文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块五 四边形
专题2 平行四边形的性质与判定
知识梳理
【考点一】平行四边形的定义
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，
读作:“平行四边形ABCD”.
【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．
3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线）
图示 基本元素 主要内容
邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对
边
对边 AB和DC，AD和BC，共有两对
∠BAD和 ∠ADC， ∠ADC和 ∠DCB， ∠DCB和 ∠ABC，
邻角
∠ABC和∠BAD，共有四对
角
对角 ∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对
对角线 AC和BD，共有两条
【考点二】平行四边形的性质
1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
2. 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表：
图示 性质 数学语言
边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC
∠BAD＝ ∠DCB， ∠ABC＝ ∠CDA， ∠BAD＋
角 对角相等，邻角互补
∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°等
对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO
【考点三】 两条平行线间的距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2.两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.3.如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四
边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.
4.三种距离之间的区别与联系
距离 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到
区别 连接两点的线段的长度. 点到直线的垂线段的长度. 另一条直线的距离，叫做这两条平
行线之间的距离.
联系 都是指线段的长度.
5.“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决
三角形同底等高问题.)
【考点四】平行四边形的判定
★1、平行四边形的判定方法
类别 判定方法 图形 几何语言
定义：两组对边分别平行的 ∴AB∥CD，AD∥BC，
四边形是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形.
边
两组对边分别相等的四边形 ∵AB = CD，AD = CB，
是平行四边形.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边 ∵ AB∥CD，AB = CD，
形是平行四边形.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
角 两组对角分别相等的四边形 ∵∠A =∠C，∠B =∠D，
是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵AO = CO，DO = BO，
对角线 对角线互相平分的四边形是 ∴四边形ABCD 是平行四边形.
平行四边形.
2. 灵活选择平行四边形的判定方法
（1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行；
（2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；
（3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
（4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等．
3.平行四边形性质与判定的联系与区别
区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边
形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
例题讲解
【题型一】利用平行四边形的性质求角度
◇典例1：
如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=280°，则∠D的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．
根据平行四边形对角相等，可得∠B=∠D，再结合∠B+∠D=280°，即可求出∠D度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=280°，
1
∴∠D= ×280°=140°．
2
故选：C．
◆变式训练
1.如图，直线m∥n，四边形ABCD为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若∠1=18°，∠2=13°，则∠D等于（ ）
A．148° B．151° C．149° D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．
过点A作AE∥m，得出∠DAE=∠1=18°，∠BAE=∠2=13°，进而得到∠BAD=31°，再根据平行
四边形对边平行求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AE∥m，
∵m∥n
，
∴m∥n∥AE，
∴∠DAE=∠1=18°，∠BAE=∠2=13°，
∴∠BAD=∠DAE+∠BAE=31°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D=180°−∠BAD=149°，
故选：C．
2.如图，在△ABC中，∠E=65°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠A的
度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．70°
【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题
型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．
根据平行四边形的性质可求∠C，根据等腰三角形的性质可求∠ABC，再根据三角形内角和求得答案．
【详解】解：∵四边形BCDE是平行四边形，∠E=65°，
∴∠E=∠C=65°，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=65°，
∴ ∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−65°−65°=50°，
故选：B．
【题型二】利用平行四边形的性质求线段长
◇典例2：
如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和点F，则EF
的值为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．1
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等角对等边等知识．由平行四边形的两组
对边互相平行，又BE平分∠ABC，由此可以推出∠ABE=∠AEB，则AE=AB=3；同理可得，
DF=DC=3，而EF=DF+AE−AD，由此可以求出EF长．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
同理可得，DF=DC=3，
∴EF=DF+AE−AD=3+3−5=1，故选：D．
◆变式训练
1.如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，以适当的长度为半径作弧，分别交边AB，BC于点E，F，分别
1
以E，F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交
2
CD的延长线于点H．若GD=5，BC=9，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、平行四边形的性质，掌握角平分线基本作图是解题的关键．
根据角平分线的定义得到∠ABH=∠CBH，根据平行线的性质得到∠AGB=∠CBG，求得
∠ABG=∠AGB，得到AB=AG，于是得到结论．
