文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题2 垂径定理及其应用
知识梳理
【考点一】垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：
∵AB 是直径,AB⊥CD于点 E,
∴CE=DE,C^B=^DB,^AC=^AD.
【要点提示】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【考点二】垂径定理推论
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣
弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.
即如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤
平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【考点三】常见辅助线做法：
1.过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2.有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定
理求值或证明.
m
设半径为r，|AB|=a，|OE|=d，根据勾股定理：
重要公式：例题讲解
【题型一】垂径定理和推论的理解
◇典例1：
下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
◆变式训练
1.如图， 是 的弦，根据下列条件填空：
（1）如果 是 的直径，且 于点 ，那么有 ， ， ；
（2）如果 是 的直径，且 ，那么有 ， ， ；
（3）如果 ，且 ，那么有 ， ， ．
2.下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【题型二】利用垂径定理求半径
◇典例2：
如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半
径．◆变式训练
1.如图， 为 的弦， 于点 ．若 ， ，则 的半径长为 ．
2.如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 ，
则圆形纸片的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】利用垂径定理求弦长或弦心距
◇典例3：
如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的 与该直线相交于点C，连
结 ， ．
(1)求点E到x轴的距离． (2)连结 ，求 的长．
◆变式训练
1.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 ，另一边所在直线与半圆
相交于点 ，量出半径 ，弦 ，则直尺的宽度为（ ）A． B． C． D．
2.如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，连接 ， ， ，则弦 的
长为 ．
【题型四】利用垂径定理求角度或其他线段长
◇典例4：
如图，在 中， ，以点A为圆心， 长为半径作圆，交 于点D，交 于点E，连
接 ．
(1)若 ，求 的度数； (2)若 ， ，求 的长．
◆变式训练
1.在 中，点C为弦 的中点，过点C的直径交 于点D，E，如果 ，则 长为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2.如图，已知 的半径为7， 是 的弦，点P在弦 上．若 ，则 的长为 ．
【题型五】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）
◇典例5：
已知 的半径为13，弦 平行于 ， ，求 和 之间的距离．
◆变式训练1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入
一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
2.已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则 与
之间的距离为 cm．
【题型六】利用垂径定理解决同心圆问题
◇典例6：
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 交小圆于点B、C．
(1)求证： (2)当 时，求大圆与小圆的面积之差．
◆变式训练
1.如图，以 为圆心的同心圆中，大圆的弦 交小圆于 两点，
求证：(1) ；(2) ．
2.如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的
弦长等于（ ）A． B． C． D．
【题型七】利用垂径定理推论求值
◇典例7：
如图所示，D、E分别是 的中点， 交 于M、交 于 求证： ．
◆变式训练
1.如图， 为⊙O的直径， 是⊙O的弦，点 是 上的一点，且 ．若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知 ， ，依据尺规作图的痕迹可求出 的长为 ．
【题型八】利用垂径定理进行证明
◇典例8：
如图， 是 的直径，C，D是 上两点，且 平分 ，作 于E．
(1)求证： ；(2)求证： ．◆变式训练
1.如图，点 在 上，直径 于点 ，下列结论中不一定成立的是（）
A． B． C． D．
2.如图， 是 的直径，弦 ，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型九】垂径定理的应用
◇典例9：
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．
如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦
长为8米， 半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 所在直线的距离是多少？
◆变式训练1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（
）
A．(2,1) B．(1,0) C．(2,0) D．
2.某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架 与地面垂直，真空集热管 与地面水平
线夹角 为 ，直线 与 都经过水箱截面的圆心O．已知 ， ，则水箱内
水面宽度 为 ．
真题在线
一、单选题
1．（2024·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ，
，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，半径 ，连接 ，交 于点E， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为 米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的
解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点
，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）A． B． C． D．
6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高
点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川南充·中考真题）如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则 的
最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．（2025·四川广元·中考真题）如图， 是 的弦，过圆心O作 于点H，交 于点A，，点M是 上异于C，D的一点，连接 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·四川内江·中考真题）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．则 的
长是 ．
10．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用公式为：弧田面积 （弦 矢＋矢 ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公
式中“弦”指圆弧所对弦长 ，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，
“弦”为8，“矢”为2，则 的值为 ．
11．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如
图是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切于
点 ，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为
．12．（2025·重庆·中考真题）如图， 是 的直径，点C在 上，连接 ．以 为边作菱形
， 交 于点F， ，垂足为G．连接 ，交 于点H，连接 ．若 ，
，则 的长度为 ， 的长度为 ．
三、解答题
13．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形 的顶点都在半圆O上， 是半圆O的直径，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
14．（2025·青海西宁·中考真题）如图， 是 的弦， ，半径 分别与弦 垂
直，垂足分别为G，H， 交 于点M， 交 于点N，连接 ．(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是菱形；
(3)若 ， ，则 _______．
15．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点 在
的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
专项练习
一、单选题
1．如图， 是 的弦，半径 于点 ，若 ， ，则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．102．如图， 是 的直径， 是弦（不是直径）， 于点E，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图， 的半径为 ， 为弦， 为 的中点，若 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．将半径为 的 如图折叠，折痕 长为 ， 为折叠后 的中点，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．如图，线段 是 的直径，弦 于点E．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
6．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧
瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度 ，液面所在的弦 ，则其截面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1是直径为 圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板 长度相等，横纵隔板互
相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板 长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形 为 的内接四边形．延长 与 相交于点 ． ，垂足为 ，连接
， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
9．如图， 为 的直径，点 在 上，连接 ，以 为边作菱形 ， 交 于点
，垂足为 ，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.2
10．如图， 是 半径， 是 中点， 在 上从点 开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动
时间是 ，线段 的长度是 ，图2是 随 变化的关系图象，则当点 运动到使 时， 的
值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
11．如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为E，若 ， ，则 的半径为．
12．如图， 内接于 ， 是 的直径，D为劣弧 上的点，连接 ，且 ，连
接 ．与 交于点M．若 的半径是6． ．则 的长是 ．
13．如图， 的直径为10，弦 ，P是弦 上一动点，那么 长的取值范围是 ．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的
一个图形， 所在圆的圆心为点 ，四边形 为矩形，边 与 相切于点 ，连接 ，
，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，已知 的半径为4，一条直线 经过圆心 ，另一条直线 与 分别交于点 和点 ，， ，则弦 的弦心距等于 ．
16．如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦 折叠交 于 ，点 是弧
的中点．连接 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在 中，过半径 的中点 作 交 于 ， 两点，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，计算阴影部分的面积．
18．如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点 ， ，连接 ，作 的垂直平分线 交
于点 ，交 于点 ，
(1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心 ；
(2)若 ， ，求 的长．19．如图， 是 的外接圆， ．过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，交
于点 ．过点 作 的切线，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 的半径 ， ，求 的长．
20．筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛
于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱
葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图．如图所示，筒车在水
流的动力作用下将水沿筒车运送到点A处，在点A处人们修筑了一条木制水道，将水流从A处引导至与
在同一水平线的P处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，
木制水道 也与圆O相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点P
到Q的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度 为2米，请你解答下列问题：
(1)求 的长度；
(2)连接 和 ，求证： ；
(3)求木制水道 的长度．
21．如图， 为 的直径，弦 于点 ， 是 上一点，连接 并延长，交 的延长线于
点 ，连接 ，其中 与 交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，请判断 的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，已知 ， ，求 的长．
