文档文本内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块八 统计与概率
专题2 统计图（表）的分析与计算
知识梳理
【考点一】 算术平均数
1
1. 一般地，对于n个数x ，x ，⋯，x ，我们把 (x +x +⋯+x )叫作这n个数的算术平均数，简称平
1 2 n n 1 2 n
1
均数，记为x，即x= (x +x +⋯+x )．
n 1 2 n
2. 算术平均数的意义
反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准．
3. 算术平均数的特征
（1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关；
（2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变
动，且容易受极端值的影响．
4. 若x ，x ，⋯，x 的平均数为x，则有如下结论：
1 2 n
（1）nx ，nx ，⋯，nx 的平均数为nx；
1 2 n
（2）x +b，x +b，⋯，x +b的平均数为x+b；
1 2 n
（3）nx +b，nx +b，⋯，nx +b的平均数为nx+b．
1 2 n
【考点二】 加权平均数
1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往
往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度．
2. 若n个数中，x 出现f 次，x 出现f 次，⋯，x 出现f 次（其中f +f +⋯+f =n），则由平均数的定
1 1 2 2 k k 1 2 k
x f +x f +⋯+x f f
义可得其平均数为x= 1 1 2 2 k k，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中x 的权为 1，
n 1 n
f f
x 的权为 2，⋯，x 的权为 k．
2 n k n
3.权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占
30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．4. 算术平均数与加权平均数的区别与联系
①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实
用法的区别
际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数
①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小
影响因素的区别
和各数据出现的次数（频数）的影响
算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特
联系
殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数
【考点三】中位数
1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这
组数据的中位数．
2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同．
3. 中位数的求法
（1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；
（2）确定这组数据的个数；
（3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数
的平均数作为中位数．
【考点四】众数
1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．
2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存
在众数，那么众数必然是这组数据中的数．
（1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众
数；
（2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数．
【注意】
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中．
（2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3．
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1
而不是 3．
【考点五】 合理选用平均数、中位数和众数分析问题
1. 平均数、中位数和众数各自的特征
（1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常
用，但它易受极端值的影响．（2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数
时，中位数不一定是数据中的数．
（3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据的重复次
数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数．
2. 数据分析时的选用依据
平均数 中位数 众数
当要解决的问题需要 当一组数据中 当一组数据中有的数据重
一组数据中的每个数 出现极端值时， 复出现，以至于其他数据
据都参加运算时，应 应选用中位数 的作用显得相对较小时，
当选用平均数 应选用众数
【考点六】 从统计图分析数据的集中趋势
条形统计图 扇形统计图 折线统计图
众数 占比例最大的部分所对应的 同一水平线上出现次数最多
最高的直条所对的横轴的数
数 的数据
中位数 确定中间位置是第n个数，按从
左到右的顺序依次计算纵轴对应 按从小到大的顺序计算所占
的个数和，和为n时对应的横轴 百分比之和，处于最中间位 从上到下（或从下到上）找
上的数就是中位数（若处于中间 置的数（或最中间位置两个 中间点所对的数
位置的数有两个，则求这两个数 数的平均数）就是中位数
的平均数）
平均数 按平均数的计算公式计算
【考点七】 极差
1. 一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差．例如：1，2，3，4，5，这组数据的极差是5−1=4
．
2. 极差是反映一组数据波动范围（数据离散程度）的一个统计量，是在反映数据波动的各种量中最简单、
最便于计算的一个，但它仅仅反映了数据的变化范围，没有提供数据波动的其他信息，且受极端值影响较
大．极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定.
