文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块五 四边形
专题5 正方形的性质与判定
知识梳理
【考点一】正方形的定义及性质
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
【注意】
（1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺
一不可.
（2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊
的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形.
2.正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 中心对称图形：对称中心为对角线交点 O；
轴对称图形：有 4 条对称轴（2 条为对边中点连线，2 条为对角线所在直
线，区别于矩形、菱形的 2 条对称轴）。
【注意】
（1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示.
（2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半.
（3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三
角形和直角三角形的性质.【考点二】正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是
正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方
形.
【注意】
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定
该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形.
【考点三】中点四边形
1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，
E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形．
2. 常见的中点四边形形状归纳
原四边形 中点四边形
任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形
两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形
两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方
正方形
形）
【考点四】菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系
正方形既是菱形，又是矩形．
菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形．常见关系使用举例：
【易错点辨析】
1.性质混淆：误将正方形的对角线性质单独归为矩形或菱形，忽略 “既相等又垂直” 的双重特征；
2.判定定理误用：
用 “对角线相等且垂直的四边形是正方形”（缺少 “平行四边形” 前提，错误，反例：筝形对角线垂
直但不一定相等，等腰梯形对角线相等但不垂直）；
用 “有一个角是直角或一组邻边相等的平行四边形是正方形”（需同时满足，而非 “或”）；
3.对称性误区：认为正方形只有 2 条对称轴，或漏算对角线所在的对称轴；
4.面积 / 对角线计算错误：已知对角线求面积时忘记除以 2，或已知边长求对角线时漏乘2；
5.与矩形、菱形混淆：忽略 “正方形是特殊的矩形和菱形”，判定时额外添加无关条件（如 “有一个角
是直角且对角线相等的菱形是正方形”，对角线相等为多余条件）。
例题讲解
【题型一】利用正方形的性质求角度
◇典例1：
如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AFE的度数为（ ）
A．100° B．125° C．105° D．95°【答案】C
【分析】本题考查了外角的性质，三角形内角和定理，正方形的性质和等边三角形的知识，掌握以上
知识是解答本题的关键；
本题根据正方形的性质和等边三角形的知识，得到∠BAD=90°， ∠DAE=60°， AB=AE，然后
利用三角形内角和定理求得∠ABE=∠AEB=15°，再根据外角的性质然后即可求解；
【详解】解：∵在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，
∴∠BAD=90°， ∠DAE=60°， AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠DAE=180°，
1 1
∴∠ABE=∠AEB= (180°−∠BAD−∠DAE)= (180°−90°−60°)=15°，
2 2
∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=15°+90°=105°，
故选：C；
◆变式训练
1.如图，在正方形ABCD中，BE=1，EF=2，DF=√3，则∠BAE+∠DCF为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【详解】解：过点B作BM⊥BD，使BM=DF=√3，连接ME、AM，AF．
∴∠MBE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠CDB=∠ADB=45°，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABM=90°−∠ABD=45°，
∴∠ABM=∠CDF，在△ADF和△CDF中：
¿
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，．
在△ABM和△CDF中：
¿
∴△ABM≌△CDF，
∴∠BAM=∠DCF，AM=CF．
∴∠DAF=∠BAM=∠DCF，
在△BME中，BM=√3，BE=1，
ME=√BM2+BE2=√ (√3) 2+12=2，
∴EF=2
∴ME=EF．
在△AME和△AFE中：
¿
∴△AME≌△AFE．
∴∠MAE=∠FAE．
∵∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠MAF=∠BAM+∠BAF=∠MAE+∠EAF=90°，
∴∠MAE=∠FAE=45°，
∴∠BAE+∠DCF=∠BAE+∠BAM=∠MAE=45°；
故选：B．
2.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【详解】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=(180°−130°)÷2=25°．
故选：C．
【题型二】利用正方形的性质求线段长度
◇典例2：
如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（ ）
√5
A．√3 B．2 C．√5 D．
2
【答案】C
【详解】解：连接AP，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴AB=AD=3，∠ADB=45°，
∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴PE=AF，∠PFD=90°，
∴△PFD是等腰直角三角形，
∴PF=DF，
∵PE:PF=1:2，
∴AF:DF=1:2，
∴AF=1，DF=2=PF，
∴AP=√AF2+PF2=√1+4=√5，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP=PC=√5，
故选：C．
