文档内容
专题 6.6 解三角形的最值（范围）及
图形切割
题型一 利用基本不等式求最值（范围）
题型二 利用三角函数值域求角的范围
题型三 利用三角函数值域求边的范围
题型四 图形切割
题型五 角平分线的应用
题型六 中线的应用
题型七 解三角形的结构不良
题型一 利用基本不等式求最值（范围）
例1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对
边分别为 ， ， ，若满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角 .
（2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可.
【详解】（1）由正弦定理知， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
化简得 ，
， （其中 舍去），即 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
那么 的面积 （当且仅当 时等号成立），则 面积的取值范围为 ．
例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量 ， ，函
数 ．
(1)求 的单调增区间．
(2)在 ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若 ， ，求 ABC周
长的取△值范围． △
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角
函数的单调递增区间即可求得；
(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取
值范围.
【详解】（1）
，
所以令 ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ;
（2）因为 ，即 ，解得 ，即
，
因为A为三角形的内角，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 即 ，
解得 ，
又因为a，b，c是 的边，所以 ，故 ABC周长 .
所以 周长的取值范围是 . △
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意和余弦定理可得 ，结合 计算即可求
解；
（2）由（1）可得 ，则 ，代入 ，结合基本不等式计算即
可求解.
【详解】（1）由余弦定理知 ，
所以 ，
由 ,得 ，即 ,
又因为 ，所以 ，
即 ，在 中， ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
练习2．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中， 分别是角 所对的边，
向量 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 外接圆半径的最小值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可；
（2）由正，余弦定理及重要不等式求解即可．
【详解】（1）∵ ，且 ，
∴ ，
由正弦定理知： （ 是 外接圆半径），
∴ ，
∴ ，
即 ，
而 是 的三内角，∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
，
∴ ，当且仅当 ，等号成立.
，即 外接圆半径的最小值为 ．
练习3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量
，函数 .
(1)求函数 的最大值及相应自变量的取值集合；
(2)在 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ，此时自变量的取值集合为
(2)
【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到 解析式，再由辅助角公
式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；
（2）根据题意，结合（1）中 解析式可得 ，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题知，
，
当 ，即 时， 最大，且 最大值为 ，即
，此时自变量的取值集合为 .
（2）由（1）知， ，则 ，
因为在 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又由余弦定理及 ， 得： ，
即 ，
所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）.
所以 .
练习4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角 ；
（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出 的取值范围，即可得到 的面积的
最大值.
【详解】（1）由题意，
在 中， ，
∵ ，∴ ,即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，可得 ，解得： .
（2）由题意及（1）得
在 中， ， ， ，
∴ 为边 的中点，
∴ ,
∴ ，即
，
设 ， ，则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
∴ 的面积的最大值为 .
练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边
为 ， ， ，且 ， ，则下列说法正确的是______.
① ；② ；③ 周长的最大值为3；④ 的最大值为 ．
【答案】②③④
【分析】对于①、②，利用正弦定理判断即可，对于③，利用余弦定理结合基本不等式可
判断，对于④，由选项③可知 ，结合基本不等式可得 ，从而可求出
的最大值
【详解】对于①，因为 ，所以由正弦定理得 ，所以 ，所以
①错误；
对于②，因为 ，所以由正弦定理得 ，所以 ，所以②正确；对于③，根据余弦定理得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，所以③正确.
对于④，由选项③可知 ，所以 ，则 ，当且仅当
时，等号成立.
所以 ，所以④正确.
故答案为：②③④
题型二 利用三角函数值域求角的范围
例3．（2023春·全国·高三专题练习）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
C，若 ，则sinA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得 ，再求出 的范围即可.
【详解】由 ，得 ，由余弦定理得 ，
∴ ，即 ，
由正弦定理得 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
∵ ，∴ ，∴ ，
又 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，解得 ，
又 ， ， ，
∴ ，
∴ .
故选：C.例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，内角 、 、 所对边分别为 、 、
，且 ．
(1)求角 ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出 ，从而得解；
（2）将 转化为关于 的三角函数，再结合 的取值范围，求出最大值.
【详解】（1）由 结合正弦定理可得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，又 ，故 .
（2）由（1）可得
（或者 ）
由 ，可得 ，
当 时， ，即 的最大值是 .
练习6．（2023春·全国·高三专题练习）锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ， ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由正弦定理边化角可得 ，由 为锐角三角形可得 ，运用二倍
角的正弦公式以及辅助角公式将已知式化为 ，再由三角函数的性质求解即
可.
