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专题 7.2 等比数列及求和
题型一 基本量的计算
题型二 等比中项及等比数列项的性质
题型三 等比数列的判定与证明
题型四 等比数列前 项和的性质
题型五 等比数列中的单调，最值问题
题型六 等比数列的简单应用
题型七 等差、等比数列的综合应用
题型一 基本量的计算
例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ，则“
”是“数列 的公比为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得 ，则 ；
由 ， ，得 ．
故“ ”是“数列 的公比为 ”的必要不充分条件．
故选：B
例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列 中，公比为q，前n项和为 .
(1) ， ，求n；
(2) ，求 及 .
【答案】(1)6
(2) ，
【分析】（1）由等比数列前n项和公式与通项公式可解；（2）等比数列前n项和公式列方程组，解方程组可解.
【详解】（1）显然，由 ，即 ，
解得 ，又 ，即 ，所以 .
（2）由 知 ，由题意得 ，
两式相除得 ，得 ， ，
所以 ， .
练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中．
(1)若 ， ， ，求 和 ；
(2)已知 ， ，求 .
【答案】(1) ， .
(2) 或
【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前 项和公式列方程组求解即可.
【详解】（1）由 得 ，解得 ，
又由 得 ，解得 .
所以 ， .
（2）显然 ，则 ， ，
两式相除得 ，解得 ，
时可解得 ，则 ；
时可解得 ，则 .所以 或
练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{ }的前n项和为 ，若
，则 =（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
【答案】B
【分析】根据等比数列性质结合求和公式，基本量运算，写出通项公式即得.
【详解】由等比数列的性质可知 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故选：B.
练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列 满足
， ，若 的前n项和 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式求出公比 与 ，再根据等比数列的求和公式列式求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ,解得 .
故选:A.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ，若其前k项和为
86，则 ________．
【答案】【分析】由题意可知 是以 为首项，公比为 的等比数列，由等比数列的前 项
和公式求解即可.
【详解】由 可得： ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以其前k项和为 ，
故 ，即 .
故答案为：
练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列 中， 是数列
的前 项和．若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.
【详解】设 的公比为 ，
则 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
题型二 等比中项及等比数列项的性质
例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
，求 .
【答案】 或
【分析】设等比数列 的公比为 ，则 ，根据已知条件求出 、 的值，利用等比
数列求和公式可求得 的值.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，则 ，
由等比数列的性质可知 ，解得 ，
当 时， ，这与 矛盾，所以， ，则 ，所以， ，解得 .
①当 时， ，此时 ；
②当 时， ，此时 .
综上所述， 或 .
例4．（2023春·高三课时练习）已知数列 为等比数列.
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)若数列 的前三项和为168， ，求 ， 的等比中项.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出 ，再利用等比中项定义求解即
可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；
（2）设等比数列{a}的公比为q，因为 ，所以 .
由已知得 ，即 ，解得 ，
若G是 ， 的等比中项，则有 ，
所以 ，所以 ， 的等比中项为 .
练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 为等比数列，则（ ）
A．数列 ， ， 成等比数列
B．数列 ， ， 成等比数列
C．数列 ， ， 成等比数列
D．数列 ， ， 成等比数列【答案】BD
【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
A.由等比数列的性质知 ， ，当 时， ，故A错误；
B.可知数列 ， ， 每项都不为0，且 ，故B正确．
C.当数列 为1， ，1， ，1……时， ，故C错误；
D.数列 ， ， 的每一项都不为0，且
，故D正确.
故选：BD
练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 、 满足 .其中
是等差数列，若 ，则 _____________.
【答案】1011
【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得 ，进而求解结论.
【详解】 数列 、 满足 .其中 是等差数列， ，
为等差数列，设公差为 ，则 ， ，则
，故 为等比数列，
，
.
故答案为：1011.
练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列 的首项为2，前 项满足
， ，则正整数m＝______.
