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专题 9.7 求轨迹方程
题型一 直接法
题型二 定义法
题型三 相关点法
题型四 交轨法
题型五 参数法
题型六 点差法
题型七 利用韦达定理求轨迹方程
题型一 直接法
例1．（2022秋·高三课时练习）若动点 到定点 和直线 ： 的距离相等，则动
点 的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线
【答案】B
【分析】设动点 的坐标为 ，由条件列方程化简可得点 的轨迹方程，由方程确定轨
迹.
【详解】设动点 的坐标为 ，
则 ．
化简得 ．
故动点P的轨迹是直线 ．
故选：B.
例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，直线
与 轴交于点 ，过 右侧的点 作 ，垂足为 ，且 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；【答案】(1)
【分析】（1）根据提意思，设 ，得到 ，结合 ，利用距离
公式化简，即可求解曲线 的方程；
【详解】（1）由题意，直线 与 轴交于点 ，过 右侧的点 作 ，
可得 ，设 ，则 ，
因为 ，可得 ，
即 ，整理得 .
练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系 中，
点 满足 ，则动点 的运动轨迹方程为__________；
的最小值为__________.
【答案】
【分析】设出 ，由题意列出方程组，化简即可得到点 的轨迹方程；
【详解】设 ，由题意可得 ，
整理得 ，故动点 的运动轨迹方程为 ，
如图所示，点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，点 在圆内部，
所以 ，
当且仅当 在线段 上时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为： ；
练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点 到定点 的距离与到 的距离之比
为 ，则点 的轨迹方程为____， 与 连线的斜率分别为 ， ，则
的最小值为____.【答案】
【分析】设出点 坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写
出 ，再利用 的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出 的最小值.
【详解】设点 的坐标为 ,由题意可知 ， 到 的距离为
，
由题意得 ，化简得 ，所以 的轨迹方程为 .
又由题意 ， ，则 ，
又因为P在曲线上，所以 ，化简得 ，
代入 得 ，.
又因为 ，所以 的最小值为 .
故答案为： ，
练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点 连线的
斜率之积等于 ．
(1)求点P的轨迹连同点 所构成的曲线C的方程；
【答案】(1)点 的轨迹方程为 ，曲线 的方程为 .
【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得
，通过基本不等式，求得 的最大值.
【详解】（1）设点 为轨迹上任意一点，由题意得 ，
则 ， ，，
故点 的轨迹方程为 ，
所以点P的轨迹连同点 所构成的曲线C的方程 为 .
练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等
于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）设 ，根据题意列出方程 ，化简即可；
【详解】（1）设 ,则 ，两边同平方化简得 ，
故 .
练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点 ，直线
AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足： .
(1)求点M的轨迹C的方程;
【答案】(1)
【分析】（1）设出 ，表达出AM与BM的斜率，得到方程，求出轨迹方程；
【详解】（1）设 ，
又 ，
则 ，整理得 ，
可得点M满足方程 ，
则M的轨迹C的方程为 .
题型二 定义法
例3．（2023秋·高二课时练习）已知 的三边a，b，c成等差数列，且 ，A、C
两点的坐标分别为 ，则顶点B的轨迹方程为__________．【答案】
【分析】由 的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出
椭圆方程，再结合 和B、A、C三点构成 ，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，
可得其轨迹方程.
【详解】因为 的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为 ，
所以 ，即 ，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为B、A、C三点构成 ，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以 ，
所以顶点B的轨迹方程为 .
故答案为：
例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在 中，点
.圆 是 的内切圆，且 延长线交 于点 ，若 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果；
【详解】（1）解：据题意， ，
从而可得 ，
由椭圆定义知道， 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
所以所求的椭圆 的方程为 .练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，
圆 与圆 、圆 外切，求圆心 的轨迹方程
【答案】
【分析】
根据圆C与圆A、圆B外切，得到 ，再利用双曲线的定义求解.
【详解】
因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标 ，圆C半径为 ，
则 ， ，所以 ，
所以点 的轨迹是双曲线的一支，
又 ， ， ，
所以其轨迹方程为 .
练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点 ，圆
，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹的方程 ；
【答案】(1)
【分析】（1）利用椭圆定义即可求得动点 的轨迹的方程 ；
【详解】（1）由题意： ，
动点 是以 为焦点，长轴长为 的椭圆.
设椭圆标准方程为 ，
则 ，
动点 的轨迹的方程 为 .
