文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题2 立体图形的展开与折叠
知识梳理
【考点一】立体图形的表面展开图
1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平
面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图
【注意】
（1）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开
图
（2）不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图
（3）立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点
2.常见立体图形的表面展开图
【考点二】正方体的展开与折叠
1.正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同
的表面展开图
表面展开图 图示(共 11 种)
“一四一”型“二三一”型(或“一
三二”型）
“二二二”型
“三三”型
2.正方体展开图的相对面
正方体展开图找相对面的两种方法：
①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。
②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。
在判断相对面时，优先用间隔面法。
【考点三】棱柱的展开与折叠
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的
几种常见棱柱的表面展开图:
名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱
立体图形
表面展开
图(举例)
【注意】
棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等【考点四】圆柱、圆锥的展开与折叠
1.圆柱的表面展开图
(1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成.
(2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示
2.圆锥的表面展开图
(1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成
(2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示·
例题讲解
【题型一】几何体展开图的认识
◇典例1：
下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的展开图，解决此题的关键是要有一定的空间想象能力．根据棱柱的特点作答．
【详解】解：A.可以围成三棱柱，不符合题意；
B.缺少一个底面，不能围成四棱柱，符合题意；
C.可以围成四棱柱，不符合题意；
D.可以围成五棱柱，不符合题意；故选：B．
◆变式训练
1.如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知三棱柱的特征是解题的关键．根据侧面为
三个长方形，底面为两个三角形，即可得到该几何体为三棱柱．
【详解】解：∵该几何体展开图侧面为三个长方形，底面为两个三角形，
∴该几何体为三棱柱，
故选：D．
2.下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三棱柱、五棱柱、正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查展开图折叠成几何体，掌握三棱柱、正方体、五棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键．
【详解】解：A选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项C符合题意；
D．选项D中的图形可以折叠成正方体，因此选项D不符合题意．
故选：C．【题型二】由展开图计算几何体的表面积
◇典例2：
树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这
部分树体可以看作圆柱，直径约为 ，高度约为 ，则该部分树体的涂白面积约为（ ）（注：
取 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底
面周长乘以高即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，
树体的涂白面积约为：
故选：B．
◆变式训练
1.棱长是 的正方体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的
关键．
【详解】解：棱长是 的正方体的表面积是 ，
故选C
2.如图，将一个边长为 的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是【答案】
【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正方形面积的计
算方法进行计算即可．
【详解】解：无盖正方体纸盒5个面的面积和为 ，
故答案为：
【题型三】由展开图计算几何体的体积
◇典例3：
用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方
案，其中 厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕．
上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大
【答案】B
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可．
【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为
，
∴容积为 ，
按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为 ，
∴容积为 ，
按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为 ，
∴容积为 ，，
按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大，
故选： ．
◆变式训练
1.如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底
面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．40 B．56 C．110 D．126
【答案】D
【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长
方体的宽及长即可．
【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12，
∴长方体的底面边长为： ，
∴长方体的高为： ，
∴长方体箱子的体积为， ，
故选：D．
2.在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图 所示为宽 ，
长 的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图 所示的高为 的无盖长方体盒子（纸
板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开
图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可．
【详解】解：此无盖长方体盒子的长为 ，宽为 ，此无盖长方体盒子的体积为 ，
故答案为： ．
【题型四】正方体几种展开图的识别
◇典例4：
如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方体展开图，熟悉正方体展开图是解题的关键．根据常见的正方体展开图的11种形
式以及不能围成正方体的展开图解答即可．
【详解】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”，
只有C选项不能围成正方体．
故选：C．
◆变式训练
1.下列平面图形不能围成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、C、D中属于“1-4-1
型”的是正方体的表面展开图，而选项B中含有“田”字，不是正方体的表面展开图，
故选：B．
2.如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（
）A．2 B．1 C．6 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据正方体展开图特征，进行作答，即可求解．
【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：当剪去1或2或6时，剩余的
部分恰好能折成一个正方体，当剪去3时，会导致5没有对面；
∴使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是3；
故选：D；
【题型五】正方体相对两面上的字
◇典例5：
将如图所示的几何体展开图折成一个正方体，这个正方体与“云”字相对面的汉字是（ ）
A．建 B．设 C．美 D．丽
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解
答问题．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴这个正方体与“云”字相对面的汉字是“建”．
