文档内容
2025 年中考押题预测卷（上海卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1 2 3 4 5 6
B C A C D C
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
7. ．
8.
9.x=10
10.10
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题:(本大题共7题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19．(本题满分10分)
【详解】解：原式 ....................................................................................（6分）．....................................................................................（10分）
20．(本题满分10分)
解方程组：
【详解】解： ，
由②得， ③，.....................................................................................（2分）
把③代入①，得 ，.....................................................................................（4分）
整理，得 ．
解得 ， ，.....................................................................................（6分）
将 代入③，得 ；
将 代入③，得 ．.....................................................................................（8分）
所以，原方程组的解是 ， ．.....................................................................................（10分）
21．(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 （k是常数，且 ）交于点 ．(1)求k与m的值：
(2)直线 与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线 于点C，求 的面积．
【详解】（1）解：把点 代入 得到 ，
∴ ，
把 代入 得到 ，
解得 .....................................................................................（5分）
（2）当 时， ，解得 ，
∴点B的坐标为 ，
由（1）可得， ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∴
∵ ，
∴ 的面积为 ．.....................................................................................（10分）
22．(本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分)
图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图．
信息1：经过测量得到： ， ， ， ．（底座 的高度忽略
不计）
信息 为顾客看展板时眼睛所在的位置， ，垂足 在 的延长线上，当视线 与展板 垂
直时，称点 为“最佳观察点”．
任务（1）：求展板最低点 到地面 的距离；
任务（2）：如果 ，当点 为“最佳观测点”时，求点 到 的距离．（参考数据：）
【详解】解：（1）如图2，过 作 于 ，过 点作 于 ，作 于 ，
在 中， ， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
在 中， ，
，
答：展板最低点 到地面 的距离为 ；.....................................................................................（5分）
（2）如图，过 点作 于 点，作 于 点，
由（1）知 ， ，
，， ，
，
，
，
设 ，
，
， ， ，
，
在 中， ，
，
，
答：当点 为“最佳观测点”时，求点 到 的距离为 ．...........................................................（10
分）
23．(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已知：如图，在正方形 中，点E、F分别在边 、 上，且 ．对角线 分别交 、
于点M、N，联结 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)过点C作 交 的延长线于点P，如果 ，求证： ．
【详解】（1）证明：联结 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵ ，即 ，
∴平行四边形 是菱形；.....................................................................................（5分）
（2）证明：∵四边形 是正方形， 是对角线
∴ ， ，
由（1）得四边形 是菱形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．.....................................................................................（12分）
24．(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
在平面直角坐标系 中，有抛物线M： 过点 和点 ，与y轴交于点C，顶点
为P．(1)求M的表达式和P点的坐标；
(2)沿着射线 平移抛物线M得到抛物线N，其顶点为点Q．
①当平移的距离为 时，若点 和点C关于抛物线M的对称轴对称，求证：点 在抛物线N上．
②延长线段 、 ，交点为点D．当 时，求 的值．
【详解】（1）解：把点 和点 代入解析式得：
，
解得 ；
故抛物线M的表达式为 ．
配方，得 ，
故抛物线顶点坐标为 ．.....................................................................................（2分）
（2）① 解：由抛物线表达式 可知 ，由 得抛物线对称轴为直线 ；
根据题意，设 ，得 ，
解得 ，
故点 ．设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
根据题意，设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当 时， ，
故点 在抛物线 上．.....................................................................................（7分）
② 解：连接 ，交射线 于点E；
由点 和点 ，得 ，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
故 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 的垂直平分线上即在抛物线的对称轴直线 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
∴ 时， ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
故 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．.....................................................................................（12分）
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
已知，在 中， ， 是边 上一动点，联结 ．点 在线段 上，且
，以点 为圆心， 为半径作 ，交边 于点 ．
(1)当点 与点 重合时，判断 与边 的位置关系并说明理由；
(2)已知点 在 上，且 ， 与边 交于点 ，当 经过圆心 时（如图），求 的值；
(3)过点 作 ，交边 于点 ，当 与线段 只有一个交点时，求 的取值范围．
【详解】（1）解： 与边 相切，理由如下：
过点C作 于点 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点O作 于点 ,
∵ ，当点 与点 重合时，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 为半径， 为点O到边 的距离，
∴ 与边 相切；.....................................................................................（4分）
（2）解：∵ ， 经过圆心，
∴ ，
∵ 经过圆心 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；.....................................................................................（9分）（3）解：∵ 为半径， ，
∴ ，
∴ 一定不经过点 ，
当 与线段 相切时，如图：
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 经过点 时，过点 分别作 ，垂足分别为 ，
∴ ， ，∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴当 时，符合题意，
综上所述，当 与线段 只有一个交点时， 或 ．...........................................（14分）