◆变式训练
1.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，
∠FOH=90°，EF=4．则GH的长为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．4.5
【答案】A
【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥BC于点N，设GN与EF交于点P，
∴∠GNH=∠FME=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴GN=FM，AB⊥BC，
∴GN∥AB，
∴FM⊥GN，
∴∠EFM+∠FPG=90°，
∵∠FOH=90°，
∴EF⊥GH，
∴∠HGN+∠FPG=90°，
∴∠HGN=∠EFM，
在△HGN和△EFM中，¿，
∴△HGN≌△EFM(ASA)，
∴GH=EF=4，
故选：A．
2.如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB
于点F，G，若点M是BC边的中点，则AF长（ ）
3 4 5 6
A． B． C． D．
4 3 3 5
【答案】B
【详解】解：如图，连接DF，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴AD=CD=AB=BC=4cm，∠A=∠B=∠C=90°，
∵点M是BC边的中点，
1
∴CM=BM= BC=2cm，
2
由折叠得：DE=CD=4cm，EM=CM=2cm，∠DEM=∠C=90°，
∴∠≝=180°−90°=90°，AD=DE，
∴∠A=∠≝¿，
在Rt△DAF和Rt△≝¿中，
¿，
∴Rt△DAF≌Rt△≝(HL)，
∴AF=EF，
设AF=xcm，则EF=xcm，∴BF=(4−x)cm，FM=(x+2)cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2=FM2，
∴(4−x) 2+22=(x+2) 2，
4
解得：x= ，
3
4
∴AF=EF= cm，
3
故选：B．
【题型三】利用正方形的性质求面积、周长
◇典例3：
如图，面积为1的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形
HEFG的面积是（ ）
1 √2 1
A．1 B． C． D．
2 2 4
【答案】B
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB=AD=1，
∵点E、H分别是边AB、DA的中点，
1 1
∴AE= ，AH= ，
2 2
1 1 1 1
∴S = × × = ，
△AEH 2 2 2 8
1
同理可得：S =S =S = ，
△EBF △FCG △GDH 8
1 1
∴四边形HEFG的面积=1− ×4= ．
8 2
故选：B．
◆变式训练
1.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=6,HG=2，则四边形ABDF的面积是（ ）A．20 B．40 C．64 D．16
【答案】A
【详解】解：∵如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，
∴AB=BD=DE=AF，AH=CD=EF=FG，AG=BH=BC=DE，
∠C=90°，∠CBD=∠EDF，
∴四边形ABDF是菱形，∠CBD+∠BDC=90°，∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠BDF=180°−(∠EDF+∠BDC)=90°
∴四边形ABDF是正方形，
∵CE=6，HG=2，
∴设CD=m，DE=n，
∴¿，
解得¿，
在Rt△BCD中，CD=2，BC=4，
∴BD²=BC²+CD²=42+22=20，
∴四边形ABDF的面积是20
故选：A．
2.如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O ，O 是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时O ，
1 2 1
O 也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ．
2
【答案】8
【详解】解：设点O 为正方形ABCD的中心，过点O 作O E⊥AD于点E,O F⊥CD于点F，
1 1 1 1∵O E⊥AD,O F⊥CD,∠D=90°
1 1
，
∴四边形O EDF为矩形，
1
∵O 为正方形ABCD的中心，
1
∴四边形O EDF为正方形，
1
1
∴O E=O F,S = S =4，
1 1 正方形O 1 EDF 4 正方形ABCD
由题意得：∠GO F+∠HO F=90°，
1 1
∵∠FO G+∠GO E=90°，
1 1
∴∠HO F=∠GO E，
1 1
在△GO E和△HO F中，
1 1
¿，
∴△GO E≌△HO F(ASA)，
1 1
∴S =S ，
△GO E △HO F
1 1
∴S =S =4．
四边形DGO H 正方形O EDF
1 1
同理：另一个阴影部分的面积=4，
∴两个阴影部分面积之和是4+4=8．
故答案为：8．
【题型四】利求正方形在平面直角坐标系中的坐标
◇典例4：
已知正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B(4,0)，则点A的坐标为（ ）
A．(−2,2) B．(2,−2) C．(−2√2,2√2) D．(2√2,−2√2)【答案】B
【详解】解：连接AC交OB于点D，如图所示:
∵ OABC
四边形 是正方形，
1 1
∴AC=OB，AC⊥OB，OD=BD= OB，AD=CD= AC，
2 2
∵点B(4,0)，
∴OB=4，
∴AC=OB=4，
1 1
∴OD=BD= OB=2，AD=CD= AC=2，
2 2
∴点A的坐标为(2,−2)．
故选: B．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，
1 1 1
绕点O连续旋转2025次得到正方形OA B C ，如果点A的坐标为A(1,0)，那么点B 的坐
2025 2025 2025 2025
标为（ ）
A．(√2,√2) B．(0,√2) C．(1,1) D．(−1,1)
【答案】B
【详解】解：∵点A的坐标为(1,0)，四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(1,1)，
∴OA=AB=1，∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB=90°，
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB=√12+12=√2，
由旋转的性质得：OB=OB =OB =OB =…=√2，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB =∠B OB =…=45°，
1 1 2
∴B (0,√2)，B (−1,1)，B (−√2,0)，B (−1,−1)，B (0,−√2)，B (1,−1)，B (√2,0)，
1 2 3 4 5 6 7
B (1,1) …，
8
发现是8次一循环，则2025÷8=253余1，
∴B 是第253组的最后一个点，B 是第254组的第一个点，
2024 2025
∴点B 的坐标为(0,√2)，
2025
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点D在y轴上，且坐标是(0,2)，点A在
x轴上，则点B的坐标为 ．【答案】(3,1)
【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=√5,∠DAB=90°，而∠DOA=90°，
