文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题5 平移与旋转
知识梳理
【考点一】 平移的概念
1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简
称平移．
2. 平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离.
如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B'
=AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC
射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离.
3.图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个
图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可.
【考点二】平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相
同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的
线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】
1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小；
2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只
要是按直线方向即可.
3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存
在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分.【考点三】平移的作图
1.平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案.
2.在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连
（1）定：确定平移的方向和距离．
（2）找：找到图形的关键点；
（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）连：按原图形顺次连接对应点．
【考点四】旋转的相关概念
1.旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转
中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应
点.
2.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.
在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可
以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针.
【温馨提示】
①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；
②旋转变换同样属于全等变换.
【考点五】旋转的性质
1.旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
2.旋转中心的确定：
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即
旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【考点六】旋转作图
图形旋转作图的步骤：
将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤：
（1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°．
（2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM．
（3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角．
（4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F．
（5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示．
例题讲解
【题型一】平移的概念
◇典例1：
现实生活中，下列现象不属于平移的是（ ）
A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶
C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行
【答案】D
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答
本题的关键．
【详解】解：A、电梯的升降，属于平移，不符合题意；
B、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意；
C、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意；
D、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线
条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图
形的形状、大小及方向，判断即可．
【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，
∴只有C选项的图形是通过平移得到，∴C选项符合题意，
故选：C．
2.下列运动属于平移的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的定义，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的
图形运动叫作图形的平移运动，掌握平移成为解题的关键．
根据平移的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意；
B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意；
C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意；
D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意．
故选B．
【题型二】利用平移的性质进行计算
◇典例2：
如图，将△ABC向右平移6个单位长度得到△≝¿，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC=4则BC的
长度是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质求出BE即可解决问题．
【详解】解：由题意，BE=6，
∵EC=4，
∴BC=BE+EC=6+4=10，
故选：A．◆变式训练
1.如图，在多边形ABCDEFGH中，AB=4，AH=3，则该多边形的周长为（ ）
A．7 B．7或4 C．14 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了平移的应用．
根据平移得到GH+EF+CD=BA=4，FG+DE+BC=AH=3，根据多边形的周长公式计算即可．
【详解】解：由题意得，GH+EF+CD=BA=4，FG+DE+BC=AH=3，
则该多边形的周长=AB+AH+(GH+EF+CD)+(FG+DE+BC)=14，
故选：C．
2.如图，将△ABC沿AC方向平移到△≝¿的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接BE．若
