文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题1 圆的基本概念与性质
知识梳理
【考点一】圆的定义和性质
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个长端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2.圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
4.确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
5.圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【考点二】圆的有关概念
1.弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
2.直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
3.弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆弧AB或弧
AB
AB。
4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
5.半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
7.劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【考点三】点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
例题讲解
【题型一】圆的有关概念
◇典例1：
如图， 是 的直径， 是 的弦， ， ．在图中作弦 ，使 ，并求
的度数．
◆变式训练
1.如图，点 ， ， 在 上， 平分 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与 相交于点
D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的长为 ．
【题型二】求圆中弦的条数
◇典例2：
如图，在 中，弦的条数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
◆变式训练
1.如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为
（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
2.如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【题型三】求过圆内一点的最长弦
◇典例3：
已知 的半径3，则 中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
◆变式训练
1.如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN
长的最大值是 ．2.已知 的半径为 ，且 、 是 上不同的两点，则弦 的范围是 ．
【题型四】求一点到圆上点距离的最值
◇典例4：
如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且 ， 与 相交于点 ，连接
，则 的最小值为 ．
◆变式训练
1.如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，连接 ，点F为线段
上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
2.如图，正方形 的边长为8，点 是边 的中点，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿
翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是 ．
【题型五】求圆弧的度数
◇典例5：如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ， ，则 的度数是
（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
2.如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数是 ．
【题型六】点与圆的位置关系
◇典例6：
已知 的半径是4，点 到圆心 的距离 为方程 的一个根，则点 在（ ）
A． 的外部 B． 的内部 C． 上 D．无法判断
◆变式训练
1.已知 的直径为 ，点P到圆心O的距离为 ，则点P和圆的位置关系（ ）A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
2.如图，长方形 中， ， ，圆 半径为1，圆 与圆 内切，则点 、 与圆 的位置
关系是（ ）
A．点 在圆 外，点 在圆 内 B．点 在圆 外，点 在圆 外
C．点 在圆 上，点 在圆 内 D．点 在圆 内，点 在圆 外
【题型七】利用点与圆的位置关系求半径
◇典例7：
圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
◆变式训练
1.若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为 ，最小距离为 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
2.若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么 的半径为 ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： ），则这个几何体的底
面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条
半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到
A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
4．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海域
某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经线圈
上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 的半径为2，直径 、 互相垂直，则弧 的长是（ ）A． B． C． D．
6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截
面如图（3）所示， 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天
文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表
于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语
言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为
半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；（3）连接
，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形 中， ，E
是线段 的中点，F是线段 上的一个动点．现将 沿 所在直线翻折得到 （如图的所
有点在同一平面内），连接 ， ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ．
10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在 中，弦 半径 ，则 的度数为
．
11．（2024·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，
我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民
族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问
一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探
明火星的半径大约是地球半径的 ，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为
万里．
12．（2024·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把
绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ， ，在
旋转的过程中， 面积的最大值是 ．三、解答题
13．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为 的正六边形 中，点G，H分别在边 ，
上，且不同于正六边形的顶点， ．
(1)证明：四边形 为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点 为圆心， 为半径的扇形 与正六边形形成阴影部分，求图中阴影
部分的面积．
14．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在 中， ，点 、 在 上， ，过 、
、 三点作 ，连接 并延长，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的半径长．
15．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几
个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），
通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为 、 ，主动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，
从动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出
与 的关系是 _____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿
数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”
的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车
“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
专项练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ）
A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形
2．下列结论错误的是（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦
3．如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（ ）
A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点
4．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的
距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是
．其中，正确的是（ ）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤5．已知 的半径为5，则 中弦 的长度不可能是（ ）
A．1 B．5 C．10 D．11
6．下列说法中，正确的是（ ）．
A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等
C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧
7．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，战机白帝号顺着大半圆从 地飞到 地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从 地到 地与之汇合，设
白帝、鸾鸟走过的路程分别为 、 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，点C在线段 上， ，以 为直径的三个圆的面积分别为 ， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形 中， ，点 在 边上且 ，点 为直线 上一动点，连接
，将 沿着折痕 折叠，得到 ，动点 在 边上，连接 ，则 最小值是
（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．淘气要画一个周长是 厘米的圆，淘气应该把圆规两脚之间的距离定为 ．
12．钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过 厘米（ 取3.14）．
13．正 的边长为 ， 的半径为 ， 是 上动点，点 在 上且 ，则 的最大值
为 ．
14．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是
，这个圆的面积是 ．
15．在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，半径为 作 ，直线 交 于 、 两点，
若 ，则 的值为 ．
16．如图，点 是以 为圆心， 为直径的半圆上的一个动点，过点 作 于点 ，若 ，则 的最大值为 ．
三、解答题
17．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作
了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为 为了美观，涵涵准备用一个体积
为 ，长、宽、高之比为 的长方体纸盒进行包装，如图2．
(1)该圆形团扇的半径为______ ；
(2)求该长方体盒子的长．
18．如图， 是 的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接 并延
长交 于点D，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
19．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，
再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
(2)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
20．用三张同样大小的正方形铁皮（边长是 ），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（ 取
3.14）
(1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？
(2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？
(3)根据以上计算，你发现了什么？
21．某水上公园南侧新建了摩天轮．据介绍，可将其抽象成一个直径为 的圆（如图）．摩天轮的最
低点距离地面 ，摩天轮的圆周上均匀地安装了 个座舱（将座舱抽象为圆周上的点）．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)若小明和小亮间隔3个座舱（如图，小明和小亮分别位于点P，Q处），求两人所在座舱在摩天轮上的
距离（ 的长）和直线距离（线段PQ的长）．
