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目 录 contents
（三）
图形的初步认识……………………………………………………………………01
三大几何变换………………………………………………………………………48
三角形………………………………………………………………………………102
图形的相似…………………………………………………………………………161
锐角三角函数………………………………………………………………………217图形的初步认识
从题型来看，主要会以选择题和填空题的形式出现，毕竟这种基础知识点，考查的就是学生的掌握程
度，题目不会太难。当然，也不能掉以轻心，有时候也会出一些稍微灵活一点的题目，需要学生结合其他
知识点进行解答。
在内容上，可能会涉及到图形的性质、分类、以及基础的几何变换等等。
Ⅰ、线段、射线、直线
一、线段
1. 线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.2. 线段的特征：有两个端点，有长度，无方向.
3. 线段的表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA；
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a.
4. 线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
5. 线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段 AB的延长线”和“线段BA的延
长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）.
6. 线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.
（1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上；
（2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点
C可能在线段AB外）.
二、射线
1. 射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
2. 射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延
伸.
3. 射线的表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端
点写在前面，如图1所示，可记为射线AB；
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a.
在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所
表示的射线也不同.
若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来.
三、直线1. 直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.
直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细
线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述；
直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量.
2. 直线的表示方法：
（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)；
（2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a.
3. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线.
4. 点与直线的位置关系
（1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A；
（2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.
5. 线段、射线、直线的区别与联系
线段 射线 直线
图形
表示方法 线段AB或线段BA或线段a 射线AB或射线a 直线AB或直线BA或直线a
端点个数 2 1 0
延伸情况 不能延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸
度量情况 能度量 不能度量 不能度量
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成
联系
为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线
四、线段的画法及长短比较
1. 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2. 画一条线段等于已知线段
（1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段；
（2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段.3. 线段长短的比较
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端
点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
Ⅱ、角
一、角
1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的
两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
2. 动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的
平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起
始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.
3. 平角与周角
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成
的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；
4. 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.
5. 角的表示方法
表示方法 图例 记法 适用范围用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母
要写在中间
用一个大写字母表示 ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只
有一个时，可用这个顶点的字母来表
示
用数字表示 ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并
标上数字或希腊字母，任何情况下都
适用
用希腊字母表示
PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.
二、角的度量单位和换算
1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°
的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.
2. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
3. 角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点：
（1）对中：顶点对准量角器的中心；
（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；
（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.
三、比较角的大小
1. 度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；
2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另
一条边的位置来比较两个角的大小.
四、角的和、差
1. 两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；
2. 在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，
相减时要借1作60.
五、角的画法
1. 用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角.
画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画
一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.
2. 用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角.3. 用圆规和直尺作一个角等于已知角
（1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；
（3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’；
（4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角.
六、角的平分线
如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.
PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.
如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；
六、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线 OA的方向是北偏东60°；射线
OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.
1. 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
2. 方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
3. 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向；
4. 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点.Ⅲ、余角、补角、对顶角
一、余角和补角
1. 余角：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另
一个角的余角.
2. 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的
补角.
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.
，
.
（1）互余、互补指的是两个角之间的数量关系，它们是成对出现的，单独一个角不能说互余或互补；
（2）若 互余，则 ，若 互补，则 ；
（3）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一
个锐角，另一个是钝角；
（4）钝角没有余角；
（5）一个角的余角（补角）可以有多个，且度数都是相等的.
二、余角和补角的性质
1. 余角的性质：同角（等角）的余角相等；
2. 补角的性质：同角（等角）的补角相等；
3. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.
三、对顶角
1. 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角.（1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点；
（2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角.
Ⅳ、平行
一、平行的概念及表示
1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2. 表示方法：如图所示，两条直线平行，记作a∥b或AB∥CD，读作“a平行于b”或“AB平行于
CD”.
同一平面内不想交的两条直线互相平行，空间里不想交的直线不一定是平行线.
3. 平行线须满足的条件：①直线，②在同一平面内，③不想交.
4. 同一个平面内，两条直线的位置关系有两种，平行或相交.
5. 平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
由基本事实可以推出下面的结论成立：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
二、利用直尺和三角尺画平行线
过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：
1. 落：将三角尺一边落在已知直线上；
2. 靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；
3. 推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置；4. 画：沿三角尺的这一边画直线.
PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确.
Ⅴ、垂直
一、垂线的概念及表示
1. 垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直
线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段）
2. 垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
3. 表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.
4. 两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”.
5. 线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直.
二、垂线的画法
如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角
边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直
线就为已知直线的垂线.
三、垂线的结论
1. 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2. 垂线段及其性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短.
3. 点到直线的距离如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，上图中，线段AB的长度就
是点A到直线l的距离.
4. 已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.
5. 连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
6. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，并不是垂线段.
Ⅵ、直线平行的条件与性质
一、认识同位角、内错角、同旁内角
两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所示：
1. 同位角：如图所示，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角，
位置特征：在两条被截直线同一方，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）.
2. 内错角：如图所示，像∠7与∠2这样的一对角称为内错角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线两旁（交错）；
图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）.
3. 同旁内角：如图所示，像∠7与∠6这样的一对角称为同旁内角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）.
PS：（1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关
系是不确定的；
（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，“三线八角”中共有4对同位角，2
对内错角，2对同旁内角.二、两条直线平行的条件
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
除了 三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行
线），平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.
三、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.
四、平行线的判定与性质的区别
条件 结论 作用
同位角相等 两直线平行
判定 内错角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系
同旁内角互补 两直线平行
两直线平行 同位角相等
性质 两直线平行 内错角相等 由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行 同旁内角互补
从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.1．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．63°
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出
∠COD的度数．
2．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到
∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝125°，
∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇
淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向
【分析】根据题意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DCB＝70°，
从而根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝70°，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，
故选：D．
【点评】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光线
相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的
性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出
∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
5．（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四
个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
【分析】根据平行的本质是平移，将线段AB、线段BC平移至线段PQ上，若重合则平行，若不重合则
不平行．延长线段DB、线段DA与线段PQ相交，观察所成的角是否为直角判定是否垂直．
【解答】解：连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位，将点B向上平移3个单位后，点B
不在PQ直线上，
∴AB与PQ不平行，选项A错误，
连接BC，将点B平移到点P，即为向上平移4个单位，再向右平移1个单位，将点C按点B方式平移后，点C在PQ直线上，
∴BC∥PQ，选项B正确，
连接BD、AD，并延长与直线PQ相交，
根据垂直的意义，BD、AD与PQ不垂直，
选项C、D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了学生在网格中的数形结合的能力，明确平行的本质是平移，将线段平移后观察是否
重合从而判定是否平行是解决本题的关键．
6．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数
为 ．
【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD ∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023•阜新）将一个三角尺（∠A＝30°）按如图所示的位置摆放，直线a∥b，若∠ABD＝20°，则∠
的度数是 ． α
【分析】根据题意求出∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠DBC＝60°﹣20°＝40°，根据平行线的性质即可求
解．
【解答】解：∵三角尺（∠A＝30°），
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠ ＝∠BDC＝50°，
故答α案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2023•威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反
射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝ °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠POB＝∠OBD＝90°，那么∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝
60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC＝∠AOP＝60°．
【解答】解：∵BD∥PQ，
∴∠POB＝∠OBD＝90°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°，
∵AC∥PQ，
∴∠OAC＝∠AOP＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
1．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠ 与∠ 相等（
） α βA． B．
C． D．
2．（2023•涟源市一模）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（
）
A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°
3．（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
4．（2024•霍邱县模拟）将一副三角板ADE和ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，一直角顶
点D落在BC上．若AE∥BC，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．75° C．60° D．65°
5．（2023•凤凰县模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，则∠1＝ ．6．（2023•涪城区模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿着BD翻折，使点A落在点
A′处，且A'D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，
若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ °．
7．（2023•前郭县二模）如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于
点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
8．（2023•本溪二模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，且DE＝3AE，点F是边AB上的
一动点，连接CF，以CF为斜边在CF的上方作等腰直角△CFG，连接EG，则线段EG的最小值为
．1．（2024•南宁模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．（2024•冠县一模）汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是
（ ）
A．第一次左拐45°，第二次右拐135°
B．第一次左拐45°，第二次左拐135°
C．第一次左拐45°，第二次左拐45°
D．第一次左拐45°，第二次右拐45°
3．（2024•武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂
直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形
成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D
处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为（ ）
A．71° B．72° C．54° D．53°
4．（2023•雨山区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P
是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小
值是（ ）A． B．1 C． D．
5．（2024•南山区一模）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边
长为1，则BC＝ ．
6．（2024•金平区校级一模）如图，把一个长方形纸条 ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，
则∠BAF＝ ．
7．（2023•柯城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边
BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖 A的横坐标是1，则
“猫”爪尖F的坐标是 ．8．（2023•洞头区二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠
CF，HG可分别绕着点 F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB＝BD＝25cm，CF＝BF＝
10cm，HG＝16cm，当支点C与点A的距离为9cm时，则点D到AB的距离为 cm，此时，再
移动支点 G，当点 F 与点 G 重合时，D、E 两点的水平距离是垂直距离的两倍，则 DH＝
cm．
1．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（
）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
2．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且
B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°3．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，
∠DCB的度数是（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部 AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则
∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．若∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（2x+10）°，∠ ＝（3x﹣20）°，则∠ 的度数为
． α β α β α
6．如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝ °．
7．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示
意图，其中 AB，CD 都与地面 l 平行，∠BCD＝ ，∠BAC＝ ，AM∥CB，则∠MAC 是
．（用含 ， 的式子表示） α β
α β8．如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．
（1）求证：∠1+∠2＝90°．
（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予
证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．
（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予
证明；如果不成立，请直接写出正确结论．
1．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠ 与∠ 相等（
） α β
A． B．C． D．
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得
解．
【解答】解：A、∠ +∠ ＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角α相等，β ∠ ＝∠ ，且∠ 与∠ 均为锐角，符合题意；
C、∠ +∠ ＝180°﹣90°＝90α°，互余β ，不符α合题意β；
D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．
故选：αB．β
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2．（2023•涟源市一模）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（
）
A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°
【分析】根据方向角的定义可得：∠AOC＝30°，然后利用角的和差关系可求出∠BOC＝60°，从而根据
方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠AOC＝30°，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC＝∠BOA﹣∠AOC＝60°，
∴OB的方位角是北偏西60°，
故选：C．【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
3．（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【分析】根据判定直角的条件，4个图分别分析判断即可．
【解答】解：
①∵三条边分别为3、4、5，32+42＝52，根据勾股定理的逆定理，
∴△AOD为直角三角形，
∴∠AOB是直角．
故①符合题意．
②∵直径所对应的圆周角是直角，
∴∠AOB是直角．
故②符合题意．
③设两弧交于点D．连接，CD、BD．
∵CA＝CD，
∴点C在AD的垂直平分线上；
又∵BA＝BD，
∴点B也在AD的垂直平分线上．
∴BC是AD的垂直平分线．∴∠AOB是直角．
故③符合题意．
④设两弧交于点D．连接CD、ED、AE．
∵根据作图可知，DC＝DE，CA＝CE，
∴点D在CE的垂直平分线上，但点A不一定在CE的垂直平分线上，
∴∠AOB不一定是直角．
故④不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的概念，如何判定一个角是不是直角．
4．（2024•霍邱县模拟）将一副三角板ADE和ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，一直角顶
点D落在BC上．若AE∥BC，则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．75° C．60° D．65°
【分析】先利用平行线的性质可得∠C＝∠EAC＝30°，从而利用角的和差关系可得∠CAD＝15°，然后
再利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝15°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023•凤凰县模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，则∠1＝ 135 ° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠AFC的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到∠1的度数．
【解答】解：延长CE交AB于点F，如图所示：
∵AB∥CD，∠C＝45°，
∴∠AFC＝∠C＝45°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠1＝∠AEF+∠AFC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思
想解答．
6．（2023•涪城区模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿着BD翻折，使点A落在点
A′处，且A'D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，
若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ 8 0 °．
【分析】先由平行线性质得：∠A′＝∠CBE，再由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，
∠BC'E＝∠C，则∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，由三角形内角和定理知∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝
180°，而∠C'EB＝75°，可求得∠C+∠DBE＝105°，然后由∠A+∠C+∠ACB＝180°，则∠C+4∠DBE＝
180°，即可求出∠C度数．
【解答】解：∵A′D∥BC，
∴∠A′＝∠CBE，由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，
∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，
∴∠BC'E+∠DBE＝105°，
∴∠C+∠DBE＝105°，
∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，
∴∠C+4∠DBE＝180°，
∴∠C＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出∠C+∠DBE＝105°和
∠C+4∠DBE＝180°是解题的关键．
7．（2023•前郭县二模）如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于
点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 40 ° ．
【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°，可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可
求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD＝∠CBD，进而可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠1+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠1，
∵∠1＝25°，
∴∠CBD＝65°，∠ABD＝25°，
由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，
∴∠2＝∠CBD﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得∠2+∠ABD＝∠CBD
是解题的关键．
