文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块八 统计与概率
专题2 统计图（表）的分析与计算
知识梳理
【考点一】 算术平均数
1
1. 一般地，对于n个数x ，x ，⋯，x ，我们把 (x +x +⋯+x )叫作这n个数的算术平均数，简称平
1 2 n n 1 2 n
1
均数，记为x，即x= (x +x +⋯+x )．
n 1 2 n
2. 算术平均数的意义
反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准．
3. 算术平均数的特征
（1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关；
（2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变
动，且容易受极端值的影响．
4. 若x ，x ，⋯，x 的平均数为x，则有如下结论：
1 2 n
（1）nx ，nx ，⋯，nx 的平均数为nx；
1 2 n
（2）x +b，x +b，⋯，x +b的平均数为x+b；
1 2 n
（3）nx +b，nx +b，⋯，nx +b的平均数为nx+b．
1 2 n
【考点二】 加权平均数
1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往
往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度．
2. 若n个数中，x 出现f 次，x 出现f 次，⋯，x 出现f 次（其中f +f +⋯+f =n），则由平均数的定
1 1 2 2 k k 1 2 k
x f +x f +⋯+x f f
义可得其平均数为x= 1 1 2 2 k k，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中x 的权为 1，
n 1 n
f f
x 的权为 2，⋯，x 的权为 k．
2 n k n
3.权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占
30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．4. 算术平均数与加权平均数的区别与联系
①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实
用法的区别
际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数
①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小
影响因素的区别
和各数据出现的次数（频数）的影响
算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特
联系
殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数
【考点三】中位数
1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这
组数据的中位数．
2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同．
3. 中位数的求法
（1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；
（2）确定这组数据的个数；
（3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数
的平均数作为中位数．
【考点四】众数
1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．
2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存
在众数，那么众数必然是这组数据中的数．
（1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众
数；
（2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数．
【注意】
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中．
（2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3．
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1
而不是 3．
【考点五】 合理选用平均数、中位数和众数分析问题
1. 平均数、中位数和众数各自的特征
（1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常
用，但它易受极端值的影响．（2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数
时，中位数不一定是数据中的数．
（3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次
数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数．
2. 数据分析时的选用依据
平均数 中位数 众数
当要解决的问题需要 当一组数据中 当一组数据中有的数据重
一组数据中的每个数 出现极端值时， 复出现，以至于其他数据
据都参加运算时，应 应选用中位数 的作用显得相对较小时，
当选用平均数 应选用众数
【考点六】 从统计图分析数据的集中趋势
条形统计图 扇形统计图 折线统计图
众数 占比例最大的部分所对应的 同一水平线上出现次数最多
最高的直条所对的横轴的数
数 的数据
中位数 确定中间位置是第n个数，按从
左到右的顺序依次计算纵轴对应 按从小到大的顺序计算所占
的个数和，和为n时对应的横轴 百分比之和，处于最中间位 从上到下（或从下到上）找
上的数就是中位数（若处于中间 置的数（或最中间位置两个 中间点所对的数
位置的数有两个，则求这两个数 数的平均数）就是中位数
的平均数）
平均数 按平均数的计算公式计算
【考点七】 极差
1. 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差．例如：1，2，3，4，5，这组数据的极差是5−1=4
．
2. 极差是反映一组数据波动范围（数据离散程度）的一个统计量，是在反映数据波动的各种量中最简单、
最便于计算的一个，但它仅仅反映了数据的变化范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值影响较
大．极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定.