【答案】4
【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前 项和列出 ，即可得到答案
【详解】解：因为等比数列 的前 项满足 ，
，所以 ，所以公比 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：4
练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，
若 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则数列 前n项和为
______.
【答案】
【分析】由已知求 的通项公式，进而可得 的通项公式，再求 的通项公式并判断
数列的性质，应用等差数列前n项和公式求 前n项和.
【详解】由题意， ，由等比数列的性质可得 ，解得 ，
∴ ，解得 ，
，则 ，则数列 为等差数列，
，故 ，
，
故答案为：
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前 项和､前 项和､前 项和
分别为 ､ ､ ，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。【详解】当 时，
当 时，
对于A, 当 时，
故A错，
对于B, 当 时， ，故B错，
对于C, 当 时， ，故C错，
对于D, 当 时， ，
，
当 时，
则 ，故选项 正确，
故选：D
题型三 等比数列的判定与证明
例5．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足
．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 ， 两式相加、相减，结合等比数列的定义即可
证明；
（2）由（1）可得 ， ，即可求出 和 的通项公式，从
而得到 ，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
证明：数列 是等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由 可得 ，即可证明结论.
【详解】由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
练习11．（2023春·湖北·高三武汉市第四十九中学校联考期中）记 为数列 的前 项
和，给出以下条件，其中一定可以推出数列 为等比数列的条件是（ ）．
A． B． C． D． 是等比数列
【答案】C
【分析】用 与 的关系，求出 通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.
【详解】对于A，已知 ，所以 ，
所以 ，
，不符合上式，A选项错误；
对于B，已知 ，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；
对于C，已知 ，所以 ，
则
所以 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；对于D，已知 是等比数列，则设 的通项公式为
则 ，
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；
故选：C.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，
．证明：数列 为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由已知 及 ，求得 的递推关系，可证得
为等比数列.
【详解】（1）由题意，当 时， ，得 ，解得 ．
由题意知 ，①
当 时， ，②
①-②得 ，因为 ，所以 ．
则 ，∵ ，∴
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列．
练习13．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列 满足： .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ，利用等比数列的定义证明即可；
（2）先利用（1）中结论求出数列 的通项公式，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设 ，则 ，且 ，
因为 ，所以 ，
即 是以4为首项，2为公比的等比数列，则数列 是等比数列.
（2）由（1）知 ，则 ，即 ，
则 ，
，
两式相减得： ，
所以 .
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，
若 ．
(1)证明： 为等比数列．
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用条件变形化简得到 ，根据等比数列的定义即可得到证明；
（2）利用（1）中的条件，求出 ，再结合条件即可得出结果.
【详解】（1）由题意知
，
所以 为等比数列．其首项 ， ．
（2）由（1）可知 ，又 ，
所以 ．
练习15．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）（多
选）数列 中， ．则下列结论中正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．
C． D．【答案】AC
【分析】由已知递推关系式，可得 ，则可得到 是等比
数列，进而得到 ，再利用累加法得到 ，然后逐项判断．
【详解】因为数列 中， ，所以
，即 ，
则 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，故A
正确；
由累加法得 ，所以
，从而 ，故B不正确；
当 为奇数时， 是递增数列，所以 ，
当 为偶数时， 是递减数列，所以 ，所以 ，故C正确；
又 ， ，所以 ，故D不正确.
故选：AC.
题型四 等比数列前 项和的性质
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比 ，且
，则 ___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为 ，则 ，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为 ，则 ，
所以.
故答案为：120
例8．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中，若 ，则 ________.
【答案】28
【分析】由等比数列性质： 也成等比数列可解此题.
【详解】由数列 是等比数列，且易知公比 ，
所以 也构成等比数列，即 构成等比数列，
从而可得 ，解得 或 ，
又 ，
所以 .