8．（2023•本溪二模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，且DE＝3AE，点F是边AB上的一动点，连接CF，以CF为斜边在CF的上方作等腰直角△CFG，连接EG，则线段EG的最小值为 3
．
【分析】连接AC，BD，BG，其中AC，BG交于点O，先判断出点B，C，G，F四点共圆，根据圆周角
定理可得∠BGF＝∠BCF，再根据角的和差可得∠BCF＝∠ACG＝∠BGF，则∠COG＝90°，从而可得
在动点F移动过程中，点G在BD上移动，然后根据垂线段最短可得当EG⊥BD时，EG的值最小，解
直角三角形即可得．
【解答】解：如图，连接AC，BD，BG，其中AC，BG交于点O，
∵正方形ABCD的边长为8，且DE＝3AE，
∴DE＝6，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝45°，
∵△CFG是以CF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠GCF＝45°，∠CGF＝90°，
∴点B，C，G，F四点共圆，
由圆周角定理得：∠BGF＝∠BCF，
又∵∠BCF+∠ACF＝45°＝∠ACG+∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACG，
∴∠BGF＝∠ACG，
∴∠ACG+∠OGC＝∠BGF+∠OGC＝∠CGF＝90°，
∴∠COG＝90°，即AC⊥BG，
∴在动点F移动过程中，点G在BD上移动，
由垂线段最短可知，当EG⊥BD时，EG的值最小，
此时EG＝DE⋅sin45°＝3 ，
所以线段EG的最小值为3 ，
故答案为：3 ．【点评】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点，正确判断出点G在BD上移
动是解题关键．
1．（2024•南宁模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据图形中的等量关系得：∠1+∠2＝90°，再由∠1的度数，即可得出答案．
【解答】解：由图可知：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠1＝70°．
∴∠2＝180°﹣∠1＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组与实际问题，解题的关键是正确找出等量关系，列出二元一次方程
组．
2．（2024•冠县一模）汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是
（ ）
A．第一次左拐45°，第二次右拐135°
B．第一次左拐45°，第二次左拐135°
C．第一次左拐45°，第二次左拐45°
D．第一次左拐45°，第二次右拐45°
【分析】根据题意作图即可求解．【解答】解：如图：
第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2且方向不同，因为平行前进，故∠1＝∠2，
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用．
3．（2024•武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂
直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形
成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D
处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为（ ）
A．71° B．72° C．54° D．53°
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后
又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的 度数．
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝36°，
∴∠2＝90°﹣36°＝54°，在△DEF 中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝72°，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线DF⊥AO，在直角三角形中解决
问题．
4．（2023•雨山区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P
是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小
值是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．证明△CDP≌△TDQ（SAS），推出∠DCP＝
∠DTQ＝90°，推出∠CTQ＝30°，推出点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小．解法二：
在CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．利用全等三角形的性质解决问题即
可．
【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．
∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，
∴∠CDP＝∠QDT，
在△CDP和△TDQ中，
，
∴△CDP≌△TDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，
∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，
∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），
当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值 CT CD BC＝1，
解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．
∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，
∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，
∵DP＝DQ，DM＝DC，
∴△DPM≌△DQC（SAS），
∴PM＝CQ，
∴PM的值最小时，CQ的值最小，
当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH CD＝1，
∴CQ的最小值为1．
故选：B．【点评】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2024•南山区一模）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边
长为1，则BC＝ 8 ．
【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∠EFH＝∠B，
∴△EFH∽△EBP，
∴ ，
∴ ，解得PB＝6，
∴BC＝PB+CP＝6+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求出BP的长是解答本题的关键．
6．（2024•金平区校级一模）如图，把一个长方形纸条 ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，
则∠BAF＝ 58 ° ．
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAE的度数，根据图
形翻折变换的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∵∠BAD＝90°．
∵∠ADB＝26°，
∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°．
∵AE∥BD，
∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°，
∴∠BAF ∠BAE＝58°．
故答案为：58°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
7．（2023•柯城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边
BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖 A的横坐标是1，则
“猫”爪尖F的坐标是 ( , ) ．【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的
边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A 的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结
论．
【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方
形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,
∴AH＝DH＝a,
∴OH＝4a,
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1,
∴a ,
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a ,
∴PQ PF ,
∵FK⊥PQ,
∴PK＝KQ,∴FK＝PK＝QK ,
∵KJ ，PT＝1+( ) ,
∴FJ ,KT＝PT﹣PK ,
∴F( , )．
故答案为：( , )．
【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形
的判定和性质等知识，解题的关键是理解七巧板的特征，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考创
新题型．
8．（2023•洞头区二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠
CF，HG可分别绕着点 F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB＝BD＝25cm，CF＝BF＝
10cm，HG＝16cm，当支点C与点A的距离为9cm时，则点D到AB的距离为 15 cm，此时，再移
动支点G，当点F与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH＝
cm．
【分析】第一空，利用等腰三角形的性质、三角函数和勾股定理即可求解；第二空，利用两角和的三角
函数及勾股定理进行求解．
【解答】解：（1）过点F作FI⊥AB，交AB于点I；过点D作DJ⊥AB，交AB于点J．
∵AC＝9，
∴BC＝AB﹣AC＝25﹣9＝16．又∵FI⊥AB，且CF＝BF＝10，
∴BI BC 16＝8，
∴FI 6，
∴sin∠FBI ，即 ，则DJ＝15．
故答案为：15．
（2）过点H作HK⊥BD，交BD于K，过点D作直线DM∥AB，过点E作直线EN⊥DM，交DM于点
O．
∵tan∠EDO ，sin2∠EDO+cos2∠EDO＝1，
∴sin∠EDO ，cos∠EDO ，
∵sin2∠ODB+cos2∠ODB＝1，
∴sin∠ODB ，cos∠ODB ，
∵HK＝DH•sin∠HDK，
KF＝DF﹣DK＝BD﹣BF﹣DK＝25﹣10﹣DH•cos∠HDK＝15﹣DH•cos∠HDK，
HK2+KF2＝HF2，
又 ∵ sin∠ HDK ＝ sin （ ∠ EDO+∠ ODB ） ＝ sin∠ EDO• cos∠ ODB+cos∠ EDO• sin∠ ODB
，
∴cos∠HDK ．
∴HK ，KF＝15 ，代入HK2+KF2＝HF2，整理得DH2﹣6 DH﹣31＝0，解方程得：DH＝3 ，
∵DH＞0，
∴DH＝3 2 ．
故答案为：3 2 ．
【点评】本题主要考查点到直线距离的求解，涉及到两角和的三角函数，计算量非常大．
1．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（
）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
【分析】分两种情况求解：①当OC在∠AOB内时；②当OC在∠AOB外时；分别画图求出∠BOC即
可．
【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，
∴∠BOC＝45°；
如图2，当OC在∠AOB外时，
∵∠AOC：∠AOB＝1：4，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°，
∴∠BOC＝75°；
∴∠BOC＝45°或75°，
故选：D．【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角的计算方法，数形结合解题是关键．
2．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且
B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝
75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度
数，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，
∠DCB的度数是（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】由反射定律得到：∠OBC＝∠ABM＝35°，由平角定义求出∠ABC＝110°，由平行线的性质推
出∠BCD+∠ABC＝180°，即可求出∠BCD＝70°．
【解答】解：由反射定律得到：∠OBC＝∠ABM＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠BCD+∠ABC＝180°．4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部 AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则
∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可
求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠4+∠5＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
5．若∠ 与∠ 的两边分别平行，且∠ ＝（2x+10）°，∠ ＝（3x﹣20）°，则∠ 的度数为 70 ° 或 86 °
． α β α β α
【分析】根据两边互相平行的两个角相等或互补列出方程求出x，然后求解即可．
【解答】解：∵∠ 与∠ 的两边分别平行，
∴①∠ ＝∠ ， α β
∴（2x+α10）°β＝（3x﹣20）°，解得x＝30，
∠ ＝（2×30+10）°＝70°，
或α②∠ +∠ ＝180°，
∴（2x+α10）β°+（3x﹣20）°＝180°，
解得x＝38，
∠ ＝（2×38+10）°＝86°，
综α上所述，∠ 的度数为70°或86°．
故答案为：70α°或86°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况
考虑．
6．如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝ 15 0 °．
【分析】两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答．
【解答】解：如图，
∵m∥n，∠1＝110°，
∴∠4＝70°，
∵∠2＝100°，
∴∠5＝80°，
∴∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠6＝150°，
故答案为：150．
【点评】本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到
角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．7．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示
意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝ ，∠BAC＝ ，AM∥CB，则∠MAC是 180 ° ﹣ ﹣
．（用含 ， 的式子表示） α β α β
α β
【分析】由AB∥CD得到∠BCD+∠ACB+∠CAB＝180°，代入∠BCD＝ ，∠BAC＝ 得到∠ACB＝180°
﹣ ﹣ ，由AM∥CB即可得到∠MAC＝∠ACB＝180°﹣ ﹣ ． α β
【α解答β】解：∵AB∥CD， α β
∴∠BCD+∠ACB+∠CAB＝180°，
∵∠BCD＝ ，∠BAC＝ ，
∴∠ACB＝1α80°﹣∠BCDβ﹣∠CAB＝180°﹣ ﹣ ，
∵AM∥CB， α β
∴∠MAC＝∠ACB＝180°﹣ ﹣ ．
故答案为：180°﹣ ﹣ ． α β
【点评】本题考查α了平β行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．
（1）求证：∠1+∠2＝90°．
（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予
证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．
（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予
证明；如果不成立，请直接写出正确结论．【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可得∠BEM＝∠1，进而∠MEF＝∠2，即可证得
结论；
（2）过点E作EN∥AB，利用平行线的性质可得∠BEN＝∠1，进而∠NEF＝∠2，即可证得结论∠2﹣
∠1＝90°；
（3）过点E作EG∥CD，利用平行线的性质可得∠GEF＝∠2，进而∠BEG＝∠1，即可证得结论∠1﹣
∠2＝90°．
【解答】（1）证明：如图，
过点E作EM∥AB，则∠BEM＝∠1，
又∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MEF＝∠2，
∴∠1+∠2＝∠BEM+∠MEF＝∠BEF，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
（2）解：结论不成立，∠2﹣∠1＝90°．
证明：如图，
过点E作EN∥AB，则∠BEN＝∠1．
又∵AB∥CD，
∴EN∥CD，则∠NEF＝∠2，
∴∠2﹣∠1＝∠NEF﹣∠BEN＝∠BEF，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，∴∠2﹣∠1＝90°．
（3）解：结论不成立，∠1﹣∠2＝90°．
证明：如图，
过点E作EG∥CD，则∠GEF＝∠2．
又∵AB∥CD，
∴EG∥AB，则∠BEG＝∠1，
∴∠1﹣∠2＝∠BEG﹣∠GEF＝∠BEF，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠1﹣∠2＝90°．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
三大几何变换平移变换：可能会给出一些简单的图形，要求考生判断这些图形是否经过平移得到。
考察平移的两大要素：平移的方向和平移的距离。可能会给出一个图形平移前后的位置，要求考生计
算平移的方向和距离。
结合其他知识点，比如结合相似图形、全等图形等，进行综合考查。
旋转变换：可能会要求考生判断一个图形是否经过旋转得到，以及旋转的中心、方向和角度。
考察旋转的性质，比如对应点到旋转中心的距离相等、对应角度相等等。
可能会结合特殊图形（如正方形、等腰直角三角形等）进行旋转变换的考查。
轴对称变换：可能会给出一些图形，要求考生判断这些图形是否是轴对称的，以及找出对称轴。
考察轴对称的性质，比如对应点到对称轴的距离相等、对应线段相等且平行于对称轴等。
可能会结合其他知识点，如相似图形、全等图形等，进行综合考查。
此外，三大几何变换之间也可能会进行交叉考查，比如给出一个图形经过平移和旋转后得到的图形，
要求考生找出原图形等。
总的来说，中考数学对三大几何变换的考查会比较全面和深入，需要考生掌握这些变换的定义、性质
和应用方法。
Ⅰ、图形的平移
一、平移的概念1、平移的定义：在平面内，把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移
动简称为平移。
2、平移的两个要素：
（1）平移方向；（2）平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相
重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应
角。
4、平移方向和距离的确定
（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么
怎样确定这两点呢？
A.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也
有时另给平移距离的长度。
B.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。
C.具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。
D.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10cm）
（2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点
的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
二、平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③图形的形状与大小都不变（全等）；
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
三、平移作图
平移作图的步骤：
1. 定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
2. 找：找出确定图形形状的关键点；
3. 移：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；
4. 连：按原图顺序依次连接各对应点.
确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.Ⅱ、轴对称与轴对称图形
一、轴对称
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对
称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
1. 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图
形一定全等；
2. 对称轴是一条直线，而不是线段或射线；
3. 成轴对称的两个图形的位置固定后，其对称轴只有一条；
4. 对称点通常在对称轴的两侧，对称轴上的点的对称点是它本身.
二、轴对称图形
把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直
线就是对称轴.
常见的轴对称图形如下（）：
图形名称 图形表示 对称轴 含对称轴的图形 对称轴的条数
角 角平分线所在的直线 1
等腰三角形（底 底边上的高所在的直
1
和腰不相等） 线
三条边上的高所在的
等边三角形 3
直线
各个对边中点连线所
矩形（长方形） 2
在的直线
对角线所在的直线和
正方形 4
各对边中点的连线
过圆心的直线（直径
圆 无数
所在的直线）三、轴对称与轴对称图形的异同
1. 轴对称与轴对称图形的不同点
（1）对象不同：轴对称的对象是两个图形，而轴对称图形的对象是一个图形；
（2）对称点位置不同：轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点在同一个图形上；
（3）对称轴位置不同：轴对称的对称轴可能在两个图形的外部，也可能在两个图形的内部，或经过两个
图形的公共边（点），而轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部；
（4）对称轴的条数不同：轴对称的对称轴只有一条，而轴对称图形的对称轴可以有多条.
2. 轴对称与轴对称图形的相同点
（1）都能沿某条直线折叠后完全重合；
（2）若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个轴对称图形，若把轴对称图形沿对称轴分成两
部分，则这两部分关于这条直线成轴对称.
Ⅲ、轴对称的性质
一、线段的垂直平分线
1. 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条.
2. 线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.
二、轴对称的性质
1. 成轴对称的两个图形全等；
2. 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
3. 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.
三、画已知图形的轴对称图形
1. 找：找出原图形的关键点；
2. 作：作出关键点关于对称轴的对称点；
3. 连：按原图顺序依次连接相应的对称点；
4. 若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合.
四、画对称轴
如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分
线.
画对称轴的步骤：
1. 找：找出任意一对对应点；
2. 连：连接这对对应点；3. 画：画出对应点所连线段的垂直平分线
Ⅳ、图形的旋转
一、旋转的概念
1. 旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转
中心，旋转的角度称为旋转角.
旋转与平移一样，都是图形的基本变换，旋转只改变图形在平面中的位置，不会改变图形的形状和大
小，旋转中心的位置在旋转过程中保持不变.
2. 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中
心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点；旋转方向有顺时针和逆时针两种.
3. 将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照此方向旋转相
同的角度.
4. 旋转形成的条件：一个定点、一个方向、一个角度.
二、旋转的性质
1. 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分
别与旋转中心连线所成的角相等.
2. 确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的
垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
三、旋转作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指
定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.
Ⅴ、中心对称与中心对称图形
一、中心对称
1. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
2. 中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
3. 中心对称与轴对称的区别与联系：
中心对称 轴对称
有一个对称中心 有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折
旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合
联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等
二、中心对称的性质
1. 中心对称的性质：
中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经
过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
2. 确定对称中心的方法：
（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
三、中心对称作图
1. 连接原图形的关键点与对称中心；
2. 延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对
称中心的距离相等；
3. 将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
四、中心对称图形
1. 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2. 中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
区别
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图
联系
形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
1．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后
所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
【分析】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，
n+1），
故选：D．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．
2．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（
）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1），
故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分
能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中
国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以
不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．5．（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转 （0°＜ ＜55°），得到△ADE，
DE交AC于F．当 ＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（α ）α
α
A．80° B．85° C．90° D．95°
【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角
形的性质可求∠B＝70°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转 （0°＜ ＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝α40°，ABα＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，
E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD
【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，由三角形内角和定理可得∠BED＝
∠BAD＝∠CAE．
【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE，故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（2023•黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段
BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据折叠的性质得到AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，BN＝AB＝2，∠ABM
＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，求得BE ，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，求得∠EBN
＝60°，于是得到结论．
【解答】解：∵对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，
∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，
∴BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，
∴BE ，
∴∠BNE＝30°，∴∠EBN＝60°，
∴∠ABM＝∠MBN＝30°，
∴MN BN ，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是
解题的关键．
8．（2023•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均
在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的
对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
【分析】（1）根据要求作出三角形ABE即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出C，D的对应点M，N即可，再利用勾股定理求出EN．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求；
（2）如图，线段MN即为所求，EN ．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．1．（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，点 P（﹣5，﹣2）关于 y轴对称的点的坐标是
（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
2．（2024•越秀区校级一模）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024•太原一模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E，F是边AB，CD上的点．将该菱形纸片沿EF折
叠得到图2，BC的对应边B′C′恰好落在直线AD上．已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周
长为（ ）
A．24 B．21 C．15 D．12
4．（2023•越秀区校级一模）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分
为六块，则分成的六块草坪的总面积是 m2．5．（2023•高新区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于线段EF与等腰直角△ABC给出如下定义：线段
EF 的中点为点 M，平移线段 EF 得到线段 E′F′（点 E，F，M 的对应点分别为点 E′，F′，
M′），若线段E′F′的两端点同时落在△ABC边上，线段MM′长度的最小值称为线段EF到三角形
ABC的“位移”．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，BC在x轴上，点A在y轴正半轴上，
线段EF的长为2，线段EF中点M的坐标为（3，3）．若线段EF到△ABC的“位移”为d，则d的取
值范围是 ．
6．（2024•新安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在BC上， ，将
线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ．当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的
长为 ．
7．（2024•西安校级模拟）如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，点E是线段AD上一点，沿直线BE折叠
△ABE，使点 A 落至 A′处，EA′，AA′分别交线段 DC 于点 F，G．则线段 FG 的最大值为
．
8．（2024•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD，连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，求证：EA∥BC；（2）延长BC到点F，使得CF＝CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2．若点M是AC的中点，
