理求得 ，再利用两角和与差的余弦公式求得 ，
进而求得 ，由此求得 ，据此得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 是等边三角形.
练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，面积为S，若 ， ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由 ，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得 ，
得 ，由余弦定理结合条件 可得 ，从而得出结果．
【详解】由 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
又 ，所以 是等边三角形．
故选：D．
题型五 判断三角形的形状
例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 为 的外接圆， ， ，
则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先利用正弦定理求外接圆的半径，再根据数量积的定义分析运算.
【详解】如图，圆 的直径为 ，
故 ， ，
故 .
故选：B.
例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角 中， ，
，若 在 上的投影长等于 的外接圆半径R，则R=______.
【答案】2
【分析】根据正弦定理和投影长求出 ，结合 得到
，利用正弦定理求出答案.
【详解】由题意得， ， ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，故 .
故答案为：2
练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在 中， ， ，则
外接圆的半径为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据内角和求出 ，再由正弦定理计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
设 外接圆的半径为 ，则 ，解得 .
故选：D
练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知 外接圆的周长为 ， ，
则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求 的长度.
【详解】因为 外接圆的周长为 ，所以 外接圆的半径为2，
则根据正弦定理可得 ，解得 ．
故选：B.
练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在 中，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 的外接圆半径 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理结合 化简得到 ，求出
角C的大小；
（2）由正弦定理得到 ，由余弦定理求出 ，从而得到三角形面积.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ， 的外接圆半径 ，
所以由 ，可得 ，
因为 ，
由余弦定理 ，可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积 ．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句
上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画
圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，
如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点 都在圆周上，角
的对边分别为 ， ， ，满足
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长【答案】(1)
(2) cm
【分析】（1）根据题意可求圆的直径 ，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【详解】（1）设 的外接圆半径为 ，则 （cm），
由正弦定理 ，可得 .
（2）∵ ，则 ，故 为锐角，
∴ ，
由面积公式 ，即 ，可得 ，
由余弦定理 ，即 ，
可得 ，解得 （cm），
故 的周长为 （cm）.
练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角 中， ， ，若
在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】由题知 ， ，进而得 ，即 ，再
结合正弦定理求解即可.
【详解】∵ 是锐角三角形， 在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，
，
又 ， ， ，
，
两式相加得： ，即 ，
，即 ，又 ， ， .
故选：B.
题型六 利用正余弦定理进行边角互化
例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在 中，它的内角
的对边分别为 ，若 ，则 _________．
【答案】
【分析】利用正弦定理和余弦定理进行边角转化，可得到 ，代入 即
可求解.
【详解】由 ，可得 ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故答案为：
例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知 的内角A，
B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求B；
(2)设 ， ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理边角互化化简，再由三角恒等变换即可得到
，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理可得 ，再结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
显然 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由余弦定理可得 ，
因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 的面积 .
练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，
已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）利用正余弦定理及三角恒等变换的知识进行“角化边”，即可证明
；
（2）结合（1）中的结论，结合余弦定理及面积公式进行化简求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理和余弦定理得 ，
整理得 ，
即 ，
又 ， ，
所以 ．
（2）由（1）得 ，
由 ， ，得 ．
由余弦定理可得 ，
即所以 ，
所以△ABC的面积为 ．
练习27．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和同角的三角函数基本关系是可求 ，再根据两角和的正弦
公式可求 ，故可得正确的选项.
【详解】由 及正弦定理，可得 ．
由 ，可得 ．
又 ，∴ ．
又 ，解得 ，则 ，
∴B为钝角，C为锐角．
∴ ， ．
故 ，
∴ ．
故选: A.
练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知 中角 的对边分别为
， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；
（2）由面积公式和余弦定理可得答案.
【详解】（1）由 和正弦定理可得
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，
， ；
（2） ， ，
又 ，
，
，
的周长为 .
练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在 中，角 所对的
边分别为 ，c.已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再结合两角和与差的三角函数公式即可求解.
（2）用两角和的余弦公式把 拆开，结合二倍角公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
即 ，（2）
练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 的内角 ， ，
的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则下面四个选项中错误的是
（ ）
A． B．
C． D． 周长的最大值为3
【答案】C
【分析】依题意可得 ，利用正弦定理将边化角，再结合两角和的
正弦公式求出 ，即可求出 ，从而判断A，再利用余弦定理及基本不等式判断B，利
用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式判断C、D.
【详解】由于 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
由于 ，所以 ，由于 是三角形内角，则 ，故A正确；
由余弦定理知 ，即 ，由于 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
又由正弦定理知 ，
所以
，当且仅当 时等号成立，故 周长的最大值为3，故D正确；
由 得 ， ，
所以
，故C错误.