【详解】解：由作图过程可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，AD=BC=9，
∴∠AGB=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG，
∵DG=5，
∴AG=4，
∴AB=4．
故选：B．
2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，
DE=3，AB=5，则AC的长为（ ）5√2
A．3√2 B．4√2 C．5√2 D．
2
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解
题的关键．连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据
勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接EC，
∵ ABCD OE⊥AC
平行四边形 中， ，
∴EO垂直平分AC，
∵AE=4，DE=3，AB=5，
∴EC=AE=4，CD=AB=5，
∵EC2+DE2=32+42=25，CD2=25，
∴EC2+DE2=CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴ AC=√AE2+EC2=√16+16=√32=4√2．
故选B．
【题型三】利用平行四边形的性质求周长
◇典例3：
如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是（ ）A．16 B．14 C．20 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的
性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得
∠CDE=∠CED，等腰三角形的判定求得CD=CE=4即可．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AD=6，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴CE=BC−BE=6−2=4，∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=4，
∴▱ABCD的周长是2(AD+CD)=2×(6+4)=20．
故选：C．
◆变式训练
1.如图， ▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，AC=8cm,BD=12cm,AB=5cm，则△OCD的周长
为（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．17cm
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．
【详解】解： ▱ABCD的对角线相交于点O，AC=8cm,BD=12cm,AB=5cm，
1 ∵ 1
∴OC= AC=4cm,OD= BD=6cm，AB=CD=5cm，
2 2
∴△OCD的周长为4+5+6=15cm
故选：B．
2.如图，▱ABCD的周长为16cm，且AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE
的周长为（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和
线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分AC，然后根据
线段垂直平分线的性质可知AE=CE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥AC，
∴EO为AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵▱ABCD的周长为16cm，
1
∴AD+CD= ×16=8cm．
2
∴△DCE的周长=DE+CE+CD=DE+AE+CD=CD+AD=8cm．
故选：C．
【题型四】利用平行四边形的性质求面积
◇典例4：
如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE．已知AE是∠DAB的平分线，BE
是∠CBA的平分线，若AE=4，BE=3，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形
的性质得出∠EAB+∠EBA=90°，进而利用直角三角形的性质求出答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠DAB+∠CBA=180°，∵ AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，
1 1
∴ ∠EAB= ∠DAB，∠EBA= ∠CBA，
2 2
1
∴ ∠EAB+∠EBA= (∠DAB+∠CBA)=90°，
2
∴ △AEB是直角三角形，
∵ AE=4，BE=3，
1 1
∴ S = AE⋅BE= ×4×3=6，
△AEB 2 2
∴平行四边形ABCD的面积=2S =12，
△AEB
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则
ABCD的▱面积为（ ） ▱
▱
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】D．
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行
四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【详解】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴▱BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，
∴▱4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48．
▱故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关
键．
2.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，AF与BE
相交于点P，DF与CE相交于点Q，若S =13cm2 ，S =14cm2 则阴影部分四边形EPFQ的面积
△ABP △CDQ
为 cm2．
【答案】27．
【分析】连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC ＝S△DCF ，S△BFE ＝S△BFA 所以S△EFQ ＝S△DCQ ，
S△EFP ＝S△ABP ，因此可以推出阴影部分的面积就是 S四边形EPFQ ＝S△ABP +S△DCQ ，解答此题关键是作出辅助
线，找出同底等高的三角形．
【详解】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△DCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC ＝S△DCF ，
∴S△EFQ ＝S△DCQ ，
同理S△BFE ＝S△BFA ，
∴S△EFP ＝S△ABP ，
∵S =13cm2 ，S =14cm2 ，
△ABP △CDQ∴S =S +S =S +S =13+14=27cm2 ，
四 边 形EPF△QEFP △EFQ △ABP △DCQ
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【题型五】利利用平行四边形的性质证明
◇典例5：
如图，在 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 边上的一点（不与端点重合），AE∥CF．求证：
△ABE≌△▱CDF．
【分析】由AE∥CF，得∠AEB＝∠FCB，由平行四边形的性质得 AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD，则
∠FCB＝∠CFD，所以∠AEB＝∠CFD，即可根据“AAS“证明△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠FCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC∥AD，
∴∠FCB＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
{∠AEB=∠CFD
∠B=∠D ，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出
∠AEB＝∠CFD，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
◆变式训练
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．