【详解】因为在锐角 中， ，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 或 （舍去），所以 ，
，
因为 为锐角三角形， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
，
故选：B.
练习7．（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）已知锐角 的
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；
（2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可
【详解】（1）由条件得 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，
得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2） ．
因为 为锐角三角形，
所以 ，且 ，所以 ．
所以 ，
即 的取值范围是 ．
练习8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知 分别为 的内角 所对的边，
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂
公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1） ，
由 及正弦定理，得 ，
得 ，代入 得 ，
又因为 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 .所以
，
因为 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 的取值范围是 .
练习9．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，若 的面积 ，则角 ______， 的最大
值为______．
【答案】
【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得B，再运用三角恒等变换得
（ ），转化为求三角函数在区间上求最值即可.
【详解】因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
练习10．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的
对边分别为a，b，c，且 ，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用正弦边角关系得 ，进而有 ，应用三角恒等变换将目标式
化为 ，注意角的范围，即可求范围.
【详解】由正弦定理边角关系知： ，而 ，
所以 ，又 ，则 ，故 ，即 ，
所以 ，
而 ，故 .
故答案为：
题型三 利用三角函数值域求边的范围
例5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，
其面积为S，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求S的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出
即可作答.
（2）利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】（1）在锐角 中， ，由余弦定理
，
得 ，即 ，又 ，
，
因此 ，有 ，而 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
由正弦定理得： ，即 ，
则
，
又 是锐角三角形，则有 ，即 ，亦即 ，
于是 ， ，
所以S的取值范围是 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系得出 ，再
应用两角和差公式计算求解即可；
（2）先应用正弦定理边角互化，再结合二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据余弦型函
数求值域可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 或 （舍去）．
所以 ，结合 ，得 ．
（2）由（1）得:
．
因为 是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围是 ．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，且 .
(1)求 的外接圆半径 ；(2)求 内切圆半径 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得 ，由 求 ；
（2）由正弦定理求 的范围，再用 求得
后即可求 的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理， ，可得
再由余弦定理， ，又 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 .
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ，
则
，
又 ，所以 ，
所以 ，，所以 .
练习12．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）在 中，角 的对边分别
为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形， 为 边的中点，求线段 长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得 ，即可求解；
（2）由向量的线性运算可得 ，等式两边同时平方可得 ，
由正弦定理可得 ，结合角B的范围可得 ，即可求解.
【详解】（1） ，由正弦定理，
得 ，
即 .
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 .
（2）因为 为 边的中点，所以 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 ，得 .
因为 为锐角三角形，且 ，所以 ，
则 ，故 .所以 ，即线段 长的取值范围为 .
练习13．（2023·高三单元测试）在锐角三角形 中，
，则 边上的高的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，所以有 ， ，由三角形 为锐角三角形，
可得 ，由正弦定理可得有 ，最后由
即可得答案.
【详解】解：由 可得: ,
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为三角形 为锐角三角形，
所以 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得： ，
即 ，
故有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 边上的高 ，
所以 .
故选：D.
练习14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角
中， 分别是角 所对的边， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 周长的范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得 ，由
此可得 ；
（2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公式可得 ，
利用正弦型函数值域的求法可求得 的范围.
【详解】（1）由 得： ，
由正弦定理知： ，又 ， ，
，又 ， ， ，
， ， ，则 ， ，解得： .
（2）由正弦定理得： ， ， ，；
为锐角三角形， ，解得： ，
， ， ，
即 周长的取值范围为 .
练习15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边为a，b，
c，已知 ， ．
(1)求c；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得出 ，再利用正弦定理，两角和的正弦
公式及诱导公式，将 转化为 ，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，将 转化为 ，再根据三角形内角和得出 ，
代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出 ，再由 为锐角
三角形得出角 的范围，即可 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
，
又 ，
，
，
，，
，即 ，
，解得 ．
（2）解：由正弦定理得， ，
， ，
，
， ，
则
，
为锐角三角形，
，
，
，
，
即 ．
题型四 图形切割
例7．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中， 为
的角平分线上一点，且与 分别位于边 的两侧，若(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理解出 的长，再利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）利用两次正弦定理得到 ， ，两式相比得
，再结合同角平方和关系即可解出 ，再代回正弦定理式即
可得到答案.
【详解】（1）在 中， ，
即 ，解得 (负根舍)，
所以 .
（2）因为 ， 平分 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，①
在 中，由正弦定理，得 ，②
① ②，得 ，所以 ，
又 ，且 ，所以 ，
将 代入②，得 ，所以 .