练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点 满足
，则 __________.
【答案】
【分析】根据双曲线和圆的定义，求出 所在曲线的的方程，联立方程组，求出
的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】以 中点 为原点， 为 轴正方向，建立平面直角坐标系，则 ，
因为 ， ，
所以点 ､ 分别在以 ， 为焦点的双曲线的右支和左支上，且 ， ，
所以 ， ，
所以双曲线方程为 ；
因为 ，所以点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
即点 在圆 上，
因为 ，所以点 在以 为圆心，半径为 的圆上，
即点 在圆 上，
联立 ，因为 ，可求 ，
联立 ，因为 ，可求 ，
因为 ， ，
故 .
故答案为： .
练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设 ，圆
（ 为圆心）， 为圆 上任意一点，线段 的中点为 ，过点 作线
段 的垂线与直线 相交于点 ．当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ，点
的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线 的方程为 B．当点 在圆 上时，点 的横坐标为C．曲线 的方程为 D． 与 无公共点
【答案】ABC
【分析】对于A，连接OQ，则可得 ，从而可得曲线 的方程；对于B，圆
B的方程与曲线 的方程联立求解即可；对于C，连接AR，则可得 ，从而可
得点R的轨迹为双曲线；对于D，求出曲线 的方程，然后判断.
【详解】如图1、图2，连接OQ．
因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以 ，所以点Q的轨迹
为以O为圆心，1为半径的圆，即曲线 的方程为 ，故A正确；
当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线 的方程联立，可得 ，故B正确；
连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以 ，所以
，所以点R的轨迹为以 为焦点，2为实轴
的双曲线，所以曲线 的方程为 ，故C正确；
由选项C可知，所以曲线 的方程为 ，所以 与 有两个公共点，故D错误．
故选：ABC．
练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线 轴，垂足为 轴负半轴上的点 ，
点 关于坐标原点 的对称点为 ，且 ，直线 ，垂足为 ，线段 的垂直
平分线与直线 交于点 ．记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程．
【答案】(1)
【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；【详解】（1）由题意可得 ，即点 到点 的距离等于点 到直线 的距离．
因为 ，所以 的方程为 ， ，
则点 的轨迹 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
故点 的轨迹 的方程为 ．
题型三 相关点法
例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为
．
(1)直线 截双曲线C所得的弦长为 ，求实数m的值；
(2)过点 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出 值；
（2）设 , ，利用点差法结合中点公式即可得到
，化简即可.
【详解】（1）联立 ,得 ，
直线 被双曲线 截得的弦长为 , ,
设直线与双曲线交于 ,
则 ,
由弦长公式得 ,
解得 .
（2）设 , ，则
，，
上式作差得 ，
当直线 的斜率不存在时，根据双曲线对称性知 ，
当直线 的斜率存在时，但 时，此时直线 为直线 ，根据双曲线对称性知
，
当直线 的斜率存在时，且 时， ，
， ，化简得 ，其中 ，
而点 ， 适合上述方程，
则线段 的中点 的轨迹方程是 .
例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点
，动点P满足：过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 ，则 的最
小值为______．
【答案】
【分析】根据已知求出点 的轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出
的最小值.
【详解】设 点坐标为 ，则 ， ，
又因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ， 是抛物线 上的点，
设 ，则 ,
因为 ，所以当 时， 取最小值，此时 ．故答案为： .
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为圆 上一动点， 轴
于点 ，若动点 满足 ,求动点 的轨迹 的方程；
【答案】
【分析】
设 ，则 ，根据 ，求得 ，代入
圆的方程，即可求解.
【详解】
解：设 ，则 ，可得 ，
由 ，所以 ，化简得 ，
因为 ，代入可得 ，即 ，
即为 的轨迹 的方程为 .
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，线段 ，且两个端点
、 分别在 轴和 轴上滑动．求线段 的中点 的轨迹方程；
【答案】
【分析】设 ， ，由 为线段 的中点列关系式，根据两点距离公
式表示 ，从而转化为关于 的方程即可得 的轨迹方程.
【详解】
设 ，线段 的中点 ，
因为 为线段 的中点， ，
，
，即 ，得 .
所以点 的轨迹方程是 ．练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点 且圆心
C在直线 上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点 ，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为 ，则
，
解之得 ，
所以圆C的标准方程为 ；
（2）设M（x，y）， ，由 及M为线段EF的中点得 ，
解得 ,
又点E在圆C： 上，所以有 ，
化简得： ,
故所求的轨迹方程为 ．
练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆 的圆心为A，点P在圆
上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.