求证：OE▱＝OF．【分析】根据平行四边形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，进而可得∠EAO＝∠FCO，再根据对顶角相等
可得∠AOE＝∠COF从而证明△AOE≌△COF，证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴得AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO
AO=CO ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形
的性质．
2.如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．
求证：∠▱DAE＝∠BCF．
【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵点E、F分别是OB、OD上的中点，
1 1
∵BE= OB，DF= OD，
2 2
∴BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，{
AD=CB
∠ADE=∠CBF，
DE=BF
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证
明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【题型六】两条平行线间的距离及其应用
◇典例6：
如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线
AB与CD之间的距离是（ ）
A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长
【答案】B．
【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵MN⊥CD，
∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1.如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直
线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（ ）
A．MN B．OE C．EF D．OF【答案】C．
【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．
【详解】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB
和CD之间的距离是线段EF的长．
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平
行于这条直线的直线．
2.在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，
直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定
【答案】A．
【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题．
【详解】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），
∴直线a、c间的距离是4或10cm．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论．
【题型七】数图形中平行四边形的个数
◇典例7：
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，图中共有（ ）个平
行四边形．A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中
平行四边形的个数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD
∴平行四边形有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO、▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、
▱GDCH；▱ABCD；共9个．
故选：C．
◆变式训练
1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由ABCDEF是由六个全等的正三角
形拼成的，可得出ABCDEF是正六边形，进而可得出OA=OE=AF=EF，则四边形AOEF是平行四边
形，同理可得出四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行
四边形．
【详解】解：∵ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的，
∴ABCDEF是正六边形，
∴AD，BE，CF是正六边形的对角线，
可得OA=OE=AF=EF，
∴四边形AOEF是平行四边形，
同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形，
共6个，
故选C．2. 如 图 ， 点 A ， B ， C 在 同 一 直 线 上 ， 点 D ， E ， F ， G 在 同 一 直 线 上 ， 且
AC//DG,AD//BE//CF,AF//BG．图
中平行四边形有（ ）个
A．4 B．5 C．3 D．6
【答案】B
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
【详解】解：如图，
图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行
四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形．
【题型八】添加一个条件成为平行四边形
◇典例8：
如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的
条件是（ ）A．∠DAB=∠ADC B．AD=BC
C．∠ABD=∠BDC D．∠BAD=∠BCD
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可．
【详解】解：A、由AB∥CD，∠DAB=∠ADC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项A不
符合题意；
B、由AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的
是 （填序号）．
①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD∥BC；③AB=CD，∠B=∠D；④OA=OC，OB=OD．
【答案】③
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：①∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；③AB=CD，∠B=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
④∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：③．
2.已知：如图，AB=CD，AD=BC，P为AC上任意一点，过P的直线分别交AD、CB的延长线于E、F
．
(1)请问：∠E=∠F吗？说明你的理由；
(2)要得出结论PE=PF，还需增加一个什么条件，说明你的理由．
【答案】(1)∠E=∠F，理由见解析；
(2)点P是AC的中点，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．
(1)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性
质可证∠E=∠F；
(2)由(1)可知∠E=∠F，如果点P是AC的中点，可得：PA=PC，利用AAS可证△APE≌△CPF，根据
全等三角形的性质可证PE=PF．
【详解】（1）解：∠E=∠F，
理由如下：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E=∠F；
（2）解：还需要增加点P是AC的中点，
理由如下：
由(1)可知∠E=∠F，
∵点P是AC的中点，
∴PA=PC，
在△APE和△CPF中，
¿，∴△APE≌△CPF，
∴PE=PF．
【题型九】平行四边形判定的证明
◇典例9：
如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF
．求证：四边形AFCD是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明
△AEF≌△CED是解题的关键．
由CD∥AB，得∠AFE=∠CDE，而∠AEF=∠CED，AE=CE，即可根据“AAS”证明
