文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题2 立体图形的展开与折叠
知识梳理
【考点一】立体图形的表面展开图
1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平
面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图
【注意】
（1）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开
图
（2）不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图
（3）立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点
2.常见立体图形的表面展开图
【考点二】正方体的展开与折叠
1.正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同
的表面展开图
表面展开图 图示(共 11 种)
“一四一”型“二三一”型(或“一
三二”型）
“二二二”型
“三三”型
2.正方体展开图的相对面
正方体展开图找相对面的两种方法：
①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。
②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。
在判断相对面时，优先用间隔面法。
【考点三】棱柱的展开与折叠
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的
几种常见棱柱的表面展开图:
名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱
立体图形
表面展开
图(举例)
【注意】
棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等【考点四】圆柱、圆锥的展开与折叠
1.圆柱的表面展开图
(1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成.
(2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示
2.圆锥的表面展开图
(1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成
(2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示·
例题讲解
【题型一】几何体展开图的认识
◇典例1：
下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（ ）A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
2.下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二】由展开图计算几何体的表面积
◇典例2：
树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这
部分树体可以看作圆柱，直径约为 ，高度约为 ，则该部分树体的涂白面积约为（ ）（注：
取 ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.棱长是 的正方体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将一个边长为 的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是【题型三】由展开图计算几何体的体积
◇典例3：
用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方
案，其中 厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕．
上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大
◆变式训练
1.如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底
面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．40 B．56 C．110 D．126
2.在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图 所示为宽 ，
长 的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图 所示的高为 的无盖长方体盒子（纸
板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ．
【题型四】正方体几种展开图的识别
◇典例4：如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.下列平面图形不能围成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（
）
A．2 B．1 C．6 D．3
【题型五】正方体相对两面上的字
◇典例5：
将如图所示的几何体展开图折成一个正方体，这个正方体与“云”字相对面的汉字是（ ）
A．建 B．设 C．美 D．丽
◆变式训练
1.如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式 的值是（ ）
A． B． C． D．2.如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【题型六】含图案的正方体的展开图
◇典例6：
如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（ ）
A．技 B．造 C．未 D．来
◆变式训练
1.如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列四个展开图中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（ ）A． B． C． D．
【题型七】求展开图上两点折叠后的距离
◇典例7：
图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从 点沿该正方体
的棱爬行到 点的最短距离为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
◆变式训练
1.如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2.如图是正方体的平面展开图，若 ，则该正方体A、B两点间的距离为 ．
【题型八】补一个面使图形围成正方体
◇典例8：
如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中
正确的是（ ）A． B． C． D．
◆变式训练
1.图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形
能围成正方体的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的
图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）．
真题在线
一、单选题
1．（2025·河南·中考真题）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（
）A． B．
C． D．
2．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对
面上的字为（ ）
A．我 B．中 C．国 D．梦
3．（2025·江苏常州·中考真题）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，
与“钒”字相对面上的字是（ ）A．中 B．国 C．之 D．都
6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（
）
A． B． C． D．
7．（2024·江西·中考真题）如图是 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为 的正方形，则
该直三棱柱的表面积为 ．
10．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展
开图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．11．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 的小正方形，得到
如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、
宽、高分别为 的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为 的长方体，得到如图④的“直角砖块”，
若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
12．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为 的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开
图．其中，侧面展开图 的边 在坐标轴上，点 坐标为 ．将一根长度为 的铅笔
放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数， 取3，壁厚忽略不计)．
三、解答题
13．（2024·江苏无锡·中考真题）图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六
棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9 ，有三条边
的长是3 ，每个内角都是 ，该六棱校的高为3 ．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展
开图．
(1)制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5 、宽为16.5 的长方
形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；(2)如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为
．（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）
14．（2024·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以
直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，
P是 上一动点，求 的最小值．15．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用
它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，
并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1
图2 图3
(1)直接写出 的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸
盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方体
礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张
数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），
给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不
要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考
虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供
作草稿用）
专项练习
1．如图是某几何体的展开图，则该几何体的名称是（ ）A．球 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
2．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
3．如图，将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．5．如图是由边长相等的小正方形组成的图形，从以下4个位置中选取一个正方形可以与实线部分的五个正
方形组成正方体的展开图的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．抚州是一座兼具文化底蕴、山水风光与烟火气息的城市．如图是一个正方体的表面展开图，上面写有
“我爱美丽抚州”．把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的汉字是（ ）
A．我 B．爱 C．抚 D．州
7．把下图所示的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则 等于（ ）
A． B．1 C．7 D．
9．将一张边长为 的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为 的小正方形，把剩余的纸片沿如
图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有 和 的代数式表示该无盖长方体的容积 为
（ ）A． B．
C． D．
10．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从顶点 开始，绕侧面
两周，嵌入装饰彩条至顶点 停止，则彩条的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的 ．（填序号）
12．如图所示是一个长方体的展开图，其中 ， ，要使得这个长方体的表面积为
，则 的长度应为 ．
13．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则
的值为 ．14．将数字1，2，3，4，5，6分别标在正方体的六个面上，从三个不同方向看到的情形如图所示．如果
与“3”面相对的面上的数字为 ，与“2”面相对的面上的数字为 ，那么 ．
15．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 算一次，则滚动
第 次后，骰子朝下一面的点数是 ．
16．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
三、解答题
17．某校七年级（6）班同学们计划用卡纸制作长方体礼盒，图1为长方体礼盒不完整的展开图和尺寸 ，
， （单位：厘米）
(1)用直尺在图1中适当的位置画一个长方形，补全展开图；
(2)若将补全的展开图制作成长方体礼盒，用彩带（加粗线）按照图2的示意图进行包装，问：①填空：长方体礼盒的棱长 为________；
②若彩带价格为每厘米2元，则包装彩带至少要花费多少元？
18．如图是正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求
的值．
19．某数学学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)学习小组成员剪出下列图形中，不能折成无盖正方体纸盒的是__________；
(2)如图，学习小组利用边长为 的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒，先在纸板左侧两角剪去两个同样
大小边长为 的小正方形，再在纸板右侧两角剪去两个同样大小的小长方形，最后沿虚线折叠成长方体
纸盒，则该长方体纸盒的底面长为__________ ，宽为__________ （用含 的代数式表示）：若
，求该长方体纸盒的底面周长；
(3)若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别为 、 、 ，则该纸盒表面展开图的最小外围周长为
_____cm．
20．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为 ，如图1所示． 和 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点 处有一只蚂蚁，它想到点 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到 长度即为最短路程，则 ______________ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，一只蚂蚁从点 出发沿着
玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
21．《制作一个容积尽可能最大的无盖长方形收纳盒》是七年级上册的综合与实践活动，某活动小组在学
习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【问题解决】
(1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的有_____；（填序号）
(2)活动小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，
图2为有盖的长方体纸盒)．
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，再沿虚线折叠起来．求长方体纸盒的底面周长；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正方形
和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．如果 ， ．求该长方体纸盒的体积．