用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明．
1．（2024•永城市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E在边AD上，且ED＝6，M，
N分别是边AB，BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，使PM＝PN．当PM+PN的值最
小时，线段PC的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024•镇海区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，点E，
F分别在边AC，BC上，AE＝1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′重合，B与B′重
合，若A′E∥B′F，则BF＝ ．
3．（2024•朝阳区校级模拟）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC＞AC＞AB．
已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OA＝x，OB＝y，OC＝z，现要用汽车每天接送职工上下班后，
返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
4．（2024•汉台区一模）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连接AD，将射线DA绕点D顺
时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是 ．
5．（2024•锡山区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边在△ABC外作等腰△AMC，满
足MA＝MC，AM∥BC，O是边AC的中点，连结BO，作射线BO交折线段A﹣M﹣C于点N，若MN＝
2，ON＝3，则AM的长为 ．
6．（2023•滁州二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），
B（﹣2.1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C 的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A B C ．
1 1 1 1
（2）求△A B C 的面积．
1 1 1
（3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC 的最小值为 ，此时点P的坐标为
1
．7．（2023•东丽区一模）如图，四边形ABCD的坐标分别为A（﹣4，0），B（2，0），C（0，4），D
（﹣2，6）．
（Ⅰ）求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别
为点O'、B'、C'，设平移时间t秒，当点O'与点A重合时停止移动，若△O'B'C'与四边形AOCD重合部
分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式．
8．（2024•大兴区一模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是线段AB上一个动点（不与点A，B
重合），∠ACD＝ （0＜ ＜45°），以D为中心，将线段DC顺时针旋转90°得到线段DE，连接EB．
（1）依题意补全图α形； α
（2）求∠EDB的大小（用含 的代数式表示）；
（3）用等式表示线段BE，BCα，AD之间的数量关系，并证明．1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是
中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，平面直角坐标系中点A为y轴上一点，且 ，以AO为底构造等腰△ABO，且∠ABO
＝120°，将△ABO沿着射线OB方向平移，每次平移的距离都等于线段OB的长，则第2023次平移结束
时，点B的对应点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E
处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（ ）A． B． C． D．
4．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则
∠A的度数（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
5．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点
F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，
BE＝4cm，DH＝3cm，则图中线段CF为 cm．7．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到
△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不
与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD
交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
9．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝
5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．1．（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，点 P（﹣5，﹣2）关于 y轴对称的点的坐标是
（ ）
A．（﹣5，2） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（5，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相
反数，纵坐标不变是解题的关键．
2．（2024•越秀区校级一模）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作答．
【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形；符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意．故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（2024•太原一模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E，F是边AB，CD上的点．将该菱形纸片沿EF折
叠得到图2，BC的对应边B′C′恰好落在直线AD上．已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周
长为（ ）
A．24 B．21 C．15 D．12
【分析】判定△AEB'是等边三角形，即可得到AE的长，进而得出AC'的长，判定四边形BCFE是平行
四边形，即可得到EF的长，进而得出四边形AEFC′的周长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B'AE＝∠B＝60°，
由折叠可得，∠B'＝∠B＝60°，
∴∠AEB'＝60°，
∴△AEB'是等边三角形，
∴AE＝B'E＝BE，即E是AB的中点，
又∵AB＝6，
∴AE＝3＝AB'，
又∵B'C'＝BC＝6，
∴AC'＝6﹣3＝3，
同理可得，C'F＝3，F是CD的中点，
∴BE＝CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴EF＝BC＝6，
∴四边形AEFC′的周长为6+3+3+3＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，折叠问题以及等边三角形的判定与性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．（2023•越秀区校级一模）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分
为六块，则分成的六块草坪的总面积是 88 0 m2．
【分析】草坪的面积等于矩形的面积﹣三条路的面积+三条路重合部分的面积，由此计算即可．
【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）．
故答案为：880．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是求出草坪总面积的表达式．
5．（2023•高新区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于线段EF与等腰直角△ABC给出如下定义：线段
EF 的中点为点 M，平移线段 EF 得到线段 E′F′（点 E，F，M 的对应点分别为点 E′，F′，
M′），若线段E′F′的两端点同时落在△ABC边上，线段MM′长度的最小值称为线段EF到三角形
ABC的“位移”．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，BC在x轴上，点A在y轴正半轴上，
线段EF的长为2，线段EF中点M的坐标为（3，3）．若线段EF到△ABC的“位移”为d，则d的取
值范围是 3 1≤ d ．
【分析】分别求出AB，AC的中点坐标，再求出当E′F′在BC上，且B与E′重合时，M′的坐标，
利用两点间的距离公式分别求出MM′的长，通过分析比较得到d的取值范围．
【解答】解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，
∴OA＝OB＝OC ，∴A（0， ），B（ ，0），C（ ，0），
①当E′F′与AC重合时，
M′是AC的中点，
∴M′（ ， ），
∴MM′ 3 1，
②当E′F′与AB重合时，
M′是AB的中点，
∴M′（ ， ），
∴MM′ ，
③当E′F′在BC上，且B与E′重合时，
此时E′点坐标为（ ，0），则F′点坐标为（2 ，0），
M′（ 1，0），
∴MM′ ，
又根据题意知：线段MM′长度的最小值称为线段EF到三角形ABC的“位移“，′′
∴d的取值范围是3 1≤d ，
故答案为：3 1≤d ．【点评】本题考查了坐标与图形变化—平移以及等腰直角三角形的性质，数形结合，找到临界位置是解
题关键．
6．（2024•新安县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在BC上， ，将
线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ．当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的
长为 或 ． ．
【分析】根据旋转的性质求出CQ＝CP ，分；两种情况进行讨论，再利用勾股定理求出GC的长，
最后根据勾股定理求出AQ的长．
【解答】解：当点Q在△ABC里面时，过点Q作QG⊥AC于点G，则QG＝1，如图：
根据旋转的性质可知CQ＝CP ，在Rt△QGC中，CG ，
∵AC＝BC＝4，
∴AG＝AC﹣GC＝4﹣1＝3，
在Rt△AQG中，AQ ，
当点Q在△ABC外面时，如图，过点Q作QE⊥AC，
根据旋转的性质可知CQ＝CP ，
∵QE＝1，
∴CE＝1，
∴AD＝5，
在Rt△AQE中，AQ ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟练掌握性质是解题关键．
7．（2024•西安校级模拟）如图，在正方形 ABCD中，AB＝4，点E是线段AD上一点，沿直线BE折叠
△ABE，使点A落至A′处，EA′，AA′分别交线段DC于点F，G．则线段FG的最大值为 12 ﹣ 8
．
【分析】通过连接 BF，易得 Rt△BCF≌Rt△BA'F，即可得到 EF＝A'E+A'F＝AE+CF．再根据△ABE≌△DAG，可得AE＝DG，进而得到EF＝AE+CF＝DG+CF．作△BEF的外接圆 O，连接BO，
⊙
EO，FO，过O作OH⊥EF于H，易得OB≥8﹣4 ，进而得出 DG+CF的最小值为 （8﹣4 ）
8，由于CD长为定值，故FG的最大值为4﹣（ 8）＝12 ．
【解答】解：如图所示，连接BF，
由折叠可得，∠BA'E＝∠BAE＝90°，A'B＝AB，
∴∠BA'F＝∠C＝90°，A'B＝CB，
又∵BF＝BF，
∴Rt△BCF≌Rt△BA'F（HL），
∴A'F＝CF，
由折叠可得AE＝A'E，
∴EF＝A'E+A'F＝AE+CF，
∵BE⊥AA'，∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠BAA'＝90°＝∠DAC+∠BAA'，
∴∠ABE＝∠DAG，
又∵∠BAE＝∠D，AB＝DA，
∴△ABE≌△DAG（ASA），
∴AE＝DG，
∴EF＝AE+CF＝DG+CF，
∴当EF最小时，DG+CF最小，而CD＝4（定值），故GF最大，
由题可得∠EBF ∠ABC＝45°，
如图所示，作△BEF的外接圆 O，连接BO，EO，FO，过O作OH⊥EF于H，
∴∠EOF＝2∠EBF＝90°， ⊙
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴EF OB，OH EF OB，
又∵OB+OH≥AB＝4，∴OB OB≥4，
∴OB≥8﹣4 ，
∴EF的最小值为 （8﹣4 ） 8，即DG+CF最小值为 8，
又∵CD＝4，
∴FG的最大值为4﹣（ 8）＝12 ．
故答案为：12 ．
【点评】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题
的关键是利用正方形的半角模型以及定角定高模型进行推算，求出线段的最小值或最大值．
8．（2024•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜60°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD，连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接DE．
（1）如图1，求证：EA∥BC；
（2）延长BC到点F，使得CF＝CB，连接DF交AC于点M，依题意补全图2．若点M是AC的中点，
用等式表示线段MF，MD，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依据题意，延长AD交BC于点G，连接CD，如图1．先证明△DBC是等边三角形，进而可得DC＝DB＝BC，∠DCB＝60°，故点D在线段BC的垂直平分线上，再结合AB＝AC，可得点A在
线段BC的垂直平分线上，从而AG⊥BC，即∠AGC＝∠GAE＝90°，进而可以得解；
（2）依据题意，补全图，如图2可得数量关系： ．再延长FD交AE的延长线于点
N，连接 CD．又 DC＝BC，CF＝BC，从而 CF＝CD，故可得 ，再由
EA∥BC，故∠N＝∠F＝30°，又∠AMN＝∠CMF，AM＝CM，从而可得△AMN≌△CMF，则MF＝
MN，进而在Rt△EAD中，AE＝AD，可得 ，又在Rt△NAD中，∠N＝30°，可得 DN＝
2AD，故可得 ，又 ，进而可以得解．
【解答】（1）证明：延长AD交BC于点G，连接CD，如图1．
∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DC＝DB＝BC，∠DCB＝60°．
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∴AG⊥BC．
∴∠AGC＝∠GAE＝90°．
∴EA∥BC．
（2）依题意补全图2，如图．数量关系： ．
证明：延长FD交AE的延长线于点N，连接CD，如图2．∵DC＝BC，CF＝BC，
∴CF＝CD．
∴ ．
∵EA∥BC，
∴∠N＝∠F＝30°．
又∵∠AMN＝∠CMF，AM＝CM，
∴△AMN≌△CMF．
∴MF＝MN．
在Rt△EAD中，AE＝AD，
可得 ．
在Rt△NAD中，∠N＝30°，
可得 DN＝2AD．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，解题时要熟练掌握并能构造三角形全
等是关键．1．（2024•永城市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E在边AD上，且ED＝6，M，
N分别是边AB，BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，使PM＝PN．当PM+PN的值最
小时，线段PC的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，则四边形BCGF是矩形，所以
FG＝BC＝8，∠PFB＝90°，证得 CE 平分∠BCD，得 PH＝PG，由 PM≥PF，PN≥PH，得
PM+PN≥8，可知当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值8，此时四边形BHPF是正
方形，则BH＝PF＝PH＝PG＝CH FG 8＝4，根据勾股定理即可求出PC．
【解答】解：过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCG＝∠FGC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴四边形BCGF是矩形，
∴FG＝BC＝8，∠PFB＝∠B＝∠PHB＝90°，
∴四边形BHPF是矩形，PF⊥AB，
∵ED＝6，
∴ED＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠BCE＝90﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴CE平分∠BCD，
∴PH＝PG，四边形CHPG是正方形，
∴PH＝CH，
∵PM≥PF，PN≥PH，
∴PM+PN≥PF+PH，
∴PM+PN≥PF+PG，
∵PF+PG＝FG＝8，∴PM+PN≥8，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值8，
∵BM＝BN，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，则BF＝BH，此时四边形BHPF是正方形，
∴BH＝PF＝PH＝PG＝CH FG 8＝4，
∴PC 4 ．
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线的性质、垂线段最短等知识，
正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2024•镇海区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，点E，
F分别在边AC，BC上，AE＝1，将△ADE，△BDF分别沿DE，DF翻折使得A与A′重合，B与B′重
合，若A′E∥B′F，则BF＝ 3 ．
【分析】连接CD，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 CD的长，进而得出
△CDE是等腰三角形；再根据平行线的性质得出∠CDB'与∠B'相等，进而得到△CDF是等腰三角形，
即可得出BF的长．
【解答】解：如图所示，连接CD，
设∠ADE＝∠A'DE＝ ，∠BDF＝∠B'DF＝ ，
在△ABC中，∠ACB＝α 90°，AC＝6，BC＝8β，
∴AB＝10，∵Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD AB＝5，
又∵CE＝AC﹣AE＝6﹣1＝5，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，即 +∠CDA'＝ +∠A，
∴∠CDA'＝∠A， α α
又∵∠A＝∠A'，
∴∠CDA'＝∠A'，
∴A'E∥CD，
又∵A′E∥B′F，
∴CD∥B'F，
∴∠B'＝∠CDB'，
又∵∠B'＝∠B，
∴∠CDB'＝∠B，
∴∠CDB'+ ＝∠B+ ，即∠CDF＝∠CFD，
∴CF＝CD＝β 5， β
∴BF＝BC﹣FC＝8﹣5＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的
性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对
应角相等．
3．（2024•朝阳区校级模拟）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢
宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC＞AC＞AB．
已知厂房O到每条公路的距离相等．（1）则点O为△ABC三条 角平分线 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OA＝x，OB＝y，OC＝z，现要用汽车每天接送职工上下班后，
返回厂房停放，那么最短路线长是 y + c + b + z ．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理判断即可；
（2）首先得出O为△ABC的内心，进而得出△ABO≌△EBO（SAS），在△ECO中，y﹣x＜a﹣b推出
d ﹣d ＜0，同理d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，即可得出答案．
3 1 3 2 3 4 3 5 3 6
【解答】解：（1）∵点O到每条公路的距离相等，
∴点O是△ABC的角平分线的交点．
故答案为：角平分线；
（2）共有6条线路：d ＝x+c+a+z，d ＝x+b+a+y，d ＝y+c+b+z，d ＝y+a+b+x，d ＝z+b+c+y，d ＝
1 2 3 4 5 6
z+a+c+x，
在CB上截取CE＝CA，连接OE，
在△ACO和△ECO中，
，
∴△ACO≌△ECO（SAS），
∴OA＝OE，
在△EBO中，
y﹣x＜a﹣b推出d ﹣d ＜0，
3 1
同理d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，d ﹣d ＜0，
3 2 3 4 3 5 3 6
∴d 最短，
3
故答案为：y+c+b+z．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同
一个三角形内大角对大边．
4．（2024•汉台区一模）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连接AD，将射线DA绕点D顺
时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是 3 ．
【分析】由等边三角形的性质可知∠B＝∠C，利用外角的性质证得∠BAD＝∠EDC，可得出
△ABD∽△DCE，设BD的长为x，由相似的性质求出CE的长，再求出AC的长，利用函数的性质可求
出AE的最小值．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴ ，
设BD＝x，则CD＝4﹣x，
∴ ，
∴CE x2+x，
∴AE＝AC﹣CE
＝4﹣（ x2+x）
x2﹣x+4（x﹣2）2+3，
∵ 0，
由二次函数的性质可知，当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似的判定与性质以及二次函数的性质等，解题的关键是能够
用字母将所求线段的长段表示出来，用函数的性质求极值．
5．（2024•锡山区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边在△ABC外作等腰△AMC，满
足MA＝MC，AM∥BC，O是边AC的中点，连结BO，作射线BO交折线段A﹣M﹣C于点N，若MN＝
2，ON＝3，则AM的长为 3 或 1 ．
【分析】分N在AM和CM上两种情况：①当N在CM上，分别延长AM，BN，并交于点P，根据全等
三角形的判定与性质，可得△MAC≌△OCB，根据相似三角形的判定与性质，△MNP∽△CNB，
△MNP∽△ONC，设MA＝MC＝x，根据MN＝2，ON＝3，列分式方程，然后整理得一元二次方程，求
解即可得结论；②当N在AM上时，连接CN，根据全等三角形的判定与性质，可得△AON≌△COB，
设MA＝MC＝x，根据MN＝2，ON＝3，根据勾股定理列出一元二次方程，求解即可得结论．
【解答】解：分N在AM和CM上两种情况：
①当N在CM上，分别延长AM，BN，并交于点P，如图，
∵∠ABC＝90°，O是边AC的中点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA，
∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠OCB，
在△PAO和△CBO中，
，
∴△PAO≌△CBO（ASA），
∴OP＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OP，∠P＝∠OBC＝∠MCA，
∴△MNP∽△CNB，△MNP∽△ONC，
∴ ， ，
设MA＝MC＝x，
∵MN＝2，ON＝3，
∴ ， ，
∴OB ，OB ，
∴ ，
∴x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3 或x＝3 （不符合题意，舍去），
经检验，x＝3 时，x﹣4≠0，
∴x＝3 是原方程的解；
②当N在AM上时，连接CN，如图，设MA＝MC＝x，
∵∠ABC＝90°，O是边AC的中点，
∴OA＝OB＝OC，
∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠OCB，
在△AON和△COB中，
，
∴△AON≌△COB（ASA），
∴AN＝BC，ON＝OB，
∴OA＝OC＝OB＝ON＝3，AN＝AM﹣MN＝x﹣2，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCN是矩形，
∴∠ANC＝∠CNM＝90°，
∴CN2＝AC2﹣AN2＝CM2﹣MN2，
∵AC＝AO+CO＝6，
∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22，
∴x2﹣2x﹣18＝0，
解得x＝1 或x＝1 （不符合题意，舍去），
综上所述：AM的长为：3 或1 ．
故答案为：3 或1 ．
【点评】本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了三角形中位线定理，等腰三角形的
性质，矩形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，分式方程，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握以上知识并综合运用．
6．（2023•滁州二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），
B（﹣2.1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△ABC，已知点C 的坐标为（2，3），画出平移后的图形△A B C ．
1 1 1 1
（2）求△A B C 的面积．
1 1 1
（3）若点P是x轴上的一个动点，则PB+PC 的最小值为 4 ，此时点P的坐标为 （﹣ 1 ， 0 ）
1
．
【分析】（1）利用C点和C 点坐标得到平移的规律，然后利用此规律写出A 的坐标和B 的坐标，然
1 1 1
后描点即可得到△A B C 为所作；
1 1 1
（2）利用割补法求解即可；
（2）作点C 关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，利用两点之间线段
1
最短可判断此时PB+PC 最小，然后利用待定系数法法求出直线BA′的解析式，再计算出自变量为0对
1
应的函数值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，3）平移后C （2，3），
1
∴B （1，1），A （0，5）；如图：
1 1（2）三角形A B C 面积＝2×4 1×4 3；
1 1 1
（2）作点C 关于x轴的对称点为C′（2，﹣3），连接BC′交x轴于P点，如图，根据最短路径可知
1
PB+PC ＝BC′＝4 ，
1
设直线BC′的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣2，1），C′（2，﹣3）代入得，
，
解得， ，
所以直线CA′的解析式为y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
此时P点坐标为（﹣1，0），
故答案为：4 ；P（﹣1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图
时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应
点即可得到平移后的图形．
7．（2023•东丽区一模）如图，四边形ABCD的坐标分别为A（﹣4，0），B（2，0），C（0，4），D
（﹣2，6）．（Ⅰ）求四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别
为点O'、B'、C'，设平移时间t秒，当点O'与点A重合时停止移动，若△O'B'C'与四边形AOCD重合部
分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式．
【分析】（Ⅰ）利用分割法求四边形的面积；
（Ⅱ）分三种情形：当 0＜x＜2 时，重叠部分是四边形 OTC′O′，当 2≤t 时，重叠部分是
△O′B′C′，当 t≤4时，重叠部分是四边形KLO′B′，分别求解可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）连接DO．
四边形ABCD的面积＝△AOD的面积+△DCO的面积+△OBC的面积
4×6 4×2 2×4
＝20；（Ⅱ）当0＜x＜2时，重叠部分是四边形OTC′O′，
S [4+2（2﹣t）]×t＝﹣t2+4t．
当2≤t 时，重叠部分是△O′B′C′，S 2×4＝4．
当 t≤4时，重叠部分是四边形KLO′B′，过点K作KH⊥AB于点H．
设AH＝2k，则KH＝6k，HB′＝3k，
∴5k＝6﹣t，
∴k ，
∴KH （6﹣t），∴S （6﹣t） （6﹣t） [ （6﹣t）+3（4﹣t）]×[ （6﹣t）﹣（4﹣t）] t2 t ．
综上所述，S ．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．（2024•大兴区一模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是线段AB上一个动点（不与点A，B
重合），∠ACD＝ （0＜ ＜45°），以D为中心，将线段DC顺时针旋转90°得到线段DE，连接EB．
（1）依题意补全图α形； α
（2）求∠EDB的大小（用含 的代数式表示）；
（3）用等式表示线段BE，BCα，AD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得∠A＝∠ABC＝45°，再由三角形的外角性质得∠CDB＝∠A+∠ACD＝
45°+ ，即可得出结论；
（3）α过点D作DM⊥AB，交AC于点F，交BC的延长线于点M，证明∠M＝∠MBD＝45°．得DM＝
DB．再证明△DCM≌△DEB（SAS），得CM＝BE，进而证明∠CFM＝∠M，则CF＝CM，得CF＝
BE，然后由锐角三角函数定义得AF AD，即可解决问题．
【解答】解：（1）补全图形如下：（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝45°+ ，
∵∠CDE＝90°， α
∴∠EDB＝∠CDE﹣∠CDB＝45°﹣ ；
α
（3）BC AD+BE，证明如下：
如图1，过点D作DM⊥AB，交AC于点F，交BC的延长线于点M，
则∠MDB＝∠CDE＝90°，
∴∠MDB﹣∠BDC＝∠CDE﹣∠BDC，
即∠CDM＝∠EDB，
∵∠MBD＝45°，
∴∠M＝∠MBD＝45°，
∴DM＝DB，
由旋转的性质得：DC＝DE，
∴△DCM≌△DEB（SAS），
∴CM＝BE，
∵∠M＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CFM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CFM＝∠M，
∴CF＝CM，
∴CF＝BE，
在Rt△FAD中，∠A＝45°，
∴cosA ，∴AF AD，
∵AC＝AF+FC，
∴AC AD+FC，
∵CF＝BE，BC＝AC，
∴BC AD+BE．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
定与性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明
三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是
中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原
图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么
就是轴对称图形．2．如图所示，平面直角坐标系中点A为y轴上一点，且 ，以AO为底构造等腰△ABO，且∠ABO
＝120°，将△ABO沿着射线OB方向平移，每次平移的距离都等于线段OB的长，则第2023次平移结束
时，点B的对应点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到点B、B 、B ……的坐标，从而得到平移的规律．
1 2
【解答】解：作BC⊥AO于点C，
∵∠ABO＝120°，
∴ ，∠OBC＝60°，
在Rt△OBC中，BC＝OC⋅tan30°＝1，
∴由图观察可知，第1次平移相当于点B向上平移 个单位，向右平移1个单位，第2次平移相当于点
B向上平移 个单位，向右平移2个单位，
…
∵点B的坐标为 ，∴第n次平移后点B的对应点坐标为（1+n，（n+1） ），
按此规律可得第2023次平移后点B的坐标为 ；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和在平面直角坐标系中的平移规律，掌握等腰三角形的性质是解
题的关键．
3．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E
处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、OP＝OF可得出
△OEF≌△OBP，根据全等三角形的性质可得出OE＝OB、EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣
x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，依据Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，可得到x
的值，即可得DF的长．
【解答】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝4，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE＝OB，EF＝BP，
∴BF＝EP＝CP，
设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，
∵∠A＝90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，
即（4﹣x）2+32＝（1+x）2，
∴x
∴DF 1
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常
常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当
的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
4．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则
∠A的度数（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
【分析】根据旋转的性质可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，结合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可获
得答案．
【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
5．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点
F处，则tan∠ABE的值是（ ）A．4 B．5 C． D．
【分析】利用折叠性质和菱形的性质得出△ADF为等腰三角形，过点A作AG⊥DF，由等腰三角形的性
质可得点G为DF中点，由点F为CD中点可得DG CD AD，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD沿AE翻折，
∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，
∴AD＝AF，
∴三角形ADF为等腰三角形，
∵AG⊥DF，
∴点G为DF中点，
∵点F为CD中点，
∴AD＝CD＝4DG，
设DG＝a，则AD＝4a，
在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，