∠ACB=65°，则∠BEF的度数是（ ）．
A．105° B．115° C．95° D．125°
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到∠F=∠ACB=65°,BE∥CF，
根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵将△ABC沿AC方向平移到△≝¿，
∴∠F=∠ACB=65°,BE∥CF，
∴∠BEF=180°−∠F=115°，
故选B．
【题型三】利用平移解决实际问题
◇典例3：
如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形ABCD），AB=40米，BC=22米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A
到出口B所走的路线（图中虚线）的长为（ ）
A．62米 B．82米 C．88米 D．102米
【答案】B
【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为AB+AD−1+BC−1即可．
【详解】解：∵ABCD是长方形，
∴AD=BC=22米，
由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为
AB+AD−1+BC−1=40+22+22−2=82（米），
故选：B．
◆变式训练
1.如图是校园内一块长为13m，宽为5m的长方形空地，中间设
计一条宽为2m的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（ ）
A．50m2 B．55m2 C．60m2 D．65m2
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为(13−2)m，宽为5m的矩形，然后根据矩形面积公式进行计
算即可解答．
【详解】解：由题意得，绿化区的面积是(13−2)×5=11×5=55m2．
故选：B．
2.如图，某居民小区有一长方形土地，长32米，宽20米．居民想在长方形地内修筑宽均为2米的小路，余
下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为平方米．
【答案】504
【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移现象，可把路平移到左边，平移到下边，根据长方形的面
积公式，可得答案．利用平移得出绿化的长方形是解题关键．
【详解】解：平移后，阴影部分是长为(32−4)米，宽为(20−2)米的矩形，则其面积为：
(32−4)×(20−2)=28×18=504（平方米），
∴绿化的面积为504平方米．
故答案为：504．
【题型四】点在坐标系中的平移
◇典例4：
点A(−3,−5)向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A．(1,−8) B．(1,−2) C．(−6,−1) D．(0,−1)
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键．
根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，
即可解答．
【详解】解：点A(−3,−5)向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B(−6,−1)．
故选C．
◆变式训练
1.若点A(a−2,a+3)在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点A′，则点
A′的坐标为（ ）
A．(7,1) B．(−7,9) C．(−1,7) D．(2,−4)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是
解题的关键．
由点A(a−2,a+3)在x轴上，可得a=−3，则A(−5,0)，再根据平移的性质即可求出点A′的坐标．
【详解】解：∵点A(a−2,a+3)在x轴上，∴a+3=0，
解得a=−3，
∴A(−5,0)，
∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点A′，
∴点A′的纵坐标为−4，横坐标为−5+7=2，
∴点A′的坐标为(2,−4)．
故选：D．
2.将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 ．
【答案】（﹣6，﹣2）．
【分析】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可．
【详解】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，
∴Q（m，m+6），
∵点Q在x轴上，
∴m+6＝0，解得：m＝﹣6，
∴点P（﹣6，﹣2），
故答案为：（﹣6，﹣2）．
【题型五】图形在坐标系中的平移
◇典例5：
如图，点A，B的坐标分别为(1,4)，(3，−1)，若将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为(−3,1)，
则B′的坐标为（ ）
A．(−1,−3) B．(−3,−1) C．(−4,−1) D．(−1,−4)
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化．根据平移的性质，确定点
的坐标变化即可．
【详解】解：由A(1,4)和A′(−3,1)得，点A向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到点A′，
∴点B(3，−1)向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度后为(−1,−4)，故选：D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC内部有一点M(m,n)，若将△ABC先向右平移，再向下平移，
平移后点M对应点M′的坐标是(m+2,n−4)．若点A的坐标是(−3,2)，则平移后点A对应的点A′的坐标是
（ ）
A．(−3,2) B．(−3,−3) C．(−1,−2) D．(−4,−2)
【答案】C
【分析】本题考查坐标与平移，根据点M和它的对应点M′的坐标，得到平移规则，进而求出点A′的坐标
即可．
【详解】解：∵点M(m,n)平移后的对应点M′的坐标是(m+2,n−4)，
∴△ABC先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∵点A的坐标是(−3,2)，
∴平移后点A对应的点A′的坐标是(−3+2,2−4)，即(−1,−2)；
故选：C．
2.把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标
为（ ）
A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1）
【答案】D．【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解．
【详解】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相
应的平移得到P'，
∴P'（m+2，n﹣1）．
故选：D．
【题型六】平面直角坐标系中的平移作图
◇典例6：
如图，三角形ABC中任意一点P(x ,y )，经平移后其对应点为P (x +2,y −3)，将三角形作同样平移得
0 0 1 0 0
到三角形A B C ．
1 1 1
(1)请写出△A B C 各顶点的坐标，并画出平移后的图形△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)求出△A B C 的面积．
1 1 1
【答案】(1)A (1,1),B (−2,−4),C (3,−2)，见解析
1 1 1
1
(2)9
2
【分析】本题考查了图形的平移，割补法求面积．
