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2025 年中考第三次模拟考试（上海卷）
数学·全解全析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.3030030003
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的概念，特殊角的三角函数值，分数指数幂，无限不循环小数是无理数，初中
范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如 ；特定意义的数，如 ；特定结构的数，如
．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【解析】解：A、 ，是无理数，符合题意；
B、 是分数，不是无理数，不符合题意；
C、 ，是分数，不是无理数，不符合题意；
D、3.3030030003是小数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
2．下面的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式、同类项的合并、同底数幂的乘法与幂的乘方逐项判断即可．
【解析】解：A、 ，故计算错误；
B、 ，故计算错误；
C、 ，故计算错误；D、 ，故计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算，乘法公式及同类项的合并等知识，属于基础知识，牢固掌握是关键．
3．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说
明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A． 且 ． B． 且 ．
C． 且 D． 且 ．
【答案】B
【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
【解析】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：B．
【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数
据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
4．关于抛物线 以下说法正确的是（ ）
A．抛物线在直线 右侧的部分是上升的
B．抛物线在直线 右侧的部分是下降的
C．抛物线在直线 右侧的部分是上升的
D．抛物线在直线 右侧的部分是下降的
【答案】C
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解析】解：∵抛物线 ，
∴抛物线在直线 右侧的部分是上升，故选项A、B错误，不符合题意；
抛物线在直线 右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．5．下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到
的四边形可能是等腰梯形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角的度数，结合等腰梯形的性质即可求解．
【解析】解：A、 ，没有相等的角，故不合题意，
B、 ，有2个 的角，符合题意；
C、 ，没有相等的角，故不合题意；
D、 ，没有相等的角，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键．
6．已知在 中， ， ， ，若以 为圆心， 长为半径的圆 与边 有交点，
那么 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求 ，利用三角形的面积公式
可求 ，当圆 的半径为 时，开始与 边有交点，当 时，圆 与 边有交点，当时，圆 与 边没有交点，从而确定 的取值范围．
【解析】解：如下图所示，过点 作 ，
中， ， ， ，
，
，
，
解得： ，
当以点 为圆心的圆的半径 时，圆经过点 ，
当 时，圆 与边 没有交点，
．
故选：D ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．已知 ，则 （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．利用不等式的基本性
质求解即可．
【解析】解： ，
，
故答案为： ．
8．已知 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了求函数值，分母有理化，熟练掌握运算规则是解题的关键．将 代入，然后进行分
母有理化化简即可．
【解析】解：
故答案为： ．
9．已知点P的坐标为 ，则P点到y轴距离为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得答案．
【解析】解：∵点P的坐标为 ，
∴P点到y轴距离为 ，
故答案为：1．
10．方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理方程的解法，解一元二次方程，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，
一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时
平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．
【解析】∵ ，
∴
整理得，或
解得 ， ．
经检验 不符合题意，舍去； 是原方程的解．
∴方程 的解是 ．
故答案为： ．
11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次骰子，掷的点数大于2的概率
是 ．
【答案】
【分析】先求出点数大于2的数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于2的有3，4，5，6共4种结果，
∴掷的点数大于2的概率为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出
现的结果数之比是解答此题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式
kx+b＞0的解集是 ．
【答案】x＜2
【分析】一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方时，y＞0，再根据图象写出解集即可．
【解析】解：当不等式kx+b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方，
∴x＜2．
故答案为：x＜2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题．
13．如果关于 的方程 有实数根，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据题意分两种情况讨论：当方程是一元一次方程时和当方
程是一元二次方程时，然后根据一元二次方程有实数根得到 ，据此列式代入数值进行计算，
即可作答．
【解析】解：当方程是一元一次方程时，
根据题意得， ，
∴ ；
当方程是一元二次方程时，
∵关于x的方程 有实数根
∴
解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14．张老师对本校参加体育兴趣小组的情况进行调查，如左图右图分是收集数据后绘制的两幅不完整统计
图．已知参加体育兴趣小组的学生共有80名，其中每名学生只参加一个兴趣小组．根据图中提供的信息，
可知参加排球兴趣小组的人数占参加体育兴趣小组总人数的百分数是 .
【答案】25%【分析】根据题意求出参加篮球兴趣小组的人数，计算即可．
【解析】解：由题意得，参加篮球兴趣小组的人数为： （人）,
∴参加排球兴趣小组的人数为：80-36-24=20（人），
∴参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数为： ,
故答案为 .
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是
解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
15．如图，已知在矩形 中，点 在边 上，且 ，设 ，那么 ＝
（用 、 的式子表示）．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出 ，根据已知条件得出 ，根据三角形法则即可求解．
【解析】解：∵四边形 是矩形，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平面向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键．
16．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是
3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知：x株需要6210文， 株的运费 一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【解析】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
17．如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形 ．图中有很多顶角为36°的等
腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为 ．若 ，
则 ．
【答案】
【分析】
设 ．由题意可知 ，由 ，可得 ，列出方程即可解决
问题．
【解析】
设 ．由题意可知 ，
∵ ， ，
∴ ，同理 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
∴ 或 不合题意舍去，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝ ，点P是边AD上一点，联结
PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么
AP的值是 ．
【答案】6或10
【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，
通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tanA＝ ＝ ，即可得出AP的
值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tanA＝ ，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tanA＝ ＝ ，可得出△BPQ是
等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.
