文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题1 尺规作图
知识梳理
【考点一】尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。
2．步骤
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。
(2)分析作图的方法和过程。
(3)用直尺和圆规进行作图。
(4)写出作法步骤，即作法。
【考点二】五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段
（1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。
（2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所
求，如图所示。
2.作一个角等于已知角
（1）已知∠AOB（如图）。求作： 。
（2）作法：①作射线 。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。
③以点 为圆心，OC的长为半径画弧，交 于点 。④以点 为圆心，CD的长为半径画弧，交前
弧于点 。⑤经过点 作射线 ， 即为所求，如图所示。
3.作已知角的平分线
（1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。
（2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆
1
心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。
24.经过直线上一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
1
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于 AB
2
的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
5.经过直线外一点作已知直线的垂线
（1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。
（2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于CB的
长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
6.作线段的垂直平分线
（1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。
1
（2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直
2
线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。
【考点三】基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边及其夹角作三角形；
（3）已知两角及其夹边作三角形；
（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；
（5）已知一直角边和斜边作直角三角形。三角形全等（SSS\SAS\AAS）
如图，已知线段a，b，c.
求作:△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
SSS
如图，已知线段a，b，∠α.
求作:△ABC，使得BC=a，AC=b，∠ACB=∠α.
作法:
SAS
(1)作∠C，使∠C=∠α；
(2)在∠C的一边上截取CB，使CB=a；
(3)在∠C的另一边上截取AC，使AC=b，连接AB
△ABC即为所求.
如图，已知∠α，∠β，线段a.
求作:△ABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.
作法:
(1)作射线AM
(2)在射线AM上截取AB=a
ASA
(3)作∠EAB=α，∠FBA=β
(4)射线AE交射线BF于点C
△ABC即为所求.
特殊三角形（等腰、直角）
已知底边及底边上的高
等腰三
角形 已知线段a，h．请用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形，使这个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h．要求保留作图痕迹．
作线段
作出线段 的垂直平分线 ，交 于点D
在 上截取
连接 、 得△ABC
已知直角边和斜边
已知：如图线段 ， ，求作：△ABC，使 ， ，
作射线 ，在射线 上取 ，过 作 【注意：此处参考“过
一点作已知直线的垂线（点在直线上)”】
以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，连接 .
直角三
角形
2.与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆）
（2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点）
（3）已知圆外一点P作圆的两条切线
（4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形
圆
过不在同一直线上的三点作圆
即三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点
分别作线段 的垂直平分线，相交于点 ，以点 为圆心， 的长度为
半径画圆，则 即为所求。
外接圆
作三角形的内切圆
内切圆
圆心为三角形角平分线的交点，该交点到三角形三边的距离相等根据题意，任意两个角的角平分线，二线交于点O，过点O作 于点D，
以O为圆心，以 为半径作圆，则 即为所求。
已知 及圆外一点P，过点P作圆的两条切线 ，切点分别是点A、点
B；
连接 ，作线段 的垂直平分线，交 于点M，再以点M为圆心， 的
长为半径画圆，分别交 于点 ，连接
由圆周角定理可得， ，
则 即为所求；
切线
圆内接正多边形
先在圆上确定一点 ，连接 并延长交 于点 ，再
内 作 的垂直平分线交 于B、D，连接
接
，则四边形 就是所求作的内接正方形．
正
方
形
①在 上任取一点 ，以 为圆心、 为半径作弧，
内
在 上截得一点 ；
接
正 ②以 为圆心， 为半径作弧，在 上截得一点 ；
六
再如此从点 逐次截得点 、 、 ；
边
形 ③顺次连接 、 、 、 、 、 ．
①作 的两条互相垂直的直径 和 ；
内
②取半径 的中点 ；再以 为圆心、 为半径作
接
正 弧，和半径 相交于点 ；
五
③以点 为圆心，以 的长为半径作弧，与 相截，
边
形 得交点 ．
如此连续截取3次，依次得分点 、 、 ，顺次连接、 、 、 、 ，那么五边形 是正五
边形．
证明方法：首先结合题意并根据勾股定理解得 ，进而可得 ，