故选：A．
◆变式训练
1.如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值和正方体相对两面上的字．熟练掌握代数式求值和正方体相对两面上的字
是解题的关键．
先根据正方体的展开图的相对面一定隔着一个小正方形，确定相对面，进而根据相反数的定义，求出
的值，进而求出单项式的值即可．
【详解】解：由图可知， 与4是相对面， 和1是相对面，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
2.如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的意义．根据正方体的表面展开图，找出相对面，
然后进行计算即可解答．
【详解】解：由图可知： 与 相对， 与 相对，
∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
故选：D．
【题型六】含图案的正方体的展开图
◇典例6：
如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（ ）A．技 B．造 C．未 D．来
【答案】B
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，依据正方体相对面的核心特征：在展开图中，相对的两个
面之间一定相隔一个正方形 (即没有公共边或公共顶点)判断即可．
【详解】解：观察正方体的表面展开图，要找到与“科”面相对的面，
∵根据正方体相对面的特征，相对的面之间 一定相隔一个正方形，
由图得：“科”字相隔一个正方形的面是“造”字所在的面．
故答案为：B．
◆变式训练
1.如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点成为解题的关键．
根据正方体展开图的特征及正方体上的三种图形相邻求解即可．
【详解】解：由正方体展开图的特征及正方形上的三种图形相邻，可得正方体沿某些棱展开后，能得到的
平面图形是B．
故选：B．2.下列四个展开图中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含△，○和□的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断
A、C、D错误．
【详解】解：由题意得，含△，○和□的三个面是两两相邻的三个面，
∴四个图形中只有B选项中的图形符合题意，
故选：B．
【题型七】求展开图上两点折叠后的距离
◇典例7：
图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从 点沿该正方体
的棱爬行到 点的最短距离为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将图①折成正方体，然后判断出 、 的在正方体中的位置，从而可得到 之间的距离．
【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点 、 的在正方体中的位置，
蜗牛是从 点沿该正方体的棱爬行到 点
，故选：C．
◆变式训练
1.如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．
【详解】解：折叠之后如图所示，
则K与点D的距离最远，
故选D．
2.如图是正方体的平面展开图，若 ，则该正方体A、B两点间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解
题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体， 刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案．
【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体， 刚好是同一个面的对角线，
因为展开图中 ，即两倍对角线为8，那么对角线的长度就是4，
即正方体A、B两点间的距离为4，
故答案为：4．
【题型八】补一个面使图形围成正方体
◇典例8：
如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断
即可求解．
【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意；
B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意；
C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题
意；
D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意；
故选：A
◆变式训练
1.图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形
能围成正方体的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解．
【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有
②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体．
故选：C
2.小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的
图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）．
【答案】③
【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
故答案为：③．
真题在线
一、单选题
1．（2025·河南·中考真题）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（
）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图
可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
2．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对
面上的字为（ ）
A．我 B．中 C．国 D．梦
【答案】C
【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可．
【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意；
B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意；
C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意；
D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意；
故选：C．
3．（2025·江苏常州·中考真题）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图．根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．
【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形，
故选：D．
4．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，
利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不
能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意；
B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意；
D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，
与“钒”字相对面上的字是（ ）
A．中 B．国 C．之 D．都
【答案】C
【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：Z字两端是对面即可
解答．
【详解】解：与“钒”字相对面上的字是：之，
故选：C．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（
）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的
相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可
得到答案．
【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻
的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻，
∴A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选：B
7．（2024·江西·中考真题）如图是 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构
特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．8．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心
对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称
