文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题3 投影与视图
知识梳理
【考点一】投影、中心投影
1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面
称为投影面．
2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心
投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心．
3.中心投影的特征
（1）等高物体垂直于地面放置：
离点光源越近，影子越短；
离点光源越远，影子越
长
（2）等长物体平行于地面放置：
离点光源越近，影子越长；
离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度
（3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上．
【考点二】平行投影
1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳
光、X光．
2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归
线上中午12点时的投影）．
线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影：
图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面
线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段
3. 平行投影的特点
（1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等；
（2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上．
【考点三】三种视图
1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图．
2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视
图叫做俯视图．
3. 常见几何体的三种视图
视图
主视图 左视图 俯视图
几何体【考点四】三种视图之间的关系及画法
1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．
主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．
2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等．
①主视图的长与俯视图的长对正
②主视图的高与左视图的高平齐
③俯视图的宽与左视图的宽相等
简述为：长对正，高平齐，宽相等
★ 要注意看不见的轮廓线应画成虚线
3. 三种视图的画法
（1）确定视图方向；
（2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）；
（3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图．
【考点五】 由三种视图还原几何体
1. 由三种视图还原几何体的步骤
（1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面；
（2)根据实线和虚线综合考虑整体图形；
（3)画出图形后验证.
2. 还原简单组合体示例例题讲解
【题型一】平行投影
◇典例1：
下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行投影，同一地点同一时刻树高与影长的比是一样的，影子的方向也应相同，
据此可得答案．
【详解】解：由平行投影的特点可知，四幅图中只有A选项中的图形符合题意，
故选：A．
◆变式训练
1.下列光源所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平
行投影的定义判断即可．
【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，
在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影．
故选：C．
2.在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（ ）
A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行投影，
根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可．
【详解】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能
是圆．故选：D．
【题型二】中心投影
◇典例2：
如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（ ）
A．始终不变 B．由长逐渐变短
C．由短逐渐变长 D．先变短后变长
【答案】D
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心
投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，
所以他在地上的影子先变短后变长．
故选：D．
◆变式训练
1.用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（ ）
A．先变大后变小 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．先变小后变大
【答案】C
【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根
据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答．
【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大．
故选：C．
【题型三】正投影
◇典例3：正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正投影，根据正午时候，足球的投影为正投影，进行判断即可．
【详解】解：由题意，足球在地面形成的影子是
故选A．
◆变式训练
1.下列关于正投影的说法正确的是（ ）
A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球
B．不同物体的正投影可以相同
C．圆锥的正投影是等腰三角形
D．圆纸片的正投影是圆
【答案】B
【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是
圆，原说法错误，不符合题意；
B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是
圆，原说法正确，符合题意；
C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意；
D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意；
故选B．
2.正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练
掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线
情况而定是解决此题的关键．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是
图形，
故选：B．
【题型四】立体图形的视图
◇典例4：
鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，这个图形的主
视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立体图形的视图．找到从前面看到的图形即可．
【详解】
解：从前面看这个构件，可以得到的图形是 ，
故选：C．
◆变式训练
1.由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了立体图形的视图，解题关键是掌握从上面看得到的图形的特征．从上面看有2
行，上面一行有3个正方形，下面一行最左侧有1个正方形，据此判断即可．
【详解】
解：从上面看这个几何体得到的平面图形是
，
故选：B．
2.如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体．
(1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图；
(2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________．
【答案】(1)见解析；
(2)26
【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的
关键，属于中考常考题型．
（1）根据从左边，上边方向看到的结果画出图形即可；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，（2）解：这个几何体的表面积=2(4+4+5)=26．
