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2025 年中考第二次模拟考试（云南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．某药品包装盒上标注着“贮藏温度:1℃土2℃”，以下是几个保存柜的温度，适合贮藏药品的温度是（
）
A．-4℃ B．0℃ C．4℃ D．5℃
【答案】B
【分析】先根据有理数的加减法计算出贮藏温度的最高温度与最低温度，然后对照几个保存柜的温度即
可得出答案.
【详解】1+2=3，
1-2=-1，
即这种药品的贮藏温度最低是-1℃，最高是3℃，
观察只有B选项的温度适合，
故选B.
【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，熟练掌握有理数加减法的法则是解题的关键.
2．截至2025年2月27日16时58分，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破
140亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第8位，将14000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将14000000000写成 的形式即可，其中
， 的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选：D．
3．如图，已知 ，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根
据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵ ，
，
，
，
故选：B．
4．如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．球 C．三棱柱 D．圆柱
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，
长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，故A不符合题意；
球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B不符合题意；
三棱柱的俯视图是三角形，故C不符合题意；
圆柱主视图、左视图、俯视图，分别是矩形、矩形、圆，故D选项符合题意，
故选D；
【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握几种几何体的三视图．
5．反比例函数 的图象在第二、四象限，则m可能取的一个值为（ ）．
A．0 B．4 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质可得m的取值范围即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
∴ ，
选项中符合条件的值只有0，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据反比例函数经过的象限确定系数的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌
握反比例函数的性质．
6．若x，y均为正整数，且 ，则x+y的值为（ ）
A．5 B．4 C．4或5 D．6
【答案】C
【分析】先把 化为 ，128化为27，得到x+1+2y=7，即x+2y=6，再根据x，y均为正整数
得到x，y的值，然后计算x+y即可.
【详解】解，∵ ，
∴x+1+2y=7，即x+2y=6，
又∵x，y均为正整数，
∴x=2，y=2或x=4，y=1，
则x+y=4或5.
故选C.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
7．下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为 ，C点坐标为 ，
，则AB的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得到△AOB∽△COD，，且相似比为1∶2，根据相似比等于位似比计算即可．
【详解】解：∵，以原点O为位似中心，A点坐标为 ，C点坐标为 ，
∴△AOB∽△COD，且相似比为1∶2，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k．
9．正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为 是解答本题的关键．
设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式逐项分析即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n，
A．当 ，解得 ，故不符合题意；
B．当 ，解得 ，n不为正整数，故符合题意；
C．当 ，解得 ，故不符合题意；
D．当 ，解得 ，故不符合题意．
故选：B．
10．如图， ， 及 都是等边三角形， ， 分别为 ， 的中点．若 ，则多边
形 外围的周长是( )
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，由等边 可得 ，而 是 的中点可知
，同理等边 、等边 中均可以将各边的关系表示出来，结合已知 ，
即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从 点按顺序到 点的线段逐个相加，即
，结合上步所求即可得到结果．
【详解】解： 是等边三角形， ，
．
是 的中点，
．
是等边三角形， ，
．
是 的中点，
，
同理，在 中，
，
多边形 外围的周长是 ，
故选：C．
11．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数和数轴，根据点的位置，结合无理数的估算，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：点 表示的数 的范围为 ，
∵ ，即 ，
∴ ，故选项A错误；
∵ ，故选项B错误；∵ ，故选项C错误；
∵ ，即 ，
∴ ，故选项D正确；
故选D．
12．在菱形 中， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用菱形的性质求出 ，再利用等腰三角形的性质求出 即可．
【详解】解：在菱形 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．
13．由于改进了生产工艺，某科技公司决定逐步降低其研发的移动硬盘的价格．已知该移动硬盘2020年的
售价是500元/块，2022年的售价为406元/块，若年平均降价率相同，则年平均降价率约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据若 为起始
量， 为终止量， 为增长（或降低）的次数，则平均增长率的公式为 ，平均下降率的公式为 ，列出方程解方程即可．
【详解】解：设年平均降价率为 ．依题意，得：
，解得 （不合题意，舍去），
即年平均降价率约是 ．
故选：A．
14．如图， 是 的弦，若 ，点 到 的距离是 ，则 的半径是（ ）
A．7 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
连接 ，由垂径定理得 ，再由勾股定理求出 即可．
【详解】解：连接 ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径是 ，
故选：B．
15．为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一
种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅
不完整的统计图．以下结论不正确的是（ ）A．由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有90人
B．若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人
C．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为72º
D．这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数
【答案】D
【分析】根据两个统计图的特征依次分析各选项即可作出判断.