易得 ，再在 中，由勾股定理解得 ，即可确定
的值；连接 ， ， ， ， ，结合 为 直径易得 ，
利用三角函数可得 （黄金分割三角形），由圆周角定理可得
，进而可得 ，然后利用全等三角形的性质可证明
， ，即可证
明结论．
如图1， 是线段 上的一点，且 ，
即 ，我们把点 叫作线段 的黄
金分割点
黄 ，我们把 叫作黄金
金 比．
分
割
除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形．如图2，在
中， ， ， 平分 交 于点 ，我们把这样的
叫作黄金三角形．易知 也是黄金三角形， 是黄金比．例题讲解
【题型一】已知三边作三角形
◇典例1：
已知线段a，b，c，求作 ，使 ， ， ．下面的作图顺序正确的是（ ）
①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在 的同侧画弧，两弧交于点
C；
②作线段 等于c；
③连接 ，则 就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
【答案】C
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画 ，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得
到 ．
【详解】解：②先作线段 等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画
弧，两弧交于C点，③然后连接 ，则 就是所求作图形．
故选：C．
◆变式训练
1.下面是“作一个 ，使得 ”的尺规作图方法，
（1）作一条线段 ；
（2）以 为圆心，AC长为半径画弧，以 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点
；
（3）连接 ， ，
则 ．
上述判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A
【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
由作图过程可得， ， ， ，结合全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图可知， ， ， ，
∴ （三边分别相等的两个三角形全等）
故选：A．
2.已知：线段a，b，c．如图，求作： ，使 ．补全下列作图．（不写作法，保
留作图痕迹）
作法：
（1）作一条线段 ；
（2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A；
（3）连接 ， ， 就是所求作的三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作三角形，根据题目描述作图即可．
【详解】解：如图， 就是所求作的三角形．
【题型二】题型二 作一个角等于已知角
◇典例2：
如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明 的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据尺规作图可得 ，由此可得 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
∴ ，
∴依据是 ，
故选：B ．
◆变式训练
1.尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知： ．
求作： ，使 ．
作法：
步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ；步骤2：作射线 ，以点
为圆心，乙长为半径画弧，交 于点 ；步骤3：以点 为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所
画的弧相交于点 ；步骤4：经过点 画射线 ，则 ．
则甲、乙、丙所表示的内容为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查基本尺规作图-作两个角相等，熟记作两个角相等的操作步骤是解决问题的关键．读懂题
意，结合基本尺规作图-作两个角相等的操作步骤即可得到答案．
【详解】解：步骤1：如图②，以点 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ；
步骤2：作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；
步骤3：以点 为圆心， 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点 ；
步骤4：经过点 画射线 ，则 ．
甲、乙、丙所表示的内容为 ，
故选：A．2．如图，在 中， ．按下列要求作图：①以点 为圆心，小于线段 的长为半径画
弧，交线段 于点 ，交 于点 ；②以点 为圆心，线段 长为半径画弧，交 于点 ；③以点
为圆心， 长为半径画弧，交②中的弧于点 ，作射线 交线段 于点 ．则 和 的
关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据由作图可知 ，利用三角形的外角的性质得出
，进而结合 ，判断即可．
【详解】解：由作图可知 ，
， ，
．
故选：B．
【题型三】题型三 已知两边及其夹角作三角形
◇典例3：
如图，已知 为小明根据 所作的图形，若 ，则他作图的根据是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据 判定三角形
全等即可．
【详解】解∶由作图知∶ ， ， ，∴ ，
故选：D．
◆变式训练
1．综合实践课上，嘉嘉画出了 ，利用尺规作图画出了 ，使 ．图 ～图 是其作
图过程．
（3）以点 为圆心，分别
（2）以点 为圆心，以
（1）以点 为圆心，以适 以 ， 长为半径画
长为半径画弧，与
当长为半径画弧，交 于 弧，与边 交于点 ，与
（1）中的弧交于点 ，作
点 ，交 于点 ． 射线 交于点 ，连接
射线 ．
．
在嘉嘉的作法中，可直接判定 的依据是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握相关知识．由作图可得
， ， ，再结合全等三角形的判定定理即可得解．
【详解】解：由作图可得， ， ， ，
在 和 中，
，
，
在嘉嘉的作法中，可直接判定 的依据是 ．
2．已知线段a，c， ，求作： ，使 ， ， ．以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射
线并在射线上截取 ，再作 ，接着在 上截取 ，最后连接 即可．
【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取 ，再作 ，接着在 上截取 ，
最后连接 ，
则正确作图步骤的顺序是①③②④，
故选：B．
【题型四】已知两角及其夹边作三角形
◇典例4：.