【考点八】方差与标准差
1
1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用s2表示，即s2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2]．
n 1 2 n
其中x是数据x ，x ，⋯，x 的平均数．
1 2 n
√1
2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即s=√s2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2]．
n 1 2 n
3. 方差和标准差的计算（1）计算这组数据的平均数；
（2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据；
（3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差；
（4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差．
4. 方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明
这组数据波动越小，这组数据就越稳定．
5. 适当变形后新数据的平均数和方差
样本数据 平均数 方差
x ，x ，x ，⋯，x x s2
1 2 3 n
x +a，x +a，x +a，⋯，x +a x+a s2
1 2 3 n
kx ，kx ，kx ，⋯，kx kx k2s2
1 2 3 n
kx +a，kx +a，kx +a，⋯，kx +a kx+a k2s2
1 2 3 n
【考点九】箱线图
1.概念：箱线图通过“五值”（最小值、下四分位数Q 、中位数Q 、上四分位数Q 、最大值）展示数
1 2 3
据分布，
2.【注意】
下四分位数Q：排序后前半部分数据的中位数；
1
- 上四分位数Q：排序后后半部分数据的中位数；
3
- 四分位距：Q - Q（刻画中间50%数据的波动）。
3 1
示例：对数据1, 3, 5, 7, 9, 11, 13画箱线图：
- 最小值=1，最大值=13；
- 中位数Q=7；
2
- Q（前半部分1,3,5的中位数）=3；
1
- Q（后半部分9,11,13的中位数）=11；
3
- 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13。
【易错点】
计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”（如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数）；- 误将
箱线图的“箱的长度”等同于极差（实际是四分位距）。
例题讲解
【题型一】求算术平均数
◇典例1：某班合唱比赛得分如下：8.9，8.7，8.6，9.0，8.8，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为最后得
分，则得分为（ ）
A．26.4 B．8.9 C．8.8 D．8.7
◆变式训练
1.小红随机抽查她家6月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：9，11，7，10，8．根据这些数据，
估计她家6月份的用电量为（ ）
A．240度 B．270度 C．300度 D．320度
2.如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数
的平均数是（ ）
A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8
【题型二】求加权平均数
◇典例2：
贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照5:2:3的比例确定最终成
绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（ ）
笔试 面试 实际操作
94 80 90
A．88分 B．89分 C．90分 D．94分
◆变式训练
1.某班为了解学生对“勾股定理”内容的掌握情况，进行了一次单元测
试，并从中随机抽取了10名学生的测试成绩，对成绩（用t表示，满分100分）进行分组整理，绘制了下
面的统计表，则这10名学生的样本平均数是（ ）
分数段/分 50≤t＜60 60≤t＜70 70≤t＜80 80≤t＜90 90≤t＜
100
频数/人 1 2 3 2 2
A．76.5 B．77 C．77.5 D．78
2.某公司招聘一名技术人员，小丽笔试和面试的成绩分别为90分和85分，综合成绩按照笔试占60%，面试占40%进行计算，则小丽的综合成绩为 分．
【题型三】利用加权平均数做决策
◇典例3：
某校为迎接校庆活动，组织了九年级各班的合唱比赛，其中两个班的各项得分如表：
服装得体（分） 音准节奏（分） 形式创新（分）
九（1）班 90 78 85
九（2）班 75 92 84
如果将服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按5:3:2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个
班最终成绩更好？
◆变式训练
1.张华与王强两人的期末6科考试成绩如下表：
政 英 物
语文 数学 化学
治 语 理
张华 88 84 91 96 76 81
王强 83 95 89 93 89 67
(1)求两人的学习成绩的平均数；
(2)现要从中选一人参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？说明理由．
2.学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学
生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况：
团支部书
班长 学习委员
记
思想表现 24 26 28
学习成绩 26 24 27
工作能力 28 26 24
(1)如果把三名同学各项成绩的平均数作为综合成绩，应该选谁为优秀学生干部？
(2)若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按3：3：4的比例计算个人总分，
请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部．
【题型四】利用样本平均数估计总体平均数
◇典例4：
某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学
中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况．见表：节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3
◆变式训练
1.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
数据x 70＜x＜79 80＜x＜89 90＜x＜99
个数 800 1300 900
平均数 78.1 85 91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ）
A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
2.随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
540 680 760 640 960 2200 1780 7560
（1）求该店本周的日平均营业额；
（2）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合
理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按30天计算）的营业总额．
【题型五】求中位数
◇典例5：
某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，160．这组数据的中位数是
（ ）
A．130 B．158 C．160 D．192
◆变式训练
1.在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期
购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如下的统计表：
花费（元） 20 30 40 50 60
人数 8 12 12 6 2
对表示班级里本学期购买课外书费用情况的40个数据，其中位数是（ ）
A．20.5 B．30 C．35 D．40
2.教育部规定中小学劳动教育考核纳入学生综合素质档案，以促进学生劳动素养的提升．某校积极贯彻劳
动教育，开展了“孝敬父母，从家务事做起”的活动，为了解某班学生一周内做家务所用的时间，统计了其中25名同学在一周内累计做家务的时间，结果如图所示，则这25名同学一周内累计做家务时间的
中位数是（ ）
A．1 B．1.5 C．1.75 D．2
【题型六】求众数
◇典例6：
菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项，每四年颁发一次，相当于数学界的诺贝尔奖，数据 37，33，29，
32，35，32是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是（ ）