【答案】
【分析】设 ，P（x，y），利用中点坐标公式得出 ，然后结合点 在圆
0 0
上即可求解.
【详解】圆 可化为 ，
则 ，设 ，P（x，y），所以
0 0
整理得 ,即 ，
将点 代入圆的方程得 ，
即为 .
故答案为： .
练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方
形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点， ，则动
点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.
【详解】设 ，不妨令 ，
正方形ABCD的面积为16，则 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
则 ，整理得
故选：B
题型四 交轨法
例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异
于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的
轨迹方程.
【答案】
【分析】首先判断点 是 的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点 的
轨迹方程.
【详解】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x，y)，则D(2x-1，2y)，
0 0 0 0
由重心坐标公式得 ，
则 代入 ，
整理得故所求轨迹方程为 .
例8．（2023·湖南·校联考二模）已知 为双曲线 的左右焦点，
且该双曲线离心率小于等于 ，点 和 是双曲线上关于 轴对称非重合的两个动点，
为双曲线左右顶点， 恒成立．
(1)求该双曲线 的标准方程；
(2)设直线 和 的交点为 ，求点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的定义可得 ，然后利用两边之和大于第三边以及
可得 ，即可求得方程；
（2）设 ，则 ，得到直线 ， 的方程，两条方程与
可得到 ，然后算出 的范围即可
【详解】（1）设双曲线 的焦距为 ，
由 及双曲线的定义，得 ，解得 ，
由 可得 ，
又 恒成立，所以 ，解得 ．
因为该双曲线离心率小于等于 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以双曲线 的标准方程为 ．
（2）因为 ，所以点 只能在双曲线的右支上，设 ，则 ，
因为 在双曲线上，所以 ，
易得 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ①，
同理可求得直线 的方程为 ②，
由①×②得 ③，
将 代入③得 ，化简得 ，
令①=②即 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，
即点 的轨迹方程为 ．
【点睛】关键点点睛：这道题的关键之处是得到直线 ， 的方程，与 相
结合，通过消元的方法得到轨迹方程
练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线
于 两点， 为坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用 三点共线 ，解得
，再利用向量数量积的坐标表示即可求解；
（2）设 ， ， ，根据题意可得 ，由此解出 与 ，
与 的关系，进而得到直线 与直线 的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设 ， ，
因为 三点共线，所以 ,
所以 ，整理可得 ，
所以 ，所以 ．
（2）设 ， ， ，
由题意 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 ．
因为 在 轴同侧，所以 ，同理可得 ，所以直线 的方程为 ，同理 的方程为 ，
两式联立代入 ，可得 ，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为 ．
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴
的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为_______．
【答案】 （ ）．
【分析】设 ，直线 和 的交点为 ，根据 三点共线及
三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合 在椭圆上即可得出答案.
【详解】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐
标轴上，且经过 三点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过右焦点 的直线 （斜率不为0）与椭圆 交于 两点，求直线 与直线
的交点的轨迹方程.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解；
（2）首先设直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线 与直线 的交
点坐标，即可求解交点的轨迹方程.
【详解】（1）设椭圆方程E： + =1
由AC两点可知： ，解得 =16， =12，
所以椭圆方程为 ；
（2）设 ，M（ ， ）N（ ， ）
联立 （3 +12my-36=0
直线AM： =
直线BN： =
消去 ： ，
因斜率不为0，该直线方程： .
练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线 的左､右顶点分别为 ，动直线 过点 ，当直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，
点B到直线 的距离为
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当直线 与双曲线 交于异于 的两点 时，记直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 .
（i）是否存在实数 ，使得 成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线 和 交点 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)（i）存在， ；（ii）
【分析】（1）注意到直线 与双曲线 有且仅有一个公共点时，l平行于渐近线可解；
（2）利用韦达定理结合 即可求得 ，再根据 和 的直线方程消去斜率即可得
交点 的轨迹方程.
【详解】（1）
故当直线 过 与双曲线 有且仅有一个公共点时， 应与 的渐近线平行
设直线 ，即 ，则点 到直线 的距离为
即双曲线 的标准方程为： .
（2）（i）由题可知，直线 斜率不为0
设直线
由 得：
成立
.所以存在实数 ，使得 成立.
