文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题1 圆的基本概念与性质
知识梳理
【考点一】圆的定义和性质
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个长端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2.圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
3.圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
4.确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
5.圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【考点二】圆的有关概念
1.弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
2.直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
3.弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆弧AB或弧
AB
AB。
4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
5.半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
7.劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【考点三】点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
例题讲解
【题型一】圆的有关概念
◇典例1：
如图， 是 的直径， 是 的弦， ， ．在图中作弦 ，使 ，并求
的度数．
【答案】图见解析， 的度数为 或
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解
以点A为圆心，以 长为半径画圆交 于点 、 ，连接 ， ，则 或 即为所求作的弦
．由作图与圆的的有关概念得出 ，从而得 是等边三角形，进而得出
， ，进而得出答案．
【详解】解：如图，以点A为圆心，以 长为半径画圆交 于点 、 ，连接 ， ，则 或
即为所求作的弦 ．
连接 ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴
∵
∴ ．
同理： ．
综上所述， 的度数为 或 ．
◆变式训练
1.如图，点 ， ， 在 上， 平分 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质与判定；根据半径相等可得
，根据角平分线的定义可得 得出 ，即可判断 ，根
据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2.如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与 相交于点
D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的长为 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接 ，由等腰三角形的性质得
， ，由 可证 ，则 ，设半径为x，
则 ，在直角三角形 中，，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
设半径为x，则 ，
在直角三角形 中，由勾股定理得 ，即 ，
∴ ．
∴半径的长为3，故答案为：3．
【题型二】求圆中弦的条数
◇典例2：
如图，在 中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的
线段叫做弦．
根据圆的弦的定义解答．
【详解】在 中，有弦 、弦 、弦 、弦 ，
共有4条弦．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为
（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 ， 共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
2.如图，图中⊙O的弦共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一
个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦 共3条，
故选C．
【题型三】求过圆内一点的最长弦
◇典例3：
已知 的半径3，则 中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， 的半径为3，
∴ 最长的弦为6，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，AB是半径为2的 的弦，点C是 上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN
长的最大值是 ．
【答案】2【分析】如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，由中位线定理，得 ，点A为定点，C
为动点， 的最大值为直径长，即 长．于是 的最大值为 ．
【详解】解：如图，连接 并延长，交圆于点D，连接 ，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴ ．
点A为定点，C为动点， 的最大值为直径长，即 长．
∵ 是直径，
∴ ．
∴ 的最大值为 ．
故答案为：2
2.已知 的半径为 ，且 、 是 上不同的两点，则弦 的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段
就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦 的范围．
【详解】解： 、 是 上不同的两点，，
，
的半径为 ，，
的直径为 ，直径是圆中最长的弦，
，
故答案为： ．
【题型四】求一点到圆上点距离的最值
◇典例4：
如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且 ， 与 相交于点 ，连接，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握
的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明 ，可证 ，则点
在以 为直径的一段弧上运动，当点 在 与弧的交点处时， 最短，然后根据勾股定理求出
的长即可求解．
【详解】解∶ 四边形 是正方形，
，
在 和 中
，
，
，
，
∴ ，
点 在以 为直径的一段弧上运动，
设 的中点为 ，则当点 在 与弧的交点处时， 最短，，
，
∴ ，
，
故答案为： ．
◆变式训练
1.如图，四边形 为矩形， ， ．点E是线段 上一动点，连接 ，点F为线段
上一点，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由
可得 ， ，点 在以 为直径的圆弧上，点 在圆
外，可求 的最小值．
【详解】解：作 的中点 ，连接 ．矩形 中， ，
，
，
，
，
当点 移动时，点 在以 为直径的圆弧上移动，当点 在 上时， 有最小值．
， ， ，
，
，
有最小值为4．
故答案为：4．
2.如图，正方形 的边长为8，点 是边 的中点，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿
翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，
最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
由翻折知 ，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三点共线时，
最小，连接 ，再勾股定理求出 的长，然后利用等面积法即可求出 ．
【详解】解：∵正方形 的边长为8，
∴ ， ，∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，
∴当点G、F、A三点共线时， 最小，如图，连接
∵点G是边 的中点，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵
∴
∴
解得 ．
故答案为： ．
【题型五】求圆弧的度数
◇典例5：
如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知 ，则 的度数是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的
关键．
如图，连接 ，由三角形内角和求 ，
，
，根据
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ， ，则 的度数是
（ ）A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从而可
得 ，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
2.如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 的度数是 ．【答案】 /30度
【分析】连接 ，根据平行线的性质可得 ，由 可得 ，再根据三
角形内角和定理可求得 的度数，即 的度数．
【详解】
连接 ，
，
．
，
，
，
∴ 的度数是 ．
故答案为：
【题型六】点与圆的位置关系
◇典例6：
已知 的半径是4，点 到圆心 的距离 为方程 的一个根，则点 在（ ）
A． 的外部 B． 的内部 C． 上 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当