图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题
意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
9．（2024·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为 的正方形，则
该直三棱柱的表面积为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意得出正三角形的边长为 ，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可
求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为 的正方形，
∴底面周长为 ，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作 ，
是等边三角形， ，
，
在直角 中，
，；
∴该直三棱柱的表面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
10．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展
开图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设 ，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
则在直角三角形 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴正方体的棱长为 cm，故答案为： ．
11．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 的小正方形，得到
如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、
宽、高分别为 的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为 的长方体，得到如图④的“直角砖块”，
若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【答案】 12 144
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形
（体）的特征，即可解答．
【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
的最小公倍数是6，
如图，
6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
需图②的个数： （个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体，
用 个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，
宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要： （个）．
故答案为：12；144．12．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为 的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开
图．其中，侧面展开图 的边 在坐标轴上，点 坐标为 ．将一根长度为 的铅笔
放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数， 取3，壁厚忽略不计)．
【答案】2
【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅
笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边．
由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高
为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得
到露出部分的最小长度并保留整数．
【详解】解：如图， 表示圆柱底面直径， 为圆柱的高， 示意铅笔能放置的最大长度， 为露
出部分的最小长度，
∵点 坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵铅笔总长度为 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
即 ，
∵结果保留整数，
∴露出部分的最小长度约为 ．
故答案为：2．
三、解答题
13．（2024·江苏无锡·中考真题）图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六
棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9 ，有三条边
的长是3 ，每个内角都是 ，该六棱校的高为3 ．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展
开图．
(1)制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5 、宽为16.5 的长方
形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；
(2)如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为
．（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．）
【答案】(1)能，理由见详解
(2)
【分析】（1）结合图形，根据图2中的数值，运用正方形的各个角是 和六边形的各个角是 ，可以
通过作水平线、铅垂线得到 的直角三角形，计算得到所需的长方形的长和宽，再进一步比较其和现在
的长方形的长和宽的大小，从而得到结论；（2）结合图中的数据，作出水平线和铅垂线，构造30度的直角三角形、正方形和等边三角形，进行计算
即可．
【详解】（1）解：能，理由如下：
如下图，作水平线、铅垂线得到若干 的直角三角形，
由题设可知，图4中长方形的长为 ，
长方形的宽为 ，
故长为17.5 、宽为16.5 的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒；
（2）如下图，作水平线、铅垂线构造30度的直角三角形、正方形和等边三角形，
则等边三角形的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了展开图、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、正方形的性质等知
识，解题关键是在图中巧妙构造30度的直角三角形、等边三角形和正方形，根据它们的性质进行计算．
14．（2024·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以
直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，
P是 上一动点，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）①丙；②10
【分析】（1）连接 ，则 为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线 与 所
成角的大小；
（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；
②根据对称关系作辅助线即可求得 的最小值．
【详解】解：（1）连接 ，∵ ， 与 相交与点 ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ，
根据正方体性质可得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ；
（2）①根据正方体展开图可以判断，
甲中与原图形中对应点位置不符，
乙图形不能拼成正方体，
故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点 ，
连接 ，与 交于点P，连接MP，
则 ，
过点N作BC垂线，并延长与 交于点E，∵点M到 的距离是5，点N到 的距离是3，
∴ ，
∵点M到 的距离是2，点N到 的距离是4，
∴ ，
∴ ，
故 最小值为10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识
点，读懂题意，明确 最小时的情况是解题的关键．
15．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用
它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，
并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1
图2 图3(1)直接写出 的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸
盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方体
礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张
数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），