【考点八】方差与标准差
1
1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用s2表示，即s2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2]．
n 1 2 n
其中x是数据x ，x ，⋯，x 的平均数．
1 2 n
√1
2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即s=√s2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2]．
n 1 2 n
3. 方差和标准差的计算（1）计算这组数据的平均数；
（2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据；
（3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差；
（4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差．
4. 方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明
这组数据波动越小，这组数据就越稳定．
5. 适当变形后新数据的平均数和方差
样本数据 平均数 方差
x ，x ，x ，⋯，x x s2
1 2 3 n
x +a，x +a，x +a，⋯，x +a x+a s2
1 2 3 n
kx ，kx ，kx ，⋯，kx kx k2s2
1 2 3 n
kx +a，kx +a，kx +a，⋯，kx +a kx+a k2s2
1 2 3 n
【考点九】箱线图
1.概念：箱线图通过“五值”（最小值、下四分位数Q 、中位数Q 、上四分位数Q 、最大值）展示数
1 2 3
据分布，
2.【注意】
下四分位数Q：排序后前半部分数据的中位数；
1
- 上四分位数Q：排序后后半部分数据的中位数；
3
- 四分位距：Q - Q（刻画中间50%数据的波动）。
3 1
示例：对数据1, 3, 5, 7, 9, 11, 13画箱线图：
- 最小值=1，最大值=13；
- 中位数Q=7；
2
- Q（前半部分1,3,5的中位数）=3；
1
- Q（后半部分9,11,13的中位数）=11；
3
- 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13。
【易错点】
计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”（如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数）；- 误将
箱线图的“箱的长度”等同于极差（实际是四分位距）。
例题讲解
【题型一】求算术平均数
◇典例1：某班合唱比赛得分如下：8.9，8.7，8.6，9.0，8.8，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为最后得
分，则得分为（ ）
A．26.4 B．8.9 C．8.8 D．8.7
◆变式训练
1.小红随机抽查她家6月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：9，11，7，10，8．根据这些数据，
估计她家6月份的用电量为（ ）
A．240度 B．270度 C．300度 D．320度
2.如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数
的平均数是（ ）
A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8
【题型二】求加权平均数
◇典例2：
贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照5:2:3的比例确定最终成
绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（ ）
笔试 面试 实际操作
94 80 90
A．88分 B．89分 C．90分 D．94分
◆变式训练
1.某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测
试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下
面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（ ）
分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜
100
频数/人 1 2 3 2 2
A．76.5 B．77 C．77.5 D．78
2.某公司招聘一名技术人员，小丽笔试和面试的成绩分别为90分和85分，综合成绩按照笔试占60%，面试占40%进行计算，则小丽的综合成绩为 分．
【题型三】利用加权平均数做决策
◇典例3：
某校为迎接校庆活动，组织了九年级各班的合唱比赛，其中两个班的各项得分如表：
服装得体（分） 音准节奏（分） 形式创新（分）
九（1）班 90 78 85
九（2）班 75 92 84
如果将服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按5:3:2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个
班最终成绩更好？
◆变式训练
1.张华与王强两人的期末6科考试成绩如下表：
政 英 物
语文 数学 化学
治 语 理
张华 88 84 91 96 76 81
王强 83 95 89 93 89 67
(1)求两人的学习成绩的平均数；
(2)现要从中选一人参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？说明理由．
2.学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学
生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况：
团支部书
班长 学习委员
记
思想表现 24 26 28
学习成绩 26 24 27
工作能力 28 26 24
(1)如果把三名同学各项成绩的平均数作为综合成绩，应该选谁为优秀学生干部？
(2)若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按3：3：4的比例计算个人总分，
请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部．
【题型四】利用样本平均数估计总体平均数
◇典例4：
某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学
中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况．见表：节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3
◆变式训练
1.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
数据x 70＜x＜79 80＜x＜89 90＜x＜99
个数 800 1300 900
平均数 78.1 85 91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ）
A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
2.随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
540 680 760 640 960 2200 1780 7560
（1）求该店本周的日平均营业额；
（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合
理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）的营业总额．
【题型五】求中位数
◇典例5：