时，点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内，据此解方程求出 即可得到答案．【详解】解：解方程 得 ，
∴ ，
∴点 在 的内部，
故选：B．
◆变式训练
1.已知 的直径为 ，点P到圆心O的距离为 ，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法．
根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系．
【详解】解：∵ 的直径为 ，
∴ 的半径为 ，
∵点P到圆心O的距离为 大于 半径，
∴点P在圆外，
故选：B．
2.如图，长方形 中， ， ，圆 半径为1，圆 与圆 内切，则点 、 与圆 的位置
关系是（ ）
A．点 在圆 外，点 在圆 内 B．点 在圆 外，点 在圆 外
C．点 在圆 上，点 在圆 内 D．点 在圆 内，点 在圆 外
【答案】C
【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆 的半径等于5，由勾股定理得 ，由点与
圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与
圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆 的半径为 ，
则： ，，圆 半径为1，
，即圆 的半径等于5，
， ，
由勾股定理可知 ，
， ，
点 在圆上，点 在圆内，
故选：C．
【题型七】利用点与圆的位置关系求半径
◇典例7：
圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个点到圆周上一点
的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可得出答案．
【详解】解：∵圆外一点 到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，
∴ 的直径 ，
∴半径为3；
故选：B．
◆变式训练
1.若 所在平面内有一点 ，点 到 上点的最大距离为 ，最小距离为 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点 在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答
是解题的关键．
【详解】解：设 的半径为 ，
当点 在圆外时， ；
当点 在圆内时， ；
∴ 的半径为 或 ，
故选： ．2.若点P到 上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么 的半径为 ．
【答案】 或者
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在 外和 内两种情况讨论，当点P在 外时，最大
距离与最小距离之差等于直径；当点P在 内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．
【详解】解：点P在 外时，
外一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ；
点P在 内时，
内一点 到 上所有的点的距离中，最大距离是 ，最小距离是 ，
的半径长等于 ，
故答案为： 或者 ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： ），则这个几何体的底
面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
由图中数据可知，圆锥的底面半径为 ,
∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长
故选： ．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条
半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图
形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到
A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段
圆弧，
故选：C．
4．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海域
某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经线圈
上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
【答案】C
【详解】解；由题意得， ，
∴劣弧 的长为 千米，
故选：C．
5．（2025·江苏常州·中考真题）如图， 的半径为2，直径 、 互相垂直，则弧 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵直径 、 互相垂直，
∴ ，
∴ 的长是 ，
故选：C．
6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截
面如图（3）所示， 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解：依题意， ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ 的长为 ．
故选：D．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天
文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表
于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语
言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为
半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；（3）连接
，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C为 的中点，
∴ ，
故选A．
8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形 中， ，E
是线段 的中点，F是线段 上的一个动点．现将 沿 所在直线翻折得到 （如图的所有点在同一平面内），连接 ， ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点C作 于点G，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴当点 到 的距离最小时， 面积最小，
过点 作 交 的延长线于点H，即当 最小时， 面积最小，
∵E是线段 的中点， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴点 在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，
∴当点E， ，H三点共线时， 最小，此时 面积最小，
延长 交于点M，过点D作 于点N，则 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
∴ ，
即 面积的最小值为 ．
故选：B．
二、填空题
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得母线长为 ，
∴其侧面积为 ，
故答案为： ．10．（2024·山东东营·中考真题）如图，在 中，弦 半径 ，则 的度数为
．
【答案】100°/100度
【详解】解：∵ ，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
11．（2024·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，
我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民
族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问
一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探
明火星的半径大约是地球半径的 ，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为
万里．
【答案】4
【详解】解：设地球的半径为 万里，
则 ，
解得 ，
∴火星的半径为 万里，
∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为 万里 ．故答案为： ．
12．（2024·黑龙江·中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把
绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ， ，在
旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
【答案】 /
【详解】解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，
∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为 的正六边形 中，点G，H分别在边 ，
上，且不同于正六边形的顶点， ．(1)证明：四边形 为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点 为圆心， 为半径的扇形 与正六边形形成阴影部分，求图中阴影
部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，连接 ， ， ，