∴（4a）2＝AG2+a2，
∴AG a，∴tan∠ABE＝tanD ，
故选：D．
【点评】本题考查折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是证明△ADF为等腰三角形．
6．如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，
BE＝4cm，DH＝3cm，则图中线段CF为 4 cm．
【分析】根据平移的性质即可求解．
【解答】解：将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF，BE＝4cm，
∴BC＝EF，
∴BE＝BC﹣EC＝EF﹣EC＝CF＝4（cm），
故答案为：4．
【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
7．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到
△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ．
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，
即可得到DQ的最小值．
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ CD ，
∴DQ ，
∴DQ的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不
与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD
交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE＝∠ACF＝
45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G为BF的中点仍然成立，设AD＝CD＝x，CE＝y，表
示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG，
∴G为BF的中点．
（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BCF＝90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE＝CF，设AD＝CD＝x，CE＝y，
则BE＝CF＝2x+y，
∵DG ，
∴AG ，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，
∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2 ，
∴2AE2﹣4AG2＝BE2．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出
AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
9．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝
5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E
三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接 AE 交 BD 于点 C，则 AE 的长即为代数式 的最小值，然后构造矩形
AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）∵AC ，CE ，
∴AC+CE ；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE 10，
∴AC+CE的最小值是10；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交
BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式 的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE 13，
即 的最小值为13．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路径，本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
三角形
三角形作为平面几何的重要基础，在中考数学中的命题可是相当重要的。三角形在中考数学中的命题
可能会涉及以下几个方面：
三角形的性质与判定、三角形的面积与周长、直角三角形的特殊性质、三角形角平分线等。
与三角形相关的综合题：除了单独考察三角形的知识点外，中考数学还会将三角形与其他知识点综合
起来考察。比如与函数、方程、不等式等知识点结合的综合题，都是可能出现的。Ⅰ、三角形
一、三角形的概念
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独
的△没有意义；
如图所示，△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边
BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
2. 三角形的基本要素：
①三角形的边：即组成三角形的线段．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
二、三角形的分类
1. 按内角大小分类：2. 按边的相等关系分类：
三、三角形三边的关系
1. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边.
2. 理论依据：两点之间线段最短.
3. 三边关系的应用：①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；
②证明线段间的不等关系.
四、三角形的三条重要线段
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交
语言 AD． BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD是△ABC的中线．
1．AD 是△ABC 的角平分
2．AD是△ABC中BC边上的 2．AD是△ABC中BC边
线．
高． 上的中线．
2．AD 平分∠BAC，交 BC
符号 3．AD⊥BC于点D．
于点D．
语言 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
3．BD＝DC＝ BC
90°．
4．点 D 是 BC 边的中
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为 AD 是△ABC 的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
以AD⊥BC．
推理
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
语言
线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
用途 1．线段垂直． 1．线段相等．
角度相等．
举例 2．角度相等． 2．面积相等．
注意 1．与边的垂线不同．
在三角形的内部 与角的平分线不同．
事项 2．不一定在三角形内．
重要 三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
特征 延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一一点． 点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；
在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架
都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小
可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，
如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
Ⅱ、全等三角形
一、全等三角形的概念及表示
1. 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形
全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的
形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.
2. 全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，
重合的角叫对应角.
3. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.
在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作
△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
4. 确定全等三角形对应关系的方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）
是对应边（或角）.
二、全等三角形的性质
1. 最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2. 其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.
三、全等变换
在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.
常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：
Ⅲ、三角形全等的条件
一、边角边
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.
如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知 .
1. 只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
2. 在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
二、角边角
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”.如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知 .
三、角角边
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”.
如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知 .
四、边边边
三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”.
如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知 .
知识点五、斜边、直角边
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”.如 上 图 所 示 ， 在 Rt△ ABC 与 Rt△ A’B’C’ 中 ， ， 已 知
.
Ⅳ、等腰三角形
一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，
∠B、∠C是底角（等腰三角形的两个底角相等）.
特别地，当等腰三角形的顶角为90°或有一个底角为45°时，此时又称为等腰直角三角形.
二、等腰三角形的性质
1. 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；
2. 等腰三角形的性质一：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
3. 等腰三角形的性质二（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合.
腰和底边不相等的等腰三角形只有一条对称轴，对称轴为顶角平分线（底边上的高或底边上的中线）
所在的直线；
“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
三、等腰三角形的判定
1. 定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
2. 定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.四、等边三角形的性质与判定
1. 等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）；
2. 等边三角形的性质：
（1）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
（2）等边三角形的各角都等于60°.
3. 等边三角形的判定：
（1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
（2）定理法①：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）定理法②：有一个角是60°（顶角/底角）的等腰三角形是等边三角形.
4. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它可以具有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不一定是等边三
角形.
五、与直角三角形有关的性质
1. 直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜
边的一半.
Ⅴ、勾股定理与逆定理
一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为
a、b，斜边长为c，那么 .
勾股定理的变式： .
1. 勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中；
2. 在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情
况下，要分类讨论，避免漏解.
二、勾股定理的证明
1. 证法一如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以 为边长的小正方形和一个以c为边长的
大正方形.
由图示可得 ，即 ；
2. 证法二
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以 为边长的正方形.
由图示可得 ，即 ；
3. 证法三
如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.由图示可得 ，即 .
三、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 ，那么这个三角形是直角三角形.
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形；
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2. 如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下）
（1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）；
（2）验证 与 的关系，若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若 ，
则△ABC不是直角三角形.
PS：当 时，三角形为钝角三角形，当 时，三角形为锐角三角形，其中c为三角
形的最大边.
3. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系
勾股定理 勾股定理的逆定理
在Rt△ANC中，∠C＝90°
条件
在△ABC中，
结论
∠C＝90°
勾股定理是以“一个三角形是直角三角 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三
形”为条件，进而得到数量关系“
区别 边满足 ”为条件，进而得到
”，即由“形”得到 “这个三角形是直角三角形”，即由
“数” “数”得到“形”
联系 两者都与三角形的三边有关系
四、勾股数
1. 满足关系 的3个正整数a、b、c称为勾股数.
2. 勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方.
3. 勾股数组的特点
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组： （ 是正整数）；
（2）柏拉图发现的勾股数组： （ ，且 是正整数）.4. 勾股数有无数组，常见的勾股数组如下：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15……
5. 一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如 3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾
股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数.
Ⅵ、勾股定理的简单应用
一、勾股定理的应用
1. 用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2. 求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股
定理求解.
二、利用勾股定理解决最短路线问题
1. 求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造
直角三角形，通过勾股定理求解；
2. 求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终
点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
1．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE
，则AB＝（ ）A． B．6 C．8 D．
【分析】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝
CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4 ，然后在Rt△ABD中，由勾股定理
求出AB即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CD AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4 ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4 ）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三
角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
2．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个
全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为 25，小正方形面积为1，则sin ＝（ ）
θ
A． B． C． D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sin 的值．
【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，θ
由题意可得：c2＝25，b﹣a 1，a2+b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
∴sin ，
故选：θ A．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．
3．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 A，B，C，D，E
均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝ ，则∠ABE等于（ ）
α
A．180°﹣ B．180°﹣2 C．90°+ D．90°+2
【分析】过αB点作BG∥CD，连接αEG，根据平行线的α性质得出∠ABG＝∠CFαB＝ ．根据勾股定理求出
BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出α∠GBE＝90°，进而求
出∠ABE的度数．
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝ ．
∵BG2＝12+42＝17，αBE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+ ．
故选：C． α
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023•菏泽）△ABC 的三边长 a，b，c 满足（a﹣b）2 |c﹣3 |＝0，则△ABC 是
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的
关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为 0，每一
个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
5．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝
．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到 BC
6，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC 6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的
性质是解题的关键．
6．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的
角平分线，则AD＝ ．
【分析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，由角平分线的性质得到 CD＝DE，再通过 HL 证明
Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE
＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中， 10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题
关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．
7．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画
弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【分析】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由 SAS 可证明
△ADE≌△ADF；
（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答
案．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD ∠BAC＝40°，
由作图知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE （180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三
角形的判定是解题的关键．
8．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等
腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，进而得出
AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可证得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；
（2）作GH∥CD，交CE于H，即可证得DG＝EG，GH∥BE，根据三角形中位线定理求得GH＝1，设
CE＝BE＝m，则EH ，FH ，根据三角形相似的性质得到 ，解得m＝2+2 ．
【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥CD，
∴CH＝EH，∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH ，
设CE＝BE＝m，
∴EH ，
∵EF＝AD＝2，
∴FH ，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴ ，即 ，
解得m＝2+2 或m＝2﹣2 （舍去），
∴BE的长为2+2 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位
线定理，作出辅助线构建向上三角形是解题的关键．1．（2024•泉山区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为 1，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2 ），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满
足条件的C有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，且AD＝CD，AB的垂
直平分线交AB于点E，交BD于点F，若BC＝6，则EF的长为（ ）
A． B． C．2 D．1.5
4．（2023•开福区模拟）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于
点D，则△BDC的周长为 ．
5．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，
且S△ABC ＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．6．（2024•武汉模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的
点，CE＝CF．若AD＝2，BD＝1，则DE+DF的最小值是 .
7．（2023•泗阳县二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知
∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若BE＝3，求EC的长度．
8．（2023•杜集区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求 的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2 ，∠DAE＝60°，求DE的长．1．（2023•随县模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于
D，DM⊥AC 于 M，连接 CD．下列结论：①∠ADC＝45°；② AC+CE＝AB；③ BD AE；
④AC+AB AM．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023•永嘉县三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长
EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S ﹣S ＝2，AC＝4，则AB的长为（
1 2
）
A．2 B． C． D．
3．（2024•滨湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7．E、F分别为BC、CA上的动点，且BE＝CF，连接AE、BF，则AE+BF的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
4．（2024•玄武区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作
CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点，AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD
＝DF；③AD+DE BE；④AB+BC＝2AE．其中正确结论的序号是 ．
5．（2023•南京三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在Rt△ABC
内部且满足∠AEC＝90°，若AE＝6，DE＝3 ，则AB的长为 ．
6．（2023•绍兴模拟）已知，如图，AB＝8，P为线段AB上的一个动点，以PB为边作等边三角形PBC，
在射线PC上取PD＝PA，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，当点P在线段AB上移动时，
点M，N之间的距离的最小值为 ．7．（2024•江西模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M是AC上一点，以CM为边在∠ACB的内部
作等边三角形DMC，点N是BC上一点，连接MN，以MN为边在MN的上方作等边三角形MNF，连接
FD，并延长FD交BC的延长线于点E．
特例感知
（1）如图1，当MC＝2时，∠CMN＝ ；
类比迁移
（2）如图2，当MC＝a时，
①∠CMN＝ ；
②求证：△MCN≌△MDF．
拓展应用
（3）在图3中，过A点作CB的平行线交DF的延长线于点G．当MC＝a时，
①∠GEB＝ °；
②求GF+EN的值．（用含a的式子表示）
8．（2024•阳新县校级模拟）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上
的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成
立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k ，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
1．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4| 0，则这个三角形的形状是（
）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
2．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD与正方形EFGH，连结
DF．若S正方形ABCD ＝5，EF BG，则DF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好
能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为（ ）A． B． C． D．
4．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B、C，D，E均在小正方形方
格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝a，则∠ABE的度数为 ．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD ＝ ．
6．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端
点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．7．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分
EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
8．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
1．（2024•泉山区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为 1，则阴影部分的面积为
（ ）A． B． C．3 D．
【分析】过点 G作GF⊥AC，垂足为G，过点 G作GE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AG平分
∠BAC，从而利用角平分线的性质可得GF＝GE，然后利用三角形的面积公式可得 ，从而可
得△ACG的面积 △ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AG平分∠BAC，
∴GF＝GE，
∴ ，
∵△ABC的面积 AB•AC 2×4＝4，∴△ACG的面积 △ABC的面积 4 ，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．
2．（2024•咸丰县模拟）已知A（2，0），B（0，2 ），点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，满
足条件的C有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交坐标轴于点C ，C ，C ；
1 2 3
当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交坐标轴于点C ，C ；
4 5
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交y轴于点C ；
6
综上所述：满足条件的C有6个，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
3．（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，△ACD是等腰三角形，且AD＝CD，AB的垂
直平分线交AB于点E，交BD于点F，若BC＝6，则EF的长为（ ）A． B． C．2 D．1.5
【分析】设AC、BD交于点G．根据等腰三角形的特点和垂直平分线的性质，证明BD是AC的垂直平
分线，再证明Rt△BEF∽Rt△BGA，根据对应边成比例求出EF的长即可．
【解答】解：如图，设AC、BD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴B在AC的垂直平分线上，
∵△ACD是等腰三角形，且AD＝CD，
∴D在AC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴∠BGA＝90°，AG AC BC＝3，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴∠BEF＝90°，BE AB BC＝3，
∴∠BEF＝∠BGA，
又∵∠EBF＝∠GBA，
∴Rt△BEF∽Rt△BGA，
∴ ，∵BG＝AB•sin∠BAG＝6sin60°＝3 ，
∴ ，
∴EF ．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形、等边三角形的性质及垂直平分线的性质，熟练掌握它们及相似三角形的
判定及性质是解题的关键．
4．（2023•开福区模拟）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于
点D，则△BDC的周长为 ．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，然后根据等量代换可得△BDC的周长＝AC+BC，
进行计算即可解答．
【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵AC＝10，BC＝8，
∴△BDC的周长＝BD+DC+BC
＝AD+DC+BC
＝AC+BC
＝10+8
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，
且S△ABC ＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，
那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD ＝S△ACD S
△ABC
4＝2（cm2），
同理S△BDE ＝S△CDE S
△BCE
2＝1（cm2），
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF S
△BCE
2＝1（cm2）．
故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
6．（2024•武汉模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．D，E，F分别是边AB，AC，BC上的
点，CE＝CF．若AD＝2，BD＝1，则DE+DF的最小值是 .