∴∠ODA+∠DAO=∠DAO+∠ABE，
∴∠ODA=∠ABE，
在△ODA与△EAB中，
¿ ，
∴△ODA≌△EAB(AAS)，
∴OD=AE,OA=BE，
由题意得：AD2=OD2+OA2，而OD=2,AD=√5，
∴OA=√(√5) 2 −22=1=BE,AE=OD=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴点B的坐标为(3,1)．
故答案为：(3,1)．
【题型五】正方形的判定证明
◇典例5：
如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，当对角线AC、BD满足条件 时，四
边形EFGH是正方形．
【答案】AC=BD，AC⊥BD
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，∴EF、FG、GH分别为△ABC、△BCD、△ADC的中位线，
1 1 1
∴EF∥AC，EF= AC，FG∥BD，FG= BD，GH//AC，GH= AC，
2 2 2
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC=BD时，EF=FG，
∴平行四边形EFGH为菱形，
当AC⊥BD时，EF⊥FG，
∴菱形EFGH为正方形，
故答案为：AC=BD，AC⊥BD．
◆变式训练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点，
设AB:AD=a．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当a为何值时，四边形MENF是正方形？
【答案】(1)证明见解析；
1
(2)当a= 时，四边形MENF是正方形．
2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠A=∠D=90°，
∵点M是AD的中点，
1
∴AM=MD= AD，
2
在△ABM和△DCM中，
¿，
∴△ABM≌△DCM(SAS)；
1
（2）解：当AB:AD=a= 时，四边形MENF是正方形，理由如下：
21
∵AB:AD= ，AB=CD，
2
1
∴AB=CD= AD，
2
1
∵AM=DM= AD，
2
∴AB=AM=CD=DM，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠CMB=180°−∠AMB−∠DMC=90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵点N是BC的中点，
∴∠MNC=∠MNB=90°，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
1 1
∴EN=ME= BM，NF=MF= CM，
2 2
∴NE=EM=MF=NF，
∴四边形MENF是菱形，
∵∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形．
2.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．求证：四边形
ABCD是正方形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAF=90°，
∵DE⊥AF，∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵DE=AF，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
【题型六】正方形的性质与判定综合
◇典例6：
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．
(1)判断BE与AF之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点E是AD的中点时，连接GD，求∠DGF的度数．
【答案】(1)BE=AF，BE⊥AF，理由见解析
(2)45°
【详解】（1）解：BE=AF，BE⊥AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，
∵∠BAG+∠DAF=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
即BE⊥AF；
（2）解：如图，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，∵BE⊥AF，
则∠M=∠DNG=∠MGN=90°，
∴四边形MDNG是矩形，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AGE=∠M=90°，∠AEG=∠DEM，
∴△AEG≌△DEM(AAS)，
∴AG=DM，
由（1）知△ABE≌△DAF，
∴S =S ，
△ABE △DAF
∵BE=AF，AG⊥BE，DN⊥AF，
∴AG=DN，
∴DM=DN，
∴四边形MDNG是正方形，
∴∠DGF=45°．
◆变式训练
1.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则¿=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，
AD∥BC(BC>AD)，∠B=90∘，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)DE=10
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
又∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE=CF；
（2）解：成立，理由如下：
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．
即∠BCD=∠ECF=90°．
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG(SAS)．
∴EG=GF．
∴≥=DF+GD=BE+GD；
（3）解：如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，
∵∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
∵∠DCE=45°，
由（2）结论可知，ED=BE+DG，
∵BE=4，
设DE=x，则DG=x−4，
∴AD=AG−DG=12−(x−4)=16−x，AE=AB−BE=12−4=8．
在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2，∴x2=(16−x) 2+82，
解得：x=10．
∴DE=10．
2.如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点A,C分别在y轴和x轴上，顶点
D(a,b)的坐标a,b满足√a−4+(b−4) 2=0．
(1)求证：四边形ABCD为正方形；
(2)若点E为线段BC边上的动点，连接AE，过E点作EF⊥AE，且AE=EF，连接CF,∠DCF的大
小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(3)连接AF，当AF=8时，直接写出BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)∠DCF为定值，始终等于45°．理由见解析
(3)BE=4
【详解】（1）证明：∵√a−4≥0，(b−4) 2≥0，√a−4+(b−4) 2=0
∴a−4=0，b−4=0，
∴a=4，b=4，
∴点D(4,4)，
∴BC=CD=4，
又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：是定值，∠DCF恒为45°，理由如下：