A．29岁 B．32岁 C．33岁 D．35岁
◆变式训练
1.近年来，成都博物馆通过深化改革创新，提供高质量文化供给，增强了市
民的获得感、幸福感．周末，成都博物馆皮影展厅里“红领巾小小宣讲员”面对观众，落落大方地将皮影
戏的来龙去脉娓娓道来，其中有8名“红领巾小小宣讲员”的年龄如表：
年龄（岁） 9 10 11 12
人数（人） 3 2 2 1
则这8名宣讲员年龄的众数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 3 6 9 12 8 5 3
则48名同学视力的众数是 ．
【题型七】求中位数和众数
◇典例7：
某市某一周的每日平均气温（℃）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数和中位数分别
是（ ）A．17℃,16℃ B．17℃,14℃
C．16℃,16℃ D．16℃,17℃
◆变式训练
1.在一次体育测试中，八（6）班的15名女生的仰卧起坐成绩如下表：
成绩
（次/分 38 39 40 41 42 43 44 45
钟）
人数 1 0 2 3 4 3 1 1
该15名女生的仰卧起坐成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．41，42 B．41，43 C．42，42 D．43，42
2.习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的
折线统计图反映了某学习小组13名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是
（ ）
A．1，1 B．2，1 C．1，2 D．2，5
【题型八】用中位数作决策
◇典例8：
在全国汉字听写大赛的热潮下，某学校进行了选拔赛，有15位学生进入了半决赛，他们的成绩各不相同，
并且要按成绩取前8位进入决赛．小明只知道自己的成绩，要判断能否进入决赛，可用下列哪个统计结果
判断（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差◆变式训练
1.某空调店为调动销售员的积极性，根据上个月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了所有销售员该月
的销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为20，12，13（单位：万元）． 则该月销售
额定为 万元较为合适．（填“20”，“12”或者“13”）
2.下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料．
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 2000
人数 1 1 1 3 6 1 11 2
(1)请计算该公司这部分员工的月收入的平均数和中位数；
(2)甲、乙两人分别用平均数和中位数来估计该公司全体员工月收入水平，请你写出甲、乙两人的推断结
论．
【题型九】中位数、众数与统计图表的综合
◇典例9：
某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解
本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根
据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
（1）学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动
的效果．
一周诗词诵背 3首 4首 5首 6首 7首 8首
数量
人数 10 10 15 40 25 20
◆变式训练
1.某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表：
统计量 中位数 众数
男生 a 9
女生 8 b
(1)根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：a=______，b=________；
(2)请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩；
(3)请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？
2. 2024年5月3日，长征五号运载火箭第二次执行探月工程发射任务，运送嫦娥六号探测器至地月转移轨
道，实施月球背面采样返回任务．某校以嫦娥六号登月为契机，开展一次“探索浩瀚宇宙，逐梦航天强
国”的科普讲座．为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学
生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息：
a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，
80≤x<90，90≤x≤100）．
70≤x<80
b．八年级学生成绩在 这一组的是：
70 71 72 72 73 74 75 76 77 78 78 79 79 79
c．七、八两个年级学生成绩的平均分、中位数如下：年级 平均分 中位数
七 74.1 74.5
八 75.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为p ．在八年级抽取的学生中，记成绩
1
高于抽取学生平均分的学生人数为p ．比较p ，p 的大小，并说明理由；
2 1 2
(3)若该校八年级共有400名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于70分的人数．
【题型十】利用平均数、中位数、众数解决实际问题
◇典例10：
某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，
成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将
某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)写出下表中a、b、c的值：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 a b 90
二班 87.6 80 c
(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
◆变式训练
1.甲公司推出了“DeepSeek”AI机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．
有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行
整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：60<x≤70，B组：70<x≤80，C
组：80<x≤90，D组：90<x≤100），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，
100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲乙款评分统计表
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 a
乙 86 b 87
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a=______，b=_______，m=________；
(2)根据以上数据，你认为甲、乙公司中哪款机器人更受欢迎？请说明理由．
(3)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两
款机器人评价为非常满意（D组：90<x≤100）的用户人数．
2.学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分
析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x<70，B：
70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，
92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生 八年级 九年级
平均数 85.2 85.2
中位数 86 a
众数 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=_______ ，b=______，m=______；
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或
等于90分）的学生共有多少人？
【题型十一】求极差
◇典例11：
为参加校运会，小强同学进行立定跳远训练，其中6次的成绩如下（单位：m）：2.2，2.6，2.4，2.5，
2.4，2.4，这6次成绩的极差是 m．
◆变式训练
1.小明同学为养成自觉锻炼身体的良好习惯，记录了自己一周中每天的运动时间（单位：分钟），分别为
67，64，70，66，75，55，65，则这组数据的极差是（ ）
A．20 B．19 C．10 D．9
2.已知一组数据：1，2，−1，6，8，2，则这组数据的众数和极差分别是（ ）
