文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块五 四边形
专题4 菱形的性质与判定
知识梳理
【考点一】菱形的定义及性质
1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.
（1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可.
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法.
2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性
质，
性质 数学语言 图形
四边形 是菱形，
边 菱形的四条边都相等
.
四边形 是菱形，
菱形的两条对角巷互
,
对角线 相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角
中心对称图形：对称中心为对角线交点 O；
对称性
轴对称图形：有 2 条对称轴，即两条对角线所在直线
（1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联
系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
3.菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形是平行
菱形的面积=底×高.
四边形.
菱形的面
积公式
菱形的对角 菱形的面积=对角线
线互相垂直 长的乘积的一半
【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.【考点二】菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
在 中，
有一组邻边相等的平行四边形
是菱形（定义）.
是菱形.
边
在四边形 中，
四条边相等的四边形是菱形.
四边形 是菱形.
在 中，
对角线互相垂直的平行四边形
对角线
是菱形
是菱形.
【注意】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（反例：等腰梯形对角线也垂直）。
【易错点辨析】
1.菱形性质混淆：误将菱形对角线性质记为 “相等”（对角线相等是矩形性质，菱形对角线垂直但不一定
相等）；
2.判定定理误用：
用 “对角线互相垂直的四边形是菱形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误）；
用 “一组邻边相等的四边形是菱形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误，反例：筝形）；
面积计算错误：使用对角线求面积时，忘记除以 2，直接用 AC×BD 计算；
3.对称性误区：认为菱形只有 1 条对称轴，或误将菱形当作轴对称图形但找不到对称轴（实际为两条对角
线所在直线）；
例题讲解
【题型一】利用菱形的性质求角度
◇典例1：
如图，在菱形 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
故选：D．
◆变式训练
1.如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2.如图，菱形 的对角线 与 交于点 ， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求证：四边形 是矩形．
【详解】（1）解：∵菱形 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，
则： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
∴
四边形 是矩形．
【题型二】利用菱形的性质求线段长
◇典例2：
如图，四边形 是菱形， ， ， 于点 ，则 的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【详解】解：设菱形的对角线 交于点 ，则： ，
，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选D
◆变式训练
1.如图，在四边形 中，AB DC， ，对角线 、BD交于点0， 平分 ，过点C
作 交AB延长线于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)先证 ，则四边形 是平行四边形，再由 ，即可得出结论；
(2)由菱形的性质可得 , ,由直角三角形的性
质和勾股定理可求 的长，即可求解.
【详解】（1）证明： ,
,
平分 ,
,
,
,
,,
四边形 是平行四边形，
,
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形， ,
,
, ,
,
，
,
(负值舍去),
,
菱形 的面积 .
2.如图，在菱形 中， ， ，动点 、 分别在线段 、 上，且 ，则
的最小值为 ．
【详解】解：如图，连接 ．
∵在菱形 中， ，
∴ ， ，∴ 和 都为等边三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴当 最小时， 最小．
由垂线段最短可知当 时， 最小，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【题型三】利用菱形的性质求面积
◇典例3：
如图：在菱形 中，对角线 交于点O，过点A作 于点E，延长 至点F，使
，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
◆变式训练
1.如图，平行四边形 的两条对角线相交于点O，且 ．
(1)求证：平行四边形 是菱形；
(2)求平行四边形 的面积．
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理证明 ，则可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．【详解】（1）证明：∵
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，即 ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解；∵平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
2.如图，菱形 的边长是 ， 于点 E．若 ，则菱形 的面积为 ．
【详解】解： ， ，
∴在 中，则 ，
菱形 的边长是 cm，
在 中， ，
，
菱形 的面积为 ，
故答案为： ．
【题型四】利用菱形的性质证明
◇典例4：
菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线互相垂直 D．两组对边相等
【答案】C
【详解】解：A、平行四边形、菱形都具备对角线互相平分，不符合题意；
B、平行四边形、菱形都具备两组对角相等，不符合题意；C、平行四边形的对角线不一定垂直、菱形的对角线互相垂直，符合题意；
D、平行四边形、菱形都具备两组对边相等，不符合题意；
故选：C ．
◆变式训练
1.如图，菱形 中，对角线 交于点 ，点 是 的中点，延长 到点 ，使 ，连
接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【详解】（1）证明：∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积为 ．2.如图，在菱形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，
连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明： 点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，则 ，
四边形 是菱形，
