文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（上海卷）
数学·全解全析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列各数中，一定是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
如 ， ， （每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理
数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有
理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】解：A、 是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、 是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．用换元法解方程 时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成 ，再去分母即可得到答案．
【解析】解：设 ，则 ，
∴原方程为 ，即 ，
故选：A．
3．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（ ）
成绩（环） 7 8 9 10
次数 1 4 3 2
A．8、8 B．8、8.5 C．8、9 D．8、10
【答案】B
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解析】由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环；
这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为 =8.5（环），
故选B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从
小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别根据正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的性质．一次函数的性质进行解答．
【解析】解：A．∵ 开口向下，对称轴是直线 ，且函数图像过 点，
则函数图像过一．三．四象限，故本选项符合题意；
B．∵ 的系数 ，
∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；
C．在 中， ， ，
则函数过一．二．三象限，故本选项错误；D．∵ 中， ，
∴函数图像过二．四象限，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，
关键是根据系数的符号判断图象的位置．
5．已知平行四边形 的对角线 相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的判断条件，即可解答．
【解析】解： 不能判断平行四边形 是菱形，故A不符合题意；
， ， 平行四边形 是矩形，不一定是菱形，故B不符合题意；
四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
，
，
，
四边形 是菱形，故C符合题意；
，
，同B中原理，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解题的关键．
6．如图，已知 和 外切，半径长分别为 和 ．如果半径长是 的 与 、 都相切，那么符合题意的 最多有⋯（ ）．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分 与 和
一内切和一外切， 与 和 两两外切， 与 和 两两内切，三种情况画出示意图求
解即可．
【解析】解：如图所示， 与 和 一内切和一外切有两种情况， 与 和 两两外切有两
种情况， 与 和 两两内切有两种情况，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂运算，准确计算是解题的关键．
根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算；【解析】解： ，
故答案为： ．
8．分解因式 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式
法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用提公因式法分解因式即可．
【解析】 ．
故答案为： ．
9．二次根式 的有理化因式可以是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
根据分母有理化因式的特征进行解答即可．
【解析】解： ，
∴二次根式 的有理化因式可以是 ，
故答案为：
10．函数 的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数 的定义域，为自变量的取值范围，即 分母不为0．
【解析】函数 的定义域为 ，即 ．
故答案： ．【点睛】本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关
键．
11．如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的概率是
．
【答案】
【分析】根据从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任意选取一个数，得出的数是素数的结果有
3种，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：∵从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是素数的
有2、3、5、7共3个，
∴取到的数恰好是素数的概率= ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．已知梯形的中位线长为 ，高为 ，则此梯形的面积为 ．
【答案】50
【分析】根据中位线线性质可知梯形（上底 下底） ，再由梯形面积公式代值求解即可得到
答案．
【解析】解： 梯形的中位线长为 ，高为 ，
由梯形中位线性质可知（上底 下底） ，
此梯形的面积为 （上底 下底） 高 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查梯形中位线性质及梯形面积公式，熟记梯形中位线性质及梯形面积公式是解决问题的关
键．
13．为了解全区4000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小
组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由
此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为 人．【答案】1200
【分析】本题考查的是频率分布直方图，熟练掌握频率直方图的意义是解题的关键．
先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的频率之和，最后根据总数 频率，
即可得到全区体重不小于60千克的学生人数．
【解析】解：由题意得，其中从左至右前四组的频率为
，
∴后两组的频率之和为： ，
∴全区体重不小于60千克的学生人数约为： 人，
故答案为：1200．
14．若方程组 有实数解，则实数k的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据方程组有实数根，得到 ，进行求解即可．
【解析】解：
由②，得： ，
把 ，代入①，得： ，
整理，得： ，
∵方程组有实数根，
∴ ，解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查解二元二次方程组．解题的关键是将二元二次方程组转化为一元二次方程，利用根的判
别式进行求解．
15．某公司产品的销售收入 元与销售量x吨的函数关系记为 ，销售成本 与销售量x的函数关
系记为 ，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨．
【答案】4
【分析】分别求出 ， 的函数关系式，然后联立两关系式即可求出答案．
【解析】解：设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，解得 ，
∴当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
16．如图，已知 中，中线 、 相交于点G，设 ， ，那么向量 用向量 、
表示为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
根据重心的性质可得 ， ，利用三角形法则求出 ，进而可得结果．
【解析】解：∵中线 、 交于点G，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
17．如图，抛物线 ： 与抛物线 ： 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物
线 和抛物线 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果
，那么抛物线 的表达式是 ．【答案】
【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为 ，则 ，利用勾股定理结合 得
到 ，解得 ，则 ，可设抛物线 的解析式为 ，利用待定
系数法求出 ．
【解析】解：在 中，令 ，则 ，
∴ ，
在 中，令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，则
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∵抛物线 经过A、B，
∴可设抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求
出点D的坐标是解题的关键．
18．折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片 ，其中， ， ，找出 的中点 ，在
上找任意一点 ，以 为对称轴折叠 ，得到 ，点 的对应点为点 ，小明发现，当点
的位置不同时， 与 的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当 时， 的长为
．
【答案】 或