△AEF≌△CED，得FE=DE，则四边形AFCD是平行四边形．
【详解】证明：∵CD∥AB，
∴∠AFE=∠CDE，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△AEF和△CED中，
¿，
∴△AEF≌△CED(AAS)，
∴FE=DE，
∴四边形AFCD是平行四边形．
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上
的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
{∠CDF=∠FEB
∠DCF=∠EBF，
FC=BF
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，且AB＝
BF，∠F＝∠CDE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC＝BF，∠C＝∠EBF，进一步得到AB∥DC，
然后得到DC＝AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形 ABCD为平行四边形即
可．
【详解】证明：在△DEC与△FEB中，{
∠CDE=∠F
∠DEC=∠BEF，
EC=BE
∴△DEC≌△FEB（AAS），
∴DC＝BF，∠C＝∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB＝BF，
∴DC＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点睛】考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【题型十】平行四边形的性质与判定的综合
◇典例10：
如图所示，在梯形ABCD中， AB∥DC，DA⊥DC，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接
AE．
(1)证明ABCE是平行四边形；
(2)若AB=3cm，CD=1cm，求四边形ABCE的面积
【答案】(1)证明见解析
(2)6cm2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，
解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行线的性质得出∠ADE=∠DAB=90°，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
1
∠E=∠DAE= 45°，根据平行线的判定定理得出AB∥CD，根据平行四边形的判定定理即可证明；
2
（2）根据平行四边形的性质得出AB=CE=3cm，求得DA=DE=2cm，进而可求四边形ABCE的面积．
【详解】（1）证明：∵AD⊥CD，
∴∠ADE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB=90°，∵AD=DE，
1 1
∴∠E=∠DAE= (180°−∠ADE)= (180°−90°)=45°，
2 2
∴∠EAB=∠DAE+∠DAB=45°+90°=135°，
∵∠B=45°，
∴∠B+∠EAB=180°，
∴AE∥BC，
又AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：由（1）知，四边形ABCE是平行四边形，
∴AB=CE=3cm，
∴DA=DE=CE−CD=3−1=2cm，
∴S =AB⋅DA=3×2=6(cm2)，
四边形ABCE
即四边形ABCE的面积是6cm2．
◆变式训练
1.如图，在 ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点．
（1）求证：▱四边形MNCD是平行四边形；
（2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论；
（2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，
∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD＝NC．
∵MD∥NC，
∴四边形MNCD是平行四边形；
（2）解：如图，连接ND，∵四边形MNCD是平行四边形，
∴DC＝MN＝1．
∵N是BC的中点，
1
∴BN＝CN= BC．
2
∵BC＝2CD，
∴CD＝CN．
∵∠C＝60°，
∴△NCD是等边三角形，
∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC，
∵DN＝CN＝BN，
1
∴∠DBN＝∠BDN= ∠DNC＝30°，
2
∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°，
∴BC＝2DC＝2，
∴BD=√BC2−DC2=√22−12=√3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握
平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2.问题背景：如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知
∠BAC=30°,EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点G．
探索求证：
（1）求证：AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；
深入探究：
（3）当BC=2时，求△ACD的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3√3
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到AB=2BC，利用等边三角形的性质，得到
AB=2AF,AB=AE,根据HL得到△ACB≌△EAF，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质，得到∠DAC=60°,AC=AD，进而得到∠DAF=90°=∠AFE，推出
AD∥EF，等量代换得到AD=EF，即可得证；
（3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出AC的长，证明AC⊥DF，勾股定理求出DG的
长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵ Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF,AB=AE, ∠AFE=90°=∠ACB，
∴AF=BC，
∵AB=AE, ∠AFE=90°=∠ACB，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL)，
∴AC=EF．
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°,AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴EF∥AD，
∵AC=EF,AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
（3）解：∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠AGD=∠EAC=90°，
∴AC⊥DF．∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,BC=2，
∴AB=4，
∴AC=√AB2−BC2=2√3，
∵△ADC是等边三角形，
∴DC=AC=2√3，
∵DF⊥AC，
AC
∴CG= =√3，
2
∴DG=√DC2−GC2=3，
1
∴S = ×2√3×3=3√3．
△ADC 2
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平
行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
真题在线
一、单选题
1．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿 剪下后得到一个 ，若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
2．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形 的对角线交点在原点．若 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四
边形的对称性可知点 与点 关于坐标原点 中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答
案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵平行四边形 的对角线交点在原点，