【详解】A．喜欢“科普常识”的学生有30÷10%×30%=90人，B．若该年级共有1200名学生，则由这
两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有1200×30%=360个，
C．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为360°×60÷（30÷10%）=72°，均正确，不符合题意；
D．喜欢“小说”的人数为30÷10%-60-90-30=120人，故错误，本选项符合题意.
故选D.
【点睛】本题考查了统计的知识，统计图的应用初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟
练掌握.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2=
【答案】（x-y）2（x+y）2
【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可；
【详解】原式 ，
；
故答案是： ．【点睛】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，准确分析化简是解题的关键．
17．若二次根式 有意义，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：依题意 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的根号内为非负数，以
及分式中分母不为0是解题的关键．
18．老师在计算学期总平均分的时候按照如下标准：作业占 ，测验占 ，期中考试占 ，期末考
试占 ．小丽和小明的成绩如下表所示，则小丽的总平均分是 ，小明的总平均分是 ．
学 期中考
作业 测验 期末考试
生 试
小
80 75 71 88
丽
小
76 80 68 90
明
【答案】 79.05 80.1
【分析】把不同的成绩分别乘以对应的权重后求和再除以权的和即可．
本题考查的是加权平均数的求法．加权平均数等于各项成绩乘以不同的权重的和再除以权的和．
【详解】解：小丽： （分 ，
小明： （分 ，
故答案为：79.05 80.1．
19．如图，四边形 内接于 ， ∥ ， ， ， ，连接OB、OC，若
点E是劣弧 的中点，则扇形 的面积为 ．【答案】
【分析】先根据 ， ， ，求出 ，根据圆周角定理得
，再根据 是劣弧 的中点，得 ，求出半径即可得出扇形 的面
积．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是劣弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴扇形 的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形的面积和圆周角定理，解题的关键是熟练利用圆周角定理和记住扇形的面积公式．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．(7分)先化简，再求值： ，其中 的值是从 的整数值中选取．
【答案】 ，
【分析】先对括号内的式子进行通分，然后再约分，将x=2代入化简后的式子计算即可得出答案.
【详解】解：原式
已知 的整数有 ，
分母 ， ， ，
，且 ，且 ，
.
当 时，原式 .
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，比较简单，注意代值时要排除掉使分式无意义的值，不要随便
代数.
21．(6分)如图，点A，D，B，E在同一直线上， ， ， ，求证： ．
【答案】证明过程见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是通过已知条件证明三角形
全等，进而得到角相等，从而证明两直线平行．
先根据 得出 ，再结合已知的 和 ，利用“边角边”判定定理证明
，得到对应角相等，最后根据同位角相等证明 ．
【详解】 ，
，
，
在 和 中，
，
．
．
．
22．(7分)电动垂直起降飞行器（eVTOL）通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机，其优
势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤，大大缩短交通时间．例如从浦东机场到上海市中心
约50千米，使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70分钟，已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度
的 ，请求出电动垂直起降飞行器的速度．
【答案】电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时．
【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
设电动垂直起降飞行器的速度为x千米/时，则汽车的速度为 千米/时，根据题意列出分式方程求解
即可．
【详解】设电动垂直起降飞行器的速度为x千米/时，则汽车的速度为 千米/时，根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
∴电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时．
23．(6分)为做好新型肺炎疫情防控，某社区开展新型肺炎疫情排查与宣传教育志愿服务活动，组织社区
20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩、
正确投放生活垃圾等服务.
（1）志愿者小明被分配到甲处服务是（ ）事件；
A．不可能事件 B．可能事件 C．必然事件 D．无法确定
（2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被随机分配到同一处服务的概率.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据事件发生的可能性大小判断即可．
（2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小红被随机分配到同一处服务的概率．
【详解】（1）∵20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守，
∴志愿者小明被分配到甲处服务是随机事件，
故答案为：B；
（2）画树状图如图所示；
由树状图可知共有16种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中分配在同一处服务的情形
共有4种，则志愿者小明和小红被随机分配同一处服务的概率：
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率和必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌
握其概念和利用树状图法求概率的方法是解题的关键.