∵ 是正六边形 的中心，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
14．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在 中， ，点 、 在 上， ，过 、
、 三点作 ，连接 并延长，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为5
【详解】（1）证明：连接 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，即 ，
（2）解：设求 的半径为 ，
由（1）可知 ，
∴ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ， ，
∵
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为5．
15．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几
个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），
通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为 、 ，主动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，
从动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出
与 的关系是 _____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿
数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”
的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车
“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
【答案】［探究]（1） ， ， （2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮
与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮
【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转 圈，则每分钟啮合的齿数有 个，从动轮每分钟转 圈，
则每分钟啮合的齿数有 个，
∵
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（2）从动轮的转速为 （圈/分钟），
“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致，
∴从动轮的转速为每分钟160圈；［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮．
专项练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ）
A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形
【答案】C
【详解】解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆．
故选：C
2．下列结论错误的是（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．半圆不是弧 D．直径是圆中最长的弦
【答案】C
【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意；
B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意；
C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意；
D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意；
故选：C
3．如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（ ）
A．A 点 B．B点 C．C点 D．D 点
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴小丽投掷的铅球落地点是B点，
故选：B．
4．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的
距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是
．其中，正确的是（ ）
A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤【答案】B
【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确；
②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确；
③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误；
④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确；
⑤ 弦 连接圆上两个不同点， ，最大弦为直径 ，
∴ ，正确。
∴ 正确的是①②④⑤，
故选：B．
5．已知 的半径为5，则 中弦 的长度不可能是（ ）
A．1 B．5 C．10 D．11
【答案】D
【详解】解：∵ 的半径为5，
∴直径长为10，
∵弦 的长度满足 ，
∴ 的长度不可能为11，
故选：D．
6．下列说法中，正确的是（ ）．
A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等
C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧
【答案】C
【详解】解：A．直径是经过圆心的弦，错误．
B．相等的弦所对的弧相等必须在同圆或等圆中成立，否则不一定成立，错误．
C．在同圆或等圆中，优弧大于半圆，劣弧小于半圆，优弧一定比劣弧长，正确．
D．同一条弦所对的两条弧，一条是优弧，一条是劣弧，除非弦为直径，否则不相等，错误．
故选C．
7．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，
∴①正确；
∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心，
∴②错误；
∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧，
∴③正确；
∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧，
∴仅长度相等不一定是等弧，
∴④错误；
∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆，
∴⑤正确．
∴正确的说法有①、③、⑤，共3个，
故选：C．
8．如图，战机白帝号顺着大半圆从 地飞到 地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从 地到 地与之汇合，设
白帝、鸾鸟走过的路程分别为 、 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为 ，则白帝所走的路程 ，
设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是 、 、 ，则 ，即 ，
∴ ．
故选：A．
9．如图，点C在线段 上， ，以 为直径的三个圆的面积分别为 ， ， ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设 ，
，
， ，
则 ， ， ，
．
故选：C．
10．如图，矩形 中， ，点 在 边上且 ，点 为直线 上一动点，连接
，将 沿着折痕 折叠，得到 ，动点 在 边上，连接 ，则 最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴点 在以点 为圆心、 为半径的圆上，
如图，作 关于 的对称线段 ，点 关于 的对称点为 ，以点 为圆心、 为半径画圆，连接
交 于点 ，交 于点 ，则 ，
∴ ，
由两点之间线段最短，可知此时 的值最小，最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 最小值是 ，
故选： ．
二、填空题
11．淘气要画一个周长是 厘米的圆，淘气应该把圆规两脚之间的距离定为 ．
【答案】6
【详解】解：∵圆的周长公式为 ，
∴ （厘米）．
故答案为：6．
12．钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过 厘米（ 取3.14）．
【答案】
【详解】解：∵分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆，
∴ （厘米）．
故答案为： ．
13．正 的边长为 ， 的半径为 ， 是 上动点，点 在 上且 ，则 的最大值
为 ．【答案】 /
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 、 ，
∵ 的半径为 ， 是 上动点，
∴ ，
∵正 的边长为 ，点 是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．14．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是
，这个圆的面积是 ．
【答案】
【详解】解：设圆的半径为 ，
把一个圆形平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是 ，
，则 ，
这个圆的面积是 ．
故答案为： .