【分析】连接CD，过点C作CG⊥CD，垂足为C，使CG＝CD，连接BG，FG，DG，先利用等腰直角
三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝45°，再根据垂直定义可得∠ACB＝∠DCG＝90°，从而利用等式的性
质可得∠ACD＝∠BCG，进而利用SAS证明△ACD≌△BCG，然后利用全等三角形的性质可得AD＝BG
＝2，∠A＝∠CBG＝45°，从而可得∠DBG＝90°，进而在Rt△DBG中，利用勾股定理求出DG的长，
最后利用等式的性质可得AE＝BF，从而利用SAS证明△EAD≌△FBG，再利用全等三角形的性质可得
DE＝FG，从而利用三角形的三边关系可得DF+FG≥DG，进而可得DF+DE≥DG，即可解答．【解答】解：连接CD，过点C作CG⊥CD，垂足为C，使CG＝CD，连接BG，FG，DG，
∴∠DCG＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝∠DCG＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCG﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCG，
∴△ACD≌△BCG（SAS），
∴AD＝BG＝2，∠A＝∠CBG＝45°，
∴∠DBG＝∠ABC+∠CBG＝90°，
在Rt△DBG中，BD＝1，
∴DG ，
∵CE＝CF，
∴AC﹣CE＝BC﹣CF，
∴AE＝BF，
∴△EAD≌△FBG（SAS），
∴DE＝FG，
∵DF+FG≥DG，
∴DF+DE≥DG，
∴DE+DF的最小值＝DG的长 ，
DE+DF的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023•泗阳县二模）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知
∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若BE＝3，求EC的长度．
【分析】（1）先利用角平分线的定义求出∠DBC＝30°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠AEB＝∠AEC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出∠BAE＝30°，
然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AE＝3 ，再利用利用直角三角形的两个
锐角互余求出∠CAE＝45°，从而利用等腰直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC ∠ABC＝30°，
∵∠ADB是△BDC的一个外角，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠ADB的度数为75°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AE BE＝3 ，
∵∠C＝45°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝45°，
∴∠EAC＝∠C＝45°，
∴AE＝EC＝3 ，∴EC的长度为3 ．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质，以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2023•杜集区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求 的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2 ，∠DAE＝60°，求DE的长．
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACM可得结论；
②由①知：△ABD≌△ACM，得∠ACM＝∠B＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得CD＝2BD，
从而得结论；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，列比例式可得
DF的长，由勾股定理可得EF的长，相加可得结论；
解法二：如图3，作辅助线构建全等三角形，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，
QM x，证明△ADE≌△AME（SAS），得EM＝DE＝5﹣2x，最后利用勾股定理列方程可解答．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM CD，
∵BD＝CM，
∴ ；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，
Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG CE ，CG ，
∵AC＝AB＝2 ，
∴AG＝AC﹣CG＝2 ，∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF AC ，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴ ，即 ，
∴DF ，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴ ，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF 2 ；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，
由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ CM，
由图2知：AB＝2 ，AF ，
由勾股定理得得：BF＝CF＝3，
∵CE＝1，
∴BE＝3+3﹣1＝5，
设CQ＝x，则CM＝BD＝2x，QM x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QM2，
∴（ x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x ，
∴DE＝5﹣2x ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，
勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
1．（2023•随县模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC 于 M，连接 CD．下列结论：①∠ADC＝45°；② AC+CE＝AB；③ BD AE；
④AC+AB AM．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过E作EQ⊥AB于Q，由角平分线的性质和等腰直角三角形的判定知②正确；作∠ACN＝
∠BCD，交AD于N，利用ASA可证明△ACN≌△BCD，得CN＝CD，再证△SND是等腰直角三角形，
利用角度之间的转化可说明 CN＝NE，从而得出点 N为AE的中点，可说明①、③正确；过D作
DH⊥AB 于 H，证明△DCM≌△DBH（AAS），得 BH＝CM，由勾股定理得 AM＝AH，从而
，说明④正确．
【解答】解：过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，由勾股定理得AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
故②正确；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD ，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AC＝BC，∠ACN＝∠DCB，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，
∴CD＝AN＝EN ，
∵AN＝BD，∴BD ，
故①③正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM与△DBH中，
，
∴△DCM≌△DBH（AAS），
∴BH＝CM，
由勾股定理得AM＝AH，
∴ ，
∴AC+AB＝2AM，
∴④错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2023•永嘉县三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长
EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S ﹣S ＝2，AC＝4，则AB的长为（
1 2）
A．2 B． C． D．
【分析】根据图形条件，（1）可以得到“K”型△ABC与△FNC全等，得到NF＝AB＝x；（2）连接
GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK，利用条件S ﹣S ＝2，得
1 2
到GN﹣AK＝1；（3）注意在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．这样可以得到方程，求解问题．
【解答】解：（1）如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF＝AB＝x．
（2）连接GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK．
利用条件S ﹣S ＝2，得到GN﹣AK＝1，即n﹣m＝1，又因为n+x＝4，所以m＝3﹣x．
1 2
（3）在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．
这样可以得到方程：x2＝4×（3﹣x），解得x＝2，即AB＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形，一元二次方程，是一个综合型问题．该题知识点考查了基本图形：K
型全等，母子三角形等中常见的思路与结论，建立一元二次方程，求解．
3．（2024•滨湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7．E、F分别为BC、CA上的动点，且BE＝CF，连接AE、BF，则AE+BF的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】过点B作BG∥AC，且使得BG＝BC．作AJ⊥BG于点J，BH⊥CA交CA的延长线于点H．证
明△BCF≌△BGE（SAS），推出BF＝EG，可得AE+BF＝AE+EG≥AG，求出AG的长，可得结论．
【解答】解：过点B作BG∥AC，且使得BG＝BC．作AJ⊥BG于点J，BH⊥CA交CA的延长线于点
H．
∵BG∥AC，
∴∠C＝∠EBG，
在△BCF和△GBE中，
，
∴△BCF≌△BGE（SAS），
∴BF＝EG，
∵AH∥BJ，BH⊥AH，AJ⊥BJ，
∴∠H＝∠AJB＝∠JAH＝90°，
∴四边形AHBJ是矩形，
∴BH＝AJ，AH＝BJ，设AH＝BJ＝x，AH＝BJ＝y，则有 ，解得 ，
∴AH＝BJ ，JG＝BG﹣BJ＝7 ，
∴AG ，
∵AE+BF＝AE+EG≥AG，
∴AE+BF ，
∴AE+BF的最小值为 ，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（2024•玄武区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作
CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点，AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD
＝DF；③AD+DE BE；④AB+BC＝2AE．其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】过点A作AH⊥AF，交BF于点H，由“ASA”可证△ABH≌△ACF，可得BH＝CF，AH＝
AF，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥AF，交BF于点H，∴∠BAC＝∠HAF＝90°，
∴∠BAH＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，
∵BF⊥CF，
∴∠BCF＝67.5°，
∴∠ACF＝22.5°＝∠ABH，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF（ASA），
∴BH＝CF，AH＝AF，
∵∠HAF＝90°，
∴∠AHF＝∠AFH＝45°，
∵∠AHF＝∠ABF+∠BAH，
∴∠BAH＝22.5°＝∠ABH＝∠CAF，
∴AH＝BH＝CF，
∵∠HAC＝67.5°，∠AEB＝∠CAF+∠AFH＝67.5°，
∴∠HAC＝∠AEB，
∴AH＝HE＝CF，
∴BE＝BH+HE＝2CF，故①正确；
∵AD⊥BF，∠AFH＝45°，
∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，故②正确；
∵AH＝AF，∠HAF＝90°，AD⊥HF，
∴AD＝HD＝DF，
∵AD+DE＝HD+DE＝HE BE，故③正确；
∵AB＝AC＞AE，BC＞AB＞AE，
∴AB+BC≠2AE，故④错误；
∴正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵
活运用这些性质解决问题是本题的关键．
5．（2023•南京三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在Rt△ABC
内部且满足∠AEC＝90°，若AE＝6，DE＝3 ，则AB的长为 6 ．
【分析】过D点作DF⊥AE交AE的延长线于点F，连接AD，利用等腰直角三角形的性质可得∠ADC＝
90°，进而可证明D，E两点均在以AC为直径的圆上，即可求得∠DEF＝45°，由等腰直角三角形的性
质可得EF＝DF＝3，可求得AF＝9，再利用勾股定理可求解AD的长，再解直角三角形可求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AE交AE的延长线于点F，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴D，E两点均在以AC为直径的圆上，
∴∠AED+∠ACD＝180°，
∴∠AED＝135°，∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∵DE ，
∴EF＝DF＝DEsin45°＝3，
∵AE＝6，
∴AF＝AE+EF＝9，
∴AD ，
∴AB＝AC ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系及圆的性质，解直角三角形，证
明A、C、D、E四点共圆是解题的关键．
6．（2023•绍兴模拟）已知，如图，AB＝8，P为线段AB上的一个动点，以PB为边作等边三角形PBC，
在射线PC上取PD＝PA，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，当点P在线段AB上移动时，
点M，N之间的距离的最小值为 ．
【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN （4﹣
a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：连接PM、PN，
∵△PBC是等边三角形，
∴∠CPB＝60°，
∴∠APC＝120°，
∵PD＝PA，
∴∠A＝30°，
∵M，N分别是对角线AD，BC的中点，
∴∠CPM ∠APC＝60°，∠CPN ∠CPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，
∴PM＝a，BN PB＝4﹣a，
∴PN （4﹣a），
∴MN ，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
7．（2024•江西模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M是AC上一点，以CM为边在∠ACB的内部
作等边三角形DMC，点N是BC上一点，连接MN，以MN为边在MN的上方作等边三角形MNF，连接
FD，并延长FD交BC的延长线于点E．特例感知
（1）如图1，当MC＝2时，∠CMN＝ ∠ DMF ；
类比迁移
（2）如图2，当MC＝a时，
①∠CMN＝ ∠ DMF ；
②求证：△MCN≌△MDF．
拓展应用
（3）在图3中，过A点作CB的平行线交DF的延长线于点G．当MC＝a时，
①∠GEB＝ 6 0 °；
②求GF+EN的值．（用含a的式子表示）
【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠CMD＝∠NMF＝60°，可得∠CMN＝∠DMF；
（2）①由等边三角形的性质可得∠CMD＝∠NMF＝60°，可得∠CMN＝∠DMF；
②由“SAS”可证△MCN≌△MDF；
（3）①由全等三角形的性质可得∠MDF＝∠MCN＝90°，由四边形内角和定理可求解；
②通过证明四边形AMHN是矩形，可得AM＝NH，由直角三角形的性质可求HG HN
，由“SAS”可证△MEN≌△MHF，可得FH＝EN，即可求解．
【解答】（1）解：∵△MCD，△MNF是等边三角形，
∴∠CMD＝∠NMF＝60°，
∴∠CMN＝∠DMF，
故答案为：∠DMF；
（2）①解：∵△MCD，△MNF是等边三角形，
∴∠CMD＝∠NMF＝60°，
∴∠CMN＝∠DMF，故答案为：∠DMF；
②证明：∵△MCD，△MNF是等边三角形，
∴∠CMD＝∠NMF＝60°，MC＝MD，MN＝MF，
∴∠CMN＝∠DMF，
∴△MCN≌△MDF（SAS）；
（3）①解：由（2）可知：△MCN≌△MDF，
∴∠MDF＝∠MCN＝90°，
∴∠CMD+∠CED＝180°，
∴∠CED＝120°，
∴∠GEB＝60°，
故答案为：60；
②解：如图，连接ME，过点M作MH∥GE，交EG于H，过点H作HN⊥AG于N，
∵MH∥GE，AG∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝∠AMB＝90°，∠AGH＝∠GEB＝60°＝∠MHE，
∵HN⊥AG，
∴四边形AMHN是矩形，
∴AM＝NH，
∵MC＝a，AC＝4，
∴AM＝NH＝4﹣a，
∵∠NHG＝∠HNG﹣∠NGH＝30°，
∴HG＝2NG，HN NG，
∴HG HN ，
∵MD＝MC，ME＝ME，∴Rt△MCE≌Rt△MDE（HL），
∴∠CEM＝∠DEM＝60°，
又∵∠MHE＝60°，
∴△MEH是等边三角形，
∴ME＝MH，∠EMH＝60°＝∠NMF，
∴∠EMN＝∠FMH，
∴△MEN≌△MHF（SAS），
∴FH＝EN，
∴GF+EN＝FH+FG＝HG ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性
质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．（2024•阳新县校级模拟）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上
的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成
立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k ，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
【分析】（1）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，求得∠DAG＝∠DCE，根据全
等三角形的性质得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，根据相似三角形的性质得到 k，得到∠DAG＝∠DCE，推出△ADG∽△CDE，根据相似三角形的性质得到DG
＝kDE；
（3）如图，连接GE，根据全等三角形的性质得到FC＝FE，求得GC＝GE，根据勾股定理得到GE
5，求得CG＝5，得到CD＝CG+DG＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴DG＝DE；
（2）解：当k≠1时，（1）中的结论不成立，此时DG＝kDE，
理由：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ k，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG∽△CDE，
∴ k，
∴DG＝kDE；
（3）解：如图，连接GE，∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AC＝AE，AF＝AF，
∴RtAFC≌Rt△AFE（HL），
∴FC＝FE，
∴GC＝GE，
∵∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴DF CE，
∵DG DE，DG＝3，
∴DE＝4，GE 5，
∴CG＝5，
∴CD＝CG+DG＝8，
∴CE 4 ，
∴DF＝2 ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定
理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4| 0，则这个三角形的形状是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4| 0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52＝25，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及非负数的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
2．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD与正方形EFGH，连结
DF．若S正方形ABCD ＝5，EF BG，则DF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】由题知△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，再根据EF BG，证明出△ADE≌△DEF，即可得
出答案．
【解答】解：∵S正方形ABCD ＝5，四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD ．
∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF＝FG＝HG．
由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH．
∵EF BG，
∴EF AF，
∴E是中点，
即AE＝EF，
∴ ．
∴△ADE≌△DEF（SAS）．
即DF＝AD ．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题关键在于根据题意证明全等．
3．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好
能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则OC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意先求出OB＝2，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝1，∠AOB＝30°，
∴OB＝2，
在Rt△BOC中，OC ．
故选：A．
【点评】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键．
4．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B、C，D，E均在小正方形方
格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝a，则∠ABE的度数为 90°+ ．
α
【分析】如图，证明△CGD≌△BHE（SAS），得到∠GCD＝∠HBE，根据三角形外角的性质及平行线
的性质可进行求解，
【解答】解：如图，
由图可知：GD＝EH＝1，CG＝BH＝4，∠CGD＝∠BHE＝90°，
∴△CGD≌△BHE（SAS），
∴∠GCD＝∠HBE，
∵CG∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD，
∵∠CFB＝∠CAB+∠GCD＝ ，
∴∠ABD+∠HBE＝ ， α
∴∠ABE＝∠ABD+∠α DBH+∠HBE＝90°+ ；
故答案为：90°+ ． α
【点评】本题主α要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD ＝ 1 ．【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积
进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
∵AC＝2，
∴S△ACD AC•DF
2×1
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端
点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 2 ．【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，再根据三角形中位线定理得到EF DN，然后结合
图形解答即可．
【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，
∴BD 4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
7．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分
EF，求证：AD是△ABC的角平分线．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC
的角平分线．
【解答】证明：∵AD垂直平分EF，
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点评】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两
端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键．
8．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ；
（2）根据全等三角形的性质得到AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∵∠BAP+∠CAP＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，
本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．
图形的相似
相似图形的性质和判定：这是基础中的基础，无论是相似三角形还是相似多边形，它们的性质和判定
方法都是必考的内容。比如，相似图形的对应角相等、对应边成比例等性质，以及利用这些性质进行相似图形的判定等。
黄金分割：黄金分割作为图形相似的一个重要应用，很可能会在中考数学中出现。比如，给出一段线
段，要求按照黄金分割的比例进行分割，或者给出与黄金分割相关的图形，要求求解相关参数等。
相似形与三角形、四边形：这类题目可能会将相似形与三角形、四边形等知识点结合起来，考查学生
的综合应用能力。比如，给出一个包含相似三角形或四边形的复杂图形，要求求解某个角或某条边的长度
等。
成比例线段：成比例线段是图形相似的一个重要概念，也是中考数学中可能会考查的内容。比如，给
出四条线段，判断它们是否成比例；或者给出线段之间的比例关系，要求求解某个未知量等。
与现实生活相关的应用题：数学源于生活，图形的相似在现实生活中有着广泛的应用。因此，中考数
学中可能会出现与现实生活相关的应用题，要求学生利用图形相似的知识解决实际问题。比如，利用相似
三角形的性质测量建筑物的高度等。
Ⅰ、比例有关的概念及性质
一、比例线段
1. 线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.
（1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
（2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
（3）线段的比，最终要化成最简整数比.
2. 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成
比例线段，简称比例线段.二、比例的基本性质
1. 基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d.
2. 合比性质：如果 ，那么 ，
如果 ，那么 .
三、比例中项
在比例式 中，如果c＝b，那么 ，我们把b叫做a和d的比例中项.
四、黄金分割
如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果 ，那么称线段AC被点B黄金分割，点B
为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为 ，近似值
为0.618.
1. 黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2. 一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；
3. 数 约等于0.618，这个数又被称为黄金数；
4. 边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.
Ⅱ、相似图形
一、相似形
形状相同的图形 相似形.
1. 至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；
2. 全等形是一种特殊的相似形；3. 相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关.
二、相似多边形
各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形.
两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比.
1. 相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；
2. 全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形；
3. 当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.
Ⅲ、三角形相似的条件
一、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l、l、l 交于点A、B、C和点D、E、F、，则有：
1 2 3
a
A D D A A (D)
l 1 l 1 l 1
B E l 2 B E l 2 B E l 2
C F C F C F
l 3 l 3 l 3
a b b a b
1. ；
2. ；
3. .