24．(8分)在 中， ，D是 的中点，
小星说：由题目的已知条件，若过点A作 ，且 ，连接 ，则可证明四边形 是菱形；
小红说：由题目的已知条件，若过点A作 ，过点C作 ，则可证明四边形 是菱形；
(1)请你选择一位同学的说法进行证明；
(2)若 ， ，求菱形 的周长．
【答案】(1)见详解
(2)20
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）小星：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，然后结合斜边上的中线等于斜边的一半，
得出一组邻边相等，证明四边形 是菱形；小红：根据两组对边平行的四边形是平行四边形，然后
结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出一组邻边相等，证明四边形 是菱形；
（2）运用勾股定理算出斜边是 ，再结合斜边上的中线等于斜边的一半以及菱形的四边相等的性质，
进行作答即可．
【详解】（1）解：选择小星的说法：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，D是 的中点，
∴
∴四边形 是菱形；
或选择小红的说法：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，D是 的中点，
∴
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ， ，∴
∵D是 的中点，
∴
∵四边形 是菱形；
∴菱形 的周长是 ．
25．(8分)一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为 元的新款
头盔每月的销售量 件 与售价 元 的相关信息如下：
售价x(元) …
销售量y(件) …
(1)试用你学过的函数来描述与 的关系，这个函数可以是 (填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个
函数解析式为 ．
(2)若获利不得高于进价的 ，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
【答案】(1)一次函数；
(2)售价定为 元时，月销售利润达到最大
【分析】（1）由表格知，售价每增加 元，销售量对应减少 元，所以这个函数是一次函数，然后待
定系数法求解析式即可求解；
（2） 设利润为 ，则 ，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由表格知，售价每增加 元，销售量对应减少 元，所以这个函数是一次函数，
设其解析式为 ，
根据题意，得
解得
∴ ，
故答案为：一次函数； ；
（2）设利润为 ，则 ，∵获利不得高于进价的 ，
，
，
当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 最大，
答：售价定为 元时，月销售利润达到最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
26．(8分)如图，已知抛物线 与 轴交于点A， 点A位于点 的左侧 ， 为顶点，直线
经过点A，与 轴交于点 ．
(1)求线段 的长；
(2)沿直线 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点 在反比例函数
的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式 ，进而得到
点D的坐标，最后根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为： 可得 ，根据题意求出直线 的解析式，
然后把点 分别代入直线 的解析式和反比例函数 的解析式中计算即可．
【详解】（1）解：由 得， ， ，点A位于点 的左侧，
，
直线 经过点 ，
，解得 ，
∴直线 的解析式为
点 的坐标为 ，
；
（2）解：设新抛物线对应的函数表达式为： ，
，
平行于直线 ，且经过 ，
直线 的解析式为： ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
，解得， 或 ，
新抛物线对应的函数表达式为 或 ，
新抛物线对应的函数表达式为： 或 ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图
象的平移、待定系数法求函数解析式、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是
解题的关键．
27．(12分)如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点D在 上（点D不与点A，B重合），
，连接 ，过点C作 ，交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在 中，若 ， ，试问 是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含m，n
的代数式表示；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)4.8
(3)是定值，
【分析】（1）连接 并延长，交 于点F，交 于H，则 为 的直径，根据垂径定理的推论
可得 ，再证明四边形 是矩形，则可得 ，进而可得 是 的切线．
（2）先根据勾股定理求出 ，由 ，以及 ，
可得 ，进而可得 ，列比例式即可求出 的长．
（3）在直径 上截取 ，连接 ，易得 ，则可得 ，进而可得
，再证 ，则可得 ，即 ．
【详解】（1）证明：连接 并延长，交 于点F，交 于H，则 为 的直径，，
，
，
，
即 ，
，
，
是 的直径，
，
，
∴四边形 是矩形，
，
为 的半径，
是 的切线．
（2）解： 是 的直径，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
.
（3）解：若 ， ， 为定值，这个定值为 ，理由如下：
如图，在直径 上截取 ，连接 ，
则 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
， ， ，
，
即 ，
∴若 ， ， 为定值，这个定值为 .【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三
角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角
形解决问题．
