文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块五 四边形
专题5 正方形的性质与判定
知识梳理
【考点一】正方形的定义及性质
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺
一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊
的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 中心对称图形：对称中心为对角线交点 O；
轴对称图形：有 4 条对称轴（2 条为对边中点连线，2 条为对角线所在直
线，区别于矩形、菱形的 2 条对称轴）。
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三
角形和直角三角形的性质.【考点二】正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是
正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方
形.
【注意】
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定
该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
【考点三】中点四边形
1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，
E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形．
2. 常见的中点四边形形状归纳
原四边形 中点四边形
任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形
两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形
两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方
正方形
形）
【考点四】菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系
正方形既是菱形，又是矩形．
菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例：
【易错点辨析】
1.性质混淆：误将正方形的对角线性质单独归为矩形或菱形，忽略 “既相等又垂直” 的双重特征；
2.判定定理误用：
用 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误，反例：筝形对角线垂
直但不一定相等，等腰梯形对角线相等但不垂直）；
用 “有一个角是直角或一组邻边相等的平行四边形是正方形”（需同时满足，而非 “或”）；
3.对称性误区：认为正方形只有 2 条对称轴，或漏算对角线所在的对称轴；
4.面积 / 对角线计算错误：已知对角线求面积时忘记除以 2，或已知边长求对角线时漏乘2；
5.与矩形、菱形混淆：忽略 “正方形是特殊的矩形和菱形”，判定时额外添加无关条件（如 “有一个角
是直角且对角线相等的菱形是正方形”，对角线相等为多余条件）。
例题讲解
【题型一】利用正方形的性质求角度
◇典例1：
如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AFE的度数为（ ）
A．100° B．125° C．105° D．95°
◆变式训练1.如图，在正方形ABCD中，BE=1，EF=2，DF=√3，则∠BAE+∠DCF为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【题型二】利用正方形的性质求线段长度
◇典例2：
如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（ ）
√5
A．√3 B．2 C．√5 D．
2
◆变式训练
1.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，
∠FOH=90°，EF=4．则GH的长为（ ）A．4 B．5 C．3 D．4.5
2.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB
于点F，G，若点M是BC边的中点，则AF长（ ）
3 4 5 6
A． B． C． D．
4 3 3 5
【题型三】利用正方形的性质求面积、周长
◇典例3：
如图，面积为1的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形
HEFG的面积是（ ）
1 √2 1
A．1 B． C． D．
2 2 4
◆变式训练
1.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=6,HG=2，则四边形ABDF的面积是（ ）A．20 B．40 C．64 D．16
2.如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O ，O 是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时O ，
1 2 1
O 也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ．
2
【题型四】利求正方形在平面直角坐标系中的坐标
◇典例4：
已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B(4,0)，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
(−2,2) (2,−2) (−2√2,2√2) (2√2,−2√2)
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，
1 1 1
绕点O连续旋转2025次得到正方形OA B C ，如果点A的坐标为A(1,0)，那么点B 的坐
2025 2025 2025 2025
标为（ ）A． B． C． D．
(√2,√2) (0,√2) (1,1) (−1,1)
2.在平面直角坐标系中，放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点D在y轴上，且坐标是(0,2)，点A在
x轴上，则点B的坐标为 ．
【题型五】正方形的判定证明
◇典例5：
如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，当对角线AC、BD满足条件 时，四
边形EFGH是正方形．
◆变式训练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点，
设AB:AD=a．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当a为何值时，四边形MENF是正方形？
2.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．求证：四边形
ABCD是正方形．【题型六】正方形的性质与判定综合
◇典例6：
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．
(1)判断BE与AF之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点E是AD的中点时，连接GD，求∠DGF的度数．
◆变式训练
1.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则¿=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，
AD∥BC(BC>AD)，∠B=90∘，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求
DE的长．
2.如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点A,C分别在y轴和x轴上，顶点
的坐标 满足 ．
D(a,b) a,b √a−4+(b−4) 2=0(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)若点E为线段BC边上的动点，连接AE，过E点作EF⊥AE，且AE=EF，连接CF,∠DCF的大
小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)连接AF，当AF=8时，直接写出BE的长．
【题型七】求正方形形中最值问题
◇典例7：
如图，正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC=5，CF=4．若有一动点P沿着
CA由C往A移动，则FP的长度最小是（ ）
5 5
A．2 B． C．2√3 D． √3
2 2
◆变式训练
1.如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点.连接BE，将△ABE沿
BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小是（ ）
A．5√5−5 B．5√5−10 C．5√5 D．5
2.如图，正方形ABCD的面积为S，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一
点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．【题型八】正方形中“十字架”模型
◇典例8：
【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF
相等吗？
（1）直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
【问题探究】：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且¿⊥BF，垂足为M．
那么GE与BF相等吗？证明你的结论：
【问题拓展】：
（3）如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为
41cm，则CE=______cm．
◆变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AE与BF交于点P．(1)【特例感知】如图（a），若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量
关系是
(2)【深入探究】如图（b），若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的
数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二
如图，在BC边上取一点M使 如图，在CB的延长线上取一点N，使
AM=AB,…… AN=AE，……
(3)【类比迁移】如图（c），若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出
AE
的值；
BF
2.（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF．求证：AE=BF．
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、AD、AB上，¿⊥HF，求证：¿=HF．
