期中满分冲刺综合能力拔高卷（考试范围：第一章~第四章）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷_3期中试卷

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（北师大版）
【期中满分冲刺】综合能力拔高卷
（考试范围：第一章~第四章 考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．下列 （每两个2之间增加1个0）， 各数中，无理数的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一分析即可．
【详解】解： （每两个2之间增加1个0）， 各数中，
无理数的有： （每两个2之间增加1个0），共3个，
故选C
【点睛】本题考查的是无理数的识别，算术平方根的含义，掌握“无理数的定义”是解本题的关键．
2．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C．a D．b
【答案】B
【分析】由数轴知，a<0<b，得到a-b<0，进而根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵由数轴知，a<0<b，
∴a-b<0，
∴ =
故选：B．【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简二次根式，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．
3．“文明和谐”是社会主义核心价值观的基本内容，如图，公园草坪的两边是两条互相垂直的小径，
AB=5米，BC=12米，部分游客直接从A通过草坪到C，只少走了（ ）米，却破环了环境
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】先根据题意判断 是直角三角形，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵公园草坪的两边是两条互相垂直的小径，
∴ 是直角三角形，
∴
又∵AB=5米，BC=12米
∴ （米），
而AB+BC=5+12=17（米），
∴直接从A通过草坪到C，只少走了17-13=4（米），
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理．
4．如图，直线l⊥l，在某平面直角坐标系中，x轴 l，y轴 l，点A的坐标为（－2，4），点B的坐标
1 2 1 2
为（4，－2），则点C所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：如图，∵点A的坐标为（-2，4），点B的坐标为（4，﹣2），
∴点A位于第二象限，点B位于第四象限，
∴点C位于第一象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观．
5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底
部 的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将容器的侧面展开，作A点关于EF的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为最
短距离．利用勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，将容器的侧面展开，作A关于EF的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离，由题意知 cm， cm， cm，
则由勾股定理得： ＝ ＝ ＝13（cm）．
故选：A．
【点睛】本题考查了立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股
定理进行求解是解题的关键．
6．如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，
绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】因为△OAB是一个直角三角形，且有OC=OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判
断其大小．
【详解】解：∵AB⊥OA
∴在直角三角形OAB中有 OA2+AB2=OB2
∴
∴4＜ ＜5
又∵OC=OB
∴点C所表示的数介于4和5之间
故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答
案．
7．一次函数y＝－ x＋2的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，以AB为腰，∠BAC＝90°，在第一象限
作等腰Rt△ABC，则直线BC的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0），作CE⊥x轴于点E，则有∠ACE＝
∠BAO，然后可得△ABO≌△CAE，进而可得C的坐标是（7，5），设直线BC的解析式是y＝kx＋b，最后
利用待定系数法可求解．
【详解】解：∵一次函数y＝－ x＋2中，
令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．
若∠BAC＝90°，如图1，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB＋∠CAE＝90°，
又∵∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAO．
在△ABO与△CAE中， ，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，
∴OE＝OA＋AE＝2＋5＝7．
则C的坐标是（7，5）．设直线BC的解析式是y＝kx＋b，
根据题意得： ，解得 ，
∴直线BC的解析式是y＝ x＋2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形， 、 、 ．规定“把
先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，
的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可
求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
把 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D（2，-3），
观察，发现规律：D（3，3），D（2，-3），D（1，3），D（0，-3），D（-1，3）
0 1 2 3 4
……∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D
的坐标，再利用变换的规律求解．
9．如图，在边长为2的正方形 中剪去一个边长为1的小正方形 ，动点P从点A出发，沿
的路线，绕多边形的边匀速运动到点B时停止，则 的面积S随着时间t变
化的函数图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点P在AE、EF、FG、GC、CB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图像．