∴ ，
点 与点 关于坐标原点 中心对称，
点 的坐标为 ，
点 的坐标是 ，
故选：C．
3．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是边 的中
点，连接 ．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得 ，进
而由平行四边形的性质得 ，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵点 是对角线 的中点，点 是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
4．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ， 是 边的
中点，连接 ，且 ， ，则该草坪的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到 ，根据
矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵ 是一个矩形草坪，对角线 ， 相交于点 ，
∴ ，
∵ 是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴矩形 的面积为 ，
故选：C
5．（2025·广东·中考真题）如图，点 ， ， 分别是 各边上的中点， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到 ， 是 的中位线，
得到 ， ，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵点 ， ， 分别是 各边上的中点，
∴ ， 是 的中位线
∴ ，
∴
∵
∴ ．
故选：C．
6．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的 中， ， 分别为边 ， 的中点，点 ， 分别在
边 ， 上移动（不与端点重合），且满足 ，则下列为定值的是（ ）
A．四边形 的周长 B． 的大小
C．四边形 的面积 D．线段 的长
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全
等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形
各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ．
【详解】解：连接 ，在 中， ， 分别为 ， 中点，
且 ， ， ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
同理 ，且 ．
∴四边形 是平行四边形，
则 与 的面积分别为 与 面积的一半，
四边形 的面积 ，
四边形 的面积始终为 面积的一半，是定值．
选项A： 、 等边长随 、 移动变化，周长不定，错误．
选项B： 随 位置改变，错误．
选项D： 长度随 、 移动改变，错误．
综上，四边形 的面积是定值，
故选： ．
7．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，对角线 ， 交于点O，点P
是 的中点，连接 ，点E是 的中点，连接 ，则 的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得 ，即 为
中点，又 是 的中点，所以 是 中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 为 中点，
∵ 是 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
∵ ，点P是 的中点，
∴ ，即 ，
故选： ．
8．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并延长
至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等
知识点，正确作辅助线是解题关键．
解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出 ， ，判定 是 的中位
线，推出 ，求出 ，即可得到答案；
解法二：延长 和 ，交于 点，先证 ，得到 ，再证 ，
得到 ，即可求得结果；
解法三：作 交 于点H，证明出 ，得到 ， ，然后证明
出四边形 是平行四边形，得到 ．【详解】解：解法一：连接 交 于O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
解法二：延长 和 ，交于 点，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， 即 ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
解法三：作 交 于点H
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
故选：B．
二、填空题9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在 中，E是 上一点， ， 、 的延长线相
交于点F，若 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
先利用平行四边形的性质得 ， ，证明 ，得出 ，结合
，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处，
与 相交于点E，此时 恰为等边三角形，若 ，则 cm．
【答案】12
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等
知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；根据等边三角形的性质可得 ，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得
，结合三角形的外角性质可得 ，进而得到 ，再利用30度
角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：12．
11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在 中，点 在边 上，将 沿 折叠，点 的对应
点 恰好落在边 上；将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在 上．若 ，则
．（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形 是平行四边形，得
， ，由折叠性质可知，
， ， ，故有 ，根据
平行线的性质得 ， ，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠性质可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形 中，点E，F，M分别在 ， ， 边上，
分别交对角线 、线段 于点G，H，且 是 的中点．若 ，则
的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，求解 ，证明 是 的中位线，
可得 ， ， ，证明四边形 是平行四边形，可得
，而 ， ，求解 ，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，∵ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的
应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.三、解答题
13．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在 中， ， 分别为边 ， 的中点，
．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）证明 是 的中位线，即可得到 ，进而得到 ，然后利用 证明三角形
全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到 ，即可得到 ，进而证明四边形 是平行
四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可．
【详解】（1）证明：∵ ， 分别为边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．14．（2025·青海·中考真题）如图，在 中，点O，D分别是边 ， 的中点，过点A作
交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明 ，可得 ，结合 可得结论；
（2）由 ，点 是 边上的中点，可得 即 ，结合由（1）得四边形
是平行四边形，从而可得结论.