（3）如图3，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若正方形ABCD
的边长为5，△AOB与四边形OECF的面积之和与正方形ABCD的面积之比为1:5，求△AOB的周长．【题型九】正方形中“对角互补”模型
◇典例9：
阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊
多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做
“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB=AD，∠B+∠D=180°，如图1，连接
AC，试探究AC是否平分∠BCD，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”ABCD中，AB=AD=2，∠B=90°，∠BCD=120°，如图2，求
AC的长．
◆变式训练
1.【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两
1 1 1
个正方形的边长相等，边A O与边AB相交于点E，边C O与边CB相交于点F．在实验与探究中，小
1 1
新发现无论正方形A B C O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现
1 1 1
通过证明△AOE≌△BOF（无需证明）即可推导出来．连结EF，则AE，CF，EF之间的数量关系
是________．【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A B C O的一个顶点，A O与边AB相交于点E，C O与
1 1 1 1 1
边CB相交于点F，连结EF，矩形A B C O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，
1 1 1
并进行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，
它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4时，
请直接写出线段CF的长度．
2.问题解决：
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE=AF，且DE与AF相交于点G．
（1）DE与AF的位置关系为 ；
（2）延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，
∠AED=60°，AE=7，BF=2，求DE的长．
真题在线
一、单选题
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，从① ，② ，③
，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ）A． B． C． D．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，
，则 的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在 轴
上． ．若将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形 ，E，F，G，H分别为各边中点，连接 ，， ， ，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，点G是 上的一点，且 ，
于点E， ，且交 于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，
且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形 的一边 ，使点 落在 上的点 处，折痕 交
于点 ．若 ，则 的长是（ ）A． B．2 C． D．
8．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形 边长为6，以对角线 为斜边作 、 ，
点 在 上．连接 ．若 ．则 的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
二、填空题
9．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位： ）
如图，这枚古钱币的半径为 ．
10．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作
等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ， 按照此规律
继续下去，则 的值为 ．11．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片 中，E是 上一点，将纸片沿过点E的直线折
叠，使点A落在 上的点G处，点B落在点H处，折痕 交 于点F．若 ， ，则
．
12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 是正方形，E为 上一点，将 绕点A顺时针
旋转 至 ，连接 ， 于点H，交 于点G．若 ， ，则 的长为
．
三、解答题
13．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形 的边 的中点，连接 ，将 沿
所在直线折叠，点C落在点F处，连接 并延长交 于点G，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
14．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 是正方形，点 在边 上，点 在边 的延长线
上， ，射线 交对角线 于点 ，交线段 于点 ．
(1)求证： ．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ）
(2)求证： ．
(3)若 ，直接写出 的值（用含 的式子表示）．
15．（2024·内蒙古·中考真题）已知正方形 ， 是对角线 上一点．
(1)如图1，连接 ， ．求证： ；
(2)如图2， 是 延长线上一点， 交 于点 ， ．判断 的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下， ．求 的值．
专项练习
一、单选题1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（ ）．
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确
3．如图，在 中， ，再添加一个条件，仍不能判定四边形 是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形 中， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ．点 是矩形外一点，
连接 ， ， ，添加下列条件后，可判定四边形 为正方形的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
5．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，E为 上一点， 为 的中点．若
2， ，则正方形边长为（ ）A．2 B．3 C．6 D．2
6．如图，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 分别在边 、 上， ， ．
连接 并延长，交边 于点 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标为 ，点E在边 上．
将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在 轴上，点 是边 上的一点，坐标为 ，
将 沿 折叠，点 落在点 处．若 的延长线交 于 ，且 ，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
9．如图，在正方形 中，以对角线 为一边向右侧作菱形 ，点E在 的延长线上，连接
交 于点G，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．如图，已知四边形ABCD为正方形， ，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作
，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形
DEFG是正方形；② ；③CG平分 ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ．若 ，则点 到边
的距离为 ．12．如图，四边形 是正方形，将 绕点A顺时针旋转 得 ，连接 ，则 的角度为
．
13．如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，
，则 的长为 ．
14．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（ 、 、 、 ）和一个小正方
形 拼成的大正方形 ．若 ，则 的值为 ．
15．如图，在正方形 中， 为对角线，点 、 分别为边 和 上的点，且 ，连接
，过点 作 交 于点 ，点 为边 上的点，连接 ，若 ， ，则
的度数为 ．16．如图，在边长为 的正方形 中，若 分别是 边上的动点， ， 与 交于
点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，已知菱形 的对角线交于点O，E，F是对角线 所在直线上的两点，且 ，
，连接 ，得四边形 ．求证：四边形 是正方形．
18．如图， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， .
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长度．19．如图， ， ， ， 分别是正方形 四条边上的点，且 ．
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
20．在学校成长课程活动中，同学们将对学校“空中花园”中一块正方形花园 进行测量规划使用，
如图，点E，F处是花园的两个门， 在边 上， 在边 上，且 ，要修建两条直路
与 相交于点 （两个门E，F的大小忽略不计）．
(1)请问 这两条路有什么数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)同学们测得 米， 米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 上再修条 米长的直路
，这条直路的一端在门 处，另一端 在直路 上，请问能否修建成这样的直路？请说明理由．
21．【问题呈现】已知正方形 中，点F为对角线 上一点，点E在 的延长线上，连接 ．
（1）如图1，连接 ，若 ，求 的最小值；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形 中，点F为对角线 上一点，点G在边 上， ，若 ，
，求四边形 的面积；
【拓展运用】（3）如图3，将 绕点F逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点H，试探索 、 满足怎样的
数量关系时，点H恰为 的中点；