【详解】当点P在AE上时，△ABP的底不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在EF上时，△ABP的底不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在FG上时，△ABP的底不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在GC上时，△ABP的底不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在CB上时，△ABP的底不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而减小；
故答案为：A．
【点睛】本题是动点的函数的图像，解题关键是深刻理解动点的函数图像，了解图像中关键点所代表的实
际意义，理解动点的完整运动过程．
10．一个容器内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第
12min后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量始终不变，容器内水量 （单位：
L）与时间 （单位：min）之间的关系如图所示．根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；② 时， ；③当 时，
；④当 时， ，或 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速
度，从而求出第12min时容器内水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式，再对各
个选项逐一判断即可．
【详解】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法正确；
出水的速度为：5−（27.5−20）÷（10−4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12−4）×（5−3.75）＝30（L），
故③说法正确；
15÷3＝3（min），12＋（30−15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④错误；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得 ，
解得 ，所以4≤x≤12时，
y＝ x＋15，故说法②正确．
所以正确说法的个数是3个．故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．如图，在Rt△ABC中， ， , ，点E在线段AC上，D是线段BC上的一
点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，
，则 ______．
【答案】1
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾
股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴BE=EG，
∵ ， ，
∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，
∵在Rt△ABC中， ， ，
∴AE2+AB2=BE2即 ，
∴AE=1，
故答案为：1．【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
12．已知实数 ， 在数轴上的对应点如图，则 ________．
【答案】 ##
【分析】根据a<0<b， ，得到a+b<0，a-b<0，推出
．
【详解】由数轴可知，a<0<b， ，
∴a+b<0，a-b<0，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握算术平方根与绝对值的性质，去括号与
合并同类项法则．
13．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝ ，∠B＝30°，点D在边BC上，以AD为折痕
由△ABD折叠得到△AB'D，AB'与边BC交于点E，若△DEB'为直角三角形，则BD的长是
_________________．【答案】 或
【分析】首先求出AB＝4，根据折叠的性质可得BD＝DB′，AB′＝AB＝4，接下来分∠B′DE＝90°和∠B′ED
＝90°两种情况，分别画出图形，设DB＝DB′＝x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝ ，
△
∴AB＝4，
∵以AD为折痕折叠 ABD得到 AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB△＝4， △
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F，
设BD＝DB′＝x，则AF＝2＋x，FB′＝ ，
在Rt AFB′中，由勾股定理得： ，
△
即 ，
∵x≠0，
∴ ，
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，点C与点E重合，∵AB′＝4，AC＝2，
∴B′E＝2，
设BD＝DB′＝x，则DE＝ ，
在Rt B′DE中， ，
△
即 ，
解得：x＝ ，
∴BD＝ ，
综上所述，BD的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、二次根式的运算，根据勾股定理列出关于x的
方程是解题的关键．
14．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：
km）．笔直的铁路经过A，B两地，则A，B间的距离为______km，C到A地的距离为______km．【答案】 20
【分析】根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；由勾股定理得出A、C两地间的距离．
【详解】解：由A、B两点的纵坐标相同可知： 轴，
∴AB=12-（-8）=20（km）；
∵A（12，1），C（0，-17），
∴ （km）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确运用勾股定理与二次根式的化简是解题关键．
15．如图，直线y＝－ x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交
于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC
与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
【答案】 ， ，
【分析】将两条直线的方程联立，求出点 的坐标，从而可得 的底与高，进而求出面积；对点 的
位置进行分类讨论，画出使 与 全等的草图，结合全等三角形对应边相等建立等量关系，求出
点 的坐标．
【详解】解： ，令 ，得 ，
．
，令 ，得 ，
．．
令 ，解得 ，
．
．
若 与 全等，则：
①当点 在点 下方时，如图所示， ， ．
，即 ，解得 ，
将 代入 ，得 ．
．
②当点 在点 上方时，如图所示．
若 ， ，则 ，
将 代入 ，得 ，
．
若 ， ，则 ，将 代入 ，得 ，
．
综上，所有满足题意的点 的坐标为 ， ， ．
故答案为： ； ， ， ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及应用，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与全等三角形
相关知识是解题的关键．
16．在一次自行车越野赛中，出发mh后，小明骑行了25km，小刚骑行了18km，此后两人分别以
akm/h，bkm/h匀速骑行，他们骑行的时间t（单位：h）与骑行的路程s（单位：km）之间的函数关系如图
所示，观察图象，下列说法：
①出发mh内小明的速度比小刚快；② a=26；③小刚追上小明时离起点43km；④此次越野赛的全程为
90km，正确的有______________（把正确结论的序号填在横线上）.