给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不
要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考
虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供
作草稿用）【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知， ， ，四边形 是正方形，得到 ，即
，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号 卡纸可制作10个正方体，每张型号 卡纸可制作2个正方体，每张型号
卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：由折叠和题意可知， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为： ．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应
面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为 的正方体的展开图形为：
∴型号 卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号 卡纸2张，型号 卡纸3张，型号 卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
专项练习
一、单选题
1．如图是某几何体的展开图，则该几何体的名称是（ ）A．球 B．圆柱 C．三棱柱 D．圆锥
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握圆柱的侧面展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图解答
即可．
【详解】解：由几何体的展开图可知，上下两个面是圆，侧面为长方形，
∴该几何体的名称是圆柱．
故选：B．
2．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【答案】D
【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用正方体展开图“一线不
过四、田凹应弃之”．不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判
断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图特征可知，①③是正方体的展开图，②④不是正方体的展开图．
故选：D．
3．如图，将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图．根据圆台的展开图即可求解．
【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是：
故选：B．
4．下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟记正方体的11种展开图是解题的关键．
根据正方体的11种展开图逐一判断选项的正误即可．
【详解】解：对于A：是正方体展开图的“1—4—1型”，∴是正方体的展开图，∴不符合题意；
对于B：是正方体展开图的“1—4—1型”，∴是正方体的展开图，∴不符合题意；
对于C：是正方体展开图的“1—4—1型”，∴是正方体的展开图，∴不符合题意；
对于D：不是正方体的展开图，∴符合题意；
故选：D．
5．如图是由边长相等的小正方形组成的图形，从以下4个位置中选取一个正方形可以与实线部分的五个正
方形组成正方体的展开图的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查了正方体的展开图；正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：正方形①③④与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：B．
6．抚州是一座兼具文化底蕴、山水风光与烟火气息的城市．如图是一个正方体的表面展开图，上面写有
“我爱美丽抚州”．把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的汉字是（ ）
A．我 B．爱 C．抚 D．州
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解
答问题．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：“我”与“抚”是相对面，“爱”与“丽”是相对面，“美”与“州”是相对面．
故选D．
7．把下图所示的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，
两个图案所在的正方形为相对面，进行判断即可．
【详解】
解：图形折叠起来围成一个正方体，应该得到的是
故选：B．
8．如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则 等于（ ）A． B．1 C．7 D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问
题．
利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出 ， ， ，进而代入 计算即
可．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是 ，b的相对面是0，c的
相对面是4，
∵相对面的两个数都互为相反数，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：D．
9．将一张边长为 的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为 的小正方形，把剩余的纸片沿如
图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有 和 的代数式表示该无盖长方体的容积 为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用代数式表示，先表示出长方体的长，宽，高，再根据体积公式得出答案．
【详解】解：根据题意可知长方体的长为 ，宽也为 ，高为h，根据题意，得
．
故选：C．
10．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从顶点 开始，绕侧面
两周，嵌入装饰彩条至顶点 停止，则彩条的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧
面展开图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，则 ，得到彩条最短长
度为 ．根据勾股定理求出 的长即可得答案．
【详解】解：如图，
长方形 为长方体侧面展开图，则 ， ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，则 ， ，
∴彩条最短长度为 ，
在 中， ．
故选：C．二、填空题
11．将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的 ．（填序号）
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了正方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．
根据正方体的展开图逐一判断即可．
【详解】解：将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的①③．
故答案为：①③．
12．如图所示是一个长方体的展开图，其中 ， ，要使得这个长方体的表面积为
，则 的长度应为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式．
根据长方体的表面积公式得 ，代入 ， 即可求解．
【详解】解：由题意得， 是长方体的高， 是长方体的宽， 是长方体的长，
长方体的表面积 长 宽 长 高 宽 高 ，
且这个长方体的表面积为 ，
，
又 ， ，
，
解得 ．
故答案为： ．
13．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，若相对的两个面上的数互为相反数，则
的值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，代数式求值，相反数的定义，正方体展开图中相对的面之
间必定相隔一个小正方形，据此确定出相对面，再根据相反数的定义得到x与y的关系，z的值，最后代值
计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，数字z所在的面与数字2所在的面相对，数字x所在的面与数字y所在的面相对，
数字6所在的面与数字−6所在的面相对，
∵相对的两个面上的数互为相反数，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
14．将数字1，2，3，4，5，6分别标在正方体的六个面上，从三个不同方向看到的情形如图所示．如果
与“3”面相对的面上的数字为 ，与“2”面相对的面上的数字为 ，那么 ．
【答案】5
【分析】本题考查正方体相对的面；根据正方体相邻的面来确定相对的面，根据与2相邻的面上的数是
3、4、5、6，判断出2的相对面是1，与3相邻的面上的数是1、2、4、5，判断出3的相对面是6，即可得
出 、 的值，代入 即可求解．
【详解】解：由图可知，与2相邻的面上的数是3、4、5、6，