如图1，已知 ， ，线段 ，求作 ．作法：如图2，①作线段 ；②在 的同旁作
， ， 与 的另一边交于点 ．则 就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，
据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即 ．
故选：C．◆变式训练
1．如图1所示，已知线段 ， ，求作 ，使 ， ，小明的作法如图2所
示，下列说法中一定正确的是（ ）
A．作 的依据为 B．弧 是以 长为半径画的
C．弧 是以A为圆心， 为半径画的 D．弧 是以 长为半径画的
【答案】A
【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
根据作图痕迹可得，先在射线上截取 ，再分别以B，C为顶点，在线段 的两端，利用作一个角等
于已知角的方法，作 ，从而可得出所要求的三角形，
【详解】A、根据作图知， ， ， ，这里 ， ，及夹边 来作
，所以依据为 ，故选项正确，符合题意；
B、弧 是以点B为圆心， 长为半径画的，故选项错误，不符合题意；
C、弧 是以B为圆心， 为半径画的，故选项错误，不符合题意；
D、弧 是以 长为半径画的，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的
（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关
键．作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理 得出 即可．
【详解】解：已知：线段 和 ， ，求作： ，使 ， ， ．
作法：（1）作 ；
（2）在射线 上截取线段 ；
（3）以 为顶点，以 为一边作 ， 交 于点 ，
就是所求的三角形．
由作图可知： ， ， ，
∴
故答案为： ．
【题型五】过直线外一点作这条直线的平行线
◇典例5：
如图，小庆用尺规过点 作 的平行线 ，观察作图痕迹，其中弧 是（ ）
A．以点 为圆心， 长为半径的弧 B．以点 为圆心， 长为半径的弧
C．以点 为圆心， 长为半径的弧 D．以点 为圆心， 长为半径的弧
【答案】D
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，
以点O为圆心 为半径画弧，交 于点D，E，再以点B为圆心， 为半径画弧，交 于点F，
然后以点F为圆心 为半径画弧交前弧于点G，作射线 ，则 即为所求作，其中弧 是以点F为
圆心 为半径画的弧.【详解】解：弧 是以点F为圆心 为半径画的弧.
故选：D.