【答案】①②④
【详解】试题解析：由图象可知，
出发mh内小明的速度比小刚快，故①正确；
由图象可得， ，
解得， ，
故②正确；
小刚追上小明走过的路程是：36×（0.5+0.7）=36×1.2=43.2km＞43km，故③错误；此次越野赛的全程是：36×（0.5+2）=36×2.5=90km，故④正确；
故答案为①②④．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-20每小题8分，21-
23每小题10分，第24小题14分）
17．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)6
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义可解答；
（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（3）根据绝对值，零次幂，负整数指数幂的定义可解答；
（4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
解：；
（3）
解： ；
；
（4）
解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握实数运算法则，零指数幂和负整指数幂的运算法则，二次根式乘
除运算法则是解题的关键．
18．阅读下面的解题过程，解答后面的问题．
化简： ．
解：由隐含条件 ，得 ，
∴ ．
∴原式
．
依照上面的解法，解答下列问题．
(1)化简： ；
(2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简： ．
【答案】(1)1(2)2a
【分析】（1）根据二次根式有意义条件得出2-x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据数轴得出b＜0＜a，|a|＜|b|，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可．
【详解】（1）解：由隐含条件得：2-x≥0，
解得：x≤2，
∴
=3-x-（2-x）
=3-x-2+x
=1；
（2）
从数轴可知：b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴
=
=abab
=2a
【点睛】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关
键．
19．有一旅游景点C在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头A，B.并且AB AC，由于某种原因，由C
到A的路已经不通，为方便游客决定在河边H 点新建一个码头(点A，H ，B在同一直线上)，并新修一条
笔直的公路CH ，测得BC 10千米，CH 8千米，BH 6千米．
(1)判断 BCH 的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
【答案】(1) BCH 是直角三角形，理由见解析25
(2)原来的路线AC的长为
3
千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
AH  ABBH x6
AC  ABx Rt ACH
（2）设 千米，则 千米，在  中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1） BCH 是直角三角形，
理由是：在 CHB中，
CH2BH2 8262 100，BC2 100，

CH2BH2 BC2，


BCH 是直角三角形且CHB90；
AH  ABBH x6
AC  ABx
（2）设 千米，则 千米，
在Rt

ACH 中，由已知得AC x，AH x6，CH 8，
由勾股定理得：AC2  AH2CH2，
x2 (x6)282
．
25
x
解得 ，
3
25
答：原来的路线AC的长为
3
千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
20．如图，已知平面直角坐标系中的 ABC，点A（﹣1，3）、B（2，0）、C（﹣3，﹣1）
△
△ABC A
(1)画出 ABC关于x轴的对称图形 1 1 1，并写出A点的对应点 1的坐标；
△(2)在y轴上找一点P，使得 PAC周长最小，请在图中标出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
A△
【答案】(1)画图见解析， 1的坐标为（﹣1，﹣3）；
(2)画点P见解析．
【分析】（1）作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可得；
（2）作出点A关于y轴的对称点A，连接AC，与y轴的交点即为所求点P．
△ABC
1 1 1
【详解】（1）如图所示， 即为所求，
A
由图知， 1的坐标为（﹣1，﹣3）；
（2）如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义作出变换后的对应点及轴
