文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题5 三角形的内切圆与外接圆
知识梳理
【考点一】 三角形内切圆与外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
三角形外接圆
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
三角形内切圆
个三角形叫做圆的外切三角形.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
【考点二】 三角形内心与外心
名称 三角形的外心 三角形的内心
三角形的外接圆圆心，即三角形三边 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的
形成
垂直平分线的交点。 交点。
图形
内心到三角形三条边的距离相等，即
外心到三角形三个顶点的距离相等，
性质 ID=IE=IF。内心与顶点连线平分三角形的内
即 OA=OB=OC。
角。
位置 外心不一定在三角形的内部。 内心一定在三角形的内部。
1
角度关系 ∠BOC=2∠BAC。 ∠BIC=90∘+ ∠A。
2
【考点三】常见结论
2S
1）三角形内切圆半径公式：r= ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
C
a+b−c ab
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r= 或r= ，其中a，b为直角三角形的直角边长，
2 a+b+c
c为斜边长.
【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造
直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．例题讲解
【题型一】判断三角形外接圆圆心位置
◇典例1：
如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB=√2，∠ACB=45°，求⊙O的半径．
◆变式训练
1.用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备建造一个圆形的养鱼池（如图），使得△ABC的三个顶点都落在圆形养鱼池的边上，
请在图中画出这个圆形鱼池．
【题型二】求外心坐标
◇典例2：
如图，△ABC的顶点坐标分别为：A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．
(1)△ABC的外接圆圆心M的坐标为 ．
(2)以点M为位似中心，画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2:1．
◆变式训练1.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫
格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为______；
(2)请通过计算判断点D(−3,−2)与⊙M的位置关系．
【题型三】已知外心的位置判断三角形形状
◇典例3：
如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A．60∘ B．75∘ C．90∘ D．105∘
◆变式训练
1.已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
2.如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在△ABF内 B．在△BFE内C．在线段BF上 D．在线段BE上
【题型四】求特殊三角形外接圆的半径
◇典例4：
如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
3 √3 5
A． B． C．√3 D．
2 2 2
◆变式训练
AB BE
1.如图，四边形ABCD是矩形，E为AB上一点，F为CD上一点．AB=8，且 = =2，过点D作
BC CF
DG⊥EF，垂足为G，连接BG，则BG的最小值为 ．
1
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE= AB．
3
1
(1)如图1所示，点F在边CD上，且DF= CD，联结EF，求证：EF∥BC；
3
(2)已知AD=AE=1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM⋅DN，∠DMC=∠CEM，求边CD的长．
【题型五】由三角形的内切圆求解
◇典例5：
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则
BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
◆变式训练
1.如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠≝=53°，则∠A的度数是（
）
A．36° B．53° C．74° D．128°
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是 ．
【题型六】求三角形的内切圆半径
◇典例6：
如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，⊙P是△ABC的内切圆．则OP
的长为（ ）12
A．2 B．3 C．√5 D．
5
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为
（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．√2 C．1.5 D．2
【题型七】直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
◇典例7：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=5，AC=12，设△ABD与△ACD的内切圆半
径分别为 ， ，则r 的值为（ ）
r r 1
1 2 r
237 12 25 37
A． B． C． D．
23 5 18 33
◆变式训练
1.如图，一块四边形材料ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用
此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．6cm B．8cm C．6√2cm D．10cm
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r ，
1
4
r ，若r =1，r = ，则r= ．
2 1 2 3
【题型八】三角形内心有关的应用
◇典例8：
如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则
(BF+CE−BC)的值和∠FDE的大小分别为（ ）
α α
A．2r，90°−α B．0，90°−α C．2r，90°− D．0，90°−
2 2
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI
的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过
点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
(1)求证：BC∥EF；
1
(2)连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC= ，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
2
【题型九】三角形外接圆与内切圆综合
◇典例9：
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的
度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
◆变式训练
1.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，
弦DM与AB垂直，垂足为H．(1)求证：E为BC的中点；
(2)若⊙O的面积为12π，两个△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S 和四
1
边形OBED的外接圆面积S 的比．
2
2.如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2024·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
3．（2024·山东·中考真题）在 中， ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 内切圆的半径 D．当 时， 是直角三角形
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知 的周长为 ，其内切圆的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若
， ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东聊城·中考真题）如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心，连接 ， ．
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂
足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）A．8 B．4 C．3.5 D．3
8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形 的四条边上，
．若 ， ，则 的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几
何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内
切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．
用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这
个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
10．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙ 是 的内切圆， ，则 ．11．（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，则
的半径是 ．
12．（2024·湖南湘西·中考真题）如图， 是等边三角形 的外接圆，其半径为4．过点B作
于点E，点P为线段 上一动点（点P不与B，E重合），则 的最小值为 ．
三、解答题
13．（2024·宁夏·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 是 的内心，连接
并延长交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 的半径为2， ，求阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．
14．（2024·山东烟台·中考真题）如图， 是 的直径， 内接于 ，点I为 的内心，连
接 并延长交O于点D，E是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)找出图中所有与 相等的线段，并证明；
(3)若 ， ，求 的周长．
15．（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图①，在 中， ， ，垂足为 ．若 ， ，则 的长为
______；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块 型板材，其中 ， ， ．为了
充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中
确定可裁出的最大圆型部件的圆心 的位置，并求出 的半径；若不可以，请说明理由．专项练习
一、单选题
1．如图，在4×4的网格中，点 ， ， ， ， ， ， 均在格点上，则 的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．在 中， ， ， ，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知点 是 的外心， ，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
5．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，
问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）为15步，如图，则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是（ ）
A．3步 B．4步 C．5步 D．6步
6．如图，在 中， ， ， ， 是它的内切圆，用剪刀沿 的切线 剪一个
，则 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，点 是 的内心，过点 作 、 、 ，垂足分别为点 、 、 ，
下列结论一定成立的是（ ）
A．点 是 三条高的交点
B．点 是 三条中线的交点
C．点 是 三条角平分线的交点
D．点 是 三边垂直平分线的交点
8．如图， 是 的外接圆，且 为 的直径，点 为 的内心， 的延长线交 于点
，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
9．如图， 顶点都在网格格点上， 外接圆的圆心的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ， 为中线，若 ， ，设 与 的内切圆
半径分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是 ．
12．如图，已知 的周长是20，点 为三角形内心，连接 、 ， 于点 ，且 ，
则 的面积是 ．13．如图，在等腰 中， ，则此三角形的重心与外心之间的距离为 ．
14．如图， 是等边三角形 的内切圆，分别与 、 、 切于点D、E、F．若 ，则求
阴影部分的面积 ．
15．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，弦 ，垂足为 ．设 ，
，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在 中， ， 是 的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若 ，
，则 的面积是 ．三、解答题
17．如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，射线 、 各交对边于点 、 ，射线 、
各交 于点 、 ．求证： ．
18．如图， 是四边形 的外接圆， 是 的直径， 平分 ， ．
(1)求 的度数；
(2)若点E是弦 上一点，且点E是 的内心， ，求 的长．
19．如图，设 是一个锐角三角形，且 ，圆 为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，
为圆 直径，M为线段 上一动点且满足 ．
(1)证明：M为 的中点；
(2)过O作 的平行线交 于点E，若F为 的中点，证明： ．
20．如图， 为等边三角形， ，图中大圆为 的外接圆，小圆为 的内切圆．(1)请分别求出 的外接圆和内切圆的半径；
(2)求阴影部分面积．
21．如图， 是 的直径， 内接于 ，点 为 的内心，连接 并延长交 于点 ，
是 上任意一点，连接 ， ， ， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的周长．