◆变式训练
1．如图，用尺规作射线 平行 ，关于 作法正确的描述是（ ）
A．以点 为圆心，线段 长为半径 B．以点 为圆心，线段 长为半径
C．以点 为圆心，线段 长为半径 D．以点G为圆心，线段 长为半径
【答案】C
【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，平行线的判定，熟记作图步骤是解本题的关键，根据作一个
角等于已知角的作图步骤可得答案．
【详解】解：用尺规作射线 平行 ，关于 作法正确的描述是：
以点 为圆心，线段 长为半径画 ；
故选：C
2．如图，用尺规作图：“过点 作 ”，其作图依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．本题作图是作一个角等于
已知角，而两角为同位角，据此选择即可．
【详解】解：本题作图是作一个角等于已知角，而两角为同位角，
∴根据同位角相等，两直线平行．
故选：A【题型六】判断根据条件能否作出三角形
◇典例6：
利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有
．三角形全等的判定定理有 ，根据以上内容判断即可．
【详解】解：三角形全等的判定定理有 ，
A、根据 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、根据 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；
D、根据 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】解：A．已知一个三角形的两角与一边，根据 或 ，这个三角形一定可以作出，所以本选
项不符合题意；
B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以本选项符合题意；
C．已知一个直角三角形的两条直角边，根据 ，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意；
D．已知一个三角形的三条边，根据 ，这个三角形一定可以作出，所以本选项不符合题意．
故选：B．
2．根据下列已知条件，能画出唯一 的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ， ，
【答案】D【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几
何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐
一进行判断即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，两边及其中一边的对角不能画出唯一 ，故A不符合题意；
∵ ， ， ，
∴ ，故B不符合题意；
， ，一边一角不能画出唯一 ，故C不符合题意；
当 ， ， 时，根据“ ”可判断 的唯一性．故D符合题意；
故选D．
真题在线
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得： ，
∴线段 一定是 的高线；
故选B
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明： 即可．
【详解】解：作直线 （两点确定一条直线），
连接 ，
∵由作图， ，
∴ 且 （与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵ ，
∴ （直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ，
∴A，B，C三点在以O为圆心， 为直径的圆上．∴ 为 的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆
心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得 ，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
4．（2024·山东威海·中考真题）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是
解题的关键，属于中考常考题型．
5．（2024·山东德州·中考真题）已知 ，点P为 上一点，用尺规作图，过点P作 的平行线．
下列作图痕迹不正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定
和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知， 是 的平分线，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故本选项不符合题意；
B、由作图知， 是 的平分线，且 ，
∴ ， ，不能说明 与 相等，
∴ 与 不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知， ，∴四边形 是菱形，
∴ ，故本选项不符合题意；
D、由作图知， ，
∴ ，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2025·四川遂宁·中考真题）在 中， ，结合尺规作图痕迹提供的信息，
求出线段 的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性
质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出 ，设 交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出 ，进而可得 ，证明 ，再根据相似三角形的性质求解即
可.
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ,
由题意可得： 平分 ，即 ，
设 交于点M，作 于点N，如图，
则 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，即 ，
则 ，
由作图痕迹可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
故选：A.7．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 平分
的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的
定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断 平分 ；
在图③中，利用作法得 ， 可证明 ，有 ，可得
，进一步证明 ，得 ，继而可证明 ，得 ，
得到 是 的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为 的中点，则 为 边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断 平分 ；
在图③中，利用作法得 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为 的中点，则 为 边上的中线．
则①③可得出射线 平分 ．
故选：B．
8．（2025·吉林·中考真题）如图，在 中， ．尺规作图操作如下：（1）
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 于点M，N；（2）以点C为圆心， 长为半径画
弧，交边 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内
部的点 ；（3）过点 画射线 交边 于点D．下列结论错误的为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，
由作图方法可得 ，则由三角形内角和定理和等边对等角得到 ， ，由
大角对大边得到 ，再由 可得 ．
【详解】解：由作图方法可得 ，故A结论正确，不符合题意；
∴ ， ，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求 的度数 °．
【答案】60
【分析】先根据矩形的性质得出 ，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，
再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，
∴ ，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴ ，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴ ，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种
基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平
分线；过一点作已知直线的垂线）．
10．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别
交AB，AC于D，E，连接CD．若 ，则CD＝ ．【答案】
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答
案．
【详解】解： ，
如图，连结
由作图可得： 是 的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基
本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
11．（2024·湖北荆州·中考真题）如图， ，点 在 上， ， 为 内一点．根
据图中尺规作图痕迹推断，点 到 的距离为 ．【答案】1
【分析】首先利用垂直平分线的性质得到 ，利用角平分线，求出 ，再在 中
用勾股定理求出 ，最后利用角平分线的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由尺规作图痕迹可得， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由尺规作图痕迹可得， 是 的平分线，∴点 到 的距离等于点P到 的距离，即 的长度，
∴点 到 的距离为1．
故答案为：1 ．
【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．
12．（2024·西藏·中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于
GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝
6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB的平
分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB=6，∠BAC=60°，∴∠BAO=∠CAO= ∠BAC=30°，AD= AB=3，
∴AM=2MD，
在Rt△ADM中， ，