对称的性质．
y2x4 ykxb x
21．如图，一次函数 与两坐标轴分别相交于点A．B，一次函数 的图象过点B，并与 轴
交于点C，AC=10．(1)求一次函数ykxb的关系式；
y2x4
(2)点P是一次函数 图象上的动点，设点P横坐标为n，△PBC的面积是S，求S关于n的函数关
系式．
1
【答案】(1) y x4
2
(2)当n0时，S 10n；当n0时，S 10n
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）画出示意图分三种情况当n2时，当2n0时以及当n0时分别求解即可．
y2x4
【详解】（1）∵直线 经过点A、B
∴A(-2，0)、B(0，4)
∵AC=10
x 210
C
x 8
C
∴C(8，0)
ykx8
∵一次函数 经过点B、C，
b4

∴8kb0 1
k 
解得 2
 b8
1
∴y x4．
2
（2）
1
s  10420
ΔABC 2
①当n2时，
1
ss s 20 AC y
ΔABC ΔPAC 2 P
1
20 10 2n4
2
2052n4
2010n20
10n
②当2n0时，1
ss s 20 AC y
ΔABC ΔPAC 2 P
1
20 10 2n4
2
2052n4
2010n20
10n
③当n0时，1
ss S  AC y 20
ΔPAC ΔABC 2 P
1
 10 2n4 20
2
52n420
10n2020
10n
∴当n0时，s10n；当n0时，s10n．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标等知识点，熟练掌握待定系数法，
画出示意图是解题的关键．
22．2021年端午节，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S (米)与时间t(分钟)
之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点；
(2)甲队的速度为 米/分钟，乙队与甲队相遇时乙队的速度为 米/分钟；
(3)求乙队追上甲队时t的值．
【答案】(1)1000，乙
(2)250，375
(3)3.4
【分析】（1）根据图象即可直接填空；
（2）由图中信息可知：甲走完1000米一共用了4分钟即可求出甲的速度；乙是在比赛开始后的2.2分钟
至3.8分钟之间和甲相遇的，这期间乙共行驶了600米，由此即可求得此时乙的速度；
（3）根据甲、乙两人相遇时所走的路程一样，列出方程，求解即可；
【详解】（1）由图可知这次龙舟赛的全程是1000米，
∵甲4分钟到达终点，乙3.8分钟到达终点，∴乙队先到达终点．
故答案为：1000，乙；
1000
v  250
（2） 甲 4 米/分钟，
1000400
v
乙相遇

3.82.2
375米/分钟，
故答案为：250，375；
（3）解：设乙队出发t分钟，追上甲，
由题意得：250t=400+375 (t−2.2)，
解得t=3.4，
∴乙队出发3.4分钟，追上甲．
【点睛】本题主要考查从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确读懂函数
图象．
x212  3x222
23．某校的数学兴趣小组，探究代数式 （x > 0）的最小值．小青巧妙运用了“数形
结合”的思想轻松得解．具体做法是：构造两个有公共边的矩形ABCD和矩形ABEF，且AB = 3，BC =
2，AF = 1，P为AB边上的动点，设AP = x，则PF = x21，PC =
3x222
，问题转化为求PC +
3 2
PF的最小值．易得，P、F、C三点共线时有最小值为 ．
x222  (3x)222
(1)[应用]根据上面思想方法：当x = _________时， （x > 0）有最小值．
x222  (8x)262
(2)构图求代数式 （x > 0）的最小值．
(x1)232  x21
(3)[拓展]探究 （x > 0））的最大值_________ （直接写出结论）．3
【答案】(1)
2
8 2
(2)
5
(3)
【分析】（1）根据题意构造出两个有公共边的矩形，且长和宽分别为3和2，然后根据两点之间线段最
短，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意构造出两个有公共边的矩形ABDC，长和宽分别为8和2，矩形CDFE，长和宽分别为8和
6，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意构造矩形ABFE，且AB=1，AD=3，点E时AD上的点，且AE=1，点F是BC上的点，且
BF=1，点G是AB延长线上一点，连接DG，FG，DF，根据三角形两边之差小于第三边得到
(x1)232  x21
的最大值为DF的长度，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，
四边形ABDC和CDFE为矩形，且AB=CD=EF=3，AC=CE=2，设CP=x，
∴AP= AC2CP2  x222 ，PF= PD2DF2  3x222 ，