，则 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：取 的中点 ，连接 ，
，
，
四边形 是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
在 中， ，
．
四边形 是平行四边形，
，
，在 中，根据勾股定理得， ．
【题型五】添一个条件使四边形是菱形
◇典例5：
如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，已知 ．请你添加一个条件
，使四边形 是菱形．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：添加条件： ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
故答案为： ．
◆变式训练
1.如图， 的对角线 、 相交于点O，添加一个条件，使得 是菱形，则下列选项不符
合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：A．添加 后，可证明是矩形，不能证明它是菱形；
B．添加 后，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可证明是菱形；
C．添加 后，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证明是菱形；
D．添加 后，根据“对角线平分一组对角的平行四边形是菱形”可证明是菱形．
故选：A．
2.如图，四边形 是平行四边形， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)请添加一个条件，使四边形 为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：添加
由（1）知：四边形 是平行四边形．∵ ，
∴四边形 是菱形．
【题型六】证明四边形是菱形
◇典例6：
如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，过点E作 ，交 于
点 F．求证：四边形 是菱形．
【详解】证明∶∵D、E分别是 、 的中点，，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
又∵
∴四边形 是平行四边形．
∵ D是 的中点，
∴
∵ ，
∴ ．
∴四边形 是菱形．
◆变式训练
1.在四边形 中，点 ， ， ， 分别是边AB， ，CD， 的中点，EG， 交于点 ．若
四边形 的对角线相等，则线段EG与 一定满足的关系为( )
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接BD， ，
点 和点 分别是AD和AB的中点，
是 的中位线，
．
同理可得， ，
， ，
四边形 是平行四边形．
， ，且 ，
，
平行四边形 是菱形，
与 互相垂直平分．
故选：A．
2.如图，过矩形 的对角线 的中点 作 ，交 边于点 ，交 边于点 ，分别连接
．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，则 的长为________．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由（1）知四边形 是菱形， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
解得 （负值已舍去），∴ ．
故答案为：
【题型七】根据菱形的性质与判定求角度
◇典例7：
如图，四边形 为平行四边形，对角线 的垂直平分线分别交 于点 ，
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∵ 垂直平分 ，
在 和 中，
∴四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：由（1）可知， 四边形 是菱形，◆变式训练
1.如图所示，E，F分别在 和 上， ，则 ．
【详解】解： ，
四边形 为菱形，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，
同理 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：80．
2.如图，在 中，对角线 与 相交于点O， 平分 ，过点B作 交 于点
E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
，
∵ ， ，
，
，
设 ，则 ，
解得： ，
．
【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长
◇典例8：
如图 中， 是角平分线， 交 于E， 交 于F，若 ， 那么四边形
周长为（ ）A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
是 角平分线
，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形，
∴四边形 周长为 ，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，将平行四边形 沿 折叠，点 恰好落在 的延长线上点 处，连接 交于点 ．
(1)证明：四边形 是菱形；
(2)若 ， ．
①求 的面积；
②若直线 上有一点F，当 为等腰三角形时，直接写出线段为 的长．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 沿 折叠，点 恰好落在 的延长线上点 处，连接
交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，而 ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 是菱形．
（2）解：①∵平行四边形 是菱形，
∴
∴
∵四边形 是菱形，
∴
∵平行四边形 ，
∴
设菱形 边AB上的高为h，
∴菱形 的面积为
即
解得
∴ ；
②由①
∵平行四边形 ，
∴
如图所示，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线 相交于 、 ，当 ，此时 为等腰三角形
∴ ；
当 ，此时 为等腰三角形
∴ ；
如图所示，以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线 相交于 ，
当 ，此时 为等腰三角形，
由①可知
∴
；
由①可知
∵四边形 是菱形，
∴
∴∴ 即B点，此时 为等腰三角形，
则
综上所述：当 为等腰三角形时，线段 的长为2或18或 或5．
2.如图1，在矩形 中，点 是 上的点， 沿 折叠 点的对应点是 点，延长 交直线
于点 ．
(1)求证： ；
(2) 是 上的点， ； 沿 折叠 点的对应点是 点，且 、 、 、 在同一直线上．
①如图2，若M、N互相重合，求 的值；
②若 ，求 的长．（自己画草图）
【详解】（1）证明： 沿 折叠 点的对应点是 点，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
；
（2）解：① 四边形 是矩形，
， ，，
，
四边形 为平行四边形，
折叠，
，
，
四边形 为菱形，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
；
②如图，若 ， 在 在上方，设 ，
，
，
，
过点 作 于点 ，则四边形 为矩形，
， ，
，
，，
， （舍 ，
；
如图，设 ，
同理可得 ，
， （舍 ，
，
综上所述， 的长为 或4．
【题型九】根据菱形的性质与判定求面积
◇典例9：
已知，如图，在 中， 是 的中线，F是 的中点，连接 并延长到E，使
，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 求菱形 的面积．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是 中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：连接 ，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
