文档内容
2025 年中考押题预测卷（云南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：
在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数与负数来区分它们．如果盈利50元记作“ 元”，那么
亏损30元记作（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意盈利记作正，则亏损记作负，即可得出答案．
【详解】解：∵盈利50元记作“ 元”，
∴亏损30元记作“ 元”．
故选：C．
2．未来将是一个可以预见的 时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但
不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3．我国海洋面积是2897000平方千米，2897000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：2897000用科学记数法表示为2.897×106，
故选则：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项正确；
D、 ，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握
性质和法则是解题的关键．
5．由大小相同的小正方体组成的立体图形的三视图如图所示，则该立体图形为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】该题主要考查了立体图形的三视图，解题的关键是读懂三视图．观察题目，首先从俯视图可看
出该图形有三列；俯视图中第一列有3个正方体，第二列只有一个，第三列有1个正方体；由主视图可
确定最左列的小正方体的个数，逐项对照着判断即可．
【详解】根据给出的俯视图，这个立体图形的从左到右第一列有3排正方体，第二列有1排正方体，第
三列有1排正方体，
A、俯视图第一列有1正方体，错误；C、俯视图第一列有1个正方体，错误；
根据给出的主视图，这个立体图形最左列有2个小正方体，
B 主视图左边只有一个正方体，错误；D主视图左边有2个正方体，正确．
故选：D．
6．如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵BE⊥AF，∠BED=40°，
∴∠FED=50°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FED=50°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键．
7．若一个正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的边数是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查正多边形的内角公式，由已知得每个外角为 ，根据外角和为 即可求得多
边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个外角是 ，
∴这个正多边形的边数为 ．
故选：D．
8．某玩具店销售某款玩具。单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已
知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．
【详解】解：∵降价后的单价为 元，且两次降价的百分比均为x，
∴可列方程为： ，
故选：B．
9．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由关于x的一元二次方程 有两个实数根，可知：
，
解得： ；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老
师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班 名学生，收集到如下数据： ，则这组
数据的众数和中位数是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的
数即可解答．
【详解】解：∵随机调查了本班 名学生，收集到如下数据： ，
∴这组数据从小到大排序为 ，
∴这组数的众数为 ，中位数为 ，
【点睛】本题考查了众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间
位置的数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
11．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：x， ， ， ，…， ，…，请你写出第n
个单项式（用含n的式子表示）为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列代数式，总结单项式的规律即可得到结论．
【详解】解： ， ， ，…第n个单项式为： ，
故选：B．
12．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利
用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆， 米， 是杠
杆， 米， ，当点 位于最高点时， ，此时，点 到地面的距离为（ ）
A． 米 B．5米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，构造直角三角形是解答本题的关键．
过点 作 ，过点 作 于点 ，求出 ，进而求出
，由此得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 ，过点 作 于点 ，
米， ，
米，
， ，
，
在 中，
（米），
此时，点 到地面的距离为 米，故选：D．
13．如图，已知 为 的内接四边形， ， ，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧、圆心角的关系，根据已知条件，结
合选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的内接四边形， ，
∴ ，故C选项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ， 故B、D选项正确；
∵ ，
∴ ，故A选项不正确
故选：A．
14．《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调综合与实践的课时不少于总课时的 ，某学校组织开
展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为 ，底面圆的半径为 ，这个圆锥的侧面展开图
的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意可知，圆锥的底面圆的周长 扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后
求解即可．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ，
，
解得 ，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ，
故选：D．
15．如图， 是双曲线 上的一点，点 是 的中点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交双
曲线于点 ，则 的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点 是 的中点，根据三角形中线的可得 ， ，进而可得
，根据点 在双曲线 上， 轴，可得 ，进而即可求解．
【详解】 点 是 的中点，
，
，
，
点 在双曲线 上， 轴，，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的 的几何意义，掌握反比例函数 的几何意义是
解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．若函数y＝ 在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≤5
【分析】利用二次根式有意义的条件得到5﹣x≥0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得5﹣x≥0，
所以x≤5．
故答案为x≤5．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，关键是掌握自变量的范围，二次根式有意义的范围：二次
根式的被开方数是非负数．
17．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再使用平方差公式即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式和公式法的综合应用，熟知以上知识是解题的关键．
18．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现
从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，
估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有 人．【答案】240
【分析】本题主要考查了样本估计总体．用800乘以喜爱“篮球”项目所占的百分比，即可．
【详解】解： 人，
即该年级喜爱“篮球”项目的学生有240人．
故答案为：240
19．如图 交于点 ，作 交 于点 ，设 ， ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出面积比等于相似比的平
