文档内容
2025 年中考押题预测卷（上海卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意；
B． 是最简二次根式，符合题意；
C． ，不是最简二次根式，不符合题意；
D． ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意；故选C．
3．不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：不等式组 ，
解不等式①得 ．
解不等式②得 ．
所以原不等式组的解为 ．
故选：A．
4．为庆祝鹊桥二号中继通信卫星发射成功，学校开展了航天知识竞赛活动．甲、乙、丙、丁四位同学的
初赛成绩如下表，如果要从4名同学中选一名成绩好且状态稳定的参加决赛，那么应该选择（ ）
一 甲 乙 丙 丁
平均分 97 96 98 98
方差 1.6 0.3 0.3 1.8
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】C
【详解】解：由表格可知，丙同学的平均分最高，方差最小，
故丙同学的成绩好且状态稳定，
所以应该选择丙同学参加决赛；
故选C．
5．如图，在四边形ABCD中， ，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩
形( )
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：再添加条件为AD＝BC，AC＝BD可以判定四边形ABCD为矩形，理由如下：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
6．如图，已知 ， ， ， ， 、 是 边上的点， ，如果以
为直径的圆与以 为直径的圆相离，且以 为直径的圆与边 有公共点，那么 的值可以是
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，（负值已经舍去）
∴ ，
如图，取 的中点 ，即 ，∵ ，
∴ ，即 ，
过点 作 ，连接 ，
∴ ，
∴以 为直径的圆与边 有公共点时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
取 的中点 ，即 ，
∴ ，
又∵以 为直径的圆与以 为直径的圆相离，即 ，
∴ ，
∴ ，即：
∴ ，
综上所述： ，
∵ ，C选项在取值范围内，故符合题意，
， ， ，选项A、B、D不在取值范围内，不符合题意．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．因式分解：
【答案】
【详解】解： ．
故答案为： ．
8．函数 的定义域为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
故答案为： ．
9．方程 的解是
【答案】x=10
【详解】由题意得：x-1=32，解得：x=10，
故答案为10.
10．一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【答案】10
【详解】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合
∴ n的值为：
故答案为：10
11．若一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，，
解得： ．
故答案为： ．
12． （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型
语言模型领域表现突出．如： 是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参
数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是
．
【答案】
【详解】解：2360亿 ；
故答案为： ．
13．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放
回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在 左右，那么摸出黑球的概率约为
【答案】
【详解】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在 左右，
∴ ，
故答案为 ；
14．如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设
， ，那么向量 ＝ .（用向量 、 表示）
【答案】【详解】解：∵ ＝ ＝﹣ ﹣ ，CD＝ AC，
∴CD＝ （﹣ ﹣ ），
∴ ＝ ＝ + （﹣ ﹣ ）＝ ，
故答案为： ．
15．如图，在 中，点F为 中点，延长 至点E，使 ，连接 交 于点G，
则 ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
点F为 中点， ，
， ，
；
，
， ，
，
，
即 ，
故答案为： ．
16．已知抛物线 的顶点为 ， 、 、 、 是抛物线上的四点，且线段 、 都垂直于抛物线的对称轴．如果 ， ，那么 的值等于 ．
【答案】
【详解】解：∵抛物线方程为 ，
∴顶点为 ，对称轴为直线 ，
∵线段 、 都垂直于抛物线的对称轴， ， ，
∴线段 、 为水平方向，中点在对称轴上，
∴设 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为
，
∴ 的纵坐标： ，
的纵坐标为： ，
∴ 的面积：底为 ，高为顶点 到 的垂直距离 ，面积为 ，
的面积：底为 ，高为顶点 到 的垂直距离 ，面积为 ，
∴面积比为 ，
故答案为： ．
17．我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为
5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ．
【答案】
【详解】解：如图， 中， ，作 于点 ，∴ ，
∴ ，
设三角形的外心为 ，外接圆半径为 ，
∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上，
∴ 在 所在直线上，
设 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍，
∴重心G在 在 上，且 ，
∴“变形值”等于 ，
故答案为：
18．如图，矩形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的动点（不与端点重
合），如果把四边形 沿直线 翻折，得到四边形 （点 、 分别与点 、 对应），连接