当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定
理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
二、由平行判定三角形相似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示：三、由两角关系判定三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似，如图所示：
四、由两边及夹角的关系判定两三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示：
五、由三边关系判定两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似，如图所示：
Ⅳ、相似三角形的性质
一、相似三角形周长比的性质
1. 相似三角形周长的比等于相似比；
2. 相似多边形周长的比等于相似比.如图所示，若 ，则 ，
则 .
二、相似三角形面积比的性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图所示，若 ，则 ，分别作出 与
的高AD和 ，
则 .
三、相似三角形对应线段比的性质
1. 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比；
3. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比.1．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，
相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣
4），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
2．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝
4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质
即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ ，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴ ，
∴AD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相
似是解题的关键．
3．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于
点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点
E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：
CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得
AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝
CB，最后根据黄金三角形的定义可得 ，从而可得 ，再利用三角形的面积可得
，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB 72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE ∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图﹣基本作图，熟练掌
握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值
为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则
DG：EG＝ ．
【分析】延长AF、BC交于点H，由平行四边形的性质及E、F分别为BC、CD的中点，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，则CB＝AD＝2CE，再证明△HCF∽△ADF，得 1，则HC＝AD＝CB＝
2CE，所以HE＝3CE，再证明△ADG∽△HEG，得 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AF、BC交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为BC、CD的中点，
∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，
∴CB＝AD＝2CE，
∵HC∥AD，
∴△HCF∽△ADF，
∴ 1，
∴HC＝AD＝CB＝2CE，
∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，
∵AD∥HE，
∴△ADG∽△HEG，
∴ ，
∴DG：EG＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题
的关键．
6．（2023•岳阳）如图，在 O中，AB为直径，BD为弦，点C为 的中点，以点C为切点的切线与AB
⊙
的延长线交于点E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，则 的长是 （结果保留 ）；
π
（2）若 ，则 ．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出 的长；
（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出
，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴∠BOC＝60°，OB＝3，
∴ 的长 ；
故答案为： ； π
（2）如图，π连接OC，
∵点C为 的中点，
∴ ，
∴OC⊥BD，
又∵EC是 O的切线，
∴OC⊥EC⊙，
∴EC∥BD，∵ ，
∴ ，
设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC x，EO x，AE＝4x，
∴EC 2x，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的
计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键．
7．（2023•眉山）如图， ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；▱
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的
长．【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
（2）先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得 CG＝GF＝6，证明
△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴ 1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴ ，即 ，
∴GH＝1.2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌
握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
8．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求 的值．
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝
∠DAC＝∠DCA＝45°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△ADE；
（2）由△ABE≌△ADE，得∠ABE＝∠ADE，可推导出∠EBC＝∠EDC，因为AB∥CD，所以∠FGB＝
∠EDC，则∠FGB＝∠EBC，而∠FBE＝90°，则∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，所以∠FGB＝∠FBG，
即可证明△FBG是等腰三角形；
（3）由BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，得∠F＝∠BEF＝45°，则∠BAC＝∠F，可证明∠AEG＝∠FBG，进
而证明∠AGE＝∠AEG，则AE＝AG，由勾股定理得EF 2 ，而BF＝GF＝2，所以GE
＝2 2，由全等三角形的性质得BE＝DE＝2，再证明△AGE∽△CDE，则 1，所以
1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝∠EDC，
∴∠FGB＝∠EBC，
∵BF⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴BF＝GF，
∴△FBG是等腰三角形．
（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∴∠BAC＝∠F，
∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，
∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∵EF 2 ，BF＝GF＝2，
∴GE＝EF﹣GF＝2 2，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE＝DE＝2，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴ 1，∴ 1，
∴ 的值为 1．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、相似
三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
1．（2024•莘县一模）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完
美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然
中呈现出优美的样子．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为4cm，那么AB
的长约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024•北京一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E在AB上，DE平分∠ADC，
CE平分∠DCB．给出下面三个结论：
①∠DEC＝90°；
②AE＝EB；
③AD•BC＝AE•EB．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2024•凤城市一模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F 的距离与焦点F
1 1
到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
4．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马
俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 ，若如
图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为 0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为
m．
5．（2023•乌鲁木齐一模）正方形ABCD中，AB＝2 ，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接
PC，PM，当点 P 移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接 BP，点 E，F 分别是 AB，BP 中点，求
3BP+2EF的最小值为 ．6．（2023•京口区校级一模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小
正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 ．
7．（2023•蒲城县模拟）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了
测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地
面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方
向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直
线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你
帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．
8．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作
O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交 O于点F． ⊙
⊙（1）求证：DE⊥AC； ⊙
（2）若AE+DE＝12， O的半径为10，求AF的长度．
⊙1．（2024•兰州模拟）如图，在钝角△ABC中（∠BAC为钝角），∠B＝45°， ，AC＝10，在其
内部作一个矩形MNQP，使矩形的一边NQ在边BC上，顶点M，P分别在边AB，AC上．设矩形的一
边MN＝x，矩形的面积为y，则y与x的函数关系式可用函数图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024•凉州区二模）如图，在正方形 ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD
于点E，F，连接BD，DP；BD与CF相交于点H．给出下列结论：① ；②∠PDE＝15°；③ ；④ ；⑤DE2＝PF•FC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023•芜湖模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD
上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝
CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE ，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
4．（2024•菏泽一模）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用
了 黄 金 分 割 数 ． 设 ， ， 记 ， ， … ，
，则S +S +…+S 的值为 ．
1 2 20
5．（2023•南山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC，CE＝AD＝8，CE 关于DE对
称的直线恰好交AB于点F，则AF的长为 ．6．（2024•东阿县模拟）如图，正方形ABCD的边长为12， B的半径为6，点P是 B上一个动点，则
⊙ ⊙
PD PC的最小值为 ．
7．（2024•安徽一模）如图，在四边形ABCD是正方形，点E为CD边的中点，对角线BD与AE交于点
F，连接BE，CF，且BE与CF交于点G，连接DG．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）求 的值；
（3）求证：DG2＝CG•BG．
8．（2024•阳新县二模）如图，点C在以AB为直径的 O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，
并且AC平分∠DAB，AD交 O于点 E． ⊙
⊙（1）求证：直线CD是 O的切线；
⊙
（2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD ，求 的值．
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（
）
A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
3．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE ＝1，则S△ABC ＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根
据图2中的数据可得x的值为 ．5．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF
的长为 ．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点
D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线 CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE．设AC与DE
交于点F，则线段CF的最大值为 ．
7．如图，弦 BC 经过圆心 D，AD⊥BC，AC 交 D 于 E，AD 交 D 于 M，BE 交 AD 于 N．求证：
△BND∽△ABD． ⊙ ⊙
8．（1）问题呈现：如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知 ．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ．连接BD，CE，求 的
值；
（3）拓展提升：
如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接
BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB＝6，求EF的长．
1．（2024•莘县一模）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完
美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然
中呈现出优美的样子．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为4cm，那么AB
的长约为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝4cm，
∴ ，
∴AB＝2 2，
∴AB的长约为（2 2）cm，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2．（2024•北京一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E在AB上，DE平分∠ADC，
CE平分∠DCB．给出下面三个结论：
①∠DEC＝90°；
②AE＝EB；
③AD•BC＝AE•EB．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】依据题意，由AD∥BC，可得∠ADC+∠BCD＝180°，又DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，从而 ， ，进而求得∠DEC＝90°，故可判断①；又过点E作EF⊥CD于
点F，又AD∥BC，从而∠A+∠B＝180°，再由∠A＝90°，则∠B＝90°，又结合DE平分∠ADC，CE平
分∠DCB，可得 AE＝EF，BE＝EF，从而可以判断②；又由∠DEC＝90°，∠A＝90°，则
∠AED+∠BEC＝∠AED+∠ADE＝90°，故∠BEC＝∠ADE，再结合∠A＝∠B＝90°，则
△ADE∽△BEC，进而可得 ，即有AD•BC＝AE•EB，故判断③．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴ ， ．
∴ ．
∴∠DEC＝90°，故①正确；
如图，过点E作EF⊥CD于点F，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE＝EF，BE＝EF，
∴AE＝BE，故②正确；
∵∠DEC＝90° 90°，∠A＝90°，∴∠AED+∠BEC＝∠AED+∠ADE＝90°．
∴∠BEC＝∠ADE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC．
∴ ．
∴AD•BC＝AE•EB，故③正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能
灵活构造三角形全等是关键．
3．（2024•凤城市一模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F 的距离与焦点F
1 1
到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8
字模型相似△AHF ∽△BOF ，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
1 1
【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF H＝∠BF O，
1 1
∴△AHF ∽△BOF ，
1 1
∴ ，
∴BO AH，∴CG AH，
∴物体被缩小到原来的 ，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
4．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马
俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 ，若如
图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m．
【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，根据题意可得： ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，
由题意得： ，
解得：x ，
∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m，故答案为： ．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5．（2023•乌鲁木齐一模）正方形ABCD中，AB＝2 ，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接
PC，PM，当点 P 移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接 BP，点 E，F 分别是 AB，BP 中点，求
3BP+2EF的最小值为 2 ．
【分析】连接AP，根据三角形的中位线定理确定AP＝2EF，再证明△PON∽△AOP，确定PN AP，
将3BP+2EF变形为3（BP+PN），连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交
O于点P，最后利用勾股定理计算BN的长即可．
⊙【解答】解：由题意知：当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，所以点P的运动轨迹为圆时，设圆心
为O，如图1，连接OC，OM，保持∠COM＝90°满足条件，
正方形ABCD中，BC＝2 ，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM ，∵∠MPC ∠COM＝45°，
∴ O的半径为1，
⊙
如图2，连接AC，在OA上取一点N，使ON OP，连接PN，AP，OP，
∵∠MCO＝45°，
∴点O在AC上，
∵AC 4，
∴OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝3＝3OP，
∴ ，∠PON＝∠AOP，
∴△PON∽△AOP，
∴ ，
∵F是PB的中点，E是AB的中点，
∴EF是△ABP的中位线，
∴AP＝2EF，
∴3BP+2EF＝3BP+AP＝3（BP AP）＝3（BP+PN），
连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交 O于点P，过N作NG⊥BC交BC
于G，如图3， ⊙∵CN＝OC+ON＝1 ，
∴NG＝CG ，
∴BG＝2 ，
根据勾股定理得：BN ，
∴3BP+2EF＝3（BP+PN）＝3BN＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题属于圆和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，动点轨迹
问题，最短距离以及圆的相关知识，是填空题的压轴题，本题正确找到点P的运动轨迹是关键．
6．（2023•京口区校级一模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小
正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 ．【分析】因网格由边长为1的小正形构成，角角边证明△BDF≌△ECF，其性质得BF ；根据正方形
的性质得BF∥DA，证明△BFO∽△ADO，其性质得 ，最后勾股定理和线段的和差求出AO的长
为 ．
【解答】解：如图所示：
在△BDF和△ECF中，
，
∴△BDF≌△ECF（AAS），
∴BF＝EF ，
又∵BF∥DA，
∴△BFO∽△ADO，
∴ ，
又∵AD＝4，
∴ ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
，
又∵AB＝AO+BO，∴AO ，
故答案为 ．
【点评】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定
理等知识点的运用，重点掌握相似三角形的判定与性质．
7．（2023•蒲城县模拟）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了
测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地
面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方
向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直
线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你
帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．
【分析】根据垂直定义可得∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，然后证明 A 字模型相似三角形
△EDC∽△EBA，从而利用相似三角形的性质可得 ，进而可得 ，再证明A字模型
相似三角形△HFG∽△BFA，从而利用相似三角形的性质可得 ，进而可得 ，最
后可得： ，从而求出AC的长，进而求出AB的长，即可解答．【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，
∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴ ，
∴ ，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC＝33米，
∴ ，
∴AB＝24米，
∴常乐宝塔的高度AB为24米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
8．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，过点D作
O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交 O于点F． ⊙
⊙（1）求证：DE⊥AC； ⊙
（2）若AE+DE＝12， O的半径为10，求AF的长度．
⊙【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH＝x．则由矩形的性质推知：AE＝10﹣
x，OH＝DE＝12﹣（10﹣x）＝x+2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x+2）2＝102，通过解方程得
到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×6＝12．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是 O的切线，OD是半径，
∴DE⊥O⊙D，
∴DE⊥AC．
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．
设AH＝x．
∵DE+AE＝12，OD＝10，
∴AE＝10﹣x，OH＝DE＝12﹣（10﹣x）＝x+2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即x2+（2+x）2＝102，
解得x ＝6，x ＝﹣8（不合题意，舍去）．
1 2
∴AH＝6．∵OH⊥AF，
∴AH＝FH AF，
∴AF＝2AH＝2×6＝12．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档
题．
1．（2024•莘县一模）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完
美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然
中呈现出优美的样子．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为4cm，那么AB
的长约为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝4cm，
∴ ，
∴AB＝2 2，
∴AB的长约为（2 2）cm，
故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2．（2024•北京一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点E在AB上，DE平分∠ADC，
CE平分∠DCB．给出下面三个结论：
①∠DEC＝90°；
②AE＝EB；
③AD•BC＝AE•EB．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】依据题意，由AD∥BC，可得∠ADC+∠BCD＝180°，又DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，从
而 ， ，进而求得∠DEC＝90°，故可判断①；又过点E作EF⊥CD于
点F，又AD∥BC，从而∠A+∠B＝180°，再由∠A＝90°，则∠B＝90°，又结合DE平分∠ADC，CE平
分∠DCB，可得 AE＝EF，BE＝EF，从而可以判断②；又由∠DEC＝90°，∠A＝90°，则
∠AED+∠BEC＝∠AED+∠ADE＝90°，故∠BEC＝∠ADE，再结合∠A＝∠B＝90°，则
△ADE∽△BEC，进而可得 ，即有AD•BC＝AE•EB，故判断③．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴ ， ．
∴ ．
∴∠DEC＝90°，故①正确；如图，过点E作EF⊥CD于点F，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE＝EF，BE＝EF，
∴AE＝BE，故②正确；
∵∠DEC＝90° 90°，∠A＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝∠AED+∠ADE＝90°．
∴∠BEC＝∠ADE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC．
∴ ．
∴AD•BC＝AE•EB，故③正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能
灵活构造三角形全等是关键．
3．（2024•凤城市一模）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F 的距离与焦点F
1 1
到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8
字模型相似△AHF ∽△BOF ，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
1 1
【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO，
∴∠AHO＝∠BOH＝90°，
∵∠AF H＝∠BF O，
1 1
∴△AHF ∽△BOF ，
1 1
∴ ，
∴BO AH，
∴CG AH，
∴物体被缩小到原来的 ，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
4．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马
俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 ，若如
图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m．【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，根据题意可得： ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，
由题意得： ，
解得：x ，
∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m，
故答案为： ．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5．（2023•乌鲁木齐一模）正方形ABCD中，AB＝2 ，点M是BC的中点，点P是正方形内一点，连接
PC，PM，当点 P 移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接 BP，点 E，F 分别是 AB，BP 中点，求
3BP+2EF的最小值为 2 ．【分析】连接AP，根据三角形的中位线定理确定AP＝2EF，再证明△PON∽△AOP，确定PN AP，
将3BP+2EF变形为3（BP+PN），连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交
O于点P，最后利用勾股定理计算BN的长即可．
⊙【解答】解：由题意知：当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，所以点P的运动轨迹为圆时，设圆心
为O，如图1，连接OC，OM，保持∠COM＝90°满足条件，
正方形ABCD中，BC＝2 ，
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM ，
∵∠MPC ∠COM＝45°，
∴ O的半径为1，
⊙
如图2，连接AC，在OA上取一点N，使ON OP，连接PN，AP，OP，∵∠MCO＝45°，
∴点O在AC上，
∵AC 4，
∴OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝3＝3OP，
∴ ，∠PON＝∠AOP，
∴△PON∽△AOP，
∴ ，
∵F是PB的中点，E是AB的中点，
∴EF是△ABP的中位线，
∴AP＝2EF，
∴3BP+2EF＝3BP+AP＝3（BP AP）＝3（BP+PN），
连接BN，当B、P、N三点共线，BP+PN取得最小值，此时BN交 O于点P，过N作NG⊥BC交BC
于G，如图3， ⊙
∵CN＝OC+ON＝1 ，
∴NG＝CG ，∴BG＝2 ，
根据勾股定理得：BN ，
∴3BP+2EF＝3（BP+PN）＝3BN＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题属于圆和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，动点轨迹
问题，最短距离以及圆的相关知识，是填空题的压轴题，本题正确找到点P的运动轨迹是关键．
6．（2023•京口区校级一模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小