（1）先根据平移前后点的坐标求出平移后点的坐标，再作出平移后的图即可；
（2）根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：∵三角形ABC中任意一点P(x ,y )，经平移后其对应点为P (x +2,y −3)，
0 0 1 0 0
∴三角形ABC向右平移两个单位，再向下平移三个单位得到三角形A B C ，
1 1 1
∵A(−1,4),B(−4,−1),C(1,1)，
∴A (−1+2,4−3),B (−4+2,−1−3),C (1+2,1−3)，
1 1 1即A (1,1),B (−2,−4),C (3,−2)，
1 1 1
则三角形A B C 如图所示：
1 1 1
1 1 1
（2）解：S =5×5− ×5×2− ×3×2− ×5×3
△A 1 B 1 C 1 2 2 2
15
=25−5−3−
2
1
=17−7
2
1
=9 ．
2
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(−2,2)，B(2,0)，C(3,3)，P(a,b)是三角形ABC的边AC上的一点，
把三角形ABC平移后得到三角形A B C ，点P的对应点为P′(a−2,b−4)．
1 1 1(1)画出三角形A B C ；
1 1 1
(2)求三角形ABC的面积；
(3)已知点M在x轴上，连接CM，则CM的最小值为______．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)3
【分析】本题考查了平移作图，三角形的面积，垂线段最短，由点的坐标得到平移的方式是解题的关键．
（1）根据点P、P′的坐标可知三角形向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形
A B C ，据此画图即可；
1 1 1
（2）利用割补法计算即可；
（3）根据垂线段最短即可求解；
【详解】（1）解：∵点P(a,b)的对应点为P′(a−2,b−4)，
∴三角形ABC向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形A B C ，
1 1 1
如图所示，三角形A B C 即为所求；
1 1 1
1 1 1
（2）解：三角形ABC的面积=5×3− ×4×2− ×1×3− ×5×1=7 ．
2 2 2
（3）解：根据垂线段最短可得CM的最小值为y =3，
C
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的顶点坐标分别
是A(−3,2)，B(−2,−1)，C(0,−1).将三角形ABC先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度
后得到
三角形A′OC′，其中点A′，O，C′分别为点A，B，C的对应点．(1)m=____，n=____；
(2)在图中画出三角形A′OC′，并求三角形A′OC′的面积；
(3)将线段AC沿某个方向平移后得到线段EF，点A的对应点为E(a,0)，那么点C的对应点F的坐标为____
（用含a的式子表示）．
【答案】(1)2；1
(2)见解析；3
(3)(a+3,−3)
【分析】本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据点O为点B的对应点可知，三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得
到三角形A′OC′，即可得出答案．
（2）根据平移的性质作图即可；利用三角形的面积公式计算三角形A′OC′的面积即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵点O为点B的对应点，
∴三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到三角形A′OC′，
∴m=2，n=1．
故答案为：2；1．
（2）如图，三角形A′OC′即为所求．1
三角形A′OC′的面积为 ×2×3=3．
2
（3）∵点A的对应点为E(a,0)，
∴点C的对应点F的纵坐标为−3，横坐标为a+3，
∴点C的对应点F的坐标为(a+3,−3)．
故答案为：(a+3,−3)．
【题型七】旋转中的相关概念
◇典例7：
下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）
A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降
【答案】A
【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换
的定义即可作出判断．
【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换；
B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换；
C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换；
D．电梯的升降，不属于旋转变换，
故选∶A．
◆变式训练
1.对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（ ）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转．
故选：A．
2.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分
别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角
度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图
形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．
【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故选：C
【题型八】旋转中心的确定
◇典例8：
在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是
网格线交点），在网格线交点M,N,P,Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别
作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得．
【详解】解：如图，连接BB′，CC′，分别作BB′，CC′的垂直平分线，其交点为点M，则旋转中心是点M．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，线段AB绕一点旋转后得到线段A′B′，点A旋转到了点A′，则旋转中心为（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】B
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，平行四边形性质 ，全等三角形判定和性质，线段垂
直平分线判定和性质，是解题的关键．
根据四边形AF A'G和四边形BHB'I是平行四边形，得点P，Q分别是A A'，BB'在中点．由
MA=M A'=√12+22=√5，NB=NB'=√32+42=5，得点M，N分别在A A'，BB'的垂直平分线上．得
DA=DA'，DB=DB'，得△DAB≌△DA'B' (SSS)，得∠ADB=∠A'DB'，得∠ADA'=∠BDB'，
即得D是旋转中心．
【详解】解：连接A A'，BB'，
取点G，H，I，M，N，
连接FG，HI分别交A A'，BB'于点P，Q，
作射线MP，NQ，射线MP，NQ过点D，
∴点D为旋转中心．
故选：B．
2.如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点
中，是旋转中心的为 ．
【答案】B点．
【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案．