【分析】分情况讨论， 于 没有交点时和 于 有交点时，根据含 角的直角三角形的性质，结
合平行线分线段成比例，即可求解．
【解析】解： 是直角三角形， ， ，
， ，
①如图，当 时，设 的延长线交 于点 ，则 ，，
，
由翻折的性质可知， ， ，
，
又 点 是 的中点，
，
，即 ，
；
②如图，当 时，设 交 于点 ，则 ，
同理可得 ， ，，
，即 ，
；
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了翻折的性质，中点的性质，含 角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例，熟
练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌
握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、特殊角的三角形函数值、零指数幂和负整数指数幂运
算法则进行运算，然后相加减即可．
【解析】解：原式
．
20．解不等式组 ，并写出该不等式组的整数解．
【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不
等式组得整数解.【解析】解： ，
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为：-1，0，1.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 在第一象限内的图象相交于点
.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线 向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点 ，与 轴交于点 ，且 的
面积为 ，求直线 的解析式.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）将A点坐标代入直线y= x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析
式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y= x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为 ，列出方程 OC•2= ，解方程求出OC= ，即b= ，进而得
出直线BC的解析式．
【解析】（1）（1）∵直线y= x过点A（m，1），
∴ m=1，解得m=2，
∴A（2，1）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点A（2，1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）连接AC，
由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等，且△ABO的面积为 ，
∴△ACO的面积= ，
∴
∴直线 的解析式
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，
以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．如图1，已知梯形 中， ， ，现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形
（如图2）(1)求 的度数以及 和 的长（ 和 的长用含 的式子表示）；
(2)请画出一个用三块这种梯形 纸片拼成一个等边三角形的示意图（要求不重叠、且等边三角形内没
有空隙）
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据等面积法得出 ，再证明 ，则 ， ，即
可作答．
（2）结合解直角三角形的性质，在 ， ，则 ，即可作图进行作答．
本题考查了相似三角形的性质，等腰梯形，等边三角形的性质，解直角三角形的性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
【解析】（1）解：∵梯形 中， ， ，
∴四边形 是等腰梯形，
∴ ，
∵现用四块这种全等的梯形拼成一个大的梯形（如图2），
∴ ， ， ，
如图所示：在图1中，过点A作 ，记图1的梯形的高为 ，
在图2中，过点E作 ，过点T作 ，图2的大梯形的高为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：如图1，且 ， ，四边形 是等腰梯形，
∴ ，
在 ， ，
∴ ，
∵用三块这种梯形 纸片拼成一个等边三角形，
∴满足题意的等边三角形如图所示：
23．已知：如图，在四边形ABCD中， ，点E在边BC上，且 ，作
交线段AE于点F，连接BF．
(1)求证： ：
(2)如果 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明 ；再通过两组对边平行证明四边形
AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等（2）利用平行四边形对边平行，得到 ，再将题目条件 转化为 ，利
用边角边证明 ，最后利用相似对应角相等，即可得到结论
【解析】（1）∵ ，∴ ∠AEB=∠DCE
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴四边形AFCD是平行四边形
∴
∴
∴
（2）∵
∴
在 中，
∴
∴
∵ ，
在 与 中
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质
是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点
24．已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点 在该抛物线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段 的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点， ，求点Q的坐标；
（3）如果直线 与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 且 ．
【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可；
（2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作 于E点， 轴于F点，根据
三角函数值可证明 ，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联
立等式求解即可；
（3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小
于0的取值范围即可．
【解析】（1）如图1， 抛物线与x轴相交于C点，
，
，
C点在D点的左侧， C(m-2，0)，
又 点P与点C重合， ，m-2=1，m=3，
， A(3，4)，P(1，0)，
；
（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，
得 ，
顶点A在第一象限， m=2，
= ，当x=1时，y=3， P(1，3)，
如图2，连接OP，PQ，作 于E点， 轴于F点，
， ，
，
设PQ延长线与x轴交于点G（x，0），
又 OG=PG， ，解得x=5，
检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，
G（5,0），
设直线PG的解析式为：y=kx+b，将P，G两点坐标代入得 ，求得 ，
PG所在直线的解析式为 ，
联立直线PG和抛物线解析式可得 ，
解得 或 ， Q ；
（3）如图3， 点 在该抛物线上，代入 中，
， ，
又 抛物线与y轴交于点B， B（0， ），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，
代入B、P两点， ，则 ，直线BP的解析式为： ，
令y=0， ，
直线 与x轴的负半轴相交，
， 或 ，
解得m<-2或 0,
点A与点P不重合， ，
综上所述， 且 ．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角
形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，
运用图形解题是解决本题的关键．
25．如图，已知在 中， ，点 是边 中点，在边 上取一点 ，使得 ，延长
交 延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)设 的中点为点 ，
①如果 为经过 、 、 三点的圆的一条弦，当弦 恰好是正十边形的一条边时，求 的值；
② 经过 、 两点，联结 、 ，当 ， ， 时，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)① ②
【分析】（1）根据等边对等角可得 ，再利用三角形的内角和定理得到结论；
（2）①连 ，根据正十边形的中心角可得 ，推出 ，根据对应边成比例
解题即可；②由 ，得 ，过点D作 于点 ，则 ，等
量代换得到 的值，然后根据 ，求出 的长，再利用勾股定理求出半径长即可．
【解析】（1）证明： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
（2）①连 ，
∵D是BC的中点，
∴
∴ 为圆的直径，
联结 ，设经过 、 、 三点的圆半径为r，
弦 恰好是正十边形的一条边，
∴ ，
∴ ，
又∵O、D是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
则 ，即 ，
解得 （舍），
∴ ，
②∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
设 ，
由①可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
如图，过点D作 于点 ，
在 中，
，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ，M是 所在圆的半径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，即
解得 ，
联结 ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理和正多边形，综
合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似．