【题型五】由视图确定几何体
◇典例5：
如图是小静画的一个几何体的三视图．
(1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的；
(2)求这个几何体的体积．（结果保留π）
【答案】(1)正方体，圆柱
(2)(512+63π)cm3
【分析】本题考查了几何体的三视图，正方体和圆柱的体积公式，利用几何体的三视图还原几何图形是解
题关键．
（1）由主视图和左视图可得到这两个物体都是柱体，由俯视图可得下面的是长方体，上面的是圆柱；
（2）根据几何体的体积=长方体的体积+圆柱的体积，进行计算即可．
【详解】（1）解：这个几何体是由正方体和圆柱这两个立体图形组成的．
故答案为：正方体，圆柱．
（2）解：几何体的体积为：8×8×8+π×(6÷2) 2×7=512+63π(cm3)．
故这个几何体的体积为(512+63π)cm3
．
◆变式训练
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体
的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是
解题关键．根据三视图中的信息特征得到该几何体，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图看，
主视图是直角三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形，
不难看出这个几何体是C选项．
故选：C．
2.如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】此题考查了简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体的形状即可．
解：这个几何体是：
．故选：B．
【题型六】画三视图
◇典例6：
如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最
多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据主视图和左视图的定义作图即可；
（2）从俯视图的相应位置增加小立方体，保持左视图和主视图不变即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多
可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．◆变式训练
1.下图是某几何体的表面展开图：
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）若该几何体的主视图是正方形，请在网格中画出该几何体的左视图、俯视图；
（3）若网格中每个小正方形的边长为1，则这个几何体的体积为 ．
【答案】（1）长方体；（2）作图见解析；（3）12．
【分析】（1）展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全相同．
（2）观察左视图，主视图以及俯视图即可判定．
（3）根据长方体的体积公式求解．
【详解】（1）由题目中的图可知为长方体．
（2）∵该几何体的主视图是正方形，
则主视图和俯视图如图：（3）体积=长×宽×高=3×2×2=12．
2.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件．
（1）这个零件的表面积是 ．
（2）请按要求在边长为1网格图里画出这个零件的视图．
【答案】（1）24；（2）见解析
【分析】（1）几何体的表面积与原来相同，根据正方体的表面积公式计算即可求解；
（2）根据几何体画出从左面、上面看所得到的图形即可．
【详解】解：（1）2×2×6＝24．
这个零件的表面积是24，
故答案为：24．
（2）如图所示：
【题型七】由三视图判断小立方体的个数
◇典例7：
某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块．【答案】4
【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两
层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数．
【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层，
底层有3块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体，
综上可知共有3+1=4块正方体，
故答案为：4．
◆变式训练
1.一个物体是由棱长为4cm的正方体模型堆砌而成的，其形状图如图所示．
(1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数；
(2)求出该物体的体积是多少；
(3)该物体的表面积是多少？
【答案】(1)见解析；
(2)320cm3；
(3)320cm2．
【分析】（1）根据三视图分别得到俯视图上小立方体的个数；
（2）根据（1）可得小正方体的个数，然后用1个小正方体的体积乘以小正方体的个数，即可解答；
（3）根据三视图可得该物体的表面有多少个小正方形，然后用1个小正方形的面积乘以正方形的个数，即
可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：4×4×4×(1+1+1+2)=320(cm3 )，
答：该物体的体积是320cm3．（3）解：4×4×(3+3+4)×2=320(cm2 )，
答：该物体的表面积是320cm2．
2.小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时，发现它的主视图、俯视图、左视图均为如图所示的图
形，则构成该几何体的小立方块有 个．
【答案】4
【分析】此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】从俯视图发现该几何体第一层有3个小立方块，从左视图与主视图发现第二层有1个小立方块，
则构成该几何体的小立方块的个数有4个．
故答案为：4．
【题型八】已知三视图求最多或最少得小立方体个数
◇典例8：
由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方
体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下：
∴这种几何体所需小正方体个数最多是1+1+3+3=8，
故选：C．
◆变式训练1.若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方
体的个数是m，则m的最大值是 ．
【答案】11
【分析】本题考查由三视图判断几何体，利用俯视图，写出m的值最大时小正方形的个数，可得结论．解
题的关键是理解三视图的定义，
【详解】解：如图，m的最大值为：2+3+3+1+1+1=11．
∴m的最大值是11．
故答案为：11．
2.小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型：
（1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体．
（2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体．
【答案】 26 150
【分析】此题考查了立体图形，空间想象能力是解题的关键．
（1）根据正方体找到规律计算求解；
（2）根据（1）中的规律进行解答即可．
【详解】解：（1）由题意可得，33−1=26（个），
故答案为：26
（2）根据题意可得，7×6×5−(7−2)×(6−2)×(5−2)
=210−60=150（个）
故答案为：150
【题型九】已知三视图求侧面积或表面积
◇典例9：
某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
(1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】(1)正六棱柱
(2)见解析
(3)(75√3+420)cm2
【分析】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识；
（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；
（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；
（3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案．
【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱．
故答案为：正六棱柱．
（2）六棱柱的表面展开图如（3）由图中数据可知：六棱柱的高为14cm，底面边长为5cm，
∴六棱柱的侧面积为6×5×14=420(cm2)．
如图，设圆心为O，连接AO，BO，作OG⊥AB于点G，
∵AB=OA=5
；
√3 5√3
∴OG=OAsin60°= ×5=
2 2
1 5√3
∴密封纸盒的底面面积为：2×6× ×5× =75√3(cm2)，
2 2
∴六棱柱的表面积为(75√3+420)cm2．
◆变式训练