【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，
∴旋转中心为B点，
故答案为：B点．
【题型九】求旋转图形中相关角度的大小
◇典例9：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，若点B′恰好落在
BC边上，且AB′=CB′，则∠C的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，根据旋转得到
AB=AB′，进而得到∠B=∠AB′B，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到
∠B=∠AB′B=2∠C，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵旋转，
∴AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B，
∵点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∴∠B=2∠C，
∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠BAC=120°，
∴∠C+∠B=3∠C=60°，
∴∠C=20°；
故选B．
◆变式训练
1.如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶OC
旋转至OC′处．已知风车与斜坡的夹角∠BAO=70°，风车扇叶与立柱夹角∠AOC=60°．当OC′∥AB
时，扇
叶OC至少旋转（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质
求出∠AOC′=70°，再根据∠AOC=60°，求出最小的旋转角即可．
【详解】解：∵OC′∥AB，∠BAO=70°，
∴∠AOC′=∠BAO=70°，
∴∠COC′=∠AOC′−∠AOC=70°−60°=10°，
∴扇叶OC至少旋转10°．
故选：A．
2.如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点C逆时针旋转得
到△A′B′C，点A、B的对应点分别是A′、B′，边A′B′经过点A，若∠B′CA=37°，则∠BAC的度数为
（ ）
A．40° B．74° C．77° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，
可得∠B′=∠B=40°，∠BAC=∠A′，AC=A′C，由三角形外角的性质可得
∠CA A′=∠B′CA+∠B′=77°，由等边对等角得出∠A′=∠CA A′=77°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴ ∠B′=∠B=40°，∠BAC=∠A′，AC=A′C，
又∵ ∠B′CA=37°，
∴ ∠CA A′=∠B′CA+∠B′=37°+40°=77°，
∵ AC=A′C，∴ ∠A′=∠CA A′=77°，
∴ ∠BAC=∠A′=77°，
故选：C．
【题型十】求旋转图形中线段的长度
◇典例10：
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则
A'C的长是 ．
【答案】3．
【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到
△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．4 D．2
【答案】B．
【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等
边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可．
【详解】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，∵∠A＝60°，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′＝BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，
1
∴AC= AB=2，
2
∴BC=√AB2−AC2=2√3，即BB′=2√3，
故选：B．
2.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，
C'D＝2，则线段BC的长度为（ ）
A．4 B．5 C．2√6 D．2√5
【答案】D．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，
由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点B作BE⊥CC'于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D＝2，
∴CC'＝4，
∴CD=√CC′2+C′D2=√42+22=2√5，
∴BC＝2√5．
故选：D．
【题型十一】旋转作图
◇典例11：
如图，已知△ABC和直线PQ．
(1)画出△ABC关于直线PQ成轴对称的△≝¿；
(2)画出△ABC绕它的顶点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A′B′C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——旋转变换，作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线PQ成轴对称的△≝¿；
（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕它的顶点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A′B′C．
【详解】（1）解：如图，△≝¿即为所求；
（2）解：如图，△A′B′C即为所求．◆变式训练
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5,5),B(6,3),C(2,1)均在格点上．
(1)画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A B C．
2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换．
（1）利用点平移的坐标特征写出A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点A 、B 即可．
2 2
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）解：如图，△A B C即为所求：
2 2
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,−4)，B(0,−4)，C(1,−1)
(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1(2)将（1）中所得△A B C 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A B C ，直接写出点C 的坐
1 1 1 2 2 2 2
标．
【答案】(1)画图见解答；点C 的坐标为(−1,−1)
1
(2)点C 的坐标为(3,1)
2
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）根据平移的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
由图可得，点C 的坐标为(−1,−1)．
1
（2）解：∵△A B C 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A B C ，
1 1 1 2 2 2