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形 中，已知 ， ，
， ， ，求：(1) 的长；
(2) 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知求得 ，再利用正弦定理即可求得 的长；
(2)先求得 的正余弦值，再利用余弦定理求 的长，最后用面积公式即可.
【详解】（1）解：在 中， ，
由正弦定理得： ，即
故： ．
（2）
解：
∴
在 中，由余弦定理得：
即 ，解得： 或 舍 ．
故： 的面积为7.
练习16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在 中，点
在边 上，(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在 中根据题意结合正弦定理分析运算；
（2）不妨设 ，在 、 、 中利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）在 中，由正弦定理知： ，即
又 ，
可得 ，
在 中，所以 ，所以 .
（2）不妨设 ，则
在 中，由余弦定理知；
在 中同理可知：
在 中，
即有
解得 .
练习17．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在 和 中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系：，从而得到 ，求出结果；
(2)利用条件得到 为等边三角形，进而求出 ，再利用三角形面积公式即
可求出结果.
【详解】（1）如图，在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
而 ， ，故 ，
又 ，所以得到 ．
因为 ，故 ，故 ．
（2）因为 ，且 ，
故 ， 为等边三角形．
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故梯形ABCD的面积 ．
练习18．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别
为 ， ， ．已知 ， ， ，且 为 边上的中线， 为
的角平分线．
(1)求 及线段 的长；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，BC＝6(2)
【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出 ，再利用余弦定理即可求
得a，即得答案.
（2）求出 ，即可求出 ，利用角平分线性质可推出 ,从而
，即可求得答案.
【详解】（1）由题意在 中， ，∴ ，
∴ ，而 ， ，∴ ，
由余弦定理得 （ 舍去），即 .
（2）在 中， ， ， ，
∴ ，
∵AE平分∠BAC， ，
由正弦定理得： ，
其中 ，
∴ ，则 , ,
∵AD为BC边的中线，∴ ，
∴ .
练习19．（2023春·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形
中，若 ， ， ， ，
．
(1)求B；(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）在 中，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）在 中，先利用正弦定理求出 ，再在 和 中，利用余弦定理证明
，即可得证.
【详解】（1）在 中，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）在 中， ，
则 ，
所以 ，
则 ，
在 中， ， ， ，
则 ，
因为 且 ，
所以 .
练习20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高级中学校考期中）如图，在△ABC中，点
D在边BC上，且 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；(2)若BC边上点E满足 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由正弦定理可得 的值，进而根据向量的模长公式即可求解 .
【详解】（1） 在 中，点 在边 上， ，
，
，
， ．
由正弦定理可得
（2）由（1）知 ，且 为钝角三角形，由 得 ，
, ，
，
在 中,由正弦定理得 ，解得 ,
所以 ，
，所以
题型五 角平分线的应用
例9．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在非直角 中，设角A，B，C的对边分
别为a，b，c，若 ， 是角 的内角平分线，且 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，
结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】由 及正弦定理，得 .
由余弦定理，得 ，
因为 为非直角三角形，
所以 ，
所以 ，
因为 是角 的内角平分线，且 ，
所以由三角形的面积公式得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
,
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.
例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 的内角 所对的
边分别为 ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 在 上， 是 的角平分线，且 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可求出结果；
（2）根据三角形的面积公式以及基本不等式可求出结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
而 ，故 ，因为 ，所以 .
（2）由题意可知， ，
由角平分线性质和三角形面积公式得 ，
化简得 ，又 ，从而 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，因此 的最小值为 .
练习21．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考期中）记 的内角 ､ ､ 的对边
分别为 ､ ､ ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理结合条件可得 ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）由余弦定理得： ， ，
又 ，
所以 ， ，
由角平分线定理可得， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
练习22．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）在 中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，若角A的内角平分
线AD的长为3，则 的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
【答案】A
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得 ，再利用等面积法结合基本
不等式即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：A.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角 所对的边分别是 ，其中
， ， .若B的角△平分线BD交AC于点D，则 ______.
【答案】 /
【分析】由角平分线性质及正弦边角关系得 、 ，应用余弦定理求得 ，
在△ 中应用余弦定理求 ，正弦边角关系确定最终 的长度.
【详解】由题设 ，则 ，
又 ，则 ，故 ，又 ，即 ，
在△ 中，由余弦定理知： ，即 ，得 ，故 ，
在△ 中，由余弦定理知： ，
故 ，故 或 ，
又 ，即 ，故 .故答案为：
练习24．（2023春·全国·高三专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ，
且 .