是 中线，
，
，
，
∵四边形 是菱形，
∴菱形 的面积= ．
◆变式训练
1.如图，点D，E，F分别是 的边 ， ， 的中点，分别连接 ， ， ， ， 与
相交于点O．有下列四个结论：
① ； ②③当 时，点O到四边形 四条边的距离相等；
④当 时，点O到四边形 四个顶点的距离相等．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】C
【详解】
①∵点D，E，F分别是 的边 ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，故①错误；
②∵点D，E，F分别是 的边 ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形 和四边形 和四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，故②正确；③∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∴ ， 是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形 四条边的距离相等，故③正确；
④∵ ，四边形 是平行四边形，
∴点O到四边形 四个顶点的距离不相等，故④错误．
综上所述：正确的是②③，
故选：C．
2.如图，在矩形纸片 中， ， ，点 ， 分别是矩形的边 ， 上的动点，将该纸
片沿直线 折叠，使点 落在矩形边 上，对应点记为点 ，点 落在点 处，连接 、 、 ，
与 交于点 ．则当点 与点 重合时， ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
由翻折的性质可知 ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
当 ， 重合时，如图：设 ，
在 中，
，
，
，即 ，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形 中， 、 是对角线， ．若 ，
则 的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】本题考查的是菱形的性质，含 角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
根据菱形的性质可得 ， ，根据含 角的直角三角形的性质即可求得 的长，从而得
到结果．
【详解】解：如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 的对角线 ， 交于点 ，以下条件不能证明
是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定
理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，无法得到 是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
3．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，给出下列四个条件：① ；
② ；③ ；④ 平分 ．若添加其中一个条件，不能使四边形 是菱形的为
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解
题的关键．根据菱形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、添加 ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形 是菱形，
不符合题意；
B、添加 ，不能得出四边形 是菱形，故符合题意；
C、添加 ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形 是菱形，不符合题意；
D、四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形，
∴添加 平分 ，可以得出四边形 是菱形，故不符合题意；
故选：B．
4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，E是 的中点，连接
．若 ，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】根据菱形的性质可得 ，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得 ，
即可得解．
本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
，
∵E是 的中点，
，
∴ 。
故选：A．5．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，将
沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知， ， ，再根据菱形的性质，得出 ，从而
求出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知， ， ，
在菱形 中， ，
， ，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，
掌握菱形的性质是解题关键．
6．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，点E为 的中点，在
对角线 上有一动点P，则 的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，连接 ，由菱形
的性质可得 ， 垂直平分 ，则可证明 是等边三角
形， ，求出 的长，根据 ，可得当C、P、E三点共线时， 有最小值，
即此时 有最小值，最小值为 的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ 是等边三角形， ，
∵点E为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当C、P、E三点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 的长，
∴ 的最小值为 ，故选：C．
7．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形 中， ，延长 至点 ，延长 至点 ，
连接 ， ．若四边形 为菱形，则这个菱形的面积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关
键．根据菱形的性质得到 ，由矩形的性质得到 ， ， ，
设 ，则在 中， 则 利用勾股定理求出 ，即
．得到 ，根据菱形的面积求出答案即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
设 ，则在 中，
∴
∵ ，
即 ，
∴ ，
即 ．
∴ ，∴菱形的面积为 ，
故选：C
8．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，点P是 边上一个动点，
在 延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接 交于点M．当点P从B点运动到
C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解
题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作 交 于点H，根据 ，四边形 是菱形，得出 垂直平分 ，再
证明 垂直平分 ，点M在 上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作 交 于点H，连接 ，
∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴ ，即 垂直平分 ，
∵ 交于点M．∴
∴点M在 上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点 ，
此时，∵ ，四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ．
故点M的运动路径长为 ．
故选：B．
二、填空题
9．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，对角线 相交于点
．过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 ．则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明 为等边三角形，进而得到 ，三线合一求出 的长，证明四边形 为平行四边形，进而得到 ，推出
，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形 的边长为2， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点O， ，
， 于点H， 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得 ，利用面积法即可求得 的值．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ，
，
菱形 的面积 ，，
故答案为： ．
11．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形 的对角线 相交于点O， ，垂足为E，
连接 ．若 ， ，则菱形 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到
，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到 ，再根据菱形的面积公式对角线
乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵菱形 的对角线 相交于点O， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴菱形 的面积 ；
故答案为： ．
12．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，连接 ，点P是 上的
一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将
绕点A顺时针方向旋转 的点 ，此时证明 和 全等后找到对应的线段，
的最小值即为点B， ，P，D四点共线时，线段 的长度即为所求．
【详解】如图，将线段 绕点A顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ， ， ，
由题意知，在菱形 中， ， ，
∴ 和 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即点B， ，P，D四点共线时， 的最小，此时最小值 的长度为 ．
故答案为： ．
三、解答题
13．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形 中，点 在 上，点 在 上，且 ，连
接 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得 ，
，证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上，
，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；
（1）根据垂直的定义可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据已知条件可
得 ，即可证明结论；
（2）根据 可得 ， ，即得 ，进而可得四边形 是平
行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得 ，即可
得到结论.
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.15．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形 的对角线 ， 相交于点O， ，
， ．
(1)如图1，求证：四边形 是菱形；
(2)如图2， ， 于点H，交 于点E，连接 ，点G在 上，连接 交 于点
F，若 ，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段 相等的线段（线段 除外）．
【答案】(1)见解析
(2) ， ， ，
【分析】（1）首先证明出 ，得到 ，然后结合 即可证明；
（2）首先由菱形的对称性得到 ；然后证明出 ， 是等边三角形，得到
，求出 ，
得到 ；然后求出 ， 得到 ；然后求出 ，得到 ，进
而求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∵
∴四边形 是菱形；
（2）∵四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点O，
∴点A和点C关于 所在直线对称
∴ ；∵ ，
∴
∴ ， 是等边三角形
∴
∵ ，
∴
∴ ；
∵
∴
∴
∴ ；
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ；
综上所述，与线段 相等的线段有 ， ， ， ．
专项练习
一、单选题
1．已知四边形 中， 与 相交于点 ，下列条件：① ；② ；③ ；④
，从以上条件中任选三个，能判定四边形 是菱形的选法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可．
【详解】解：选择①②③：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴不能判断四边形 是菱形，
∴选法不正确；
选择①②④：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；
选择①③④：
同理可证： ，得到四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；
选择②③④：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；
故选：C．2．欲证明右图四边形为菱形，下列条件中错误的是（ ）
A． 且 ， B． ，
C． D． 且 ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定，解决本题的关键是根据菱形的判定定理进行判断．菱形的判定定理
有：四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是
菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【详解】解：A选项： 且 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证四边形 是菱形，
故A选项不符合题意；
B选项： ， ，
， ，
不能证明 ，
不能证明四边形 是菱形，
故B选项符合题意；
C选项： ，
根据四条边相等的四边形是菱形，可证四边形 是菱形，
故C选项不符合题意；
D选项： 且 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形 是菱形，
故D选项不符合题意．
3．如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，E是 的中点，菱形 的周长为16，则
的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形的性质可得 以及 ，