方，列出方程即可．
【详解】设 ，
∵
∴ 与 以 为底的高相等
∴
∵
∴ ，
，解得 ．
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据特殊角三角函数值，零指数幂、乘方及二次根式的性
质将原式化简．据此解答即可．
【详解】解：
．
21．（6分）如图，点 在 上， 与 交于点 ，且 ．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，先由 得到
，再由两个三角形全等的判定定理 即可得证，熟记三角形全等的判定定理是解决问
题的关键．
【详解】证明： ，
，
， ，
，
在 和 中，．
22．（7分）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正
极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的
开采量是乙队每天开采量的 倍，甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间
少 天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
【答案】 吨、 吨
【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天
开采锰矿石的量为 吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍”得甲队每天开采锰矿石的
量为 吨，利用“甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少 天”列
式，求解即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为 吨，则甲队每天开采锰矿石的量为 吨，
根据题意，得： ，
解得： （吨），
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
（吨），
答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为 吨、 吨．
23．（6分）为落实国家的“双减”政策，减轻学生课业负担，某校提出“控量”“提质”“增效”要求，
减少学生课后作业，积极开展课后兴趣小组，培养学生的兴趣和爱好，学校决定利用周一至周四的课外活
动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组．求：
(1)小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是______．
(2)小李不想参加书法（A）小组，其他活动小组可随机参加，那么小明和小李两位同学各随机参加一项活
动，两人参加不同兴趣小组的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈（D）课外兴趣小组，共有 项活动，恰好参加的是舞蹈（D）小组有 种结果，根据概率公式即可求出．
（2）用列表法把所有等可能事件列出，根据概率公式即可求出．
【详解】（1）∵周一至周四的课外活动时间依次举办书法（A）、音乐（B），绘画（C）、舞蹈
（D）课外兴趣小组，共有 项活动，恰好参加的是舞蹈（D）小组有 种结果．
∴小明想随机的参加一项活动，他恰好参加的是舞蹈（D）小组的概率是
（2）（2）列表：
小明小李
由表可知，共有 种等可能的结果，种等可能结果，两人参加不同项目有 种，
∴两人参加不同项目的概率是
【点睛】本题主要考查了概率的求法，用列表或树状图法把所有等可能事件列举出来是解此题的关键．
24．（8分）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束 元，购买
康乃馨所需费用 （单位：元）与购买数量 （单位：束）的函数关系图象如图所示．
(1)求出当 时， 与 的函数解析式；
(2)该鲜花店计划购进康馨和玫瑰花共 束，若购买康乃馨的数量不超过 束，且不少于玫瑰花的数量，
购买两种鲜花的总费用为 ，如何购买能使费用最少，并求出最少费用．
【答案】(1) ；
(2)购买康乃馨和玫瑰花各 束时，费用最少，最少费用为 元．
【分析】（ ）根据待定系数法即可求解；（ ）设购买康乃馨的数量为 束，则购买玫瑰花的数量为 束，根据题意求出 的取值范围，
再得出 关于 的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答；
此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时，设 与 的函数解析式为 ，由图可得： ，
在函数图象上，
∴ ，
解得： ，
∴ 与 的函数解析式为： ；
（2）解：设购买康乃馨的数量为 束，则购买玫瑰花的数量为 束，
由题意得： ，且 ，
解得： ．
∴ ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 最小，且最小值为： （元），
答：购买康乃馨和玫瑰花各 束时，费用最少，最少费用为 元．
25．（8分）如图在四边形 中， ，点O为对角线 的中点，过点O的直线． 于
点E，交 于点F， ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 为菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2) 的长为 ．
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，
熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 ，得 ，推出 ，可证明四边形 是平行四
边形，然后证明 ，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 ， ，再由菱形的面积求出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点O为对角线 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
连接 ，
∵点O为对角线 的中点，
∴点O在线段 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形；（2）解：由（1）可知，四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
26．（8分）已知二次函数 （m是常数，且 ）的图象与x轴只有一个公共点．
(1)求这个二次函数图象的对称轴；
(2)将这个二次函数图象向左平移 个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在
的范围内有最小值 ，求t的值．
【答案】(1)直线
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数
的图象与性质是解题的关键．
（1）利用二次函数的对称轴公式 即可求解；
（2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出 ，解出 ，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为 ，再分情况讨论二次函数取得最小值时 的值，结合最小值
即可求出t的值．
【详解】（1）解： 二次函数 ，
二次函数图象的对称轴为直线 ，
这个二次函数图象的对称轴为直线 ．
（2）解： 二次函数 的图象与x轴只有一个公共点，
，
解得： ， （舍去），
二次函数 ，
二次函数图象向左平移 个单位长度，
新的二次函数为 ，
新的二次函数图象的对称轴为直线 ，
，
，
二次函数 的对称轴在 的范围内，
在 取得最大值，在 或 取得最小值，
①若 ，即 时， 在 取得最小值，
此时 ，
解得： ， （舍去），
的值为 ；②若 ，即 时， 在 取得最小值，
此时 ，
解得： ， （舍去），
的值为 ；
综上所述，t的值为 或 ．
27．（12分）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，过点D的直线与 的延长线交于点P，
过点B作 的垂线交 于点E，
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 求图中阴影部分的面积．
(3)若点 M 为半圆 的中点且在 下方，连接 ，交 于点 N，连接 ，若 ，请
直接写出 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，由此即可证明
是⊙O的切线；
（2）证明 ，得到 ，则可证明 为等边三角形，得到，求出 ，进而得到 ， ，再根据
进行求解即可；
（3）连接 ，过点 作 交于点 ，利用同弧所对的圆周角相等，得到
，设 ，则 ，分别求出 ， ，再由
，得到 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，则+ ．
∵ ，
∴ ；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径．
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
；
（3）解：连接 ，过点 作 交于点 ，
∵点 M 为半圆 的中点且在 下方，
，，
，
，
∵ 是直径，
∴ ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，即 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积， 解直角三角形，相似三角形的性质与判定，
全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线构
造相似三角形和全等三角形是解题的关键.