x222  (3x)222  APPF
∴ ，
∴当点A，P，F三点共线时，AP+PF最小，
∵四边形ABDC和CDFE为矩形，
∴此时点P为CD的中点，
1 3
∴
CP CD
，
2 2
3
故答案为： ．
2（2）
如图所示，
四边形ABDC和CDFE为矩形，且AB=CD=EF=8，AC=2，CE=6，设CP=x，
∴AP= AC2CP2  x222 ，PF= PD2DF2  8x262 ，
x222  (8x)262  APPF
∴ ，
∴当点A，P，F三点共线时，AP+PF最小，即AF的长度，
AE2EF2  8282 8 2
∴AF= ，
x222  (8x)262 8 2
∴ 的最小值为 ；
（3）
如图所示，
构造矩形ABFE，且AB=1，AD=3，点E时AD上的点，且AE=1，点F是BC上的点，且BF=1，点G是AB
延长线上一点，连接DG，FG，DF，设BG=x，
∴DG= DA2AG2  32x12 ，FG= BF2BG2  1x2 ，
(x1)232  x21DGFG
∴ ，∵DGFGDF ，
∴当点D，F，G三点共线时，DGFG最大，即DF的长度，
∵DEDAEA2，
DF  DE2EF2  2212  5
∴在Rt△DEF中， ，
(x1)232  x21 5
∴ 的最大值为 ．
5
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
24．如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰
Rt△ABC．
（1）A（ ）；B（ ）；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F．
①求证：BD＝ED；
②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，说明理由．
1 1 1
【答案】（1）（0，2），（1，0）；（2）y＝2x﹣2；（3）①见解析；②存在，点P的坐标为（﹣2
7
1 1
， ）或（ ， ）．
2 2 2
【分析】（1）y=-2x+2中，当x=0时y=2，则A（0，2），当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，即可求解；
（2）证明△ABO≌△BCD（AAS），则BD=OA=2，CD=OB=1，求出点C（3，1），即可求解；
（3）①证明△BCG≌△BEM（AAS）、△BDO≌△EDN（AAS），即可求解；②当点P在点A的下方时，由5
1 1 2
△ABP的面积=S ABF-S BFP= ×BF×（yA-yP）= （1+ ）×（2-3m-2）= ，即可求解；当点P′在点A的
2 2 3 4
△ △
上方时，则点A是点P′、P的中点，即可求解．
【详解】解：（1）y＝﹣2x+2中，当x＝0时y＝2，
∴A（0，2），
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴B（1，0）；
故答案为：0，2；1，0；
（2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，
则点C（3，1），
设直线BC所在直线解析式为ykxb
kb0

把点B、C的坐标代入得3kb1 1
k 

 2
解得，
1
b
 2
1 1
∴直线BC所在直线解析式为y x ；
2 2
（3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，
则∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°，
∵∠ABC＝90°，且AE＝AC，
∴AB是CE的中垂线，
∴BC＝BE，
∵∠CBG＝∠EBM，
∴△BCG≌△BEM（AAS），
∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1，
∵BO＝1，
∴OM＝EN＝OB＝1，
∵∠BDO＝∠EDN，
∴△BDO≌△EDN（AAS），
∴BD＝ED；
②如图③，1 1
由y x 知D（0，﹣ 1 ），即OD＝ 1 ，
2 2 2 2
5
则AD＝OA+OD＝ ，
2
5 5
1 1
∴S△ABD＝ AD•OB＝ × ×1＝ ，
2 2 2 4
由①知E（﹣1，﹣1），
根据A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直线AE解析式为y＝3x+2，
2
当y＝0时，3x+2＝0，解得x＝﹣
3
，
2
∴F（﹣
3
，0），
设点P的坐标为（m，3m+2），
当点P在点A的下方时，
5
1 1 2
则△ABP的面积＝S△ABF﹣S△BFP＝ ×BF×（yA﹣yP）＝ （1+ ）×（2﹣3m﹣2）＝ ，
2 2 3 4
1
解得m＝﹣2，
1 1
故点P的坐标为（﹣2，2）；
当点P′在点A的上方时，
则点A是点P′、P的中点，
7
1
由中点坐标公式得：点P的坐标为（ ， ），
2 2
7
1 1 1
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点．