∴点C 的坐标为(3,1)．
2
【题型十二】在平面直角系中根据旋转求坐标
◇典例12：
如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方
向旋转90°后，点B的对应点B 的坐标是（ ）
1A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A．
【分析】利用旋转的性质得B C ＝BC＝1，OC ＝OC＝2，A B ⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征
1 1 1 1 1
写出点B 坐标．
1
【详解】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1），
∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴，
∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B ，A B ⊥y轴，
1 1 1
∴B C ＝BC＝1，OC ＝OC＝2，
1 1 1
∴B 坐标为：（1，﹣2）．
1
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将
△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 ．
【答案】（7，5）．
【分析】利用全等三角形的性质得出O′B′和O′A的值，再结合点A和点B的坐标得出OA和OB的长
即可解决问题．
【详解】解：由旋转可知，
△ABO≌△AB′O′，
∴∠O′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB，AO′＝AO．
又∵O′A⊥OA，
∴O′B′∥x轴．
∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），
∴O′B′＝OB＝2，AO′＝AO＝5，
∴点B′的坐标为（7，5）．
故答案为：（7，5）．
2.如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是 ．
【答案】（1，﹣1）．
【分析】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM＝CN，BM＝AN，
当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时，
ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1，
CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1，
∴C（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏盐城·中考真题）小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似【答案】A
【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握平移的概念．
根据平移的概念解答即可．
【详解】解：小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移，
故选：A．
2．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个
叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 后，能够与它本身重合，则角 的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图
形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为 ，
∴该叶片图案绕中心至少旋转 后能与原来的图案重合，
∴角 的大小可以为 ，
故选：B．
3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将 沿着射线 平移到 ．若 ，则平移的
距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握
平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键．
【详解】解：∵ 沿射线 平移得到 ，∴点 与点 是对应点．平移的距离为 的长度，
又∵ ， ，
∴ ．
故选： ．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系 ，点 在该坐标系中的坐标为 ，现将直角坐
标系 绕点 按逆时针方向旋转 到 的位置，则点 在新坐标系 中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点 在新坐标系 中的第一象限，且与原来横
纵坐标互换，均为正数，即可求出．
【详解】解：将直角坐标系 绕点 按逆时针方向旋转 到 的位置，
∴此时点 在新坐标系 中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数，
∴点 在新坐标系 中的坐标为 ，
故选：B．
5．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将线段
平移得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规
则，再应用于点B即可得到点D的坐标．
【详解】解：由题意，点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 向上平移5个单位得到点 ，
∴点 的坐标为 ，即 ；
故选B．6．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕着点 逆时针旋
转 得线段 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过 作 轴于点 ，
过 作 轴于点 ，则 ，然后通过同角的余角相等得出 ，证明
，故有 ， ，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应
用是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，则 ，
由旋转性质可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
故选： ．
7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边 的顶点 ，将
向左平移1个单位长度，则平移后点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关
键．
过点B作 的垂线，通过点A，C的坐标确定 与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点
B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．
【详解】解：如图，过点B作 ，垂足为D，
∵ ， ，
∴ 轴，
∴ 轴，
∵ 是等边三角形， ，∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴在 向左平移1个单位长度后，点B的坐标为 ，
故选：A．
8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形 中， ，第1次操作：取 的中点 ，
将 绕点 分别逆时针旋转 和 ，得到线段 和 ；第2次操作：取 的中点 ，将
绕点 分别逆时针旋转 和 ，得到线段 和 ； ；按照这样的操作规律，第30次操
作后，得到线段 和 ，若用点 在点 的正南方向表示初始位置，则点 在点 的（ ）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方