(1)求角B；
(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即 ，可得 ，结合基
本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得： ，
又在 中， ,
∴ ，
即 ，
又 ，∴ ,
又 ，∴ ，即角B的大小为 .
（2）∵ .
是 的角平分线，而 ，
∴ ，
即 ，∴ .
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ,
当且仅当 时取等号，则 ，
即 的面积的最小值为 .
练习25．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆面积为 ，求 的最大值；
(3)若 ，且 的角平分线 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知得 ，由余弦边角关系即可求值；
（2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得 ，进而求得 ，应用余弦定理、基
本不等式求 最值，注意等号成立条件.
（3）利用等面积法得 ，由二倍角余弦公式求 ，即
可求结果.
【详解】（1）由题知 ，即 ，
由 ，解得 ．
（2）由外接圆面积为 得外接圆半径 ，
由（1） ，所以 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
化简得 ，当且仅当a＝c时等号成立．
所以ac的最大值为 ．（3）因为BD是 的角平分线，则 ，
所以 的面积 ，
所以 ，则 ，
由 ，所以 ，解得 （负值舍去），
综上， ．
题型六 中线的应用
例11．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c， ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出
结果；
（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向
量的线性表示出 ，最后利用求模公式即可求 边上的中线 的长.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由 ，
所以 ，
由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为 .
例12．（2023春·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）记 的内角A， ，
的对边分别为 ， ， ，点 为 边的中点．若 ， ， ，则
的面积为 __．【答案】
【分析】由已知结合余弦定理可得 ，然后结合向量的线性表示及向量数量
积的性质可求 ，再由三角形面积公式可求．
【详解】解：由余弦定理得 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 的面积 ．
故答案为： ．
练习26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）已知a、b、c
分别为 内角A、B、C的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若中线 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得 ；
（2）利用向量运算、三角形的面积公式以及基本不等式求得 面积的最大值.
【详解】（1）依题意， ，
由正弦定理得 ，
，
，
，由于 ，
所以 ，即 ，
由于 ，所以 .（2）依题意 ，
两边平方得 ，即 ，
，
当且仅当 ，即三角形 是等边三角形时等号成立，
所以 面积 的最大值为 .
练习27．（2023春·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在 中，
已知 边上的两条中线 相交于点 ，则 的
余弦值为__________.
【答案】
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【详解】由题可得， ，
，
所以
，
，
，
所以 ，
故答案为: .
练习28．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知在 中，AD为
BC边上的中线，且 ， ，则 的最小值为________．【答案】 /0.6
【分析】在 和 中，分别用余弦定理建立关系，并求得 ，再在
中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.
【详解】依题意， ， ，如图，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，即 ，
两式相加得 ，于是 ，当且仅当 时
取等号，
在 中， ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
练习29．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
，点 在线段 上，设 .
(1)若 是 的平分线， ，求 的大小；
(2)若 是 边上的中线， ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据 及 ，
，可得 ，再由余弦定理得 ，从而可得C的大小；（2）解法一，由 ， 结合余弦定理得到 ，结合勾股定理的逆定理可
得 ，再利用勾股定理即可得到a的值，从而得到 ， 的值，即可得解.
解法二，根据中线的向量性质及余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由题可设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 .
（2）解法一：因为 ， ，
所以由余弦定理可得 ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ，D是AC的中点，
所以 ，得 ， ， ，
所以 的周长为 .
解法二.
因为BD是AC边上的中线，所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 的周长为 .
练习30．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在
中，角 的对边分别为 ，且 的面积为
(1)求角 的大小；
(2)若 是 的一条中线，求线段 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到 ，得到答案；
（2）由 ，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.
【详解】（1）由题意，可得 的面积 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2） 为 的中点，则 ，又 ， ，
所以 ，
故 ，即线段 的长度为 .
题型七 解三角形的结构不良
例13．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在 中， 为边 上一点，
.(1)求角 ；
(2)从下面两个条件中选一个，求角 .
① ；
② .
【答案】(1)
(2)选择条件①或②，都有
【分析】（1）由余弦定理求解即可；
（2）选择条件①，在 中，由正弦定理及角 的范围求解即可；
选择条件②，在 中，由正弦定理及三角函数诱导公式求得结果.
【详解】（1）在 中，由余弦定理可知：
，
又 ， .
（2）若选择条件①：
在 中，由正弦定理可知： ，即 ，解得 .
在 中， ，从而 ，必有 ，又 ，故 .
