文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块八 统计与概率
专题3 概率
知识梳理
【考点一】随机事件的概念
事件类型 定义 举例
水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成
必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生
确定性事 针
件
不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂
随机事件（不确定事 在一定条件下，可能发生也可能不发生
守株待兔、海市蜃楼
件） 的事件
【考点二】事件发生的可能性大小
1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同．
2. 必然事件发生的可能性为 100%，不可能事件发生的可能性为 0%，随机事件发生的可能性范围为
0%~100%（不包括0%和100%）．
3. 随机事件的可能性大小比较的步骤
（1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”；
（2）计算：计算每一个要素的数量；
（3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小．
【考点三】概率的定义及计算公式
1. 概率的定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为
P(A)．
2. 概率的计算公式
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A包含其中的m种
m
结果，那么事件A发生的概率P(A)＝ ．
n
3. 概率的取值
（1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1；
（2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0；
（3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1．【考点四】画树状图法
1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某
一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法
2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤
(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。
【易错点】
1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等
2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方
便
【考点五】列表法
1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方
式，并求出概率的方法
2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步
试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法,
3．具体步骤
（1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格；
（2）运用概率公式 计算概率。
【易错点】
1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件，
2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率
【考点六】用频率估计概率
1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率
P(A)＝p．
2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频
率来估计其概率．
【考点七】频率与概率的区别与联系
名称
关系 频率 概率
试验值或使用时的统计值 理论值
区别例题讲解
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有 与试验人、试验时间、试验地点无
关 关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
【题型一】必然事件、不可能事件、随机事件
◇典例1：
小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明
先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．
◆变式训练
1.下列词语所描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成
2.在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【题型二】可能性的大小
◇典例2：
如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的
可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号）
◆变式训练
1.估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得
豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
2.投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记1、2、3、4、5、6点），有下列事件：①掷得的点数是1；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于5；④掷得的点数为7．这些事件发生的可能性由大
到小排列是 （填序号）．
【题型三】简单事件的概率
◇典例3：
某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的
概率是 ．
◆变式训练
1.某路口交通信号灯的一个完整周期为80秒．在每个周期中，绿灯时长为45秒，黄灯时长为3秒，红灯
时长为32秒．货车司机陈师傅开车通过该路口时，遇上红灯的概率为（ ）
7 1 2
A． B． C． D．无法计算
16 16 5
2.从0，1，2，3四个数中选取一个作为m的值，则满足不等式组¿的解集是x>3，且分式方程
x m
+ =2有解的概率为 ．
x−1 1−x
【题型四】几何概率
◇典例4：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，现向△ABC内
掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
◆变式训练
1.《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面
包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内
部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．2.设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里
面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届
巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（ ）
1 1 9 3
A． B． C． D．
10 20 100 10
【题型五】树状图法求概率
◇典例5：
长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙
两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画
树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
◆变式训练
1.为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四
张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．(1)小智随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为____________．
(2)小智从4张卡片中随机抽取1张不放回，小慧再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片
讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概
率．
2.《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小
明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句：
A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”；
B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”；
C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”；
D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并
说出所抽卡片上诗句的作者和诗名．
(1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概
率是________；
(2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表
或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率．
【题型六】列表法求概率
◇典例6：
老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分
别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C，D，E三张卡片．
注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、D、E
）．
(1)若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是______；(2)从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概
率．
◆变式训练
1.在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖
品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的
编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品
袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图
所示）
甲奖品袋（徽章）：
乙奖品袋（钥匙扣）：
小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中
抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；
(2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率．
2.南昌地铁1号线“师大南路站”有标识为2，3，4的三个出入口．某周六上午，甲、乙两名志愿者随机
选择该站的一个出入口，开展交通安全志愿服务活动．(1)甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为_____．
(2)求甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【题型七】用频率估计概率
◇典例7：
某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最
符合这一结果的试验是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
◆变式训练
1.在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机
摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳
定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 ．
2.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他
采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长
方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为m2．（精确到1m2）
【题型八】游戏的公平性
◇典例8：
小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏
规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄
色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动．
(1)求小明去观看足球比赛的概率；
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则；
5
(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为 ，并简要说明游戏规则．
8
◆变式训练
1.“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规
则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，
按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学
每次出这三种手势的可能性相同．
(1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？2.嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1
个白子和1个黑子．
(1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值；
(2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色
后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇
胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由．
【题型九】统计与概率的综合应用
◇典例9：
DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开
展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成
报告中相应问题．
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成
如下四组：