1.一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为8√3，则a的值为（ ）
2 √3 3
A． √3 B．2+ C． +√3 D．2
3 3 2
【答案】A
【分析】根据左视图中的a就是俯视图等边三角形的高，由此根据侧面积列出方程即可得答案．
【详解】观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2√3，正三棱柱的底面正三角形的高是a
2√3
∴底面边长为 a，
3
∵这个正三棱柱的侧面积为8√3，
2√3
∴ a×3×2√3=8√3，
32√3
解得：a= ，
3
故选A．
2.如图为一个实心几何体的正视图和左视图，根据图示信息求出该几何体的体积和表面积．（结果保留
π）
【答案】体积为3200π+30000(cm3)；表面积为5900+640π(cm2)
【分析】本题考查了几何体的三视图以及几何体的体积和表面积计算；先由两个视图判断出几何体的形状，
然后根据体积和表面积公式计算即可；根据题中的两个视图得出该几何体是由一个圆柱体和一个长方体组
成的是关键．
【详解】解：该几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，体积为：
π×
(20) 2
×32+25×30×40=3200π+30000(cm3)；
2
表面积为：40×25×2+40×30×2+30×25×2+20π×32=5900+640π(cm2)
真题在线
一、单选题
1．（2024·贵州安顺·中考真题）如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（
）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出
答案．
【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，
选项D中的图形比较符合题意．
故选：D．
2．（2025·四川·中考真题）以下几何体的主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的主视图概念及常见几何体的主视图特征，解题的关键是明确主视图是从几何
体正面观察得到的平面图形，并熟记球体、正四面体、正方体、正八面体的主视图形状．
先明确主视图的定义（从正面观察几何体所得到的平面图形）；再分别判断各选项几何体的主视图，球体
无论从哪个方向观察主视图均为圆，正四面体主视图为三角形，正方体主视图为正方形，正八面体主视图
为菱形（或正方形），据此筛选出主视图是圆的几何体．
【详解】解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：
A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；
B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；
C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；
D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意．
故选：A．
3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视
图，下列说法正确的是（ ）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可．
【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆；
故选：A．
4．（2024·吉林长春·中考真题）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照
片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故选B．
5．（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，
长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，该物体可能是
故选B．
6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查小正方体的组合体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
根据三视图的概念逐项判断即可．
【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形，
其中C选项符合该特征，
故选：C．
7．（2025·山东德州·中考真题）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的
关键．
通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各
视图的特征排除不符合的选项．
【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A；
由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D；
由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合．
故选：C．
8．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图
所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ）
A．7 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得
到答案．
根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底
层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有 个小正方体，
第二层最少有2个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有 个．
如图：（其中一种情形）
故选：A．
二、填空题
9．（2024·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所
示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．
【答案】
【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，
∴搭成这个几何体的小立方块最多有 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
10．（2024·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高
为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得： ，
∴
∵ 米， 米， 米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．（2024·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M
在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成
线段 ，测得 ，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距
离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．【答案】 10
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，
垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据 ，求出OM的长度，证明
，得出 ， ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出
所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是
解答本题的关键．
12．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为 的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面
高度 ．将此正方体放在坡角为 的斜坡上，此时水面 恰好与点 齐平，其主视图如图2所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握
正切的定义是解题关键．延长 ，交直线 于点 ，设 ，则 ，先
根据水的体积不变建立方程，解方程可得 的值，再根据平行线的性质可得 ，然后根据
正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交直线 于点 ，
由题意得： ，
设 ，则 ，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为 的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为