【详解】（1）证明：∵点 为 的中点
∴ ，
∵
∴ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴
∵
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：当 时，四边形 是矩形，
理由如下：
∵ ，点 是 边上的中点，
∴ 即 ，∵ 由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ 四边形 是矩形.
15．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，正方形 中，点E，F分别在 ， 上，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识
点．
（1）根据四边形 是正方形，得出 且 ．结合 ，得出 ．结合
，即可证明四边形 是平行四边形．
（2）过点 作 于点 ．根据四边形 是正方形， ，得出
．结合 ，证出四边形 是矩形．得出
．结合 ，得出 ．在 中，由勾股定理求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ 且 ．
又 ，
．
．
又 ．
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：过点 作 于点 ．∵四边形 是正方形， ，
．
又 ，
∴四边形 是矩形．
．
又 ，
．
在 中，由勾股定理得 ．
专项练习
一、单选题
1．下面给出的是四边形 中 ， ， ， 的度数比．其中能判定四边形 是平行四边
形的是（ ）
A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可．
【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形，
∴能判定四边形 是平行四边形的是 ．
故选：B．
2．在 中，下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ， ，观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
3．如图，在四边形 中， ，对角线 和 交于点 ，要使四边形 成为平行四边形，
则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条
件是解题关键．
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【详解】解：已知 ，要使四边形 为平行四边形，
选项 ：仅 且 ，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项 ： 且 ，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项 ：平行四边形要求对角线互相平分，仅 不满足，故 错误；
选项 ： ，
，
在 和 中，
,
，
，
四边形 为平行四边形．
故 正确．
故选： ．
4．如图，在 中， 是 上的点， ，连接 交 于点 ，则 与 的
周长之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相
似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
由 ，可得 ， 再证明 ，根据两个相似三角形周长之比等于相似比
求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
5．如图，在 中， ， 平分 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对
边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键．
先利用平行四边形邻角互补的性质求出 的度数，再通过角平分线得到 的度数，最后结合平行
四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出 ．
【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形，
∴ AD∥BC，且∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
6．如图，点E为 边 延长线上的一点，连接 ，交 于点O，交 于点F．若 ，
，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；先由 可得
，由平行四边形的性质得 ，可得 可判断A选项；由
可判断B选项；由 可计算出 ，可判断C选项；由平行四边形对角相等可判断
D选项．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∴
∴∵
∴
∴
故A正确；
∵
∴
又∵
∴
故B正确；
∵
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
故C正确；
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ 与 对应角不相等，
∴ 与 不相似．
故D错误．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 落在x轴的正半轴上，且点 ， ，
直线 以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形 分
成面积相等的两部分．A．3秒 B． 秒 C．5秒 D．6秒
【答案】D
【分析】连接 ，交于点 ，当 经过点 时，该直线可将平行四边形 的面积平分，
然后计算出过点 且平行于直线 的直线解析式即可；
本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形
的面积是解题的关键．
【详解】解：连接 ，交于点 ，当 经过点 时，该直线可将平行四边形 的面积平
分，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，∵直线 平行于 ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 要向下平移 个单位，
∴时间为 秒，
故选：D．
8．如图，在平行四边形 中，E是 上一点，若 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，先利用平行四边形的性质得到
， ，则由 得到 ，然后证明 ，再利用相似比可
计算出 的长．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．9．如图，在平行四边形 中，E为 上一点，连接 ，且 相交于点F，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的面积之比为
相似比的平方是解题的关键．
由平行四边形的性质可得 ，易证 ，结合 可得
，再根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
故选D．
10．如图，在 中，点 在边 上，且 ，连接 并延长交 的延长线于点 ，则
与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得出 ，
，得到 ，推出 ，得到 ，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
二、填空题
11．如图，在 中，点 在 的延长线上， 与 交于点 ．若 的面积为 ，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质
是解题关键．利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
∵
∴ ，
，
，
．
故答案为： ．