A．1，7 B．1，8 C．2，−1 D．2，9
【题型十二】求方差
◇典例12：
已知一组数据5，7，4，m，6，8的平均数为6，则这组数据
的方差是（ ）5 3
A． B． C．2 D．10
3 5
◆变式训练
1.泉州市丰泽区某校初三1班五位同学的身高（单位：cm）组成一组数据为：170、169、172、173、171，
则这五位同学身高的平均值及方差是（ ）
1
2.一组数据的方差计算公式为S2= [(5−x) 2+(8−x) 2+(8−x) 2+(11−x) 2]，则这组数据的方差是 ．
4
【题型十三】求标准差
◇典例13：
一组数据x ，x ，⋯，x 的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据
1 2 n
2x +3，2x +3，⋯，2x +3的标准差是 ．
1 2 n
◆变式训练
1.已知2，3，5，m四个数据的方差是2，那么5，6，8，m+3
四个数据的标准差是 ．
2.已知2，3，5，m，n五个数据的方差是16，那么3，4，6，m+1，
n+1五个数据的标准差是 ．
【题型十四】根据方差判断稳定性
◇典例14：
甲、乙、丙三个人同时进行了8次排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S2 =0.62，
甲
S2 =0.45，S2 =0.63，则成绩最稳定的是（ ）
乙 丙
A．甲 B．乙 C．丙 D．三者一样
◆变式训练
1.在一次学情监测中，八（1）、八（2）两班平均分非常接近，
其中八（1）班成绩的方差为10.21，八（2）班成绩的方差为5.68，由此可知（ ）
A．八（1）班的成绩更均衡 B．八（2）班的成绩更均衡
C．两班成绩一样均衡 D．无法确定哪班的成绩更均衡
2.如图是甲、乙两位射击运动员8次射击测试成绩的统计图，对
于甲、乙两位射击运动员的成绩，下列说法正确的是（ ）A．甲平均成绩高，成绩不稳定 B．甲平均成绩低，成绩稳定
C．乙平均成绩高，成绩不稳定 D．乙平均成绩高，成绩稳定
【题型十五】运用方差作决策
◇典例15：
甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）和方差s2如
下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9.5 9.5 8.2 8.5
s2 0.09 0.65 0.09 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
◆变式训练
1.某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，
甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9
乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032
（1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？
（2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？
2.甲、乙两人加工同一种直径为100mm的零件，现从它们加工好的零件中随机各抽取6个，量得
它们的直径如下（单位：mm）
甲：98，102，100，100，101，99
乙：100，103，101，97，100，99
（1）分别求出上述两组数据的平均数和方差；
（2）结合（1）中的统计数据，请你评价两人的加工质量．
【题型十六】数据的分析的综合应用
◇典例16：以运动会为契机，某校开展以“弘扬体育精神，感受运动魅力”为主题的实践课程．为了解学生掌握乒乓
球运球技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩／分 中位数／分 众数／分 方差
七年级 3 b c 2
八年级 a 3 3 s2
(1)填空：a=_____________，b=_____________，c=_____________；
(2)从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是_____________；（填“七年级”或“八年级”）
(3)计算八年级学生训练成绩的方差s2，并说明哪个年级的成绩更稳定．
◆变式训练
1.在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命
名为A，B，C．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全
面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、
90分，运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能
力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机
器人的综合性能更优．
【数据收集与整理】
A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
A m 9和10 85 1.85
B 8.5 8 87 s2C 8 n P 2.01
任务1：m=______，n=______，p=______；
【数据分析与运用】
任务2：通过图表信息，可判断______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试得分更稳定；
任务3：若按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你计算B款机器人
的综合成绩；
任务4：结合以上信息，对A，B，C三款机器人的性能进行评价（写出一条即可）．
2.据人民网舆情数据中心权威统计，我国每年因溺水意外死亡的人数约达5.9万人，其中未成年人占比超过
95%．这一数据凸显出加强防溺水安全教育的紧迫性．因此，为切实提升学生安全防范意识与自救能力，
筑牢校园安全防线，2025年6月，我县某中学组织七、八年级学生开展了防溺水知识竞赛（满分100分），
现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名学中竞赛成绩：70，71，75，77，79，79，84，86，88，91
八年级10名学生竞赛成绩：72，74，75，77，81，81，82，84，84，90
【分析数据】
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a b 45.4
八年级 80 81 81，84 c
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)求出c的值，并说明哪个年级的成绩更稳定；
(3)如果把x≥80的记为“优秀”，把70≤x<80的记为“合格”，学校规定两类成绩按6：4计算．通过计
算比较哪个年级得分较高？【题型十七】箱线图
◇典例17：
有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，
下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的下四分位数是4
B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的上四分位数是15
D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
◆变式训练
1.如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数( )箱线图． 值越小，空气质量越好； 值在
201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ）
A．该地区2025年3月有重度污染天气
B．该地区2025年3月的 值比2月集中
C．该地区2025年3月的 值中位数大于2月 值的中位数
D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月
2.某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率
（单位： ）如下：
A：4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据
的四分位数．
两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位： ）团队
A 3.195 3.915 4.440
B a 3.890 b
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)表中 ______， ______；
(2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A
真题在线
的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健
度方面作出评价。
一、单选题
1．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪
种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