正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 ．
【分析】因网格由边长为1的小正形构成，角角边证明△BDF≌△ECF，其性质得BF ；根据正方形
的性质得BF∥DA，证明△BFO∽△ADO，其性质得 ，最后勾股定理和线段的和差求出AO的长
为 ．
【解答】解：如图所示：
在△BDF和△ECF中，，
∴△BDF≌△ECF（AAS），
∴BF＝EF ，
又∵BF∥DA，
∴△BFO∽△ADO，
∴ ，
又∵AD＝4，
∴ ，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
，
又∵AB＝AO+BO，
∴AO ，
故答案为 ．
【点评】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定
理等知识点的运用，重点掌握相似三角形的判定与性质．
7．（2023•蒲城县模拟）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了
测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地
面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方
向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直
线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你
帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．【分析】根据垂直定义可得∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，然后证明 A 字模型相似三角形
△EDC∽△EBA，从而利用相似三角形的性质可得 ，进而可得 ，再证明A字模型
相似三角形△HFG∽△BFA，从而利用相似三角形的性质可得 ，进而可得 ，最
后可得： ，从而求出AC的长，进而求出AB的长，即可解答．
【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，
∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴ ，
∴ ，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴AC＝33米，
∴ ，
∴AB＝24米，
∴常乐宝塔的高度AB为24米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
8．（2024•阳新县二模）如图，点C在以AB为直径的 O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，
并且AC平分∠DAB，AD交 O于点 E． ⊙
（1）求证：直线CD是 O⊙的切线；
⊙
（2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD ，求 的值．
【分析】（1）连接OC．只要证明AD∥OC，由AD⊥CD，可得出OC⊥CD进而可得直线CD是 O的
切线； ⊙
（2）如图2中，连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．证明△CDE∽△ADC，对应边成比例
，可得CD2＝DE•AD，根据sin∠CAD ，设CD＝3x，AC＝5x，则AD＝4x，可得DE
x，可得AE＝AD﹣DE x，根据BE∥CD，即可求出结果．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD是 O的切线；
⊙
（2）解：如图，连接BE，CE，BE交AC于F交OC于H．
∵直线CD是 O的切线，
∴∠DCE＝∠⊙DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴ ，
∴CD2＝DE•AD，
∵sin∠CAD ，
∴设CD＝3x，AC＝5x，则AD＝4x，
∴DE x，
∴AE＝AD﹣DE x，∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
∴BE∥CD，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解此题的关键
是学会利用参数，构建方程解决问题，题目比较难，有一定的难度．
1．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由 得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
B、由 得，3x＝2y，故本选项比例式成立；
C、由 得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
D、由 得，xy＝6，故本选项比例式不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（
）A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△CEF∽△ABF，
∴ ，
∵E为DC的中点，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题
关键．
3．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE ＝1，则S△ABC ＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC， ，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角
形的性质求解．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵S△ADE ＝1，
∴S△ABC ＝4，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形
的判定和性质是解题的关键．
4．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根
据图2中的数据可得x的值为 0.9 6 ．
【分析】在图 2 中，过点 O 作 MN⊥AB 于点 M，MN 交 CD 于点 N，则 ON＝x，OM＝1.2，由
AB∥CD，可得出△OCD∽△OBA，再利用相似三角形的性质，即可求出x的值．
【解答】解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，MN交CD于点N，则ON＝x，OM＝1.2，
∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴ ，
∴即 ，
∴x＝0.96．
故答案为：0.96．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是
解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝8，AD＝6，则AF
的长为 ．
【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，从而在Rt△ADC中，利用勾股定
理求出AC的长，然后证明8字模型相似三角形△CDF∽△AEF，从而利用相似三角形的性质进行计算
即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵AD＝6，
∴AC 10，
∵点E是AB的中点，
∴AE AB＝4，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA，∠DCF＝∠CAE，
∴△CDF∽△AEF，∴ 2，
∴AF AC ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关
键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点
D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线 CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE．设AC与DE
交于点F，则线段CF的最大值为 ．
【分析】利用SAS定理证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
根据AA证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到AF ，求出AD的最小值，得到AF的最
小值，求出CF的最大值．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°；
∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
∴ ．
∴AD2＝AF•AC．
∴AD2＝5AF．
∴AF ．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
∵当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD AB ．
∴AF最短 ．
∴CF最长 ＝AC﹣AF最短 ＝5 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定
理和性质定理是解题的关键．
7．如图，弦 BC 经过圆心 D，AD⊥BC，AC 交 D 于 E，AD 交 D 于 M，BE 交 AD 于 N．求证：
△BND∽△ABD． ⊙ ⊙【分析】首先证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可知：∠ABD＝∠ACD因为BC是直径，所以
∠BEC＝90°再证明∠BND＝∠ACD即可证明△ABD∽△ACD．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵在△ADB和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BND＝∠ANE＝90°﹣∠DAC＝∠ACD，
∴△ABD∽△ACD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及讨论和相似三角形的判定，题目难度不
大．
8．（1）问题呈现：
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知 1 ．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ．连接BD，CE，求 的
值；
（3）拓展提升：如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接
BD，EC，延长EC交BD于点F，设AB＝6，求EF的长．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
（3）由“AAS”可证△BCF≌△DHF，可得BF＝DF BD＝3，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴ 1，
故答案为：1；
（2）∵ ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ；
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，∴ ；
（3）如图，过点D作DH∥BC，交EF的延长线于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6，
∴AC＝BC＝3 ，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，BC＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝BD＝6，∠ACE＝∠AEC＝60°，
∴∠BCF＝∠DEF＝30°，
∵DH∥BC，
∴∠BCF＝∠H＝30°＝∠DEF，
∴DH＝DE＝BC＝3 ，
又∵∠BCF＝∠DEF，∠BFC＝∠DFH，
∴△BCF≌△DHF（AAS），
∴BF＝DF BD＝3，
∵DN⊥EF，∠DEF＝30°，
∴DN DE ，NE DN ，∵FN ，
∴EF＝FN+EN ．
【点评】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．锐角三角函数
锐角三角函数在中考数学中预测，在选择题和解答题中，都会涉及到这个知识点。具体来说，可能会
考察特殊角的三角函数值，比如30°、45°、60°的三角函数值，这些都是基本的，必须要掌握的。
另外，解直角三角形的应用也是一个重点。可能会考察仰角俯角问题、坡度坡角问题以及方向角问题。
这些问题都是实际生活中常见的，需要运用锐角三角函数的知识来解决。
Ⅰ、正切、正弦、余弦
一、正切
1. 正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫
做斜边.
B
c
a
A C
b
我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA，则 .
2. tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，tan A表示的是∠A的正切，不是tan
与∠A的乘积.
3. 若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”
不能省略.
4. 表示 ，可以写成 ，不能写成 .
5. 锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个
数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关.
二、正弦、余弦的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
B
c
a
A C
b
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 .
1. 正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对其锐角而引入的，其大小与角的大小有关，与三角形的大小
无关；
2. 在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以 （∠A为锐角）；
3. 在初中，我们把锐角的正切、正弦和余弦统称为锐角三角函数.
三、正弦、余弦值随锐角α的变化规律
1. 正弦值随着锐角角度的增大而增大，余弦值随着锐角角度的增大而减小；
2. 对于锐角 ，若 ，则
四、互余两角的三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°
（1）互余关系： ；
（2）平方关系： ；
（3）倒数关系： 或 ；
（4）商数关系： .
Ⅱ、特殊角的三角函数
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
锐角 30° 45° 60°
1
1. 为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三角形，利用定义进行推导：
2. 通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°— 90°之间变化时：
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
Ⅲ、解直角三角形
一、直角三角形的边角关系
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系：
1. 三边之间的关系： （勾股定理）；
2. 两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；
3. 边与角之间的关系： .
三角函数是连接边与角的桥梁.
二、解直角三角形
通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形.
图形 未知条件 解法步骤
斜边和 a、c b、∠A、∠B
一条直
角边 由 求∠A，由∠B＝90°－
∠A求∠B，由 求bb、c a、∠A、∠B
由 求∠B，由∠A＝90°－
∠B求∠A，由 求a
两条直 a、b c、∠A、∠B
角边 由 求 c ， 由
求∠A，由∠B＝90°－∠A
求∠B
斜边和 ∠A、 ∠B、a、b 由 ∠ B ＝ 90° － ∠ A 求 ∠ B ， 由
一锐角 c
求a，由 求b
∠B、c ∠A、a、b 由 ∠ A ＝ 90° － ∠ B 求 ∠ A ， 由
求a，由 求b
一条直 ∠A、 ∠B、b、c 由 ∠ B ＝ 90° － ∠ A 求 ∠ B ， 由
角边和 a
一个锐
角 求b，由 求c
∠A、 ∠B、a、c 由 ∠ B ＝ 90° － ∠ A 求 ∠ B ， 由
b
求a，由 求c
∠B、 ∠A、b、c 由 ∠ A ＝ 90° － ∠ B 求 ∠ A ， 由
a
求b，由 求c
∠B、 ∠A、a、c 由 ∠ A ＝ 90° － ∠ B 求 ∠ A ， 由
b
求a，由 求c
Ⅳ、用锐角三角函数解决问题
一、与仰角、俯角相关的应用
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做
俯角，如下图所示：二、与“坡”相关的应用
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示；
坡度（坡比）定义：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则 ，
如图，坡度通常写成 的形式.
三、与方位角、方向角有关的应用
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向
PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方
向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东
南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏
西45°
1．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼
成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，则
cos 的值为（ ） α
αA． B． C． D．
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较
短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再利用勾股定理得到关于a的方程，解方程可求出直角三角
形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cos 的值．
【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， α
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a ＝3，a ＝﹣4（不合题意，舍去）．
1 2
∴a+1＝4，
∴ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角
函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
2．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则
cos∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．∴cosA ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题
的关键．
3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为 ，则每爬1m耗能（1.025﹣cos ）J，若某人爬了1000m，
α α
该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据： 1.732， 1.414）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
某人爬了 1000m，该坡角为 30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025 ）≈159
（J），
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达
点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C的最短距离
是 海里．
【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30° ，
∴CH （12+CH），
解得CH＝6（ 1）．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6（ 1）海里．
故答案为：6 6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三
角函数的概念是解题的关键．
5．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C
在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为
；点D的坐标为 ．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC
，由三角形的面积公式得S△ABC AC•OB AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC 3，然
后在Rt△BOC中由勾股定理得 ，由此解出t
1
＝2，t
2
＝10（不合题意，舍去），
此时OC 3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2
＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD 为等边三角形得
，整理： ，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n
代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n ，进而再求出m即可得点D的坐标．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A（3，0），B（0，4），
由两点间的距离公式得：AB 5，
设BE＝t，
∵tan∠ABC＝2，
在Rt△BCE中，tan∠ABC ，∴ 2，
∴CE＝2t，
由勾股定理得：BC t，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，
∴S△ABC AC•OB AB•CE，
即：5×2t＝4×（3+OC），
∴OC 3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，
即 ，
整理得：t2﹣12t+20＝0，
解得：t ＝2，t ＝10（不合题意，舍去），
1 2
∴t＝2，此时OC 3＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
方法二：设BE＝2t，CE＝4t，
AE＝3t，AC＝BC＝5t，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
设点D的坐标为（m，n），
由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝
（m+2）2+（n﹣0）2，
∵△BCD为等边三角形，
∵BD＝CD＝BC，
∴ ，整理得： ，
②﹣①得：4m+8n＝12，
∴m＝3﹣2n，
将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，
整理得：n2﹣4n+1＝0，
解得：n ，
当n 时，m＝3﹣2n ，
当n 时，m＝3﹣2n ，
∴点D的坐标为 或 ．
D在BC左侧时，倍长BD，可得Rt△BCF，作FH⊥x轴于H，则CH＝4√3，FH＝2√3
F（﹣2﹣4√3，2√3），中点公式可求点D ，
在BC右侧的点D同理可求D ．
故答案为：（﹣2，0）； 或 ．
【点评】此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，
熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
6．（2023•荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（ 1.73，结果精确到0.1）
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．
【解答】解：由题意可得：tan30° ，
解得：BD＝2 （米），
tan60° ，
解得：DC＝6 （米），
故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝8 13.8（米），
故答案为：13.8．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
7．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面 A，B养殖场捕捞海产品．经测
量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往 B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为
600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据： 1.414， 1.732）【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，
解直角三角形即可求出BC；
（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60° ，sin60° ，
∴AD＝3600 1800 （米），CD 3600＝1800（米）．
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝1800（米），
∴BC 1800 1800×1.414≈2545（米）．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；
（2）AB＝AD+BD＝1800 1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），
600×9＝5400（米），
∵5400米＞4917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出 AD与
BD的长度，难度一般．8．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发
射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地
面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后
飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据： 1.73）
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OC AC＝4 （km），在Rt△BOC中，根据等腰
直角三角形的性质得到OB＝OC＝4 km，于是得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO AC （km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC AC＝4 （km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4 （km），∴AB＝OB﹣OA＝（4 ）km，
∴飞船从A处到B处的平均速度 0.3（km/s）．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA ，则（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
2．（2024•阳谷县一模）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 B处测得灯塔最高点A的仰
角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝13.2m，则灯塔的高
度AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据： 1.41， 1.73）
A．31m B．36m C．42m D．84m
3．（2023•宿城区校级模拟）如图，点 A、B、C 均在 4×4 的正方形网格的格点上，则 tan∠BAC＝
（ ）A． B． C． D．
4．（2023•咸宁三模）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD
的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据： ）
5．（2024•海安市一模）如图，平地上一幢建筑物 AB与铁塔CD都垂直于地面，BD＝50m，在建筑物的
顶部分别观测铁塔底部的俯角为 45°、铁塔顶部的仰角为 60°．则铁塔 CD 的高度为
m（结果保留根号）．
6．（2024•常德模拟）如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东
60°方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为 海里．
7．（2023•岳阳楼区校级模拟）以AB为直径的 O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交 O于D
点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于⊙E点，交AB的延长线于F点，若AB＝4． ⊙
（1）若∠ADE＝3∠F，则 的弧长为 ．
（2）若DF＝2 ，则tan∠ADE＝ ．
8．（2024•宝鸡二模）青白江凤凰湖公园里的方尖碑是园内最高且具有标志性的建筑物，以其为中心，修
建了欧式广场及服务性配套设施，成为凤凰湖二期最吸人眼球的景点．如图，某兴趣小组想测量该方尖
碑CD的高度，先在A处仰望碑顶C，测得仰角为27°，再往碑的方向前进137米到B处，测得仰角为
60°，求该方尖碑 CD 的高度．（结果精确到 1 米；参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
tan27°≈0.51，
9．（2024•长丰县一模）如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点 A竖直
上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，
测得桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长．（结果精确到 0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
10．（2024•杭州模拟）如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 A点
处时，无人机测得操控者B的俯角约为53°，测得某建筑物CD顶端点C处的俯角约为45°．已知操控者
B和建筑物CD之间的水平距离为40m，此时无人机距地面BC的高度为32m，A，B，C，D在同一平面
内，求建筑物 CD 的高度（计算结果保留整数）．（参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，
tan53°≈1.33）1．（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设 5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度
（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔
顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）．（参考数据： ，
， ）
A． 米 B． 米 C．56米 D．66米
2．（2023•昆都仑区二模）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点 E作
EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•南安市校级模拟）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为
1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平
处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5
米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（ ）米．（参考
数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7
4．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的 ，那么称这个三角形为“好玩
三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tanA＝ ．
5．（2023•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，
∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE ，AB＝15，则线段CD的长为 ．
6．（2023•鹿城区校级二模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮 O的直径为
12cm，拖盘OE与后轮 O'相切于点N，手柄OF⊥OE．侧面为矩形ABCD的货物置于拖⊙盘上，AB＝
20cm，BC＝52cm．如⊙图 3 所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点 B 旋转，点 C 落在 OF 上，若
，则OC的长为 cm，同一时刻，点C离地面高度h＝56cm，则点
A离地面高度为 cm．7．（2024•渝中区模拟）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D
位于小敏家A的南偏西53°方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西30°方向上．
（1）求超市D到直线AB的距离；
（2）已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两
条：①A→D→C；②A→B→C．请计算说明哪条路线短？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，
8．（2024•合水县一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A处与坐垫下方B处在平行
于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点
C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留
一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）1．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB
＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为
12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以
通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．76cm B．（64 12）cmC．（64 12）cm D．64cm