式，可证明 皆为等边三角形，可得 ，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后 与 重合，依此规律解答即可．
【详解】解：将 绕点 分别逆时针旋转 和 ，得到线段 和 ，
则 ，且 ，
为等边三角形，
同理， 皆为等边三角形，
∵将 绕点 逆时针旋转 ，
∴ ，
为等边三角形， 的中点为 ，
，
，
同理 ，
则 ，
∵ ，
∴每转到12次后 与 方向重合，
，
∴第30次操作后， 第3个循环中的第6个位置，恰与 方向相反，
又∵ 为等边三角形，
，
此时点 在点 的正北方．故选：D．
二、填空题
9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着 轴向右平移3个单位，若无人机上一点 的坐标为
，则平移后点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上
下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
根据点的平移规律即可求解．
【详解】解：由题意得：将点 沿着 轴向右平移3个单位，
∴平移后点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
10．（2025·江苏淮安·中考真题）点 沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则
求得平移后点的坐标即可．
【详解】解：点 沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是 ，即 ．
故答案为： ．
11．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，则点 对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
过 作 轴于点 ，则 ， ， ，然后通过 ，
，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，过 作 轴于点 ，则 ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由题意得， ， ，
∴ ， ，
∴点 对应点的坐标为 ，
故答案为： ．
12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形 中， 是中线，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】过点E作 交 延长线于点H，由等边三角形的性质得到 ，继而由三
线合一得到 ， ，由勾股定理得到 ，旋转得到 ， ，
则 ，继而 ，即可求解面积．
【详解】解：过点E作 交 延长线于点H，
∵ 为等边三角形
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ， ，
∴由勾股定理得： ，
由旋转得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理， 角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅
助线是解题的关键．
三、解答题
13．（2024·山东济宁·中考真题）如图， 三个顶点的坐标分别是 ．
(1)将 向下平移2个单位长度得 ，画出平移后的图形，并直接写出点 的坐标；
(2)将 绕点 逆时针旋转 得 ．画出旋转后的图形，并求点 运动到点 所经过的路径
长．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线， 运动到点 所经过的路径长即为弧长即可可求解
【详解】（1）解： 如下图所示：由图可知： ；
（2）解： 如上图所示：
运动到点 所经过的路径为：
14．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面
直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ．
(1)将 向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到 ，画出两次平移后的
，并写出点 的坐标；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)作图见解析，(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用
是解题的关键．
（1）分别描出平移后的点 ，再顺次连接即可得到 ，根据点的平移方式即可求解 ；
（2）将点 分别绕原点O逆时针旋转 得到点 ，再顺次连接即可 ，即可写出点
的坐标；
（3）先由勾股定理求出 ，再由弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求：
∵ ，
∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 ，即 ；
（2）解：如图， 即为所求， ；（3）解： ，
∴点 旋转到点 的过程中，所经过的路径长为
15．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形
与正方形 （ ），点E，G分别在 上，根据图形提出问题：如图2，正方形 绕点
B顺时针旋转，旋转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，探究线段 ， ，
之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你
写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角 的范围再扩大，正方形 绕点B顺时针旋转，旋
转角为 ，直线 与 相交于点H，连接 ，请直接写出 ， ， 之间的数
量关系．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得 ，证明 ，推出 ，根据
即可求解；
（2）在 上截取 ，证明 ，推出 ， ，证明 是等腰
直角三角形，求得 ，根据 ，即可求得 ；
（3）在 上截取 ，证明 ，得到 ， ，同理，得到
是等腰直角三角形，求得 ，根据 ，即可求得 ．
【详解】解：（1） ，理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形 与正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下，
由（1）得 ，
∴ ，
在 上截取 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下，
由（1）得 ，
∴ ， ，
在 上截取 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
同理， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
专项练习
一、单选题
1．下列现象属于平移的是（ ）
A．投篮时篮球的运动
B．用打气筒打气时，活塞的运动
C．钟摆的摆动
D．汽车雨刷的运动
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新
图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某
一直线方向移动．
根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意；
B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意；
C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意；
D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意；
故选：B.