再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵在菱形 中，对角线 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 的周长为16，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
故选：D．
4．如图，在周长为20的菱形 中，对角线 与 相交于点O．已知 ，则 的长为（
）
A．4 B．3 C．8 D．14
【答案】C【分析】本题考查菱形的性质，以及勾股定理，根据菱形性质得到 ，
，再利用勾股定理求出 ，进而即可求得 ．
【详解】∵四边形 是菱形，且菱形 的周长为20，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
5．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点O，M，N分别是边 ， 的中点，连接 ，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的性质和中位线定理，熟练使用中位线定理是解题的关键．
首先利用中位线定理和勾股定理求解菱形的边长，再根据中位线定理即可求解OM的长度．
【详解】解：∵M，N分别是边 ， 的中点，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点M是 的中点， ，
∴ ，
故选：C．6．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点．若 ，则菱形
的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理．
根据 是 的中位线，即可得到 的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴菱形 的周长 ．
故选：C．
7．如图，正方形 中， ，以对角线 为一边作菱形 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质．
由正方形的性质得 ， ，则 ，因为四边形 是菱形，所以 ，
于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ．
故选：C．
8．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面
积为 的四边形，当 时，则纸条的宽度是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股
定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
如图，过点A分别作 ， 边上的高为 ， ，连接AC，
∵两条纸条宽度相同，
∴ ，∴ ，即 ，
∴四边形 为菱形，
设菱形 的边长为x，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即纸条宽度为 ．
故选：D．
9．如图，菱形 的对角线交于点O，过点C作 ，交 的延长线于点E，连接 ．若
， ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先
根据菱形的性质得到 ，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到 ，然后利用
菱形面积公式求解即可．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，， ，
， ，
，
，
菱形 的面积 ，
故选B．
10．如图，菱形 中， ，E是对角线 上的任意一点，则 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先得出 ， ，从而可得 ，于是有 ．由于
，可得当 最小时， 最小，即 最小，再求得 ， 利用勾股
定理求得 ，从而可得 的最小值为 ．
【详解】解：过点E作 于点F，连接 ．
因为 ，且四边形 为菱形，所以 ， ，
因此 ，
所以 ．
由于 ，
因此当 最小时， 最小，
即 最小．
根据垂线段最短，
当 时， 最小，
记此时的 为 ．
因为 ， ，
所以 ，
因此 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，
利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
二、填空题
11．如图，将菱形 绕点 沿逆时针方向旋转，得到菱形 ，连接 ， ，若 ，
，则 °．
【答案】【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等
的性质是解题的关键．根据菱形性质得到 ，进而求出旋转角 ，再由旋转性质得
，从而得到答案．
【详解】解： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
由旋转的性质得， ．
故答案为： ．
12．如图，在 中，对角线 相交于点 ，点 在 上，且 ，添加一个适当的
条件，使四边形 是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的
判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键．
根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到 ，再由平行四边形的判定定理得到四边
形 是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件
即可得到答案．
【详解】解：在 中，对角线 相交于点 ，则 ，
，
，
在四边形 中， ，则四边形 是平行四边形，
当 时，四边形 是菱形；
当 时，四边形 是菱形；当 时，四边形 是菱形；
当 时，四边形 是菱形；
当 时， 是菱形，
平分 ，
即 ，
， ， ，
，
则 ，即四边形 是菱形；
当 时， 是菱形，
，
， ， ，
，
则 ，即四边形 是菱形；
当 时， 是菱形，
平分 ，
即 ，
， ， ，
，
则 ，即四边形 是菱形；
当 时， 是菱形，
，
， ， ，
，
则 ，即四边形 是菱形；
此外，还有对角线垂直也可以判定四边形 是菱形；
综上所述，选取其中一个即可，
故答案为： （答案不唯一）．13．如图，矩形 的对角线 相交于点 ， ， ，点 分别是 的中
点，连接 ，若 的长为3，则四边形 的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到
，再证明四边形 是菱形，计算周长即可．
【详解】解：∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为：24．
14．如图，在 中， ，连接 ， ，延长 至E， 平分 ，点P是
上一点，连接 、 ，则 的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，平行线之间的垂线段相等，三角形的面积，
连接 交 于点G，根据菱形的性质证得 ，根据勾股定理 ，即可解答．
【详解】解：∵ 中， ，
∴ 是菱形， ，
∴ 平分 ，延长 至E，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
连接 交 于点G，则 ，且 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的高为 ，
∴ ，
故答案为60．
15．如图，用四个木条钉成一个边长为 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计），然后向右扭动成
四边形 ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到 时会断裂．若 ，则橡皮筋
断裂（填“会”、“不会”，参考数据： ）．
【答案】不会