的斜坡上时，水的体积等于长为 、宽为 、高为 的长方体的体积与长为 、宽为 、
高为 的长方体的体积的一半之和，
∴ ，
解得 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位
于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动
测量纪念碑的高度
主题
实物
图和
测量
示意
图
如图，纪念碑 位于有台阶的平台 上，太阳光下，其顶端 的影子落在点
测量 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的影子落在点 处，位于点 处
说明 的观测者眼睛所在位置为点 ，点 在一条直线上，纪念碑底部点 在观
测者的水平视线上．
测量
数据
备注 点 在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子 的长和标杆 的长相等，可得 ，请说明理由．
(2)求纪念碑 的高度．
(3)小红通过间接测量得到 的长，进而求出纪念碑 的高度约为 ．查阅资料得知，纪念碑的实际
高度为 ．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一
条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)纪念碑 的高度为 ．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和
性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得 ，即可证明结论；
（2）令 与 的交点为 ，则四边形 和 是矩形，设 ，证明 ，得到
，求出 的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【详解】（1）解： 太阳光下，其顶端 的影子落在点 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的影
子落在点 处，
，
标杆的影子 的长和标杆 的长相等，即 ，
；
（2）解：如图，令 与 的交点为 ，
则四边形 和 是矩形，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，，
，
解得： ，
答：纪念碑 的高度为 ．
（3）解：纪念碑的实际高度为 ，小红求出纪念碑 的高度约为 ，（2）中纪念碑 的高度
为 ，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑 位于有台阶的平台 上，点 的位置无法正确定位，使得 的长存在误差，影响计
算结果．
14．（2024·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不
可到达）的高 ．如图所示，当小明爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 ，测得
；当小明站在爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为 ．已知爸爸的身高 ，
小明眼睛到地面的距离 ，点 、 、 在同一条直线上， ， ， ．求
该景观灯的高 ．（参考数据： ， ，
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，然后设
，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再根据垂直
定义可得 ，从而证明 字模型相似三角形 ，最后利用相似三角形的
性质可得 ，从而列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，由题意得： ， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
该景观灯的高 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已
知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自己的身高 ．此时，小组同学测得旗
杆 的影长 为 ，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得
小李的眼睛距地面高度 ，小李到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 ．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显
提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水
平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线 始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并
标记观测视线 与标高线交点C，测得标高 ， ．将观测点D后移 到 处，采用
同样方法，测得 ， ．求雕塑高度（结果精确到 ）．
【答案】(1)
(2)旗杆高度为 ；
(3)雕塑高度为 ．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出 ，得出 ，最后根据三角形相似的性质，即
可求出答案；（3） ，由题意得： ， ，利用相似三角形的性质列出式子，计
算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得 ，由题意得： ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，由题意得， ，
根据镜面反射可知： ，
， ，
，
，
，即 ，
，
答：旗杆高度为 ；
（3）解：设 ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，经检验符合他
∴ ，答：雕塑高度为 ．
专项练习
一、单选题
1．如图为在2025年深圳文博会亮相的春碗，是景德镇为庆祝春节申遗成功而特别烧制的．关于它的三视
图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】A
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可．
【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
2．夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（ ）
A．不变 B．由短变长 C．由长变短 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查中心投影的有关知识，结合中心投影的概念及实际得出结论是解题的关键．根据中心投
影的特点，距离点光源越近，影子越短即可解答．
【详解】解：∵根据中心投影的特点，距离点光源越近，影子越短，夜晚当人走近一盏路灯时，人与光源
的距离变小，
∴影子会由长变短．
故选C．
3．如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据左视图是从几何体的左面看到的图形进行分析，即可作答．
【详解】
解： 的左视图是 ，
故选：A．
4．在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．
按照时间先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④
【答案】C
【分析】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改
变．注意图上方向与实际方向的联系．
不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指
向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午，
根据影子的长度可知先后为④③①②，
故选：C．
5．如图是一块雕刻印章的材料，则它的左视图为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，左视图是从左面观察几何体所得到的图形，据此求解即可．
【详解】解：由图可知：左视图为：
故选：C．
6．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】
解：几何体的左视图是 ，
故选：B．
7．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的
影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（ ）
A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断【答案】A
【分析】本题考查了中心投影．
根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案．
【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，