即 ，
∴MD= ，
∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解
题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
三、解答题
13．（2025·新疆·中考真题）如图，在四边形 中， ， 是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，垂足为点O，与边 分别交于
点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，求证：四边形 为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别以B、D为圆心，以大于 长的一半画弧，二者交于M、N，连接 分别与与边 分
别交于点E，F，则点E和点F即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义打得到 ， ， ，再由等边对等角和平
行线的性质可推出 ，则可证明 ，得到 ，据此可证明结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
14．（2025·甘肃·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞
门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》
是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的
设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆心， 是月洞门的横跨， 是月洞门
的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为D；
②在射线 上截取 ；
③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给
定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下， 即为所求；
15．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线
的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和
填空：第一步：构造角平分线．
小红在 的边 上任取一点E，并过点E作了 的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在 边上
截取 ，过点F作 的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线 即为 的平分线
（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明： ， ，
．
在 和 中，
，
．
③ ．
平分 ．
【答案】第一步：作图见解析；第二步：① ；② ；③
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
第一步：根据题意作出图形即可；
第二步：利用 证明 ，得出 即可解答．
【详解】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明： ， ，
．在 和 中，
，
．
,
平分 ．
专项练习
一、单选题
1．在 中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断 与 大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中 和 的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的
性质、三角形三边的关系，比较 和 的长，可判断C，不能比较 和 的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在 上截取线段等于 ，则 ，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在 上延长线上截取线段等于 ，则 ，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作 的垂直平分线，可知 ，根据三角形三边关系得
，即 ，所以C选项不符合题意；D．由作图痕迹，作 的垂直平分线，仿照C，可知 ，不能说明 和 的大小，所以D选项符
合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直
平分线的性质．
2．如图，在 中， ， ，点 ， 分别是图中所作直线和射线与 ， 的交点．
根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角
定理判断C、D．
【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴ ， ；选项A、B正确；
∵ ，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴ ，选项D错误；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故选：D
【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关
的知识是解题的关键
3．下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同
一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的
判定方法可对D选项进行判断．
【详解】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
4．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【点睛】考点：作图—基本作图．
5．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，
你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径
花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直
径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
6．如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
7．通过如下尺规作图，能确定点 是 边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作线段 的垂直平分线可得线段 的中点．【详解】作线段 的垂直平分线可得线段 的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
8．如图，在 中，尺规作图如下：分别以点 ，点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于 两点，作直线 ，交 于点 ,连接 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 平分 B． 垂直平分
C． 垂直平分 D． 平分
【答案】C
【详解】试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF．
故选C．
考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质
9．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂
直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】试题解析： ①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选C．
考点：基本作图.
10．如图，在 中， ，依据尺规作图的痕迹，计算 的度数是（ ）
A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【分析】根据平行四边形性质，角平分线性质和线段垂直平分线性质可求出结果.
【详解】∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由作法得 垂直平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数是66°9′．
故选D．
【点睛】考核知识点：线段垂直平分线，平行四边形性质.理解作图的意义是关键.
二、填空题
11．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
已知线段a，b，c，某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图：
第一步，在直线上作线段 ；第二步，在线段 的延长线上作线段 ；
第三步，在线段 的延长线上作线段 ；
第四步，在线段 上作线段 ．
根据以上尺规作图可知，线段 的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键．利用线段和差定义判断
即可．
【详解】解：由图可知： ，
，
，
故答案为： ．
12．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
请回答：该作图的依据是 ．
【答案】故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（其他正确依据也可以）．
【分析】由AP=AQ、BP=BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段
PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．
【详解】由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ．
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直
线的垂线的尺规作图．
13．尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构
成的多边形面积为 ．
【答案】2r2
【分析】根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊
角的三角函数值得到CD=r，AC＝ r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG= r，然后判断
以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，
再利用正方形的面积公式进行计算即可.