如图，在AB上截取AK等于EC，连接EK，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵AK=EC，
∴BK=BE，
∵∠ABC=90°
∴∠BKE=∠BEK=45°，
∴∠AKE=135°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
又∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
又AE=EF，
∴△AKE≌△ECF(SAS)，
∴∠ECF=∠AKE=135°，
又在正方形ABCD中∠ECD=90°，
∴∠DCF=∠ECF−∠ECD=135°−90°=45°．
（3）解：如图，
∵EF⊥AE，且AE=EF，
∴由勾股定理得：EF2+AE2=AF2，∴AE2+AE2=64，
∴AE2=32，
∵AB=4，
∴由勾股定理得：BE=√AE2−AB2=4．
【题型七】求正方形形中最值问题
◇典例7：
如图，正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC=5，CF=4．若有一动点P沿着
CA由C往A移动，则FP的长度最小是（ ）
5 5
A．2 B． C．2√3 D． √3
2 2
【答案】A
【详解】解：如图，过点F，作FM⊥AC交AC于点M，
此时FM为FP的最小值，
∵正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，
∴∠ACB=60°，∠FCD=∠FCB=90°，
∴∠FCM=180°−∠ACB−∠FCD=30°
又∵∠FMC=90°，
1
∴MF= FC=2，
2
∴PF的长度最小值为2．
故选：A．◆变式训练
1.如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点.连接BE，将△ABE沿
BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小是（ ）
A．5√5−5 B．5√5−10 C．5√5 D．5
【答案】B
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴∠C=90°，BC=CD=10，
∵点G是边CD的中点，
∴CG=DG=5，
连接BG，
∴BG=√BC2+CG2=5√5，
∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF=BA=10，
∵FG≥BG−BF，
∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，
∴GF的最小值为BG−BF=5√5−10．
故选：B．2.如图，正方形ABCD的面积为S，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一
点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【答案】√S
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，AC⊥BD，
∴B、D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE≥BE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵正方形ABCD的面积为S，
∴AB=√S，
∴BE=√S，
∴PD+PE的最小值为√S．
故答案为：√S．
【题型八】正方形中“十字架”模型
◇典例8：
【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF
相等吗？（1）直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
【问题探究】：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且¿⊥BF，垂足为M．
那么GE与BF相等吗？证明你的结论：
【问题拓展】：
（3）如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为
41cm，则CE=______cm．
【答案】（1）=；（2）¿=BF，理由见解析；（3）9
【详解】（1）解：∵AE⊥BF，
∴∠EMB=90°，
∴∠FBC+∠BEM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠FBC+∠BFC=90°，
∴∠BEM=∠BFC，
在△ABE和△BCF中，
¿，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF．
故答案为：=；
（2）解：¿=BF，理由如下：
如图2，过点A作AN∥≥¿，交BF于点H，交BC于点N，∴∠EMB=∠NHB=90°
，
∴∠FBC+∠BNH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC，∠BAD=∠ABC=∠C=90°，
∵AD∥BC，AN∥≥¿，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN=EG，
∵∠C=90°，
∴∠FBC+∠BFC=90°，
∴∠BNH=∠BFC，
∴△ABN≌△BCF(AAS)，
∴AN=BF，
∵AN=EG，
∴≥=BF；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠C=90°，AD=CD，
作FP⊥CD于P，连接DE，
则四边形AFPD是矩形，
∴∠DCE=∠FPG=90°，由翻折知，GF⊥DE，
∴∠PFG=∠CDE，
∵AD=CD，
∴△FPG≌△DCE（AAS），
∴DE=FG=41，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=√412−402=9（cm），
故答案为：9．
◆变式训练
1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AE与BF交于点P．
(1)【特例感知】如图（a），若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量
关系是
(2)【深入探究】如图（b），若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的
数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二
如图，在BC边上取一点M使 如图，在CB的延长线上取一点N，使
AM=AB,…… AN=AE，……
(3)【类比迁移】如图（c），若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出AE
的值；
BF
【答案】(1)AE=BF
(2)猜想AE=BF．证明见解析
3
(3)
2
【详解】（1）解：当四边形ABCD是正方形，∠APB=∠D=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
又∵AB=BC，∠ABC=∠C，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF；
故答案为：AE=BF；
（2）解：猜想AE=BF．
证明：思路一：如图，在BC上取一点M，使AB=AM，则∠ABM=∠AMB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=AM，∠ABM+∠C=180°，∠D=∠ABE，
∵∠AME+∠AMB=180°，∠ABM+∠C=180°，
∴∠AME=∠C，
∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB，
∴∠FBC=∠APB−∠AEM=∠AMB−∠AEM=∠EAM，
在△AEM和△BFC中，
¿，
∴△AEM≌△BFC(ASA)，
∴AE=BF；
思路二：如图，在CB延长线上取点N，使AN=AE，则∠ANB=∠AEB，根据菱形的性质∠ABC+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠ABN=∠C，
又∵∠BAN=∠ABC−∠ANB，∠APB−∠AEB=∠CBF，且∠APB=∠D=∠ABC，
∴∠BAN=∠CBF，
在△ABN和△BCF中，
¿，
∴△ABN≌△BCF(ASA)，
∴AN=BF，
∴AE=BF；
（3）解：如图，延长AB，使BG=BE，
∵AB∥CD，
∴∠GBC=∠C=60°，
∴△BGE是等边三角形，
1 1
∴∠G=60°，BG=BE= BC= AB，
2 2
∵∠BAE+∠BEA=∠GBC，∠PBE+∠BEP=∠APB，∠APB=∠C=60°，
∴∠BAE=∠PBE，
在△EAG和△FBC中，∠GAE=∠CBF，∠G=∠C，
∴△EAG∽△FBC，1
AB+ AB
∴AE AG AB+BG 2 3．
= = = =
BF BC BC AB 2
2.（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，AE⊥BF．求证：AE=BF．
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、AD、AB上，¿⊥HF，求证：¿=HF．
（3）如图3，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若正方形ABCD
的边长为5，△AOB与四边形OECF的面积之和与正方形ABCD的面积之比为1:5，求△AOB的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5+√35
【详解】（1）证明：如图1，设AE与BF交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠ABM=90°，
又∵∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中
¿∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF．
（2）证明：如图2，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于
点O′，
则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，
∴AM=≥¿，BN=HF，
∵¿⊥HF，AM∥GE，BN∥FH，
∴AM⊥BN，
同理（1）中的方法证得△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，
∴¿=HF；
（3）解：∵△AOB与四边形OECF的面积之和与正方形ABCD的面积之比为1:5，
1
∴△AOB与四边形OECF的面积和为 ×52=5，
5
由（1）得，△ABE≌△BCF，
∴S =S ，
△ABE △BCF
∴S −S =S −S ，
△ABE △OBE △BCF △OBE
1 5
∴S =S = ×5= ，
△AOB 四边形OECF 2 2
1 5
设AO=a，BO=b，则 ab= ，
2 2
即ab=5，
在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2，
∴a2+b2=52=25，
∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=25+2×5=35，∴a+b=√35，
即AO+BO=√35，
∴△AOB的周长为AB+AO+BO=5+√35．
【题型九】正方形中“对角互补”模型
◇典例9：
阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊
多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做
“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB=AD，∠B+∠D=180°，如图1，连接
AC，试探究AC是否平分∠BCD，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”ABCD中，AB=AD=2，∠B=90°，∠BCD=120°，如图2，求
AC的长．
【答案】(1)D
(2)AC平分∠BCD；见解析
4√3
(3)
3
【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，
∴平行四边形不是“等补四边形”；
∵矩形的邻边不一定相等，
∴矩形不是“等补四边形”；
∵菱形的对角相等，但对角不一定互补，
∴菱形不是“等补四边形”；
∵正方形的每个内角都是90°，四条边都相等，∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补，
∴正方形是“等补四边形”；
故选：D．
（2）解：AC平分∠BCD；理由如下：
延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，作AF⊥CD于点F，如图所示：
则∠AFD=∠AEB=90°，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠D=∠ABE，
∵AD=AB，
∴△ADF≌△ABE(AAS)，
∴AE=AF，
∵∠AEC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)，
∴∠ACF=∠ACE，
∴AC平分∠BCD；
（3）解：∵在“等补四边形”ABCD中，AB=AD=2，∠B=90°，∠BCD=120°，
∴根据解析（2）可知：AC平分∠BCD，
1
∴∠ACB= ∠BCD=60°，
2
∴∠BAC=90°−60°=30°，
1
∴BC= AC，
2
∵AC2=AB2+BC2，
∴AC2=22+ (1 AC ) 2 ，
24√3
解得：AC= ，负值舍去，
3
4√3
即AC的长为 ．
3
◆变式训练
1.【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两
1 1 1
个正方形的边长相等，边A O与边AB相交于点E，边C O与边CB相交于点F．在实验与探究中，小
1 1
新发现无论正方形A B C O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现
1 1 1
通过证明△AOE≌△BOF（无需证明）即可推导出来．连结EF，则AE，CF，EF之间的数量关系
是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A B C O的一个顶点，A O与边AB相交于点E，C O与
1 1 1 1 1
边CB相交于点F，连结EF，矩形A B C O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，
1 1 1
并进行证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，
它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=4时，
请直接写出线段CF的长度．
19 5
【答案】（1）AE2+CF2=EF2；（2）AE2+CF2=EF2，理由见解析；（3） 或 ．
4 4
【详解】解：（1）∵正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，
1 1 1