【解析】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．
设PE＝x．
在Rt AEB中，∵tanA＝ ＝ ，AB＝10，
△
∴BE＝8，AE＝6，
∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，
∴∠EBP＝∠FPQ，
∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，
∴△PBE≌△QPF（AAS），
∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，
∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ＝∠A，
∴tan∠FDQ＝tanA＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝4，
∴PE＝4，
∴AP＝6+4＝10；
如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠APB＝∠BPQ＝90°，
在Rt APB中，∵tanA＝ ＝ ，AB＝10，
△
∴AP＝6；
如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．
在Rt AEB中，∵tanA＝ ＝ ，AB＝10，
△
∴BE＝8，AE＝6，
∴PF＝BE＝8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF＝BF＝FQ＝8，
∴PB＝PQ＝8 ，BQ＝ PB＝16＞15（不合题意舍去），
综上所述，AP的值是6或10，
故答案为：6或10．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.
三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
19．计算：【答案】4-
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得
到结果．
【解析】原式
．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
20．解方程：
【答案】 ，
【分析】将②式因式分解解两个二元一次方程组即可．
【解析】解：
由②得 或
由①③得： ，
把③代入①得： ，
解得： ，
把 代入③得： ，∴方程的解为： ；
由①④得： ，
把④代入①得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
∴方程的解为： .
【点睛】本题考查二元一次方程组，因式分解；注意将②式因式分解转化为两个方程是本题关键．
21．如图，在 中， ，点 在边 上， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；
（1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题．
（2）过点 作 的垂线构造出直角三角形即可解决问题．
【解析】（1）解： ，
，
又 ，．
又 ，
，
．
， ，
．
（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，
，
，
．
在 中， ，
．
22．空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、
级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气
质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为
100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．）
如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．
空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250
天数 3 3 3
频率 0.1 0.1 0.1
（注：每组数据可含最高值，不含最低值）(1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：
这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天． ________； ________； ________；
________．
(2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面
积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿
化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到
0.01）（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)3，12，9，0.4，0.3
(2)
【分析】（1）根据样本容量=天数÷频率，求得样本容量，根据 计算出良好的频率，后运用公
式依次计算即可．
（2）设平均增长率为x，根据题意得 计算即可．
【解析】（1）根据题意，得轻度污染天数为3天，样本容量为： ，
∵ ，
∴良好天气的频率为 ，∴优秀天气的频率为 ，
∴ ，
∴优秀天气的频率为 ，
故答案为：3，12，9，0.4，0.3．
（2）设平均增长率为x，根据题意得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 或 （舍去）
故这两年中绿化面积每年的增长率为 ．
【点睛】本题考查了频数分布表，一元二次方程的增长率问题，熟练掌握频数分布表，增长率问题是解题
的关键．
23．已知：如图，在四边形 中， ，点E是对角线 上一点， ，且
．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)延长 分别交线段 的延长线于点 ，如果 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 得 , 则 ，所以 ，则四边形
是平行四边形， 由 且 得 , 所以
则 , 即可证明四边形 D是菱形；（2）由菱形的性质得 , 而 , 所以 , 可证明 , 得
则 再证明 , 得 所以 , 再证明
, 得 则 即可证明
【解析】（1）)证明: ∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是平行四边形，
∵ ,
∴ ,
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴四边形 是菱形；
（2）证明：根据题意作图如下，
∵四边形 是菱形,
∴ ，∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
，
，
∵ ,
∴ ,
，
∴ ,
∴ , 且 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质等知识，推导出 是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如果点 的坐标为 ，连接 、 ，求 的正切值；
(3)在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，当 时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标；
（2）过D作 延长线的垂线，通过证明 求出 和 的长度，再求出正切值；
（3）设 ，通过 可求出参数t，从而得出P点坐标．
【解析】（1）解：将 ， 代入抛物线 ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
令 ，得 ，
故 ．
（2）解：过 作 交 延长线于 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
（3）解：设 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 或 舍去，经检验符合题意；
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题
的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．在 中， ， ， ，点O是 边上动点，以O为圆心， 为半径的
与边 的另一交点为D，过点D作 的垂线，交 于点E，交 于点F，连结 ．
(1)如图1，当 时， 求 的半径长；
(2)设 ， ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时，求 的长．
【答案】(1) 的半径长为 ；
(2) ；
(3) 的长为 或 ．
【分析】（1）连接 ，证明四边形 为平行四边形，利用相似求出 ，再在 中，
根据勾股定理求出半径；
（2）作 于M，利用相似表示出 和 ，再根据勾股定理求出 即可；当点D在点B处时，
根据勾股定理求出半径即可讨论出x的取值范围；（3）若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时， ，把 代关系式，
求出x即可解答．
【解析】（1）解：如图1，连接 ，
设半径为r，
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ 的半径长为 ；
（2）解：如图2，作 于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
当点D在点B处时，
如图3，连接 ，
在 中，，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 经过点B、点E时， ，
把 代入 ，
整理得
解得 或 ，
∴ 的长为 或 ．