若选择条件②：在 中， ， ，
由正弦定理可知： ，即 ，解得 ，
又 ，则 ， ， ，
故 ，在 中， .
例14．（2023·重庆·统考三模）在① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若 ， 为AB的中点，求CD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；
（2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得 ，再得 ，
由二次函数的单调性计算即可得出结果.
【详解】（1）若选①，
，
∵ ；
若选②， ，
∵ ；
若选③
∵ ，
而 .
（2）
如图所示，设 ，则 ， ， ，∵ 是锐角三角形，∴ ，
，当 时取得最小值，故
.
练习31．（2023·北京·高三专题练习） 的内角 的对边分别为 ， ，
且______．
在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得 ，且 ，于是利用平方公式得
，即可得 的值，再根据面积公式即可得 的面积；若选②根据向量数量积定义
得 ，且 ，于是利用同角的平方关系公式得 ，即可得 的值，
再根据面积公式即可得 的面积；
（2）由正弦定理得即可求得 的值，开方可求 的值，从而得到 的值.
【详解】（1）若选①:
因为 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，
又 ，则 ， ，
则 ；
若选②:
因为 ，即 ，则 ，又 ，则 ，
又 ，得 ，
则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，
则 ， ．
练习32．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.
(1)求角C的大小；
(2)若点D在AB边上，且 ， ，求 的值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果；选择②由正弦定理及两
角和的正弦公式求得结果．
（2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解 ，在 与 中分别
使用正弦定理并结合 求得结果.
【详解】（1）选择①因为 ，结合余弦定理 ，
得 ，即 ，
据正弦定理可得 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ．
选择②．
因为 ，结合正弦定理可得 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
又 ， ，故 ，即 ，
所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，得 ．
（2）设 ，则 ．
因为 ， ，故 ，
所以 ，
在 中，据正弦定理可得 ，即 ，
在 中，同理 ，
因为 ，
所以 ，即 ，整理得 ，
所以 的值为 ．
练习33．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在 中，角A，B，C所对
边长分别为a，b，c，满足 .(1)求 的大小；
(2) ，点D在BC上， ，在① ，② ，③
这三个条件中任选一个作为条件，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正余弦定理边角互化计算即可；
（2）由题意分析可得 ，不管选哪个条件都需要利用正余弦定理进行边角转化，
求出AC，再利用三角形面积公式求值即可.
【详解】（1）由已知及正弦定理得： ，
即 .
由余弦定理得： ，
又 ，所以 .
（2）选①：由上可知，在 中， ，由正弦定理得：
，所以 .
故 ，
在 中， 为锐角， ，
故 ， ..
在 中， ，故 .
所以 的面积 .
选②：因为 ，所以 .
所以 .
.
在 中， ，故 .
所以 的面积 .
选③：在 中，由正弦定理得： ；
在 中，由正弦定理得： .
，故 .
所以 的面积 .
练习34．（2023·北京·人大附中校考三模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C所
对的边，且满足 ．
(1)求角A的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得 存在且唯一，写出你的选择
___________，并以此为依据求 的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)选②③不合题意；选①②，面积为 ；选①③，面积为
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得 的大小.
（2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三
角形 的面积.
【详解】（1） ， ，
， ，
，
由于 ，所以 .
（2）若选②③，三个已知条件是 ，没有一个是具体的边长，无法确
定 .
若选①②，三个已知条件是 ，
由正弦定理得 ，此时 存在且唯一，
，
所以 ；
若选①③，三个已知条件是 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，此时 存在且唯一，
所以 .
练习35．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ，
， ，且______.
在① ；② ；③ 这三个条
件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.
(1)求 ；(2)若 ， ，点 为 的中点，点 满足 ，且 ， 相交于点 ，
求 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选择条件①：利用三角形内角和、正弦定理可求答案；
若选择条件②：利用三角形内角和、正弦定理、辅助角公式可求答案；
若选择条件③：利用余弦定理、正切公式可求答案.
（2）法一:利用换基底和平面向量数量积的运算；法二:建立坐标系，利用余弦公式.
【详解】（1）若选择条件①：
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
若选择条件②：
因为 ，所以由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
若选择条件③：
因为 ，所以由余弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .（2）法一：因为 为 中点，点 满足 ，
所以 ， .
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，
，
故 .
又因为 与 的夹角即 ，所以 .
法二：以 为原点建立平面直角坐标系 （如图），
则 ， ， ，
由 可知 .
联立直线 ， 的方程 解得 ，
所以
.