2．（2025·湖南长沙·中考真题）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现
“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳
足迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：
．则这组数据的众数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川泸州·中考真题）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳
成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：甲 乙 丙 丁
平均
205 217 208 217
数
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：
．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A． 的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
5．（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随
机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位： ）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，
5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
6．（2025·四川德阳·中考真题）德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别
为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的
中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（ ）
A．25公里 B．28公里 C．29公里 D．30公里
7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：
，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
8．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化
书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
二、填空题
9．（2025·西藏·中考真题）一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示：
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 2 4 7 19 10 6 2
根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是 ．
10．（2025·江苏徐州·中考真题）小明家 月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．
该组数据的中位数是 ．
11．（2025·山东青岛·中考真题）为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽
子活动，每个粽子的标准质量为 ．甲、乙两名同学各包了 个粽子，每个粽子的质量（单位： ）如
下：
甲： ， ， ， ， ；
乙： ， ， ， ， ．
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
12．（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按 计算
最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为 分．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取
自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100
分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
七年级 95
八年级 92.5根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的 _____， _____， _____ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，
请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
14．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通
知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程
度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计
结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，
76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94．
数据扇形统计图
数据统计表
分数段 等次 人数
A
B 6
C 6
D
E 2
(1)扇形统计图中 ，统计表中 ；
(2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ；
(3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人；
(4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议．
15．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡
教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据
分析如下．（一）收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树
状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出
一条合理化建议．
专项练习
一、单选题
1．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计
如下：
鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43
销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1
根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，
最关心的统计量为（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．已知一组数据： 、 、 、 、 、 、 、 ，则这组数据的下四分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．某地连续统计了 天日最高气温，绘制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（ ）A．这 日最高气温的中位数是 B．这 日最高气温的平均值为
C．这 日最高气温的极差是 D．这 日最高气温的众数是
4．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养
全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，
已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，35，43，40，42．则这组数据的众数和中位数分别
是（ ）
A．42，39 B．42，40 C．42，41 D．42，42
5．青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的
离差平方和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周
末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（ ）
A．7 B．7.57 C．8 D．9
7．我区在一次歌唱选拔比赛决赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法
正确的是（ ）．
A．决赛学生人数为8人 B．最高分与最低分的差是15分
C．所有参赛选手平均分为100分 D．决赛学生得100分的频率为0.3
8．若一组数据方差的算式为： ，则该组数据的中位
数是 （ ）A． B． C． D．
9． 年 月 日，贵阳某中学八年级 班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成箱线图（如
图），由图不能确定的数据是（ ）.