【详解】连接AD、AC、AG，如图，
∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，
∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD•sin30°=r，AC＝AD•cos30°= r，
∵GA＝GD，
∴GO⊥AD，
∴OG＝ ，
以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形
为正方形，∴这个多边形面积＝ r• r＝2r2，
故答案为2r2．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类问题的
关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题也
考查了正多边形和圆.
14．下面是“作顶角为 120°的等腰三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝
120°．求作：△ABC 的外接圆．作法：（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧的一
个交点为 O；（2）连接 BO；（3）以 O 为圆心，BO 为半径作⊙O．⊙O 即为所求作的圆．请回答：该
尺规作图的依据是 ．
【答案】该尺规作图的依据为：四边相等的四边形是菱形、有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形、
圆的定义．
【分析】由作图知AB=OB=OC=AC可判定四边形ABOC为菱形，根据∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，从而
得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC为等边三角形，继而由OB=OA=OC可得所求作的圆．
【详解】如图，连接OA、OC，由作图知BA=BO、OC=OA，
∵AB=AC，
∴AB=OB=OC=AC，
∴四边形ABOC为菱形（四边形相等的四边形是菱形），
又∵∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
则△OAB、△OAC为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴OB=OA=OC，
∴点A、B、C在以O为圆心、OB为半径的圆上（圆的定义），
综上，该尺规作图的依据为：四边形相等的四边形是菱形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形、
圆的定义．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质及圆的定义．
15．阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线.
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于C，D两
点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线.老师说：“小芸的作法正确.”
请回答：小芸的作图依据是 ，
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线．
【详解】试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径
作弧，两弧相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质
可得线段AB的垂直平分线.
考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质
16．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α= °．
【答案】56
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，
再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得
出结论．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
三、解答题
17．《圆之吻——有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物，其中有尺规作图，单规作图，
单尺作图，锈规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程．
(1)如图，已知弓形 ， 的圆心为 为半径，只用圆规求作 的中点．（按如下步骤完成，保留
作图痕迹）
①分别以点 和点 为圆心，以 的半径 长为半径作圆弧，再以点 为圆心， 两端点之间距离为
半径作弧，这个圆弧与刚才所作两个圆弧在 的下方分别交于点 和点 ；
②分别以点 和点 为圆心，以 长为半径作圆弧，在 上方相交于点 ；
③以点 为圆心，以 长为半径作圆，与 相交于点 ．
则点 就是所求作的 的中点；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)【分析】（1）根据题意进行作图；连接 ，证明 是 的垂直平分线即可；
（2）连接 ，通过 特殊角求出 的长即可．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求作的 的中点；
理由如下：连接 ，
由作图可得： ， ，
∴四边形 ， 为平行四边形， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 三点共线； ，
∵ ，
∴ ，即 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴点 就是所求作的 的中点；
（2）解：如图，连接 交 于点G，
∵点F就是所求作的 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了作图能力，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握 垂直平分 是解题的
关键．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，以射线 为边，请用尺规作图在射线 上方作 ；
(2)在图2中，请用尺规作图作 点关于直线 的对称点 ；
(3)解决实际问题：如图3，不平行的公路 ， （均为直线）分别经过 两个加油站，现准备建一个油
库，要求油库的位置点 满足到 两个加油站的距离相等，而且点 到两条公路 ， 的距离也相等，
请用尺规作图作出点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以点 为圆心，适当长为半径画弧交 于 ，交 于 ，以 为圆心，同样的长度为半
径画弧交 于 ，以 为圆心， 长度为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 ， 即为所作；
（2）以 为圆心，适当长为半径画弧交 于 、 ，以 、 为圆心，大于 为半径画弧，交于点 ，作直线 交 于点 ，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ， 即为所求；