2．下列生活中的现象是旋转的是（ ）
A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的定义，
旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义．【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动，
∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象；
选项A中汽车飞驰主要是平移运动；
选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主；
选项D中升降电梯是垂直平移运动．
故选：B．
3．将 向右平移 个单位后得到 ，若 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的坐标的平移规
律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】解：将 向右平移 个单位后得到 ，
故点 向右平移 个单位后得到 ，
根据点的坐标的平移规律，点 的坐标为 ，即 ．
故选：A．
4．如图，在平行四边形 中， ， ，将线段 水平向右平移 个单位长度得到线段 ，
若四边形 为菱形时，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得四边形 为平行
四边形，当 时， 为菱形，此时 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵将线段 水平向右平移得到线段 ，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
当 时， 为菱形，
此时 ．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，将点 绕原点逆时针旋转 得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的旋转问题，准确计算是解题的关键．
本题考查点绕原点逆时针旋转 的坐标变化，可通过构造直角三角形并证明全等得到新坐标．
【详解】解：设A点旋转后的对应点为点B，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，垂足分别为 、 ，
点 的坐标为 ，
， ，
点 由点 绕原点 逆时针旋转 得到，
， ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，点 的坐标为 ．
故选 ．
6．如图，线段 经过平移得到线段 ，其中点 ， 的对应点分别为点 ， ，这四个点都在格点
上若线段 上有一个点 ，则点 在 上的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化 平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点 和它的对应点
的坐标特征得到线段 先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段 ，然后利用点平移的坐标
规律写出点 平移后的对应点 的坐标．
【详解】解：由图知，线段 向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段 ，
∴点 在 上的对应点 的坐标为 ，
故选：A．
7．如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，点 恰好落在 的延长线
上，则旋转角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质．由旋转得 ，故 ，可得 ，从而知旋转角为 ．
【详解】解：由旋转的性质得： ，
．
．
∴旋转角为 ．
故选：B．
8．如图，将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，若点 恰好落在边 上，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得
， ，进而由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解： 将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，点 恰好落在边 上，
， ，
，
故选：D．
9．如图，在 中， ， ， ．将 绕点 顺时针旋转得 （点 ，
对应），当点 ， ， 在同一条直线上时， 的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含 度的直角三角形三边的关系．先利用互余计算出
，再根据含 度的直角三角形三边的关系得到 ，接着根据旋转的性质得
， ， ， ， ，于是可判断 为
等腰三角形，所以 ，再利用三角形外角性质计算出 ，可得 ，然
后利用 进行计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点C顺时针旋转得到 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵A、 、 在同一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10．如图，直线 与x，y轴分别交于点A，B，以 为底边在y轴右侧作等腰 ，将点C向
左平移6个单位，使其对应点 恰好落在直线 上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入 可求出点 的坐
标，进而可求出点C的坐标．
【详解】解：当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
，
是以 为底边的等腰三角形，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 .
当 时， ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，即 ，
故选： A．
二、填空题
11．如图2中的图案是由图1中的基本图形以点 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度 ，依次旋
转若干次而组成的，则旋转角 的度数最小为 度．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质．
由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用 除以 即可．
【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，
即旋转角 的度数最小为 ．
故答案为： ．12．在平面直角坐标系中，将点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点
的坐标是 ，则m，n的值分别是 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，
可列方程求解
【详解】解：∵点 先向左平移 个单位长度，横坐标减少 ，变为 ；再向上平移 个单位长度，
纵坐标增加 ，变为 ，
∴平移后点坐标为 ，
∵与给定点 相等，
，
解得 ，
故答案为： ， ．
13．如图，将三角形 绕点O逆时针方向旋转 后得到三角形 ，若 ，则 的度
数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
根据旋转的性质可得 ，再结合 ，利用 求解即可．
【详解】解：∵将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落
在 边上，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．首先根据