A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，
数据 86，87，87，88，88，89，89，89．
收集
与表
示
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，
数据 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______；
分析
与应
（2）请补全频数分布直方图；
用
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学
作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
◆变式训练
1.某校为了解学生对名著A：《水浒传》、B：《红楼梦》、C：《三国演义》、D：《西游记》的
喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查(每位同学必选且只能选择一项)，根据调查数据绘制了如下不完
整的统计表和条形统计图：
名著 频数 频率
A 10 0.1
B 30 a
C b 0.25
D 35 0.35
请根据以上信息，解答以下问题：
(1)本次共抽取学生______名，a= ______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有400名学生，则喜欢名著《西游记》的学生约有多少名？
(4)从喜欢《水浒传》的学生中选取2人，从喜欢《红楼梦》的学生中选取2人，若从这4人中，随机选取
2人向大家分享他们最喜爱的故事情节，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好都喜欢《红
楼梦》的概率．
2.“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定
四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设
课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了_______名学生；
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状
图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．
从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
2．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察
向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
3．（2025·广东深圳·中考真题）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四
本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·中考真题）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事
件是（ ）．A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
5．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同
学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数
12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有 位女同学和 位男同学，每位同学的名字都被分别写在一
张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名
字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学
的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10
元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机
选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·福建·中考真题）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率
是 ．
10．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状
态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．11．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为 ，即1个水分子 由2个氢原
子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的
这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ．
12．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、
黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指
向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得
“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用
下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外
都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小
球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
14．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有
3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出
2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
15．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮
的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了
结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘
制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
23 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的 ________， ________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心
角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人
进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
专项练习
一、单选题
1．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆
沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（
）
A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼
2．下列是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到 ，水会沸腾
B．打开电视，正好播放新闻联播
C．在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
3．下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸
到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．成语是中国语言文化的缩影，蕴含着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件
的是（ ）
A．水涨船高 B．旭日东升 C．守株待兔 D．刻舟求剑
5．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，则
摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．小王练习射击，共射击 次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为
（ ）
A． B． C． D．
7．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集
种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据：
调查玉
米幼苗 100 200 500 1000 1500 2000 …
数
绿色幼
86 164 395 762 1128 1502 …
苗个数
绿色幼
0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 …
苗频率
根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
8．如图，在 的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，
假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一
次，飞镖击中阴影部分的概率是（ ）
A．1 B．4 C． D．
9．为了解一种豆苗的成活率，调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（）
A． B． C． D．
10．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮
利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，
结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”
“不可能”或“随机”）
12． 赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生
对 赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表：
抽测学生数 100 300 500 700 900 1000
喜爱 赋能数学课堂学生数 85 279 445 637 828 900
学生喜爱 赋能数学课堂的频
0.85 0.93 0.89 0.91 0.92 0.90
率
根据抽测结果，估计该校学生喜爱 赋能数学课堂的概率为 ．（结果精确到0.1）
13．某篮球运动员进行投篮训练，其成绩如下表，则这名运动员投篮一次，投中的概率约是 （精
确到0.1）．投篮次
10 100 10000
数
投中次
9 89 9012
数
14．向一个边长为2的正方形中投掷小石子（假设小石子全部投入正方形区域内且投入正方形区域内的每
一点是等可能的），那么小石子落在此正方形的内切圆中的概率是 ．
15．一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，6个黄球，4个白球，现将球搅匀后，任意摸出1
个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 附近，由此可以估算
n的值是 ．
16．我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规
律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、
夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、
小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为 ．
三、解答题
17．有 三种款式的帽子， 两种款式的围巾，小明任意选一顶帽子和一条围巾
(1)用适当的方法列举出所有可能选中的结果；
(2)求小明恰好选到他喜欢的C款帽子和 款围巾的概率.
18．在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球
试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据：
摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300
摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100
摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33
(1)黑色球的个数可能是_____个．
(2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出
黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？
19． 年 月 日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队是4支战略兵种
首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅．为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，
确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队 个主题．
(1)若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是______；
(2)若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率．
20．某校对九年级学生对足球联赛“川超”情况做了抽样调查，将结果分为四个等级： 非常了解； 比
较了解； 基本了解； 不了解．请根据下列两幅统计图中的信息解答下列问题：
(1)这次参与调查的学生有____________人， 的圆心角是____________度；
(2)若该校九年级共有 名学生，估计九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有多少人？
(3)某班调查学生中 等级有2名男生2名女生．现打算从这4名学生中任意抽取2名进行电话问答，请用
列表或画树状图的方法求出恰好抽到两个男生的概率．
21．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶，
C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查
（每位学生必选且只能选一门课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为_____人，并补全条形统计图；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为_____度；
(3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的
概率．