A．上四分位数 B．平均数 C．中位数 D．最大值
10．某校为了解九年级学生的综合成绩情况，随机抽取8名学生，其综合成绩如下（单位：分）：692，
693，692，694，694，693，695，691．对这组数据判断正确的是（ ）
A．平均数为693，方差为 B．平均数为693，众数为694
C．中位数为693，方差为 D．众数为692，693，694，平均数为693.5
二、填空题
11．如图，这是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为 岁．
12．如图，箱线图所示的是射箭爱好者A，B在某次射箭比赛获得的成绩．根据箱线图可以判断成绩的平
均数大于中位数的是 （填“A”或“B”）．
13．两名射击运动员进行了八次射击训练，测试成绩（最高为10环）如下图，则射击水平比较突出的运
动员是 ．14．如图是某班学生体重（单位：kg）的箱线图观察箱线图，该班学生体重的中位数是 ，最大值是
， 分位数是 ．
15．现有一组数据：12，15，18，20，25，30，30，35．若将其分为2组 和 ，
则该组数据的组内离差平方和是 ．
16．已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，方差为3，另一组数据 ， ， ，
， 的方差为 ．
三、解答题
17．某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月
用水量（一个月按30天计算），结果如下表所示：
月用水量/t 3 4 5 7 8 9 10
户数 4 3 5 11 4 2 1
(1)求这30户家庭月用水量的平均数．
(2)根据上述数据，试估计该社区的月用水量．
18．为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽
取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），并将其共分成四组：（A：
，B： ，C： ，D： ）．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99．
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：91，93，94．七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表：
年级 七年级 八年级
平均数 91 91
中位数 90 b
众数 c 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）；
(3)该校七年级有1200名学生、八年级有1300名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛
成绩不低于90分的学生共有多少人？
19．为弘扬中华优秀传统文化，某校举行了“中华传统文化知识”竞赛，七、八年级各有100名学生参赛，
对成绩（百分制）进行整理，部分信息如下：
a．八年级成绩频数分布直方图：
年级 平均数 中位数 众数
七 78 81 79
八 80 m 82
b．将八年级在 这一组的成绩按照从小到大的顺序排列后，最后10个数据为．
c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表：
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的 ____________；
(2)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是
____________（填“七”或“八”）年级的学生；
(3)小东同学只看了八年级成绩频数分布直方图后，就说：“八年级成绩的平均数一定小于82分．”请你
写出小东作出此判断的理由．
20．2025年9月3日，我国在北京天安门广场隆重举行盛大阅兵仪式，纪念中国人民抗日战争暨世界反法
西斯战争胜利80周年．某区开展主题为“纪念抗战，铭记历史”的中国人民抗日战争知识竞赛．数学李老
师对该区甲、乙两个初中学校的竞赛成绩进行了统计分析．
收集数据：从甲、乙学校中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）
如下：
甲学校20名学生的竞赛成绩：
78，80，67，92，82，65，74，90，88，67，82，70，95，62，74，82，96，84，77，82．
乙学校20名学生的竞赛成绩：
92，83，66，92，90，86，80，90，82，65，90，70，96，68，77，75，90，88，90，74．
整理数据：
成绩x/分
甲学校人数 4 5 7 4
乙学校人数 3 4 5 8
分析数据：
学校 平均数 中位数 众数
甲学校 a 82
乙学校 b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ________， ________．
(2)结合以上数据的整理和分析，你认为哪个学校学生对抗战知识更了解一些？请说明理由．（写出一条即
可）(3)若甲学校有1500名学生参加了此次知识竞赛，乙学校有1800名学生参加了此次知识竞赛，请估计这两
个学校本次竞赛成绩为优秀（成绩在90分及以上为优秀）的学生总人数．
21．数字华容道是一种经典的智力游戏，目标是通过滑动棋盘上的数字方块，将打乱的数字按照从左到右、
从上到下的顺序排列整齐．学校组织以“智取华容”为主题的四阶数字华容道比赛，下面是甲、乙两名选
手10场比赛每场用时的统计表（单位：秒）：
第1 第2 第3 第4 第5 第6 第7 第8 第9 第10
场 场 场 场 场 场 场 场 场 场
甲 17 15 16 18 17 18 18 15 16 19
乙 16 16 15 15 14 14 15 14 12 14
为评价这两名选手的比赛成绩，小骁计算了甲、乙10场比赛用时的三种统计量，小驰则绘制了他们比赛用
时的箱线图，分别如下：
方差 中位数 平均数
甲 17秒 秒
乙 ______秒 秒
请根据上述统计图表的信息，解答下列问题：
(1)上表中乙比赛用时的中位数为：___________秒；统计图中箱线图A反映的是选手___________的比赛用
时；
(2)请分别运用“平均数 方差”“中位数 箱线图”两种数据分析方式，对甲、乙两名选手数字华容道比
赛成绩进行评价（说明：游戏所用时间越短成绩越好）．