（ii）直线 ，直线
联立得：
所以直线 和 交点 的轨迹方程为：
练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的
距离为2，直线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，
若 交于点 ，则点 的轨迹方程为__________.
【答案】 或
【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求
出交点坐标，再将抛物线 与直线 联立，结合韦达定理可得
轨迹方程.
【详解】由焦点 到准线的距离为2，可得抛物线 .
由 可得 ，故 ，
故在 处的切线方程为 ，即 ，
同理在点 处的切线方程为 ，联立 ，即 .
联立直线与抛物线方程： ，消去 得 ，
由题 或 .
由韦达定理， ，
得 ，其中 或 ，故点 的轨迹方程为： 或 .
故答案为： 或
题型五 参数法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， 为直线 上的两个动点，且
，动点 满足 ， （其中 为坐标原点），求动点 的轨迹 的
方程．
【答案】
【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0，再转化平行条
件从而得到动点的轨迹方程.
【详解】设 、 、 ，
则 ， ， ，
由 ，得 ，且点 、 均不在 轴上，故 ，且 ，
．由 ，得 ，即 ．由 ，得 ，即 ．
∴ ，
∴动点 的轨迹 的方程为： .
例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， ， ，
是满足 的一个动点．求 垂心 的轨迹方程.
【答案】 （ ）或 （ ）
【分析】求出 外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可
求垂心H的轨迹方程．
【详解】设 的外心为 ，半径为R，则有 ，又 ，
所以 ，即 ，或 ，
当 坐标为 时．
设 ， ，有 ，即有 （ ），
由 ，则有 ，
由 ，则有 ，
所以有 ， ，则 ，
则有 （ ），
所以 垂心H的轨迹方程为 （ ）.
同理当当 坐标为 时．H的轨迹方程为 （ ）.
综上H的轨迹方程为 （ ）或 （ ）．
练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 ，定点 ，B为抛物线
上任意一点，点P在线段AB上，且有 ，当点B在抛物线上变动时，求点P的
轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．
【答案】详见解析
【分析】设 ，根据 ，利用分点公式得到 ，再根
据点B在抛物线上求解.
【详解】解：设 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
因为点B在抛物线上，所以 ，
即 ，
所以轨迹是抛物线.
练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心在坐标原点，
焦点在坐标轴上，点 和点 为椭圆 上两点.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ） ， 为椭圆 上异于点 的两点，若直线 与 的斜率之和为 ，求线段 中
点 的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，进而待定系数求解即
可得答案；
（Ⅱ）设直线 的斜率为 ，进而得直线 的方程，与椭圆联立得点 的坐标，同理，
用 替换点 的坐标得点 的坐标，进而得点 的坐标，消去参数即可得点 的轨迹方
程.
【详解】解：（Ⅰ）根据题意，设椭圆 的方程为 ，
因为点 和点 为椭圆 上两点，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程
（Ⅱ）设直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
所以与椭圆联立方程 得 ，
即 ，
所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
即点 的坐标为 ，因为直线 与 的斜率之和为 ，所以直线 的斜率为 ，
同理，用 替换点 的坐标得点 的坐标 ，
所以点 的坐标为
所以点 的参数方程为： （ 为参数）
消去参数得点 的轨迹方程 ，
由 解得 ，所以 ，
所以点 的轨迹方程 .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算求解能
力，是中档题.本题解题的关键在于设直线 的斜率为 ，进而结合题意，与椭圆联立方
程求得 点坐标，进而消参数即可得答案.
练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中） 如图，过抛物线 （ ＞0）的顶点作
两条互相垂直的弦OA、OB．
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标
⑵求弦AB中点M的轨迹方程
【答案】⑴A（ ， ），B（ ， ）．⑵ ，即为M点轨迹的普
通方程．
【详解】试题分析：⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为 （ ）∴联立方程解得 ；以 代上式中的 ，解方程组
解得 ∴A（ ， ），B（ ， ）． 6分
⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得
消去参数k，得 ，即为M点轨迹的普通方程． 12
考点：直线与抛物线的位置关系，“参数法”求轨迹方程．
点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，
简化解题过程．“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将
动点的坐标相互联系起来．
练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知 ， 是抛物线
上两个不同的点， 的焦点为 ．
（1）若直线 过焦点 ，且 ，求 的值；
（2）已知点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，当直线
过定点，且定点在 轴上时，点 在直线 上，满足 ，求点 的轨迹方程．
【答案】（1） ；（2） （除掉点 ）.