故答案为：28
练习16．（2022春·辽宁·高三辽阳县第一高级中学校联考阶段练习）（多选）已知等比数
列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 ， ， ，…为等比数列
C．数列 ， ， ， ，…为等比数列
D．数列 ， ， ，…为等比数列
【答案】AB
【分析】按照等比数列的定义及性质依次判断4个选项即可.
【详解】由等比数列的定义可知，数列 每项乘以一个不为0的常数构成的数列为等比
数列，A正确；
等比数列中等距离项构成的数列为等比数列，B正确；
因为 构成一个等差数列，所以当 时不能构成等比数列，C错误；
，此时 不能构成等比数列，D错误.
故选：AB.
练习17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中学校联考期中）（多选）已知等比数列
中，满足 ， ，则（ ）A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列 中， ， ， 仍成等比数列
【答案】AC
【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC,由 ， 成
等比数列即可判断D.
【详解】由题意可知 ，
对于A, ,所以 ，故 ，所以 为等比数列，故A正确，
对于B, ， ，所以 为等比数列，且公比为 ，首项为
1，故 是递减数列，
对于C, ，所以 为公差为1的等差数列，故C正确，
对于D,
所以 ， 成等比数列， ， ， 不成等比数列，故D错误，
故选：AC
练习18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项
所组成的数列的前 项和 ．
【答案】 ．
【分析】判断出 是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接
利用等比数列的前 项公式求和即可．
【详解】由 ，得 ．又因为 ，
所以 是等比数列，其公比 ，首项 ．
所以 的奇数项也成等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ．
练习19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，
下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列 为等差数列，不妨设其公差为d,则 ,
显然当 才相等，故A错误，
而 ，作差可得
成立，故B正
确；
若数列 为等比数列，且 ， ，设其公比为q，
则 ，作商可得 或 所以 或 ，故C错误；
由题意得 各项均不为0，而实数范围内， ，
即 且 ，结合选项B的计算可得
，故D正确.
故选：BD.
练习20．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知 为等比数列 的前n项和， ，
，则 的值为（ ）
A．85 B．64 C．84 D．21
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，即可计算求解.
【详解】设等比数列的公比为 ，由题意可知， ，
得 ，
，所以 .
故选：A
题型五 等比数列中的单调，最值问题
例9．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列 中，若 ， ，
则当 取得最大值时， _______________．
【答案】6
【分析】利用题意的等式得到数列 的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断
数列 的单调性和符号，即可求解
【详解】在等比数列 中， ， ，
所以公比 ，
所以 ，解得 ，故 ，
易得 单调递减，且 ，
因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 取得最大值时， ．
故答案为：6
例10．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列 公比为 ，若
，则“数列 为递增数列”是“ 且 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要 为递增数列只需 在 上恒成立，讨论
、 、 ，结合 的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设 且 ，要 为递增数列，只需 在 上恒
成立，
当 ，不论 取何值，总存在 ，不满足要求；
当 ，，则 ，不满足要求；
，总存在 ，不满足要求；
当 ，
，则 ，不满足；
，若 ， ，显然 ，即 ，不满足；
，则 在 上恒成立，满足.
所以 为递增数列有 且 .
所以，“数列 为递增数列”是“ 且 ”的充分不必要条件.
故选：B.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是等比数列 的前
n项和， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求 的最大值和最小值．
【答案】(1) ， ；
(2)最大值16，最小值8
【分析】（1）根据给定的条件，求出等差数列 的首项及公差，等比数列 公比求解
作答.
（2）由（1）可得 ，再分 为奇数与偶数时，结合 的单调性求解即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，因 ， ，则 ，解
得 ，即有 ，
设等差数列 的公差为 ，因 ， ，则 ，解得 ，即
，
所以数列 ， 的通项公式分别为 ， .（2）由（1）知， ，
当 时， ，此时数列 是递减的，恒有 ，此时
；
当 时， ，此时数列 是递增的，恒有 ，此时
；
综上可得， 的最大值为16，最小值为8.