三角形内角和定理求出 ，然后利用了旋转的性质、等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转得到 ，使点 落在 边上，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形ABCD沿x轴向右平移使点B与原点O
重合，再沿y轴向下平移，使点A与原点O重合，则此时点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标特征，掌握平移的坐标变化是解题的关键．
由平移的性质可得长方形 向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度，即可求解．【详解】解：∵长方形 中点 坐标为 ，
∴ ， ，
∵将长方形 沿 轴向右平移使点 与原点 重合，再沿 轴向下平移，使点 与原点 重合，
∴将长方形 向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度．
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
16．如图，点A、B的坐标分别是 ，若将线段 平移至 的位置， 与 坐标分别是
和 ，则线段 在平移过程中扫过的图形面积为 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查坐标与图形变化 平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相
同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化
规律求出 ， 的值，再根据线段 在平移过程中扫过的图形面积 四边形 的面积 求解即
可．
【详解】解： 点 、 的坐标分别为 ， ，平移后 与 坐标分别是 和 ，
可知将线段 向右平移5个单位，向上平移4个单位，
， ，
与 坐标分别是 和 ，
如图：线段 在平移过程中扫过的图形面积 ．
故答案为：32．
三、解答题
17．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)画出 关于原点对称的图形 ；
(2)画出 向右平移6个单位长度得到的图形 ；
(3) 内一点 经过上述两次变换，对应的点 的坐标是_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称的性质，平移的性质是解题的关
键：
（1）根据中心对称的性质，画出 即可；（2）根据平移的规则画出 即可；
（3）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及点的平移规则左减右加，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图 即为所求；
（3）解：由题意，点 经过上述两次变换，对应的点 的坐标是 ．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三
个顶点坐标分别为 ．
(1)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
(2)求点 旋转到点 的过程中线段 扫过的面积（结果保留 ）．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的
位置是解题的关键．
（1）将 的三个顶点绕点A顺时针旋转 得到对应点，再顺次连接即可得到 ；
（2）利用勾股定理求出 的长，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：
（2）解： ，
点 旋转到点 的过程中线段 扫过的面积为：
．
19．如图，在 中， ， ，D是 边上一点（点D不与点A，B重合），连接
，将线段 绕点C逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理．
（1）由旋转知 ， ，则 ，根据 即可证明 ；
（2）根据等边对等角得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，即 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：由旋转知 ， ．
，
∴
∴ ．
在 和 中，
，
；
（2）解：∵ ， ，
∴
∵
∴ ， ，
．
在 中， ， ，
∴ ．
20．如图，已知 ，射线 从 开始，绕点 逆时针旋转，旋转的速度为每秒 ，射线
从 开始，绕点 顺时针旋转，旋转的速度为每秒 ， 和 同时开始旋转，当射线 第一次
与射线 重合时，射线 和 同时停止旋转，设旋转的时间为 秒．
(1)射线 和 重合时，求 的值．
(2)射线 与 重合时，求 的值．(3)求 为何值时， ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或
【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解
决问题是关键．
（1）用 除以射线 的旋转速度求解即可；
（2）用 除以射线 和 的旋转速度和求解即可；
（3）分两种情况讨论：①射线 与 重合前；②射线 与 重合后，根据角度的和差关系列方程
求解即可．
【详解】（1）解： （秒）；
（2）解： （秒）；
（3）解：由题意可知， ， ， ，
，
，
①如图，射线 与 重合前，
，
，
解得： ；
②如图，射线 与 重合后，
，
，
解得： ，此时射线 和 重合，综上可知，当 时， 的值为 或 ．
21．【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头 ，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直
线 ，作出箭头 关于直线 对称的箭头 ，再作出箭头 关于直线 对称的箭头 ，对应点的连线
、 分别与对称轴相交于点 、 ．
【探究】
情形一：当直线 与直线 平行时，如图2．
(1)箭头 可以看作是箭头 沿着射线 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度；
(2)试说明： ；
情形二：当直线 与直线 相交于点 时，如图3．
(3)箭头 可以看作是箭头 绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____， 与 的数量关系
为_____；
(4)【拓展】当直线 与直线 垂直时，箭头 与箭头 是否关于点 成中心对称？_____（填“是”或
“否”）．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)O， ， ；
(4)是
【分析】本题考查了平移、轴对称，中心对称等知识，解题的关键是：
（1）根据平移和轴对称的性质求解即可；（2）根据轴对称的性质得出直线 垂直平分 ，直线 垂直平分 ，然后根据垂直平分线的性质即
可得证；
（3）根据旋转和轴对称的性质求解即可；
（4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可．
【详解】（1）解：箭头 还可以看作是箭头 沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段
的长度，
故答案为： ；
（2）证明：∵箭头 、箭头 关于直线 对称，箭头 、箭头 关于直线 对称，
∴直线 垂直平分 ，直线 垂直平分 ，
∴ ， ，
又 ， ，
∴
（3）解：箭头 可以看作是箭头 绕着点O旋转而成的，旋转角为 ，
∵箭头 、箭头 关于直线 对称，箭头 、箭头 关于直线 对称，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
即 与 的数量关系为 ，
故答案为：O， ， ；
（4）解：如图，
箭头 与箭头 的对称关系是关于点O成中心对称，故答案为：是．