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果；
（2）设 ，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入 中整
理可求得 ，验证 取值后得到所过定点 ；由 知 ，知点 的轨迹
是以 为直径的圆，确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的 不
符合题意，由此得到最终结果.
【详解】（1）由抛物线方程知： ，准线方程为： ．
， ，
.
（2）依题意可设直线 ，
由 得： ，则 ，…①
，
…②
由①②化简整理可得： ，
则有 ，解得： 或 ．
当 时， ，
解得： 或 ，
此时 过定点 ，不符合题意；
当 时， 对于 恒成立，
直线 过定点 ， .
， ，且 四点共线， ，
则点 的轨迹是以 为直径的圆．
设 ， 的中点坐标为 ， ，
则 点的轨迹方程为 ．
当 的坐标为 时， 的方程为 ，不符合题意，
的轨迹方程为 （除掉点 ）．
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据
，利用韦达定理构造出关于变量 的方程，确定直线 所过的定点坐标，进
而根据垂直关系确定轨迹为圆.
练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的中心 作两条互相垂直的射线，
交双曲线于 、 两点，试求：
（1）弦 的中点 的轨迹方程；
【答案】（1）见解析；
【详解】（1）设 、 、 ，
则有 ，①.
.②.
由 得 .③.② ①得 ，④.
② ①得 .⑤.
由式③、④解得 ，
代入式⑤得 ，其中 .上式即为所求轨迹方程.
题型六 点差法
例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线 ，过点
作直线与双曲线交于 两点，且点 恰好是线段 的中点，则直线 的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线 斜率，进而得到 方程，与双曲线联立检验即可确定
结果.
【详解】设 ，且 ，
由 得： ，即 ，
为 中点， ， ， ，
直线 方程为： ，即 ；
由 得： ，
则 ，满足题意；
直线 的方程为： .
故选：A.
例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l
与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若
，则直线l的方程为_______________．【答案】
【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为 ，进而在椭圆中，根据点差法可得
，根据中点弦的斜率即可代入求解.
【详解】取 中点 ，连接 ,由于 ,所以 ,进而 ,
设 ，设直线上任意一点 ，
由于 是圆的切线，所以 ,所以
，
令 则 ，所以 ，由中点坐标公式可得 ，
设 ,则 ，两式相减可得
，
所以 ,又 ， ,
所以 ，解得 ，进而
故直线l的方程为 ，即 ，
故答案为：
练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设 ，则 ，
两式相减得直线的斜率为 ，
又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
经检验此时 与双曲线有两个交点.
故选：A
练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线
的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．
【答案】
【分析】利用点 的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围.
【详解】设 ， ，线段AB的中点为 ，连接 （ 为坐标原点）．
由题意知 ，则 ，
∴点 的轨迹方程为x+4 y=0．
又点 在椭圆内，
∴ ，
解得： ，故答案为： .
练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点 作抛物线 的弦AB，恰被
点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.
【详解】解：设 ， ，由题意可知 ，
则 ，两式相减，得 ，
因为 是弦AB的中点，所以 ， ，
所以 ，即 ，直线AB的斜率为2，
所以弦AB所在直线的方程为 ，即 ，
故选：C.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和斜率为 的直线l交于A，B
两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标 满足的方程是________.
【答案】
【分析】根据点差法及直线的斜率可得出中点M的轨迹方程.
【详解】设 ， ，
则 两式相减，
得 .
因为 ， 的坐标为 ，
所以 ，
又直线 的斜率为 ，所以 ，即 .
故答案为：
练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆 内一点 ，且被这点平分的弦所在直线的方程是___.
【答案】
【分析】利用点差法即可求得过点 且被点P平分的弦所在直线的方程.
【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为 ，
则
又 ， ，两式相减得
则 ，则 ，
则所求直线方程为 ，即
经检验 符合题意.
故答案为：
题型七 利用韦达定理求轨迹方程
例13．（2023秋·高三课时练习）过点 的直线与抛物线 相交于两点P，Q，
求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.
【答案】 （ 或 ）
【分析】设 ， ， ，设直线 的方程为 ，与抛物
线方程联立利用韦达定理可得 、 和 的范围，根据平行四边形对角线互相平
分和消参法可得答案.