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，设 与 相交
于点 ，由正方形的性质得 ，即得四边形 是菱形，再利用菱形和等边三
角形的性质及勾股定理求出 ，进而即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，设 与 相交于点 ，由题意可知， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴橡皮筋不会断裂，
故答案为：不会．
16．如图，将两张完全相同的矩形纸片 ， 按如图方式放置， 为重合的对角线，重叠部分
为四边形 ，若 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，证明四边形是菱形，解题关键是掌
握上述知识点并能运用求解．
先证明四边形 是菱形，从而可得出 ，再利用勾股定理求得 ，从而可求得四边形 的面积．
【详解】解：∵将两张完全相同的矩形纸片 ， 按如图方式放置，
， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵将两张完全相同的矩形纸片 ， 按如图方式放置， ，
∴ ， ，
∵ 为重合的对角线，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： （负值舍去），
又 ，
∴ ，
解得： ，
∴四边形 的面积为 ．
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，在 中， ， 为 的中点， 垂直平分 ， 交 于点 ．
(1)请判断四边形 的形状；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)四边形 是菱形，见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理，
线段的垂直平分线等知识点．（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，再由垂直平分线得到 ，那
么 ，则四边形 是菱形；
（2）先由勾股定理求解 ，然后根据菱形的性质得到 为 的中位线，即可求解 ，即可求解
，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ， 为 的中点，
∴
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为
18．如图，四边形 为平行四边形，对角线 的垂直平分线 分别交边 ， 于点 ， ，垂
足为 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)在 的延长线上取一点 ，使 ，连接 ．若 为 的中点，且 ， ，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 垂直平分 ，可得 ， ，根据平行四边形的性质可得 ，
推出 ，证明 ，得到 ，得到四边形 是平行四边形，结合
，即可得证；
（2）由 可得 ，推出 ，根据题意可推出 是 的中位线，得
到 ，根据三角函数求出 ， ，进而得到 ，作 ，
垂足为 ，进而求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 垂直平分 ，
， ，
四边形 是平行四边形
，
，
在 与 中，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 为菱形；
（2）解： ，
，
，
四边形 为菱形，为 的中点，
∵ 为线段 的中点，
是三角形 的中位线．
，
，
， ，
， ，
如图，作 ，垂足为 ，则 ，
，
则 ．
19．如图， 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ，延长 到点 ，使得 ，
连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，四边形 的面积为16，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先三角形中位线证明四边形 是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）连接 交 于点 ，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱
形的性质，勾股定理，解答即可．
本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性
质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明： ， 分别是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图所示：
四边形 是菱形， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
即菱形 的周长为 ．
20．如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交于点 ，
连接 ， ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若四边形 的周长是 ，两条对角线的和是 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质可证 ，根据垂直平分线的性质可证 ，
，利用 可证 ，根据全等三角形的性质可证 ，根据对角线
互相平分的四边形是菱形可证结论成立；
(2)根据菱形的性质可知 ，设 、 ，根据勾股定理可得 ，
利用完全平方公式可以求出 ，根据菱形的面积公式求出结果即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中， ，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
四边形 的周长是 ，
，
设 、 ，
则有 ， ， ，
，在 中， ，
，
，
，
整理可得： ，
．
21．如图，在 中， ，点O在 上，连接 ，并延长至点D，使得 ， ，
连接 ， ，E是 上的一点，连接 ．
(1)如图1，求证：四边形 是菱形．
(2)如图2，将 沿 折叠，使点D的对应点F落在 上，若 ，猜想 与 的数量关系，
并加以证明．
(3)如图3，将 沿 折叠，点D的对应点F落在 的延长线上， 与 交于点G．
①求证： ．
②若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ．证明见解析
(3) 见解析；
① ②
【分析】（1）由已知条件可得出 是 的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出 ，
再结合 即可得出 ，进而可证．
（2）延长 交于点 ．由折叠的性质，可得 ．由菱形的性质可进一步推出
， 设 ，则 ，得出 ，证明 ，由相似三角形的性质即可得出 ．
（3）①由折叠的性质，可得 ，由等边对等角可得出 ，再利用菱形的性质得
出 ，等量代换可得出 ，再根据等角对等边可得出 ．
②延长 ，交 的延长线于点 ．先证明 ，由全等三角形的性质得出
，再证明 ，再由全等三角形的性质得出
，进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明： ，
是 的垂直平分线，
．
，
四边形 是菱形．
（2） ．证明如下：
证明：如图1，延长 交于点 ．
由折叠的性质，可得 ．
四边形 是菱形，
， ，
．
，
，
∴设 ，则 ，
，，
，
，
，
，
．
（3）①证明：由折叠的性质，可得 ，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
．
②如图2，延长 ，交 的延长线于点 ．
．
，
，
，
，
．
由折叠的性质，可得 ．
四边形 是菱形，
，
，
，∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