某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，160．这组数据的中位数是
（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
◆变式训练
1.在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期
购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如下的统计表：
花费（元） 20 30 40 50 60
人数 8 12 12 6 2
对表示班级里本学期购买课外书费用情况的40个数据，其中位数是（ ）
A．20.5 B．30 C．35 D．40
2.教育部规定中小学劳动教育考核纳入学生综合素质档案，以促进学生劳动素养的提升．某校积极贯彻劳
动教育，开展了“孝敬父母，从家务事做起”的活动，为了解某班学生一周内做家务所用的时间，统计了其中25名同学在一周内累计做家务的时间，结果如图所示，则这25名同学一周内累计做家务时间的
中位数是（ ）
A．1 B．1.5 C．1.75 D．2
【题型六】求众数
◇典例6：
菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据 37，33，29，
32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（ ）
A．29岁 B．32岁 C．33岁 D．35岁
◆变式训练
1.近年来，成都博物馆通过深化改革创新，提供高质量文化供给，增强了市
民的获得感、幸福感．周末，成都博物馆皮影展厅里“红领巾小小宣讲员”面对观众，落落大方地将皮影
戏的来龙去脉娓娓道来，其中有8名“红领巾小小宣讲员”的年龄如表：
年龄（岁） 9 10 11 12
人数（人） 3 2 2 1
则这8名宣讲员年龄的众数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 3 6 9 12 8 5 3
则48名同学视力的众数是 ．
【题型七】求中位数和众数
◇典例7：
某市某一周的每日平均气温（℃）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数和中位数分别
是（ ）A．17℃,16℃ B．17℃,14℃
C．16℃,16℃ D．16℃,17℃
◆变式训练
1.在一次体育测试中，八（6）班的15名女生的仰卧起坐成绩如下表：
成绩
（次/分 38 39 40 41 42 43 44 45
钟）
人数 1 0 2 3 4 3 1 1
该15名女生的仰卧起坐成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．41，42 B．41，43 C．42，42 D．43，42
2.习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的
折线统计图反映了某学习小组13名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是
（ ）
A．1，1 B．2，1 C．1，2 D．2，5
【题型八】用中位数作决策
◇典例8：
在全国汉字听写大赛的热潮下，某学校进行了选拔赛，有15位学生进入了半决赛，他们的成绩各不相同，
并且要按成绩取前8位进入决赛．小明只知道自己的成绩，要判断能否进入决赛，可用下列哪个统计结果
判断（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差◆变式训练
1.某空调店为调动销售员的积极性，根据上个月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了所有销售员该月
的销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为20，12，13（单位：万元）． 则该月销售
额定为 万元较为合适．（填“20”，“12”或者“13”）
2.下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000
人数 1 1 1 3 6 1 11 2
(1)请计算该公司这部分员工的月收入的平均数和中位数；
(2)甲、乙两人分别用平均数和中位数来估计该公司全体员工月收入水平，请你写出甲、乙两人的推断结
论．
【题型九】中位数、众数与统计图表的综合
◇典例9：
某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解
本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根
据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
（1）学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动
的效果．
一周诗词诵背 3首 4首 5首 6首 7首 8首
数量
人数 10 10 15 40 25 20
◆变式训练
1.某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表：
统计量 中位数 众数
男生 a 9
女生 8 b
(1)根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：a=______，b=________；
(2)请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩；
(3)请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？
2. 2024年5月3日，长征五号运载火箭第二次执行探月工程发射任务，运送嫦娥六号探测器至地月转移轨
道，实施月球背面采样返回任务．某校以嫦娥六号登月为契机，开展一次“探索浩瀚宇宙，逐梦航天强
国”的科普讲座．为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学
生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，
80≤x<90，90≤x≤100）．
70≤x<80
b．八年级学生成绩在 这一组的是：
70 71 72 72 73 74 75 76 77 78 78 79 79 79
c．七、八两个年级学生成绩的平均分、中位数如下：年级 平均分 中位数
七 74.1 74.5
八 75.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为p ．在八年级抽取的学生中，记成绩
1
高于抽取学生平均分的学生人数为p ．比较p ，p 的大小，并说明理由；
2 1 2
(3)若该校八年级共有400名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于70分的人数．
【题型十】利用平均数、中位数、众数解决实际问题
◇典例10：
某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，
成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将
某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)写出下表中a、b、c的值：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 a b 90
二班 87.6 80 c
(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
◆变式训练
1.甲公司推出了“DeepSeek”AI机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．
有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行
整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：60