【详解】设 ， ， ，
由题意过点 的直线的斜率存在，设直线 的方程为 ，
与抛物线方程联立 ，可得 ， ，
且 可得 且 ，
所以由 可得 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ，
即 ，可得 ，因为 ，而 且 ，可得 或 ，
所以 的轨迹方程为 （ 或 ）.
例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为 的动直线与椭圆
交于 两点，线段 的中点为 ，则 的轨迹长度为_________．
【答案】 /
【分析】设斜率为 直线方程为 ，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段
的中点为 的参数方程，消参后得到 的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.
【详解】设斜率为 直线方程为： ，
代入椭圆 中，消元整理得：
，
线段 的中点为 ，设 ，
则 ，
所以 ，
，所以 ，消去 得： ，
所以线段 的中点为 的轨迹方程为： ，
如图所示：
的轨迹即为线段 ，
由 或 ，
所以 ，
所以 的轨迹长度为：
，
故答案为： .
练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，直线 过点 .若 与
交于 ， 两点，点 在线段 上，且 ，求点 的轨迹方程.
【答案】 ，（ 且 ）
【分析】
设 ， ， ，令 ，由已知可得 ，由，得 ，求出 由韦达定理代入，进而求出点 的轨迹方程.
【详解】
解法一：设 ， ， ，不妨令 ，
直线斜率存在，设直线方程为 ， ，即 ，
直线 与抛物线 有两个交点，故 ，
故 ，且 ， ， .
由 ，得 ，即 ，
故 ，即 ， ，且 ，故 ，且 ，
故点 的轨迹方程为 （ ，且 ）.
解法二：设 ， ， ，不妨令 ，
直线斜率存在，设直线方程为 ， ，即 ，
直线 与抛物线 有两个交点，故 ， ，且 ， ，
.
点 在线段 上，设 ，则 ， ，
故 ， ， ，故 .
，且 ，故 ，且 ，故点 的轨迹方程为 （ ，且 ）.
练习32．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，
且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭
圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 求解即可；
（2）联立直线方程结合 求点P的横坐标．
【详解】（1）
根据题意可得 ，解得 ，
∴求椭圆C的方程为
（2）
根据题意可得直线AE： ，BF： ，
由 可得 ，所以 ，故 ，故 ，
同理， ，故 ，
因为 三点共线，故 共线，
而 ，
故 ，整理得到： 或 ，
若 ，则由 可得 ，这与题设矛盾，故 .
联立方程 ，解得 ，
∴P点的轨迹方程为
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆 上运动，
以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作 ，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【答案】 ．
【分析】分直线AB的斜率不存在、存在两种情况讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线
AB为 ， ， ，然后联立椭圆的方程消元，得到 、 ，然
后由 可得 ，然后可得 ，即可得到答案.
【详解】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为 ；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为 ，联立椭圆 ，得：
，
设 ， ，则 ， ，
以线段AB为直径的圆过原点O，即 ，所以 ，
所以 ，又 ，故O到AB的距离 ．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为： ．
练习34．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）已知椭圆
的离心率为 ，左、右顶点分别是A，B，且 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等
于-1，求直线MN的方程
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由离心率 可得 ，
又由左、右顶点 可得 ，所以 ， ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）解：由（1）可得 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，整理可得： ，
，即 ，可得 ，
且 ， ，
，
整理可得 ，可得 或 ，符合 ，所以直线 的方程为： 或 ，
所以直线恒过 或 （舍去），
所以直线 的方程为： ，
练习35．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率为 ，其焦点是双曲线
的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l： 与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴
于 ， 两点，当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲
线.
【答案】(1)
(2)轨迹方程 ，为椭圆 除去4个顶点
【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；
（2）根据题意可得直线l与椭圆C相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得
的关系，再得到点M坐标的表达式，从而得到过点M作直线l的垂线的方程，求得
，结合椭圆的方程求解即可
（1）
设椭圆C的方程为 ， ，由题意，双曲线
的顶点为 ，故 .又 ，故 ，故 ，故椭圆C的方程为
（2）
由题意，直线l与椭圆C相切，联立 得 ，故
，即 .设 ，则 ，故 ，故 .所以直线 的方程为
，即 ，当 时， ，故 ，当 时，
，故 ，故 .又 ，故 则 ，又
在 上，故 ，即 ，由题意可得 ，
故点 的轨迹方程为 ，为椭圆 除去4个顶点