∴OA=OB,∠AOB=∠A OC =90°,∠OAE=∠OBC=45°，
1 1
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO(ASA)；
连接EF，∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°,AB=BC，
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∴BE=CF，
在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
故答案为：AE2+CF2=EF2．
（2）AE2+CF2=EF2，理由如下：
连接AC，
∵矩形ABCD的中心O是矩形A B C O的一个顶点，
1 1 1
∴OA=OC，∠EOF=90°，AD∥BC，
延长EO，交CD于点G，连接FG，
∵AD∥BC，
∴∠BAO=∠DCA，
又∵∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG(ASA)，
∴AE=CG，OE=OG，
∵∠EOF=90°，
∴OF是EG的中垂线，
∴EF=FG,∠FOG=90°，
∴FG2=CF2+CG2，
∴EF2=CF2+AE2；（3）设CF=x，
①当点E在线段AC上：
∵∠C=90°,AC=6,BC=8，AE=4，
∴CE=2，BF=(8−x)
∴EF2=CE2+CF2=4+x2，
由（2）可知：EF2=AE2+BF2=16+(8−x) 2，
∴4+x2=16+(8−x) 2，
19
解得：x= ，
4
19
∴CF= ；
4
②当点E在线段CA的延长线上时：如图，
此时CE=AC+AE=10,BF=BC+CF=(8+x)，
过点B作BG∥AC，延长ED交BG于点G，连接FG，
同（2）法可证：EF2=AE2+BF2，
∴EF2=16+(16+x) 2，
又EF2=CF2+CE2=x2+102，
∴16+(8+x) 2=x2+102，5
解得：x= ，
4
5
∴CF= ；
4
19 5
综上：线段CF的长度为 或 ．
4 4
2.问题解决：
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE=AF，且DE与AF相交于点G．
（1）DE与AF的位置关系为 ；
（2）延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，
∠AED=60°，AE=7，BF=2，求DE的长．
【答案】（1）DE⊥AF；（2）等腰三角形，见解析；（3）DE=9．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BAF中，
¿，
∴Rt△ADE≌Rt△BAF(HL),
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠GAD=∠DAB=90°，
∴∠ADE+∠GAD=90°，
在△ADG中，∠AGD=180°−(∠ADE+∠GAD)=90°，
∴DE⊥AF，
∴DE与AF的位置关系为：DE⊥AF，
故答案为：DE⊥AF；
（2）△AHF是等腰三角形，理由如下：由（1）可知：Rt△ADE≌Rt△BAF，
∴AE=BF，
∵BH=AE，
∴BH=BF，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥HF，
∵AB是线段HF的垂直平分线，
∴AH=AF，
∴△AHF是等腰三角形；
（3）解：延长CB到K，使BK=AE，连接AK，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,BA=AD，
∴∠KBA=∠DAE，
在△BAK和△ADE中，
¿，
∴△BAK≌△ADE(SAS)，
∴AK=DE,∠K=∠AED，
∵DE=AF,∠AED=60°，
∴AK=AF,∠K=60°，
∴△AKF是等边三角形，
∴AF=KF=AB，
∵AE=7,BF=2，
∴KF=BK+BF=AE+BF=7+2=9，
∴AF=KF=9，
∴DE=AF=9．
真题在线
一、单选题1．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形 是平行四边形，从① ，② ，③
，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从① ，② ，③ ，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、
②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴ ，从① ，② ，③ ，这三个条件中任意选取两个，能使 是正
方形的概率为 ．
故选：A．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，
，则 的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∵ 为 的中点，
，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在 轴
上． ．若将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵正方形 的边长为5， 边在 轴上，将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得到
正方形 ．
∴ ， 在 轴上， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
故选：A
4．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形 ，E，F，G，H分别为各边中点，连接 ，
， ， ，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵E，F，G，H分别为各边中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，同理 ，
∴平行四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为5，
故选：C．
5．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，点G是 上的一点，且 ，
于点E， ，且交 于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 四边形 是正方形， ，， ， ，
，
，
，
在 中， ，
则由勾股定理可得 ，
，
，
，
，
即 ，
， ，
又 ，
，
又 ， ，
，
，
，
，
故选：A．
6．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，
且 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点D作 于G，过点F作 于H，
∵四边形 是边长为2的正方形，
∴ ；
∵ 为 的中点，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
，∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
故选：B．
7．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形 的一边 ，使点 落在 上的点 处，折痕 交
于点 ．若 ，则 的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∵正方形 ，
∴ ， ， ， ， ，
，
由对折可得： ， ， ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ；
故选：B.