丽丽身高小于妈妈，
∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点．
故选：A．
8．如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投
在木板上的影子长度的变化情况是（ ）
A．一直变短 B．短一长一短 C．一直变长 D．长一短一长
【答案】D
【分析】本题考查了投影，根据题意可得投在木板上的影子长度的变化情况是从长变短再变长．
【详解】解：根据题意可得，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是长一短一长，
故选：D．
9．如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（
）
A．15 B．27 C．48 D．63
【答案】D
【分析】考查由三视图判断几何体及几何体体积的计算，根据该零件的三视图可知这个几何体是一个大正
方体的一个角去掉一个小正方体，据此计算几何体的体积即可．
【详解】解：根据该零件的三视图可知这个几何体是一个大正方体的一个角去掉一个小正方体，
则该零件的体积为 ．
故选：D．
10．圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影如图所示．桌面的直径米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为（ ）
A． 平方米 B． 平方米 C． 平方米 D． 平方米
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，熟练掌握中心投影及相似三角形的判定与性质是关键．
根据中心投影的知识画出相应的图形，再根据相似三角形的判定与性质，列方程求解即可．
【详解】解：如图，根据题意， ， ， 米， 米， 米，
米，
，
，
，
，
解得 米，
那么地面上阴影部分的面积为 （平方米）．
故选：B．
二、填空题
11．榆林剪纸是陕西榆林珍贵的文化遗产，也是享誉中外的陕北剪纸的精华．榆林剪纸在手电筒下形成的
影子属于 投影．（填“中心”或“平行”）
【答案】中心【分析】本题考查平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外发散形成的投影，平行投影是在一
束平行光线照射下形成的投影；手电筒作为点光源，光线从一点发出，投影线交于一点，属于中心投影．
【详解】解：∵手电筒的光源为点光源，光线从灯泡处向四周辐射，投影线均通过光源点，
∴形成的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
12．如图是由棱长都为 的 个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
画出几何体的左视图即可求出面积．
【详解】解：如图所示为该几何体的左视图．
故面积为 ，
故答案为： ．
13．如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为 ．若三角尺的一边长为
，则其投影三角形的对应边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【详解】解：设其投影三角形的对应边的长为 ，
由题意得： ，
解得： ，
即其投影三角形的对应边的长为 ．
故答案为： ．14．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位
置小正方体的个数，则这个几何体至少由 个小正方体组成．
【答案】9
【分析】本题考查三视图，熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键．由题意可知，俯视图中a位置对
应主视图中最右列，只能是3个正方体；b、c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体； d、e、f位置
不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个，即可求解．
【详解】解：观察俯视图，俯视图中a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b、c位置对应主视
图中间列，只能是1个正方体； d、e、f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置
为1到2个，
则这个几何体至少由 个小正方体组成，
故答案为：9
15．一个由大小相同的正方体组成的几何体，从正面看和从左面看都是“田”字形（由4个小正方形组
成），则这个几何体最少需要 个正方体．
【答案】
【分析】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，具有良好的空间想象能力是解题的关键．
从正面看和从左面看都是“田”字形，在俯视图上进行表示即可．
【详解】解：若从正面看和从左面看都是“田”字形，则首层必须要有 个正方体，
顶部最少需要两个正方体，错开放置即可，俯视图表示个数如下图所示：
∴最少需要 个正方体，
故答案为： ．
16．如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并
保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加 个小正方体．【答案】4
【分析】根据从正面看和从左面看的形状图不变解答即可求解；
本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状
图不变，
∴最多可添加4个，
故答案为：4．
三、解答题
17．如图，该几何体是由 个小正方体组成的，请画出该几何体从正面、左面、上面看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】本题考查从不同方向看几何体，分别画出从前往后看，从左往右看，从上往下看得到的图形即可．
【详解】解：该几何体从正面、左面、上面看到的形状图如下：
18．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并
求其表面积S．【答案】三棱柱，图见解析；
【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根
据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可．
【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱
柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作 于点D．
由题意，得 ，
∴
∴ ．
19．如图，一建筑物的高 为10米，某时刻它在水平地面上的影长 为6米．身高1.5米的嘉嘉在
建筑物下的点 处乘凉， 米．若笔直站立的嘉嘉不会被阳光晒到，求 的最大值．【答案】 的最大值为 ．
【分析】本题考查了平行投影．在同一时刻，建筑物的高度与影长和人的高度与影长成正比例，据此列式，
求出此时人的影长，计算出最多离建筑物的距离．
【详解】解：设嘉嘉这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，
根据题意得 ，解得 ，
嘉嘉这个时刻在水平地面上形成的影长为 米，
因为 (米)，
所以他最多离建筑物 米才可以不被阳光晒到．
答： 的最大值为 ．
20．如图，操场上竖立着两根木杆 、 ，木杆 后面有一堵墙， 在阳光下的影子如图所示．
(1)画出此时 在太阳光下的影子（用线段表示影子）
(2)如果 高度为1.2米，影长为1.6米， 距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求 的高度．
【答案】(1)见解析
(2) 的高度为1.75米
【分析】本题考查了平行投影的知识，相似三角形的应用．
（1）先画出线段 ，并作出 的垂线 ，过点C作 ，交 于点F；此时 在太阳下的影
子为线段 ；
（2）过点F作 于点G，由 ，据此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
∴此时 在太阳下的影子为线段 ；
（2）解：过点F作 于点G，则 ， ，由题意可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米）
答： 的高度为1.75米．
21．由10个大小相同的正方体（每个小正方体的棱长都是2）搭成的几何体如图所示：
(1)请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
(2)现要在这个几何体的表面喷上油漆（不包括下底面），求需要喷上油漆的面积S．
【答案】(1)见解析
(2)128
【分析】本题考查了画从不同方向看几何体得到的图形和计算小立方体堆砌的图形的表面积，只有认真观
察才能把图画正确，观察时不要从棱或顶点上观察．
（1）利用几何体分别从三个不同角度得出图形，进而得出答案；
（2）根据三视图计算各个面（除下面）的面积即可．
【详解】（1）解：从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形如下图所示:（2）解：需要喷上油漆的面积 ．