练习22．（2023·全国·高三专题练习）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项
积为 ，且 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
【答案】B
【分析】由题分析出 ，可得出数列 为正项递减数列，结合题意分析出正项数
列 前 项都大于 ，而从第 项起都小于 ，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当 时，则 ，不合乎题意；
当 时，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
可得 ，此时 ，与题干不符，不合乎题意；
故 ，故A错误；
对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，
结合 可得 ，
结合数列的单调性可得
故 ，，
∴ ，
故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误
故选：B.
练习23．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则
取最大值时 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，有 ，
由函数 单调递增，且 ，可得 .
有 ，由数列 单调递减，
所以 取得最大值时 的值为9，
故选：B.
练习24．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列 为等比数列，首项
，公比 ，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列 的最大项为 B．数列 的最小项为
C．数列 为严格递增数列 D．数列 为严格递增数列
【答案】D
【分析】分别在 为偶数和 为奇数的情况下，根据项的正负和 的正负得到最大项
和最小项，知AB正误；利用 和
可知CD正误.
【详解】对于A，由题意知：当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ， ， 最大；
综上所述：数列 的最大项为 ，A正确；
对于B，当 为偶数时， ， ， 最小；当 为奇数时， ；
综上所述：数列 的最小项为 ，B正确；
对于C， ， ，
，
， ， ，
数列 为递增数列，C正确；
对于D， ， ，
；
， ， ，又 ，
， 数列 为递减数列，D错误.
故选：D.
练习25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）设等比数列 的公比为 ，
其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.
【详解】由题意， 同号，即 与 同号， ， 又
有 …①或 …②；
若为①，则有 ，即 ；
若为②，则有 ， 则不可能大于1，即②不成立；
，并且 ， ，即 是递减的正数列， A错误；
所以 ，B正确；
，即 对任意的n都成立，C错误；
当 时， ，当 时， ， 是 的最大值，D正确；
故选：BD.题型六 等比数列的简单应用
例11．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有
这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走
的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第
五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设该马第 天行走的里程数为 ，分析可知，数列 是公比为 的
等比数列，利用等比数列的求和公式求出 的值，即可求得 的值.
【详解】设该马第 天行走的里程数为 ，
由题意可知，数列 是公比为 的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为 ，解得 .
故该马第五天行走的里程数为 .
故选：D.
例12．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向
银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存
1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息
连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款
的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金
额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件确定每年的存款的本息和，再利用错位相减法求六年的本息和即可.
【详解】设第 年的存款到取出时的本息和为 （千元）， ，
则 ， ， ， ，
， ，所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
练习26．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统
宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六
日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【分析】根据题意分析，看成首项 ，公比 的等比数列 ，已知 ，继而求
出 ，即可得出答案.
【详解】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列 ，
，其公比 ，令数列 的前n项和为 ，
则 ，而 ，
因此 ，解得 ，
所以此人在第六天行走的路程 （里）.
故答案为：6
练习27．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下
问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得
玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗C． 斗 D． 斗
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式与前 项和公式计算．
【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为 ，则 时， ，
，即 是等比数列，
由已知 ， ，
（斗）．
故选：A．
练习28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考期中）某公司为庆祝公司成立9周年，
特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第
一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到70m高
度至少要经过（ ）
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟
【答案】B
【分析】设 表示热气球在第n分钟内上升的高度，由条件求出数列 的通项公式，再
由求前 项和，由条件求气球上升到70m高度时所需时间即可.
【详解】设 表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由已知 ．
所以前 秒热气球上升的总高度 ，
因为 ，
所以数列 为单调递增数列，
又 ， ，
所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70 高度，故选：B．
练习29．（2023·四川·校联考模拟预测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾
股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形 的一边为直
角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的
边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且 ，则这127个正方
形的周长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】确定不同边长的正方形的个数，构成等比数列，求出不同正方形的种数，结合正
方形的边长构成以8为首项， 为公比的等比数列，即可求得答案.