故选：C.
题型七 解三角形的实际应用
例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱
与地面垂直（满足 ），灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且
，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，
路宽 .设灯柱高 ， .
(1)求灯柱的高 （用 表示）；
(2)若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，
并求出 的最小值.
【答案】(1)
(2) ， 米
【分析】（1）分别在△ 、△ 中，应用正弦定理求 、 ，即可得解析式；
（2）应用正弦定理求得 ，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助
角公式化简得到 ，根据正弦型函数性质求最小值.
【详解】（1）由题设 ， ， ，
在△ 中 ，则 ，在△ 中 ，则 .
所以 .
（2）由题意 ，而 ，则
，
所以 ，
结合（1）知： ，
又 ，
所以，当 ， 时， 米.
例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A
的北偏东 方向上，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6 海
里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东 方向上，下面
结论正确的有（ ）
A． 海里 B． 海里
C． 或 D．灯塔C在D的南偏西 方向上
【答案】ABD
【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求 、 ，进
而判断各项的正误.
【详解】由题设， ， ，则 ，
所以 ，则 海里，A正确；所以 海里，B正确；
由 ，则 ，故 ，灯塔C在D的南偏西 方向上，C错
误，D正确；
故选：ABD
练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算
山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表
相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，
人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如
图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距
BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，
C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度
AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）
【答案】3280
【分析】易得在Rt AHF中 ，在Rt AHG中 ，得到
， 求解.
【详解】解：由题可知 步， 步， 步. 步.
在Rt AHF中 ，在Rt AHG中 .
所以 ， ，
则 .
所以 步.
故答案为：3280练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口 的小艇要将一件重要物品送到一
艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口 北偏东 且与该港口相距 海里的
处，并正以 海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 海里/时的
航行速度匀速行驶，经过 小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过 小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到 海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与
航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
【答案】(1) 海里/时
(2) 海里/时
(3)当小艇的航行方向为北偏西 ，航速为 海里/时，小艇能以最短时间 小时
和海轮相遇
【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；
（2）由两小时可确定边 ，再利用余弦定理可得 及速度；
（3）设 ，可得 ， ，再根据时间相等
可确定速度，再利用三角函数性质可得 的最值及时间的最值.
【详解】（1）
如图所示，
， ， ，
时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为 海里，
海轮航行的距离为 海里，故航行时间为 小时，
所以小艇的航行速度 海里/时；
（2）如图所示，
设小艇与海轮在点 处相遇，
经过 小时后海轮航行的里程为 海里，即 ，
则在 中，由余弦定理得
，
所以小艇航行的里程 海里，
故小艇的航速 海里/时；
（3）如图所示，
因为 ，且小艇的最高航速为 海里/时，
， ，故小艇与海轮不可能于 ， 及之间的任意位置相遇，
设在 点相遇， ，
则 ， ，
，
整理得 ，
从而 ，所以 ，
，
故 时，即
，相遇时间最
短，为 小时，
综上当小艇的航行方向为北偏西 ，航速为 海里/时，小艇能以最短时间
小时和海轮相遇.
练习33．（2023春·广东广州·高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆
树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部 在同一水平面的 、两点，在 点测得红豆树根部 在西偏北 的方向上，沿正西方向步行40米到 处，
测得树根部 在西偏北 的方向上，树梢 的仰角为 ，则红豆树的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】根据图形，在 中利用正弦定理求得 的值，在 中求出 的值．
【详解】依题意可得如下图形，
在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，解得 ，
在 中， ，
所以 ，
所以红豆树的高度为 千米．
故选：D．
练习34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵
感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，
呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有
固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为
了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了 ABD，测得
△AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中，由余弦定理得 ，进而求出 ，再在 中，利
用正弦定理得解.
【详解】由题意，在 中，由余弦定理得
；
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 所以 ，
解得 .
故选：D
练习35．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）某校学生利用解三角形有关知
识进行数学实践活动. 处有一栋大楼，某学生选（与 在同一水平面的） ､ 两处作为
测量点，测得 的距离为 ， ， ，在 处测得大楼楼顶 的
仰角 为 .
(1)求 两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到 ）【答案】(1) m
(2) m
【分析】（1）根据题意，先求出 ，然后利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出 ，然后利用两角和的正切公式
计算即可.
【详解】（1）由已知得 ，
在 中，
因为 ，
即 ，所以 ，
所以 两点间的距离为 m.
（2）在 中，
因为 ，
所以 ，
又因为
所以
，
答：楼高约为 .