15．在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，半径为 作 ，直线 交 于 、 两点，
若 ，则 的值为 ．
【答案】
【详解】解： ， 的半径为 ，
是 的直径，
直线 过点 ，
将 ， 代入 得， ．
故答案为： ．
16．如图，点 是以 为圆心， 为直径的半圆上的一个动点，过点 作 于点 ，若 ，
则 的最大值为 ．【答案】 /
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题
17．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作
了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为 为了美观，涵涵准备用一个体积
为 ，长、宽、高之比为 的长方体纸盒进行包装，如图2．
(1)该圆形团扇的半径为______ ；
(2)求该长方体盒子的长．
【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r．
即
解得 或 （舍去）
答：该圆形团扇的半径为8 ．
（2）解：设长方体盒子的长为 ，则宽为 ，高为 ，
，即 ．解得 ．
．
故长方体盒子的长为 ．
18．如图， 是 的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接 并延
长交 于点D，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【详解】（1）证明：如图，连接 、 ，
由作法可知， ，
又∵ ， ，
∴
∴ ．
（2）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
19．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，
再分别以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影
部分），同理得到叶瓣②．
(1)求叶瓣①的周长；（结果保留 ）
(2)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【答案】(1)
(2)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转 得到，或者还可以沿 轴翻折得到（答案不唯一）．
【详解】（1）解： 以原点 ， 为圆心、以 为半径作圆，两圆相交于 两点，
，两个圆是等圆，
∴四边形 为菱形，
，
∴ 为正方形，
∴
叶瓣①的周长为： ；
（2）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转 得到，或者还可以沿 轴翻折得到（答案不唯一）．
20．用三张同样大小的正方形铁皮（边长是 ），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（ 取
3.14）(1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？
(2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？
(3)根据以上计算，你发现了什么？
【答案】(1)三种圆片中每个圆的周长分别是 ．
(2)剪完圆后，三张铁皮剩下的废料多．
(3)按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多．
【详解】（1）解： ，
，
，
答：三种圆片中每个圆的周长分别是5.652m，2.826m，1.884m；
（2） ，
，
，
答：剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多；
（3）按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多．
21．某水上公园南侧新建了摩天轮．据介绍，可将其抽象成一个直径为 的圆（如图）．摩天轮的最
低点距离地面 ，摩天轮的圆周上均匀地安装了 个座舱（将座舱抽象为圆周上的点）．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)若小明和小亮间隔3个座舱（如图，小明和小亮分别位于点P，Q处），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（ 的长）和直线距离（线段PQ的长）．
【答案】(1)
(2)两人所在座舱在摩天轮上的距离为 ，直线距离为
【详解】（1）解：如图，由题意可知 ， ，
当座舱转到点 时，距离地面最高，
此时 ；
故答案为：101；
（2）解： 圆周上均匀地安装了 个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ，
，
的长为 ，
如图，连接 ，
且 ，
为等边三角形，
．
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离( 的长）为 ，直线距离（线段 的长）为 ．