12．如图， 过平行四边形 对角线的交点 ，交 于点 ，交 于点 ，若平行四边形
的周长为 ，且四边形 的周长为 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边
的等量代换是解题关键．
利用平行四边形性质结合 证 ，得 ，再结合平行四边形周长求出 ，然
后将四边形 周长转化为 ，进而解得 ．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
平行四边形 的周长为 ，
，即 ，
四边形 的周长为 ，
．
故答案为： ．
13．如图，在四边形 中， ， ， ， 是 的垂直平分线，分别交
， 于点 ， ．连接 ，则 的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质，掌握平行四边形的对边相等，及垂直
平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
先根据 且 判定四边形 是平行四边形，得到对边相等；再利用垂直平分线的性质得
出 ；最后将 的周长转化为 ，代入对应边长计算．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ 四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴
则 的周长．
故答案为：10．
14．如图，在 中，若 ， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 ，
则 ．
【答案】62°
【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的
思想解答．
直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解： ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中， 是对角线， ， ，E，F分别是 的中点，连接
交于点G，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【答案】2【分析】先连接 ，得到 ，利用相似三角形的性质得到 ，进一步得到
，再利用面积关系即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ 与 平行，且
∴
∴ ，
∴ ，
∵在矩形 中， 是对角线， ， ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形的中线性质以及三角形的中位线定理，
解题关键是构造相似三角形求解．
16．将一张平行四边形纸片 折叠成如图所示的图形， 为折痕，点 的对应点为 ．若 ，
，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关
键．
由折叠的性质，得 ， ，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得
，再由三角形的内角和为 可求出 的度数，即为 的度数．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ．
由折叠的性质，得 ， ，
．
四边形 是平行四边形，
，
．
在 中， ，
－ ，
．
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，在 中，点M，N分别在边 上，且 ，对角线 分别交 于点
E，F．求证 ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的
性质得到 ，由平行线的性质和对顶角相等推出 ， ，据此
证明 ，则可证明 ．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．如图，在平行四边形 中，连接 ，点 在 边上，连接 并延长，交 的延长线于点 ，
且 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．（1）平行四边形的性质，推出 ，根据 ，即可得到 ；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可．
掌握相似三角形的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
∴ ，
∴ （负值已舍掉）．
19．如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 为线段 上一点，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似
三角形的判定方法及性质．
（1） 和 中，易知 ，而 和 是等角的补角，由此可判定两个三角形相
似；
（2）在 中，由勾股定理易求得 的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 的长．【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ．
， ，
，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，即 ，
．
20．如图， ， ， ，垂足分别为 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，则 ____________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等角推出 与 平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到
，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明；
（2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合 的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用
勾股定理计算 ．
【详解】（1）证明： ，，
．
， ，
．
在 和 中：
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：由（1）得四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
，
， ．
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、 角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中 角对的直角边为斜边的一半是解题的关键．
21．如下图，在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是边 上一点（不与点 ， 重合），
射线 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： ．(2)若 是 的中点，连接 ，当 时，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用正方形的性质得到角相等、边相等，结合中点条件，通过 证明三角形全等；
（2）先结合（1）的全等结论推出 的长度，再利用正方形边长及 的条件求出 的长度，进而
得到 与 的关系，结合直角三角形斜边中线性质证明边平行且相等，从而判定平行四边形．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
，
．
是边 的中点，
．
又 ，
．
（2）证明： ，
．
，
．
，
．
是 的中点，
．
在 中， ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定，解题关键是利用正方形的边与角的性质，结合全等三角形和直角三角形的性质，推导线段与角的关系，进
而判定平行四边形．