8．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形 边长为6，以对角线 为斜边作 、 ，
点 在 上．连接 ．若 ．则 的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：以点B为原点， 所以直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设 的中点为G，过点D作 ，使 ，过点H作 于点K，连接
，则 ，
∵正方形 边长为6，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点B、E、A、D在 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F是在以点H为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点F在 上时，
取得最小值，
为 ．故选：D．
二、填空题
9．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位： ）
如图，这枚古钱币的半径为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则 是 的直径，过 作
，连接 ，再结合正方形的性质以及垂径定理得 ， ，由勾股定理列式计
算，即可作答．
【详解】解：如图所示： 是 的直径，过 作 ，连接 ，
依题意， ，
∵ ，
∴ ， ，∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴ ，
在 中， ，
即这枚古钱币的半径为 ，
故答案为：13
10．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边作
等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ， 按照此规律
继续下去，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据
面积的变化找出变化规律“ ”是解题的关键．根据题意求出面积标记为 的正方形的边长，
得到 ，同理求出 ，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
∵正方形 的边长为2，
，
∴面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形的边长为 ，
则 ，
……，，
则 的值为： ，
故答案为： ．
11．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片 中，E是 上一点，将纸片沿过点E的直线折
叠，使点A落在 上的点G处，点B落在点H处，折痕 交 于点F．若 ， ，则
．
【答案】 /
【详解】解：如图，连接 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
则 ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠可知 ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
设正方形边长为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即
解得： 或 （不合题意舍去）
∴ ．
故答案为： ．
12．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 是正方形，E为 上一点，将 绕点A顺时针
旋转 至 ，连接 ， 于点H，交 于点G．若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ，由旋转可知 ，
∴ ， ， ，
∴点F、B、C三点共线，
∵ ，
∴ H为 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴正方形 的边长为3，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形 的边 的中点，连接 ，将 沿
所在直线折叠，点C落在点F处，连接 并延长交 于点G，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形
∴ ， ，
由折叠可得 ， ，
∴ ， ，
∴在 和 中
∴ ；
（2）解：∵ ，点E是 的中点，
∴ ，
由折叠得到 ，
∵ ，
∴
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴解得
∴ ．
14．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 是正方形，点 在边 上，点 在边 的延长线
上， ，射线 交对角线 于点 ，交线段 于点 ．
(1)求证： ．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ）
(2)求证： ．
(3)若 ，直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ．
15．（2024·内蒙古·中考真题）已知正方形 ， 是对角线 上一点．(1)如图1，连接 ， ．求证： ；
(2)如图2， 是 延长线上一点， 交 于点 ， ．判断 的形状并说明理由；
(3)在第（2）题的条件下， ．求 的值．
【答案】(1)见解析
(2) 是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质得出 ， ，进而即可得到
；
（2）先判断出 ，进而判断出 ，即可得到结论；
（3）先求出 的长，可证明 是等腰直角三角形．从而得到 的长，再利用 ，
，可证得 ，进而得到 ，从而可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ， ，
在 和 中
∴ ．
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．专项练习
一、单选题
1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：
根据题意和图形可知 可看作两个全等矩形的对角线，
∴ ，
由图可知 ，
∴
∴
，
∴ ，
∵ 可以看作是正方形对角线和边构成的角，
∴
∴ ．
故选B．
2．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（ ）．
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确
【答案】B
【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分，
∴ 该四边形是平行四边形，∵ 平行四边形的对角线互相垂直，
∴ 该平行四边形是菱形，
∵ 菱形的对角线相等，
∴ 该菱形是正方形．
故选：B．
3．如图，在 中， ，再添加一个条件，仍不能判定四边形 是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在 中， ，
∴四边形 是矩形．
A、当 时，矩形 是正方形，故A选项不符合题意；
B、当 时，矩形 是正方形，故B选项不符合题意；
C、当 时，无法确定矩形 就是正方形，故C选项符合题意；
D、当 时，则 ， ， ， 矩形 是正方形，
故D选项不符合题意．
故选：C．
4．如图，在矩形 中， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ．点 是矩形外一点，
连接 ， ， ，添加下列条件后，可判定四边形 为正方形的是（ ）
A． ， B． ，C． D． ，
【答案】A
【详解】解：已知四边形 为矩形，且 平分 ， 平分 ．
故 ， ，
可得 ， ， 是等腰直角三角形．
选项 ：由两边平行可得四边形 为平行四边形，
再由 可得四边形 为菱形，
再由 可得四边形 为正方形，故选项 正确；
选项 ： ， ，仅可得到 ，无法证明四边形 为正方形，故选项 错误；
选项 ：根据题意可知 ，故 ，无法判定正方形，故选项 错误；
选项 ： ， ，仅能判断 是等腰三角形，不能证明 ，无法判定正方形，
故选项 错误．
故选： ．
5．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，E为 上一点， 为 的中点．若
2， ，则正方形边长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【详解】解：在正方形 中， ，O是 的中点， ，
为 的中点，
为 的中位线，
，设 ，则 ，
在 中，
， 即 ，
解得： 或 （舍去），
故选：C．
6．如图，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 分别在边 、 上， ， ．
连接 并延长，交边 于点 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标为 ，点E在边 上．
将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点E的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设正方形 的边长为a， 与y轴相交于G，
∵正方形 的边 在x轴上，
∴
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵折叠，
∴ ， ，
∵点A的坐标为 ，点F的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在 轴上，点 是边 上的一点，坐标为 ，
将 沿 折叠，点 落在点 处．若 的延长线交 于 ，且 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：正方形 的边 在 轴上，点 是边 上的一点，坐标为 ，如图，连接 ，
， ，
沿 折叠，点 落在点 处．
，
， ， ，
， ，
在 和 中，
，，
，
，
设 ，
，坐标为 ， ， ，
．
， ．
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