∴2的相对面是1，
∴ ，
∵与3相邻的面上的数是1、2、4、5，∴3的相对面是6，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
15．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 算一次，则滚动
第 次后，骰子朝下一面的点数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关
键．先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．
【详解】解：由图可知：3和4相对，2和5相对，1和6相对，
将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 算一次，骰子朝下一面的点数依次为2，3，5，4，且依
次循环，
∵ ，
∴滚动第2022次后，骰子朝下一面的点数是：3，
故答案为：3．
16．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．
由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用
勾股定理进行求解最短路径即可．【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：
∴ ， ，
∴在 中， ；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
∴ ， ，
∴在 中， ；
∵ ，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其
他路径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为25．
三、解答题
17．某校七年级（6）班同学们计划用卡纸制作长方体礼盒，图1为长方体礼盒不完整的展开图和尺寸 ，
， （单位：厘米）(1)用直尺在图1中适当的位置画一个长方形，补全展开图；
(2)若将补全的展开图制作成长方体礼盒，用彩带（加粗线）按照图2的示意图进行包装，问：
①填空：长方体礼盒的棱长 为________；
②若彩带价格为每厘米2元，则包装彩带至少要花费多少元？
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】题主要考查了长方体的展开图以及整式加减的应用．
（1）根据长方体的展开图特征补图即可；
（2）①根据长方体的展开图特征求解即可；
②先求出彩带的长度，然后根据费用=长度×单价计算即可．
【详解】（1）解：如图，
（画一个即可）；
（2）解：①长方体礼盒的棱长 为z厘米，
故答案为：z；
②彩带的长度为 厘米，
∴包装彩带至少要花费 元．
18．如图是正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数的定义，代数式求值．解题的关键是掌握正方体的展开图的
相对面进行解题．根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出 ， ，再代入
进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，“ ”与“ ”在相对的面上，“ ”与“ ”在相对的面上，
，解得： ，
又 ，解得： ，
．
19．某数学学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)学习小组成员剪出下列图形中，不能折成无盖正方体纸盒的是__________；
(2)如图，学习小组利用边长为 的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒，先在纸板左侧两角剪去两个同样
大小边长为 的小正方形，再在纸板右侧两角剪去两个同样大小的小长方形，最后沿虚线折叠成长方体
纸盒，则该长方体纸盒的底面长为__________ ，宽为__________ （用含 的代数式表示）：若
，求该长方体纸盒的底面周长；
(3)若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别为 、 、 ，则该纸盒表面展开图的最小外围周长为
_____cm．【答案】(1)
(2) ； ；
(3)
【分析】本题考查了几何体的展开图、代数式：
（1）依次折叠后发现 中有重合部分；
（2）观察图形得到长和宽的代数式，先求出底面周长的代数式，再代入 即可；
（3）要使展开图的外围周长最小，就要让较长的边（ ）尽量少地出现在外围，而较短的边（ ）
尽量多地出现在外围．
【详解】（1）解：依次折叠后发现 中有重合部分，不能折叠为无盖的正方体；
故答案为： ．
（2）解： 的正方形纸板左侧两角剪去两个同样大小边长为 的小正方形，右侧两角剪去两个同
样大小的 小长方形，
底面长为 ，宽为 ，
底面周长为 ，
将 代入，得 ．
故答案为： ； ； ．
（3）解： 使展开图的外围周长最小，
让较长的边（ ）尽量少地出现在外围，而较短的边（ ）尽量多地出现在外围．
展开方式是将四个 的面两两相连，再把两个 的面分别接在两侧，如图所示，
展开后，外围的周长为 ．
故答案为： ．20．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四
级台阶每一级的长、宽、高分别为 ，如图1所示． 和 是这个四级台阶两个相对的端点，
若点 处有一只蚂蚁，它想到点 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接 ，经
过计算得到 长度即为最短路程，则 ______________ ．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，一只蚂蚁从点 出发沿着
玻璃杯的侧面到与点 相对的点 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子
外壁，离杯子上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程是多少厘米？（杯
壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2） 厘米；（3） ；
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ， 点与对称点 的连线，即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的
最短路程，再根据勾股定理计算长度即可．
【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长 ，宽 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，
由勾股定理得： ，
解得： ．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程 厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作 点纵向的对称点 ，
连接 ， 即为蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程，
， ， ，
，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短路程为 ．
21．《制作一个容积尽可能最大的无盖长方形收纳盒》是七年级上册的综合与实践活动，某活动小组在学
习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【问题解决】
(1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的有_____；（填序号）(2)活动小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，
图2为有盖的长方体纸盒)．
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，
再沿虚线折叠起来．求长方体纸盒的底面周长；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 的小正方形
和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．如果 ， ．求该长方体纸盒的体积．
【答案】(1)①③④
(2)①底面周长为 ；②该长方体纸盒的体积为
【分析】本题主要考查正方体的表面展开图识别、由展开图计算几何体的体积，知识点包括空间图形的折
叠、列代数式及长方体的基本公式．
（1）依据无盖正方体展开图的结构特征(5个正方形且可折叠成无盖正方体)进行判断；
（2）①通过分析裁剪后底面的形状与边长，结合正方形周长公式推导结果；
②需根据纸板裁剪方式确定长方体的长、宽、高，再代入体积公式计算．
【详解】（1）解：无盖正方体的表面展开图需包含5个正方形且能折叠成无盖正方体，①③④满足该特征，
②无法折叠为无盖正方体.
故答案为：①③④；
（2）①解：由题意，无盖长方体纸盒的底面是边长为 的正方形，
∴底面周长为 ；
②解：当 ， 时，长方体纸盒的高为 ，
底面的长为 ，
底面的宽为 ，
∴体积为 .
答：该长方体纸盒的体积为 ．
∵ ，
∴ ， 为 外接圆的直径﹒
∴点D为 外心， ﹒
∵圆O为 内切圆，切点分别为E，F，G，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
设圆O半径为r，则 ，
圆O为 内切圆，切点分别为E，F，G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ﹒
在 中， ﹒
故答案为： ﹒