【详解】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，
故令 ，即 ，
即有7种边长不同的正方形，
又因为正方形的边长构成以8为首项， 为公比的等比数列，
故边长为8的正方形有1个，边长为 的正方形有2个，
边长为4的正方形有4个，边长为 的正方形有8个，
边长为2的正方形有16个，边长为 的正方形有32个，
边长为1的正方形有64个，
这127个正方形的周长之和为
，
故选：A
练习30．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的
优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000
元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继
续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参
考数据： ， ）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得数列 是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
再由等比数列的通项公式即可得到结果.
【详解】设2022年6月底小王手中有现款为 元，
设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第 个月底小王手中有现款为 ，第 个月
月底小王手中有现款为 ，
则 ，即 ，
所以数列 是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
∴ ，即 ，
年所得收入为 元.
故选：D.
题型七 等差、等比数列的综合应用
例13．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在正项等比数列 中，若 是 与 的
等差中项，则数列 的公比 ______.
【答案】5
【分析】设正项等比数列 的公比为 ，根据等差中项的性质得到 ，再根
据等比数列通项公式整理得 ，解得即可.
【详解】解：设正项等比数列 的公比为 ， ，
因为 是 与 的等差中项，所以 ，
即 ，即 ，
解得 或 （舍去）；
故答案为： .
例14．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知 是首项为正数，公比不为 的等
比数列， 是等差数列，且 ，那么（ ）
A． B． C． D． 的大小关系
不能确定【答案】C
【分析】由基本不等式可得 ，由等号取不到可得答案.
【详解】由题意可得四个正数满足 ， ，
由等差数列和等比数列的性质可得 ， ，
由基本不等式可得 ，
又公比 ，故 ，上式取不到等号，
所以 ，即 .
故选：C
练习31．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三
列中各取一个数，依次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中
各取一个数，依次作为等差数列 的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
【答案】(1) ， （或 、 、 ）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求 ，即可证结论.
【详解】（1）由题意，取 ，可得公比 ，则 ，
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 .
（2）由{ }单调递增，若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则
，
所以 ，而 ，故 ；
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则 ，
所以 ，而 ，故 .
综上， .
练习32．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设 为公差不为0的等差数列 的前 项和，
若 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为
由 成等比数列可得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .①
又 ，
所以 ，②
所以 ，
联立①②得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
练习33．（2023·河南·校联考模拟预测）定义矩阵运算： ．已知数
列 ， 满足 ，且 ．
(1)证明： ， 分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据矩阵运算的定义得出关于 和 的等式，根据消元法得出 和 在
时的通项公式，检验 和 是否满足 时的通项公式，即可证明；
（2）写出数列 的通项公式，根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和
即可．
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
当 时， ，则 ，
当 时，由 及 ，得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 为公差为1的等差数列， 为公比为2的等比数列．
（2）由（1）知 ，
则
．
练习34．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习） 是各项均为正数
的等差数列，其公差 ， 是等比数列，若 ， ， 和 分别是
和 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D． 和 的大小关系不确定
【答案】B
【分析】分析可知等比数列 为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等
式可得出 与 的大小.
【详解】因为 是各项均为正数的等差数列，其公差 ，
则 ，且 ，则 ，
设等比数列 的公比为 ，则 且 ，即 且 ，
又因为 ，所以，等比数列 为正项单调数列，
由基本不等式可得 ， ，
， ，所以， ，
故选：B.
练习35．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，
前 项和为 ．若 ，且 是 与 的等差中项.
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得 的值，进而求得数列的
通项公式；
（2）根据题意，利用 ，求得
，得到 ，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：由 ，得 ，
又由 是 ， 的等差中项，可得 ，即 ，
则 ， 即 ，
可得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
将 代入 ，可得 ，
所以 ，即 .
（2）解：因为数列 满足 ， ，
可得 ，
，
所以当 时， ，又因为 也满足上式，所以 ，
则 ，
所以
.