、 ，当 时， 的周长为 ．【答案】
【详解】解：如图：延长 到任意一点P，连接 ，
∵矩形 中， ， ，点 是 的中点，
∴ ，
∵把四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，
∴点E与点D关于直线 对称，点F与点A关于直线 对称， ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
故答案为： ．
三、解答题:(本大题共7题，共78分)
19．(本题满分10分)
计算： ．
【详解】解：原式
．
20．(本题满分10分)
解方程组：
【详解】解： ，
由②得， ③，
把③代入①，得 ，整理，得 ．
解得 ， ，
将 代入③，得 ；
将 代入③，得 ．
所以，原方程组的解是 ， ．
21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 （k是常数，且 ）交于点 ．
(1)求k与m的值：
(2)直线 与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线 于点C，求 的面积．
【详解】（1）解：把点 代入 得到 ，
∴ ，
把 代入 得到 ，
解得
（2）当 时， ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，由（1）可得， ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∴
∵ ，
∴ 的面积为 ．
22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分)
图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图．
信息1：经过测量得到： ， ， ， ．（底座 的高度忽略
不计）
信息 为顾客看展板时眼睛所在的位置， ，垂足 在 的延长线上，当视线 与展板 垂
直时，称点 为“最佳观察点”．
任务（1）：求展板最低点 到地面 的距离；
任务（2）：如果 ，当点 为“最佳观测点”时，求点 到 的距离．（参考数据：
）
【详解】解：（1）如图2，过 作 于 ，过 点作 于 ，作 于 ，
在 中， ， ，，
，
，
又 ，
，
，
，
在 中， ，
，
答：展板最低点 到地面 的距离为 ；
（2）如图，过 点作 于 点，作 于 点，
由（1）知 ， ，
，
， ，
，
，
，
设 ，
，
， ， ，
，
在 中， ，
，
，答：当点 为“最佳观测点”时，求点 到 的距离为 ．
23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已知：如图，在正方形 中，点E、F分别在边 、 上，且 ．对角线 分别交 、
于点M、N，联结 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)过点C作 交 的延长线于点P，如果 ，求证： ．
【详解】（1）证明：联结 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵ ，即 ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）证明：∵四边形 是正方形， 是对角线
∴ ， ，
由（1）得四边形 是菱形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
在平面直角坐标系 中，有抛物线M： 过点 和点 ，与y轴交于点C，顶点
为P．
(1)求M的表达式和P点的坐标；
(2)沿着射线 平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q．
①当平移的距离为 时，若点 和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点 在抛物线N上．
②延长线段 、 ，交点为点D．当 时，求 的值．
【详解】（1）解：把点 和点 代入解析式得：
，
解得 ；
故抛物线M的表达式为 ．配方，得 ，
故抛物线顶点坐标为 ．
（2）① 解：由抛物线表达式 可知 ，由 得抛物线对称轴为直线 ；
根据题意，设 ，得 ，
解得 ，
故点 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
根据题意，设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，当 时， ，
故点 在抛物线 上．
② 解：连接 ，交射线 于点E；
由点 和点 ，得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
故 ，
解得 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 的垂直平分线上即在抛物线的对称轴直线 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
∴ 时， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
故 ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知，在 中， ， 是边 上一动点，联结 ．点 在线段 上，且
，以点 为圆心， 为半径作 ，交边 于点 ．
(1)当点 与点 重合时，判断 与边 的位置关系并说明理由；
(2)已知点 在 上，且 ， 与边 交于点 ，当 经过圆心 时（如图），求 的值；
(3)过点 作 ，交边 于点 ，当 与线段 只有一个交点时，求 的取值范围．
【详解】（1）解： 与边 相切，理由如下：
过点C作 于点 ，∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点O作 于点 ,
∵ ，当点 与点 重合时，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 为半径， 为点O到边 的距离，
∴ 与边 相切；
（2）解：∵ ， 经过圆心，
∴ ，
∵ 经过圆心 ，∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 为半径， ，
∴ ，
∴ 一定不经过点 ，
当 与线段 相切时，如图：
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
当 经过点 时，过点 分别作 ，垂足分别为 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴当 时，符合题意，
综上所述，当 与线段 只有一个交点时， 或 ．