3．如图，在 O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是 O优弧AEB上一点．则∠AEB
⊙ ⊙
的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
4．在△ABC中，若|sinA |+（ cosB）2＝0，则∠C的度数是 ．
5．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，
则 的值是 ．
6．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B
处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得
塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1： ，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学
测得古塔AB的高度是 ．7．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端
点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD
的高度（结果保留根号）．
8．如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底
的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，
且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA ，则（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论．
【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
2．（2024•阳谷县一模）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 B处测得灯塔最高点A的仰
角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝13.2m，则灯塔的高
度AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据： 1.41， 1.73）
A．31m B．36m C．42m D．84m
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，∠ABD＝45°，∠ACD＝60°，BC＝13.2m，然后设CD＝x m，则BD
＝（x+13.2）m，再在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于
x的方程进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：AD⊥BD，∠ABD＝45°，∠ACD＝60°，BC＝13.2m，
设CD＝x m，
∴BD＝BC+CD＝（x+13.2）m，
在Rt△ABD中，AD＝BD•tan45°＝（x+13.2）m，
在Rt△ACD中，AD＝CD•tan60° x（m），
∴ x＝x+13.2，
解得：x＝6.6 6.6，
∴AD＝x+13.2＝6.6 6.6+13.2≈31（m），
∴灯塔的高度AD大约是31m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2023•宿城区校级模拟）如图，点 A、B、C 均在 4×4 的正方形网格的格点上，则 tan∠BAC＝
（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．根据格点和勾股定理先求出AB、AC，利用三角形的面积求出
BD、AD，最后求出∠BAC的正切．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D．由格点三角形可知：AC 4 ，
AB 2 ．
∵S△ABC 4×4 4×2
＝8﹣4
＝4，
S△ABC AC•BD
4 BD
＝2 BD．
∴2 BD＝4，
∴BD ．
∴AD
＝3 ．
∴tan∠BAC．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
4．（2023•咸宁三模）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD
的高度约为 12. 7 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据： ）
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，设BD＝x米，然后在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出
CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后根据AD+BD＝AB，列出关
于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x米，
在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD•tan60° x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴AD x（米），
∵AD+BD＝AB，
∴ x+x＝20，∴x＝10 10，
∴CD x＝30﹣10 12.7（米），
∴这棵树CD的高度约为12.7米，
故答案为：12.7．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2024•海安市一模）如图，平地上一幢建筑物 AB与铁塔CD都垂直于地面，BD＝50m，在建筑物的
顶部分别观测铁塔底部的俯角为45°、铁塔顶部的仰角为60°．则铁塔CD的高度为 （ 50+5 0 ） m
（结果保留根号）．
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AE＝BD＝50m，然后分别在Rt△ADE和
Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和DE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可
解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AE＝BD＝50m，在Rt△ADE中，∠EAD＝45°，
∴DE＝AE•tan45°＝50（m），
在Rt△ACE中，∠CAE＝60°，
∴CE＝AE•tan60°＝50 （m），
∴CD＝DE+CE＝（50+50 ）m，
∴铁塔CD的高度为（50+50 ）m，
故答案为：（50+50 ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
6．（2024•常德模拟）如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东
60°方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离
为 1 0 海里．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，然后利用三角形
的外角性质可得∠BAC＝∠ABC＝30°，从而可得BC＝AC＝20海里，最后在Rt△ACD中，利用锐角三
角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝20海里，
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝20 10 （海里），
∴小岛A到航线BC的距离为10 海里，
故答案为：10 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
7．（2023•岳阳楼区校级模拟）以AB为直径的 O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交 O于D
点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于⊙E点，交AB的延长线于F点，若AB＝4． ⊙
（1）若∠ADE＝3∠F，则 的弧长为 ．
（2）若DF＝2 ，则tan∠ADE＝ ．
【分析】（1）连接OC，OD，设∠F＝x，则∠ADE＝3x，根据垂直定义可得∠E＝90°，从而可得
∠EAF＝90°﹣x，然后利用角平分线的定义可得∠DAE ∠EAF＝45° x，从而可得∠ADE＝45°
x，最后列出关于x的方程进行计算，可求出∠DAE＝36°，从而利用圆周角定理可得∠COD＝72°，再
利用弧长公式进行计算，即可解答；
（2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得AE∥OD，从而可得∠ODF＝∠E＝90°，然后
在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义可得tanF ，从而可得∠F＝30°，进而可得∠EAF＝60°，再利用角平分线的定义可得∠EAD＝30°，从而可得∠ADE＝60°，即可解答．
【解答】解：（1）连接OC，OD，
设∠F＝x，
∵∠ADE＝3∠F，
∴∠ADE＝3x，
∴DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAF＝90°﹣∠F＝90°﹣x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE ∠EAF （90°﹣x）＝45° x，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝45° x，
∴45 x＝3x，
解得：x＝18，
∴∠DAE＝45° x＝36°，
∴∠COD＝2∠DAE＝72°，
∵AB＝4，
∴OD AB＝2，
∴CD的弧长 ，故答案为： ；
（2）∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝2 ，
∴tanF ，
∴∠F＝30°，
∴∠EAF＝90°﹣∠F＝60°，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD ∠EAF＝30°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴tan∠ADE ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024•宝鸡二模）青白江凤凰湖公园里的方尖碑是园内最高且具有标志性的建筑物，以其为中心，修
建了欧式广场及服务性配套设施，成为凤凰湖二期最吸人眼球的景点．如图，某兴趣小组想测量该方尖
碑CD的高度，先在A处仰望碑顶C，测得仰角为27°，再往碑的方向前进137米到B处，测得仰角为
60°，求该方尖碑 CD 的高度．（结果精确到 1 米；参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
tan27°≈0.51，【分析】根据题意可得：CD⊥AD，AB＝137米，然后设BD＝x米，则AD＝（x+137）米，在Rt△BCD
中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，
从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AD，AB＝137米，
设BD＝x米，
∴AD＝AB+BD＝（x+137）米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD•tan60° x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝27°，
∴CD＝AD•tan27°≈0.51（x+137）米，
∴ x＝0.51（x+137），
解得：x≈57.3，
∴CD x≈99（米），
∴该方尖碑CD的高度约为99米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2024•长丰县一模）如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点 A竖直
上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，
测得桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长．（结果精确到 0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】根据题意可得：DE∥CF∥AB，从而可得∠ABC＝∠FCB＝28°，∠ABD＝∠EDB＝37°，然后
分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，最后列出关于AB的方
程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：DE∥CF∥AB，
∴∠ABC＝∠FCB＝28°，∠ABD＝∠EDB＝37°，
在Rt△ABC中，AC＝AB•tan28°≈0.53AB（米），
在Rt△ABD中，AD＝AB•tan37°≈0.75AB（米），
∵DC＝10米，
∴AD﹣AC＝10，
∴0.75AB﹣0.53AB＝10，
解得：AB≈45.5，
∴桥AB的长约为45.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2024•杭州模拟）如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 A点
处时，无人机测得操控者B的俯角约为53°，测得某建筑物CD顶端点C处的俯角约为45°．已知操控者
B和建筑物CD之间的水平距离为40m，此时无人机距地面BC的高度为32m，A，B，C，D在同一平面
内，求建筑物 CD 的高度（计算结果保留整数）．（参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，
tan53°≈1.33）【分析】过点B作BE⊥AG，垂足为E，延长CD交AG于点F，根据题意可得：BE＝CF＝32m，
CF⊥AG，BC＝EF＝40m，然后先在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而求出AF
的长，再在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，
即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BE⊥AG，垂足为E，延长CD交AG于点F，
由题意得：BE＝CF＝32m，CF⊥AG，BC＝EF＝40m，
在Rt△AEB中，∠EAB＝53°，
∴AE 24.1（m），
∴AF＝EF﹣AE＝40﹣24.1＝15.9（m），
在Rt△ADF中，∠FAD＝45°，
∴DF＝AF•tan45°＝15.9（m），
∴CD＝CF﹣DF＝32﹣15.9≈16（m），
∴建筑物CD的高度约为16m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
1．（2023•泰山区校级三模）某通信公司准备逐步在歌乐山上建设 5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔
顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）．（参考数据： ，
， ）
A． 米 B． 米 C．56米 D．66米
【分析】通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝26米，由勾股定理可求出DM的长，
设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在
△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，
连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴ ，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝262，
解得k＝2，
∴DM＝10（米），CM＝24（米），
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，
∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，
∵tan∠ADE tan53° ，
∴ ，
解得a ，
∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），
BE＝5a （米），
∴AB＝AE﹣BE＝56 （米），
答：基站塔AB的高为 米．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直
角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
2．（2023•昆都仑区二模）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点 E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝
∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出
CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE ＝S△BFE ＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB ＝10 AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF 3，
∵CE＝AE＝BE AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC ，
故选：A．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形
的边角关系是解决问题的关键．
3．（2023•南安市校级模拟）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为
1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C
处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平
处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5
米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（ ）米．（参考
数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7
【分析】AN∥SC，则 ，求出：AN＝3.6＝RS，AR＝NS＝BS+NB＝10+1.5＝11.5，则AM＝10，
RD＝RS+SC+CD＝3.6+24+16＝43.6＝MG，EM＝MGtan37°＝32.7，AE＝EM﹣AM，即可求解．
【解答】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，过点G作GM平行于地面交AE于点
M，如下图，坡度为1：2.4，BC＝26，则SC＝24，BS＝10，
∵AN∥SC，∴ ，
即： ，解得：AN＝3.6＝RS，
AR＝NS＝BS+NB＝10+1.5＝11.5，则AM＝10，
RD＝RS+SC+CD＝3.6+24+16＝43.6＝MG，
EM＝MGtan37°＝32.7，
AE＝EM﹣AM＝32.7﹣10＝22.7（米），
故选：D．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
4．（2024•金溪县校级模拟）如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的 ，那么称这个三角形为“好玩
三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tanA＝ 或 2 或 1 ．
【分析】分为三种情况：画出图形，再解直角三角形即可．
【解答】解：分三种情况：
①如图1，
高AC BC，此时tanA 2；
②如图2，高BC AC，
此时tanA ；
③如图3，
高CD AB，
设AC＝x，BC＝y，CD＝a，则AB＝2a，
由三角形面积公式和勾股定理得： ，
解得：x＝y a（负数舍去），
tanA 1；
故答案为： 或2或1．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，
有一定难度，要分情况讨论．
5．（2023•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE ，AB＝15，则线段CD的长为 6 ．
【分析】证明CE＝DC，AF＝EF，设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，则CE＝CF﹣EF＝13x
﹣5x＝8x＝CD BC，即可求解．
【解答】解：过点A作AF⊥AC交CE的延长线于点F，
设∠CAD＝ ，则∠DCE＝2∠CAD＝2 ，
则∠EAF＝∠αCAF﹣∠ACD＝90°﹣ α
则∠CED＝∠ACE+∠CAE＝90°﹣2α+ ＝90°﹣ ＝∠CDE＝∠FAE，
则CE＝DC，AF＝EF， α α α
则Rt△AEF中，∵tan∠ACE ，
设AF＝5x＝EF，则AC＝12x，则CF＝13x，
则CE＝CF﹣EF＝13x﹣5x＝8x＝CD BC，
则BC＝16x，
在Rt△ABC中，CB＝16x，AC＝12x，则BC＝20x＝15，
则x＝0.75，则CD＝8x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形，涉及到勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2023•鹿城区校级二模）如图1是一款便携式拉杆车，其侧面示意图如图2所示，前轮 O的直径为
12cm，拖盘OE与后轮 O'相切于点N，手柄OF⊥OE．侧面为矩形ABCD的货物置于拖⊙盘上，AB＝
20cm，BC＝52cm．如⊙图 3 所示，倾斜一定角度拉车时，货物绕点 B 旋转，点 C 落在 OF 上，若
，则OC的长为 1 0 cm，同一时刻，点C离地面高度h＝56cm，则点A离地面高
度为 cm．
【分析】先证明∠OCB＝∠ABE，解Rt△COB得到 ，设OB＝x cm，则OC＝5x
cm，由勾股定理得 ；过点O作OG⊥FQ于G，过点A作 AH⊥FQ 于H，过点A作AP
垂直于水平面于P，在OC上取一点T，使得BT＝CT，连接BT，设AH、BC交于S，则四边形APQH是
矩形，则AP＝QH，求出QG＝6cm，则CG＝CQ﹣QG＝50cm，利用勾股定理求出OG＝10cm；设CT＝
BT ＝y cm，则 OT ＝（ 10 ）cm，由 勾股 定理得到 tan ，，由∠SAB＝∠SCH，得到 tan∠SAB＝tan∠SCH，再求出 ，
即可得到答案．
【解答】解：∵∠ABC＝∠COE＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°＝∠OBC+∠ABE，
∴∠OCB＝∠ABE，
∴tan∠OCB＝tan∠ABE ，
在Rt△COB中， ，
设OB＝x cm，则OC＝5x cm，
在Rt△COB中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2 x2+（5x）2﹣522，
解得x＝2 ，
∵OC＝10 cm，
如图所示，过点O作OG⊥FQ于G，过点A作AH⊥FQ 于H，过点A作AP垂直于水平面于P，在OC
上取一点T，使得 BT＝CT，连接BT，
设AH、BC交于S，则四边形APQH是矩形，
∴AP＝QH，前轮 O的直径为12cm，
∴QG＝6cm， ⊙∴CG＝CQ﹣QG＝50cm，
，
∴∠OCG＝∠OCB，即∠BCG＝2∠OCB，
∵BT＝CT，
∴∠TBC＝∠TCB，
∴∠BTO＝∠TBC+∠TCB＝2∠TCB＝∠BCG，
设CT＝BT＝y cm，则OT＝（10 ）cm，
在Rt△OBT中，由勾股定理得 BT2＝OB2+OT2，
，
解得y ，
∴ ，
，
∵∠ASB＝∠CSH，∠ABS＝∠CHS＝90°，
∴∠SAB＝∠SCH，
∴tan∠SAB＝tan∠SCH，
在Rt△ABS 中， ，
，
CH＝CS•cos∠hcs cm．故答案为： ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质
等等，正确作出辅助线构造直角 三角形是解题的关键．
7．（2024•渝中区模拟）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D
位于小敏家A的南偏西53°方向，距离小敏家500米处，且在快递店C的北偏西30°方向上．
（1）求超市D到直线AB的距离；
（2）已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两
条：①A→D→C；②A→B→C．请计算说明哪条路线短？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可
解答；
（2）延长CN交DE于点F，根据题意可得：CF⊥DE，CF＝BE，EF＝BC，DC+BC＝500米，从而利
用垂直定义可得∠DFC＝90°，再在Rt△DCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CD＝2DF，
然后设BC＝EF＝x米，则CD＝（500﹣x）米，DF＝（400﹣x）米，从而可得500﹣x＝2（400﹣x），
进而可得BC＝300米，CD＝200米，DF＝100米，最后在Rt△DCF中，利用勾股定理求出CF的长，
再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而进行计算比较即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△AED中，AD＝500米，∠DAE＝53°，
∴DE＝AD•sin53°≈500×0.8＝400（米），
∴超市D到直线AB的距离约为400米；
（2）路线①短，
理由：延长CN交DE于点F，
由题意得：CF⊥DE，CF＝BE，EF＝BC，DC+BC＝500米，
∴∠DFC＝90°，
∵∠DCF＝30°，
∴CD＝2DF，
设BC＝EF＝x米，则CD＝（500﹣x）米，
∵DE＝400米，
∴DF＝DE﹣EF＝（400﹣x）米，
∴500﹣x＝2（400﹣x），
解得：x＝300，
∴BC＝300米，CD＝200米，DF＝100米，
∴CF＝BE 100 （米），在Rt△AED中，AD＝500米，∠DAE＝53°，
∴AE＝AD•cos53°≈500×0.6＝300（米），
∴AB＝AE+BE＝（300+100 ）米，
∴路线①的总路程＝AD+CD＝500+200＝700（米），
路线②的总路程＝AB+BC＝300+100 300≈773（米），
∵700米＜773米，
∴路线①短．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024•合水县一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A处与坐垫下方B处在平行
于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点
C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留
一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝
x，BH＝CHcot68°＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解之求得CH的长，再由EF＝BEsin68°＝3.72根据
点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并
熟练掌握三角函数的定义．
1．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB
＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可
得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是
熟练掌握三角函数的定义．
2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为
12cm，双翼的边缘AC＝BD＝64cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以
通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．76cm B．（64 12）cm
C．（64 12）cm D．64cm
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距
离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
则Rt△ACE中，AE AC 64＝32（cm），
同理可得，BF＝32cm，
又∵点A与B之间的距离为12cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32＝76（cm），
故选：A．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行
运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
3．如图，在 O中，弦AB的长是 cm，弦AB的弦心距为6cm，E是 O优弧AEB上一点．则∠AEB
⊙ ⊙
的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．80°
【分析】连接OA，OB，利用垂径定理求出AC，然后在Rt△AOC中，利用锐角三角函数求出∠OAC，
从而求出∠AOB，最后利用圆周角定理求出∠AEB进行计算即可解答．
【解答】解：连接OA，OB，
∵OC⊥AB，
∴AC AB＝6 cm，
在Rt△AOC中，OC＝6cm，
∴tan∠OAC ，
∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，
∴∠AEB ∠AOB＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的
关键．
4．在△ABC中，若|sinA |+（ cosB）2＝0，则∠C的度数是 105 ° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA 0， cosB＝0，即sinA ，cosB ，则根据特殊角
的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA |+（ cosB）2＝0，
∴sinA 0， cosB＝0，
即sinA ，cosB ，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负
数的性质．
5．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，
则 的值是 ．【分析】根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再证明点D是AB的中点，然后利用直角三
角形斜边上的中线得出CD＝BD，从而可得∠CDA＝2∠CBD，进而可得 sin∠CBD，进行计
算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：
AC2＝12+22＝5，
BC2＝22+42＝20，
AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴AC ，AB＝5，
∵BE＝EF，DE∥AF，
∴BD＝AD，
∴CD＝BD AB，
∴∠CBD＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD，
∴∠CDA＝2∠CBD，∴ sin∠CBD ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线是解题
的关键，
6．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B
处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得
塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1： ，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学
测得古塔AB的高度是 （ 20+1 0 ） m ．
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH＝BF，BH＝DF，设DF＝x m，CF x
m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1： ，
∴ 1： ，
设DF＝x m，CF x m，∴CD 2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10 m，
∴DH＝BF＝（10 30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH DH （10 30）＝（10+10 ）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10 ）m，
答：古塔AB的高度是（20+10 ）m，
故答案为：（20+10 ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，正确
的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端
点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD
的高度（结果保留根号）．【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC﹣AB＝
20m，可求得塔BD的高度．
【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴AB＝BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠BCD ，
∴ ，
则BC BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴ BD﹣BD＝20，
解得：BD 10 10（m）．
答：古塔BD的高度为（ ）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三
角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．
8．如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底
的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结
果；
（2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝
DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴ ．
设AH＝5k，则PH＝12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得
．
∴13k＝26，
解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．；（2）如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD＝AH＝10m，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，
∴PD＝BD．
∵PH＝12×2＝24（m），
设BC＝x，则x+10＝24+DH．
∴AC＝DH＝（x﹣14）m．
在Rt△ABC中， ，
即 ．
解得x≈19（m）．
答：信号塔BC的高度约为19m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造
直角三角形并解直角三角形．
