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专题 9.7 求轨迹方程
题型一 直接法
题型二 定义法
题型三 相关点法
题型四 交轨法
题型五 参数法
题型六 点差法
题型七 利用韦达定理求轨迹方程
题型一 直接法
例1．（2022秋·高三课时练习）若动点 到定点 和直线 ： 的距离相等，则动
点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线
例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，直线
与 轴交于点 ，过 右侧的点 作 ，垂足为 ，且 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系 中，
点 满足 ，则动点 的运动轨迹方程为__________；
的最小值为__________.练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点 到定点 的距离与到 的距离之比
为 ，则点 的轨迹方程为____， 与 连线的斜率分别为 ， ，则
的最小值为____.
练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点 连线的
斜率之积等于 ．
(1)求点P的轨迹连同点 所构成的曲线C的方程；
练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等
于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点 ，直线
AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足： .
(1)求点M的轨迹C的方程;
题型二 定义法
例3．（2023秋·高二课时练习）已知 的三边a，b，c成等差数列，且 ，A、C
两点的坐标分别为 ，则顶点B的轨迹方程为__________．
例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在 中，点
.圆 是 的内切圆，且 延长线交 于点 ，若 .
(1)求点 的轨迹 的方程；练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，
圆 与圆 、圆 外切，求圆心 的轨迹方程
练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点 ，圆
，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹的方程 ；
练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点 满足
，则 __________.
练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设 ，圆
（ 为圆心）， 为圆 上任意一点，线段 的中点为 ，过点 作线
段 的垂线与直线 相交于点 ．当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ，点
的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线 的方程为 B．当点 在圆 上时，点 的横坐标为
C．曲线 的方程为 D． 与 无公共点
练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线 轴，垂足为 轴负半轴上的点 ，
点 关于坐标原点 的对称点为 ，且 ，直线 ，垂足为 ，线段 的垂直
平分线与直线 交于点 ．记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程．
题型三 相关点法
例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为
．
(1)直线 截双曲线C所得的弦长为 ，求实数m的值；
(2)过点 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 的中点M的轨迹方程．例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点
，动点P满足：过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 ，则 的最
小值为______．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为圆 上一动点， 轴
于点 ，若动点 满足 ,求动点 的轨迹 的方程；
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，线段 ，且两个端点
、 分别在 轴和 轴上滑动．求线段 的中点 的轨迹方程；
练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点 且圆心
C在直线 上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点 ，求线段EF的中点M的轨迹方程.
练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆 的圆心为A，点P在圆
上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.
练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方
形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点， ，则动
点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
题型四 交轨法
例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异
于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的
轨迹方程.例8．（2023·湖南·校联考二模）已知 为双曲线 的左右焦点，
且该双曲线离心率小于等于 ，点 和 是双曲线上关于 轴对称非重合的两个动点，
为双曲线左右顶点， 恒成立．
(1)求该双曲线 的标准方程；
(2)设直线 和 的交点为 ，求点 的轨迹方程．
练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线
于 两点， 为坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点
（ 在 轴的同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴
的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为_______．
练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐
标轴上，且经过 三点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过右焦点 的直线 （斜率不为0）与椭圆 交于 两点，求直线 与直线
的交点的轨迹方程.练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线 的左､右顶点分别
为 ，动直线 过点 ，当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，
点B到直线 的距离为
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当直线 与双曲线 交于异于 的两点 时，记直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 .
（i）是否存在实数 ，使得 成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线 和 交点 的轨迹方程.
练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的
距离为2，直线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，
若 交于点 ，则点 的轨迹方程为__________.
题型五 参数法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， 为直线 上的两个动点，且
，动点 满足 ， （其中 为坐标原点），求动点 的轨迹 的
方程．
例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， ， ，
是满足 的一个动点．求 垂心 的轨迹方程.
练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 ，定点 ，B为抛物线
上任意一点，点P在线段AB上，且有 ，当点B在抛物线上变动时，求点P的
轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．
练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在坐标原点，
焦点在坐标轴上，点 和点 为椭圆 上两点.（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ） ， 为椭圆 上异于点 的两点，若直线 与 的斜率之和为 ，求线段 中
点 的轨迹方程.
练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中） 如图，过抛物线 （ ＞0）的顶点作
两条互相垂直的弦OA、OB．
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标
⑵求弦AB中点M的轨迹方程
练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知 ， 是抛物线
上两个不同的点， 的焦点为 ．
（1）若直线 过焦点 ，且 ，求 的值；
（2）已知点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，当直线
过定点，且定点在 轴上时，点 在直线 上，满足 ，求点 的轨迹方程．
练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的中心 作两条互相垂直的射线，
交双曲线于 、 两点，试求：
（1）弦 的中点 的轨迹方程；
题型六 点差法
例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线 ，过点
作直线与双曲线交于 两点，且点 恰好是线段 的中点，则直线 的方程是
（ ）
A． B．C． D．
例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l
与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若
，则直线l的方程为_______________．
练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点 的直线 与双曲线 相交
于 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线
的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．
练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点 作抛物线 的弦AB，恰被
点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和斜率为 的直线l交于A，B
两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标 满足的方程是________.
练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆 内一点 ，且被这点平
分的弦所在直线的方程是___.
题型七 利用韦达定理求轨迹方程
例13．（2023秋·高三课时练习）过点 的直线与抛物线 相交于两点P，Q，
求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为 的动直线与椭圆
交于 两点，线段 的中点为 ，则 的轨迹长度为_________．
练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，直线 过点 .若 与
交于 ， 两点，点 在线段 上，且 ，求点 的轨迹方程.
练习32．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，
且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭
圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆 上运动，
以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作 ，M为垂足．求点M的轨迹方程.
练习34．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）已知椭圆
的离心率为 ，左、右顶点分别是A，B，且 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等
于-1，求直线MN的方程练习35．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率为 ，其焦点是双曲线
的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l： 与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴
于 ， 两点，当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲
线.