（3）连接 ，分别以 为圆心，大于 为半径画弧，相交于 ，作直线 ，以 为圆心，
任适当长度为半径画弧交 于 ，交 于 ，以 、 为圆心，大于 为半径画弧交于点 ，作射线
，交 于 ，点 即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，
（2）解：如图，点 即为所求；
（3）解：如图，点 即为所求，
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线、作垂直平分线、作角平分线、作一个角等于已知角，熟练掌握基
本作法是解此题的关键．
19．操作与实践
(1)学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：第一步：分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和点 ；
第二步：过点 ， 作直线 ．
根据以上作图，可知小桂作的直线 是线段 的________．
(2)小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段 ， ，求作 ，使 ，且 ，高 ．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(3)在（2）所作的图中，已知 边上的高为 ，根据题意补全图形，则 与 的数量关系是
________．
【答案】(1)垂直平分线
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一、直角
三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的三线合一是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
（2）先作射线 ，在射线 上截取 ，再作 的垂直平分线 ，交 于点 ，然后在射线
（或射线 ）上截取 ，连接 即可得；
（3）先根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质可得 ， ，从而
可得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，由此即可得．
【详解】（1）解：由线段垂直平分线的尺规作图可知，小桂作的直线 是线段 的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线．（2）解：如图， 即为所作．
．
（3）解：由题意补全图形如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 边上的高为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
20．（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线 及直线 外一点P．求作：经过点P的直线 ，
使得 ．
分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标
示意图，分析尺规作图思路．①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定 的依据是_______．
（2）已知：如图，在 中， ， ．
求作：凸四边形 ，使得 ，且 为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
【答案】(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析
【分析】(1)①过点P任意作一条直线 ，交直线 于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角
的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；
(2)分别以点A、B、D为圆心， 长为半径画圆，再作线段 的垂直平分线，根据交点即可求得．
【详解】解：(1)①作法：
a、过点P任意作一条直线 ，交直线 于点G，
b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线 于点M，交直线 于点N，
c、以点P为圆心， 长为半径画弧交直线 于点K，
d、以点K为圆心， 长为半径画弧交上一弧于点Q，
e、过点P、Q作直线 ，
直线 即为所求作的直线
作图如下：②由①作法可知： ，
(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
(2)分别以点A、B、D为圆心， 长为半径画圆，再作线段 的垂直平分线，
由作法可知： ，
、 、 都是等腰三角形，
作图见图．
则凸四边形 、 、 为所求作的凸四边形．
【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．
21．同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，接下来请同学们利用圆的相关知
识，完成下列尺规作图问题：(1)如图1：已知 ，在 内求作一点D，使 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）
(2)已知 中， ，请在线段AB上找一点D，使得 ．（尺规作图2，保留作图
痕迹，不写作法），如果 ， ，则 的内心到外心的距离是______．
【答案】(1)见详解
(2)作图见详解， 的内心到外心的距离是
【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，相似三角形的判定，三角形的外接圆，内切圆，
圆周角定理推论等知识，综合性强﹒
（1）作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，两直线交于点D，连接 ， 即为所
求；
（2）以 为直径作圆，交 于点D，点D即为所求；
作 内切圆O，切点分别为E，F，G，连接 ，取 中点D，连接 ﹒先求出
，说明点D为 外心，得到 ﹒证明四边形 为正方形，求出圆O半径
，进而求出 ， ，根据勾股定理求出 ﹒
【详解】（1）解：如图， 即为所求：证明：如图，连接 ，
∵ 为 的垂直平分线， 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴点D为 外心，
以D为圆心，以 为半径作圆，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图1，点D即为所求：
证明：∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ；
如图，作 内切圆O，切点分别为E，F，G，连接 ，取 中点D，连接 ﹒∵ ，
∴ ， 为 外接圆的直径﹒
∴点D为 外心， ﹒
∵圆O为 内切圆，切点分别为E，F，G，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
设圆O半径为r，则 ，
圆O为 内切圆，切点分别为E，F，G，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ﹒
在 中， ﹒
故答案为： ﹒