故 ， ， ，
过点 作 于点 ，
，
，
，
解得 ，
．
故点 ；
故选：A．
9．如图，在正方形 中，以对角线 为一边向右侧作菱形 ，点E在 的延长线上，连接
交 于点G，则 的值为（ ）A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
由勾股定理得 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
10．如图，已知四边形ABCD为正方形， ，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作
，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形
DEFG是正方形；② ；③CG平分 ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【详解】解：如图，过 作 于 点, 过 作 于 点，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形，故 正确；
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ 平分 ，故 正确；
∴ ，故 错误；
当 时，点 与点 重合，
∴ 不一定等于 ，故 错误；
综上可得： 正确；
故选：A．
二、填空题
11．如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ．若 ，则点 到边
的距离为 ．
【答案】0.5
【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ．
， ，
四边形 是平行四边形．
在正方形 中， ， ，
，
四边形 是正方形，
， ．
，
，
，
即点 到边 的距离为 ．故答案为： ．
．
【答案】
【详解】解： 绕点 顺时针旋转 得 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 中，
，
故答案为：
13．如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，
，则 的长为 ．
【答案】2
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∵ 为直角三角形斜边 边上的中线， ，
∴ ，
由于三角形 为直角三角形，由勾股定理得 ，
∴ ，
故答案为：2．
14．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（ 、 、 、 ）和一个小正方
形 拼成的大正方形 ．若 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【详解】解：根据题意，设 ，则 ，
∵ ，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在正方形 中， 为对角线，点 、 分别为边 和 上的点，且 ，连接
，过点 作 交 于点 ，点 为边 上的点，连接 ，若 ， ，则
的度数为 ．【答案】
【详解】解：连接 ，延长 交 于点 ，如下图所示：
∵四边形 是正方形， 为对角线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角
性质等，解题的关键是灵活运用这些知识，构建合适的辅助线证明三角形全等．
16．如图，在边长为 的正方形 中，若 分别是 边上的动点， ， 与 交于
点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得
到点 在以 为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键．
根据正方形的性质可证 ，得到 ，即 ，则点 在以 为直径的圆
弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点 共线时， ，此时 的值最小，结合勾股
定理得到 ，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴点 在以 为直径的圆弧上运动，如图所示，取 的中点 ，以点 为圆心，以 为半径画弧，∴根据两点之间线段最短，得当点 共线时， ，此时 的值最小，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、解答题
17．如图，已知菱形 的对角线交于点O，E，F是对角线 所在直线上的两点，且 ，
，连接 ，得四边形 ．求证：四边形 是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根
据菱形的性质，得到 ，线段的和差得到 ，进而得到四边形 为菱
形，得到 ，进而得到 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵菱形 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形形，
又 ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形．
18．如图， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， .
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长度．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含 角直角三角形的性质；
（1）由四边形 是平行四边形， 平分 ， 平分 ，得到 ，再由 ，
， ，可得四边形 是菱形，进而得证四边形 是正方形；
（2）过点E作 ，由（1）可得 是等腰直角三角形， 是含 角直角三角形，设
，利用 ，可求出 ，进而求出 .
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴菱形 是正方形.
即四边形 是正方形.
（2）解：过点E作 ，如图所示，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，设 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ .
19．如图， ， ， ， 分别是正方形 四条边上的点，且 ．
(1)求证：四边形 是正方形．
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得
出四边形 的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形；
（2）根据 和 的长度，算出 的长度，用勾股定理求出四边形 的边长，再计算其周长．
【详解】（1）（1）证明： 四边形 是正方形，
， ．
，
，
，
， ，
四边形 是菱形．，
，
，
四边形 是正方形．
（2）解： ， ，
，
．
四边形 是正方形，
四边形 的周长 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、
全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键．
20．在学校成长课程活动中，同学们将对学校“空中花园”中一块正方形花园 进行测量规划使用，
如图，点E，F处是花园的两个门， 在边 上， 在边 上，且 ，要修建两条直路
与 相交于点 （两个门E，F的大小忽略不计）．
(1)请问 这两条路有什么数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)同学们测得 米， 米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 上再修条 米长的直路
，这条直路的一端在门 处，另一端 在直路 上，请问能否修建成这样的直路？请说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)能修建成这样的直路，理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌
握以上性质．
（1）根据正方形的性质证明 ，得出对应边相等，然后根据直角三角形的性质得出垂直即
可；
（2）根据题意结合（1）的结论求出相关线段的长度，根据勾股定理求出 ， ，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：能修建成这样的直路，理由如下：
∵四边形 为正方形，且 ， ，
∴ ，
结合（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
由（1）得 ，
根据等面积得， ，
∴ ，
∵ ，
∴能修建成这样的直路．
21．【问题呈现】已知正方形 中，点F为对角线 上一点，点E在 的延长线上，连接 ．
（1）如图1，连接 ，若 ，求 的最小值；【类比探究】
（2）如图2，在正方形 中，点F为对角线 上一点，点G在边 上， ，若 ，
，求四边形 的面积；
【拓展运用】
（3）如图3，将 绕点F逆时针旋转 得到 ，连接 交 于点H，试探索 、 满足怎样的
数量关系时，点H恰为 的中点；
【答案】（1）10；（2）16；（3）
【详解】解：（1）延长 至点 ，使 ，连接 ，此时 最小，如图，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 中， ， ， ，
；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，如图，，
四边形 是正方形，
， ， ，
四边形 是矩形， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
又∵ ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，．
；
（3）当 时，点 恰为 的中点，理由如下：
过 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，如图，
，
，
，
四边形 是正方形， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
即点 恰为 的中点．
