文档内容
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（北师大版）
【期中满分冲刺】综合能力拔高卷
（考试范围：第一章~第四章 考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．下列 （每两个2之间增加1个0）， 各数中，无理数的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义逐一分析即可．
【详解】解： （每两个2之间增加1个0）， 各数中，
无理数的有： （每两个2之间增加1个0），共3个，
故选C
【点睛】本题考查的是无理数的识别，算术平方根的含义，掌握“无理数的定义”是解本题的关键．
2．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C．a D．b
【答案】B
【分析】由数轴知，a<0 0）的最小值．小青巧妙运用了“数形
结合”的思想轻松得解．具体做法是：构造两个有公共边的矩形ABCD和矩形ABEF，且AB = 3，BC =
2，AF = 1，P为AB边上的动点，设AP = x，则PF = x21，PC =
3x222
，问题转化为求PC +
3 2
PF的最小值．易得，P、F、C三点共线时有最小值为 ．
x222 (3x)222
(1)[应用]根据上面思想方法：当x = _________时， （x > 0）有最小值．
x222 (8x)262
(2)构图求代数式 （x > 0）的最小值．
(x1)232 x21
(3)[拓展]探究 （x > 0））的最大值_________ （直接写出结论）．3
【答案】(1)
2
8 2
(2)
5
(3)
【分析】（1）根据题意构造出两个有公共边的矩形，且长和宽分别为3和2，然后根据两点之间线段最
短，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意构造出两个有公共边的矩形ABDC，长和宽分别为8和2，矩形CDFE，长和宽分别为8和
6，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意构造矩形ABFE，且AB=1，AD=3，点E时AD上的点，且AE=1，点F是BC上的点，且
BF=1，点G是AB延长线上一点，连接DG，FG，DF，根据三角形两边之差小于第三边得到
(x1)232 x21
的最大值为DF的长度，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，
四边形ABDC和CDFE为矩形，且AB=CD=EF=3，AC=CE=2，设CP=x，
∴AP= AC2CP2 x222 ，PF= PD2DF2 3x222 ，
x222 (3x)222 APPF
∴ ，
∴当点A，P，F三点共线时，AP+PF最小，
∵四边形ABDC和CDFE为矩形，
∴此时点P为CD的中点，
1 3
∴
CP CD
，
2 2
3
故答案为： ．
2（2）
如图所示，
四边形ABDC和CDFE为矩形，且AB=CD=EF=8，AC=2，CE=6，设CP=x，
∴AP= AC2CP2 x222 ，PF= PD2DF2 8x262 ，
x222 (8x)262 APPF
∴ ，
∴当点A，P，F三点共线时，AP+PF最小，即AF的长度，
AE2EF2 8282 8 2
∴AF= ，
x222 (8x)262 8 2
∴ 的最小值为 ；
（3）
如图所示，
构造矩形ABFE，且AB=1，AD=3，点E时AD上的点，且AE=1，点F是BC上的点，且BF=1，点G是AB
延长线上一点，连接DG，FG，DF，设BG=x，
∴DG= DA2AG2 32x12 ，FG= BF2BG2 1x2 ，
(x1)232 x21DGFG
∴ ，∵DGFGDF ，
∴当点D，F，G三点共线时，DGFG最大，即DF的长度，
∵DEDAEA2，
DF DE2EF2 2212 5
∴在Rt△DEF中， ，
(x1)232 x21 5
∴ 的最大值为 ．
5
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
24．如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰
Rt△ABC．
（1）A（ ）；B（ ）；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F．
①求证：BD＝ED；
②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若
不存在，说明理由．
1 1 1
【答案】（1）（0，2），（1，0）；（2）y＝2x﹣2；（3）①见解析；②存在，点P的坐标为（﹣2
7
1 1
， ）或（ ， ）．
2 2 2
【分析】（1）y=-2x+2中，当x=0时y=2，则A（0，2），当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，即可求解；
（2）证明△ABO≌△BCD（AAS），则BD=OA=2，CD=OB=1，求出点C（3，1），即可求解；
（3）①证明△BCG≌△BEM（AAS）、△BDO≌△EDN（AAS），即可求解；②当点P在点A的下方时，由5
1 1 2
△ABP的面积=S ABF-S BFP= ×BF×（yA-yP）= （1+ ）×（2-3m-2）= ，即可求解；当点P′在点A的
2 2 3 4
△ △
上方时，则点A是点P′、P的中点，即可求解．
【详解】解：（1）y＝﹣2x+2中，当x＝0时y＝2，
∴A（0，2），
当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1，
∴B（1，0）；
故答案为：0，2；1，0；
（2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，
则点C（3，1），
设直线BC所在直线解析式为ykxb
kb0
把点B、C的坐标代入得3kb1 1
k
2
解得，
1
b
2
1 1
∴直线BC所在直线解析式为y x ；
2 2
（3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，
则∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°，
∵∠ABC＝90°，且AE＝AC，
∴AB是CE的中垂线，
∴BC＝BE，
∵∠CBG＝∠EBM，
∴△BCG≌△BEM（AAS），
∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1，
∵BO＝1，
∴OM＝EN＝OB＝1，
∵∠BDO＝∠EDN，
∴△BDO≌△EDN（AAS），
∴BD＝ED；
②如图③，1 1
由y x 知D（0，﹣ 1 ），即OD＝ 1 ，
2 2 2 2
5
则AD＝OA+OD＝ ，
2
5 5
1 1
∴S△ABD＝ AD•OB＝ × ×1＝ ，
2 2 2 4
由①知E（﹣1，﹣1），
根据A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直线AE解析式为y＝3x+2，
2
当y＝0时，3x+2＝0，解得x＝﹣
3
，
2
∴F（﹣
3
，0），
设点P的坐标为（m，3m+2），
当点P在点A的下方时，
5
1 1 2
则△ABP的面积＝S△ABF﹣S△BFP＝ ×BF×（yA﹣yP）＝ （1+ ）×（2﹣3m﹣2）＝ ，
2 2 3 4
1
解得m＝﹣2，
1 1
故点P的坐标为（﹣2，2）；
当点P′在点A的上方时，
则点A是点P′、P的中点，
7
1
由中点坐标公式得：点P的坐标为（ ， ），
2 2
7
1 1 1
综上，点P的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
【点睛】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及割补法求三角形的面积等知识点．
